选修4-4第一讲学案
部编版高中数学高考数学选修4-4全套精品教案
部编版高中数学高考数学选修4-4全套精品教案第一讲坐标系课题：平面直角坐标系教学目标：1.理解平面直角坐标系的意义；掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法。
2.掌握坐标法解决几何问题的步骤；体会坐标系的作用。
教学重点：体会直角坐标系的作用。
教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。
授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定。
3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定。
三、讲解新课：1、 建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、 确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
变式训练如何通过它们到点O 的距离以及它们相对于点O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置例2 已知B 村位于A 村的正西方1公里处,原计划经过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的计划需要修改吗?变式训练1一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程2在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程例3 已知Q （a,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标（1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点（2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上）变式训练用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
高中数学选修4-4导学案打印
新课标人教A 版选修4-4 第一讲 坐标系 导学案§4.1.1—第一课 平面直角坐标系本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标法解决实际问题与几何问题.一、 温故而知新1．到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹方程.二、 重点、难点都在这里【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.）（详解见课本）练一练：3．有三个信号检测中心A 、B 、C ，A 位于B 的正东，相距6千米，C 在B 的北偏西300，相距4千米.在A 测得一信号，4秒后B 、C 同时测得同一信号.试求信号源P 相对于信号A 的位置（假设信号传播速度为1千米/秒）.【问题2】：已知⊿ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.三、 懂了，不等于会了4．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹.5．求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标.7．已知A （-2，0），B （2，0），则以AB 为斜边的直角三角形的顶点C 的轨迹方程 是 .8．已知A （-3，0），B （3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94，则 点M 的轨迹方程是 .平面直角坐标系中的伸缩变换【基础知识导学】1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。
2、 “坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。
山西省太原名校数学(人教A)选修4-4学案 1.4.1柱坐标系
选修4-4 第一讲 坐标系
1.4.1 柱坐标系
【学习目标】
记住在柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法； 能把柱坐标与直角坐标点的坐标互化。
在圆形体育场内,如何确定看台上某个座位的位置.体会柱坐标系在解决相关实际问题的便利.
【文本研读】
1. 阅读范围： 选修4—4柱坐标系与球坐标系简介：柱坐标系P16---P17。
2. 学习要求： 体会柱坐标系的建立；对条件的限制在实际运用中能注意到；记住转换公式。
3．知识拓展： 复习在直角坐标系中点的确立。
【情境链接】
建立一个空间直角坐标系，并标明点P （1,1,1）的位置。
【问题探究】
问题1.写出柱坐标系的定义。
（特别要注意条件）
问题2.写出空间点P 的直角坐标系（x,y,z ）与柱坐标
)z ，，（θρ之间的变换公式。
练习1.点A 的柱坐标是)7,6
,2(π
，则它的直角坐标是什么？
练习2.点B 的直角坐标是)222,2(，
-，则它的柱坐标是什么？
【实战演练】（要求：严格进行板书）
1.将下列各点的柱坐标化为直角坐标：)3,3
2,
4(),1,6
,2(-π
π
Q P .
2.建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体的四个顶点.
3.点A 的柱坐标是)4,6
,2(π
-，则它的直角坐标是什么？
4.点P 的直角坐标是)3,3,3(--，则它的柱坐标是什么？。
数学选修4-4教案
数学选修4-4教案教案标题：数学选修4-4教案教案目标：1. 理解和应用数列的概念和性质。
2. 掌握等差数列和等比数列的求和公式。
3. 能够解决与数列相关的实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学内容：1. 数列的概念和性质a. 了解数列的定义和常见符号表示。
b. 掌握数列的公式表示和递推关系。
c. 理解等差数列和等比数列的特点。
2. 等差数列a. 学习等差数列的定义和通项公式。
b. 理解等差数列的性质和规律。
c. 掌握等差数列的求和公式。
3. 等比数列a. 学习等比数列的定义和通项公式。
b. 理解等比数列的性质和规律。
c. 掌握等比数列的求和公式。
4. 数列的应用a. 解决与数列相关的实际问题。
b. 运用数列的性质和公式进行推导和证明。
教学步骤：第一步：引入数列的概念和性质a. 通过实际生活中的例子引导学生了解数列的概念。
b. 解释数列的符号表示和递推关系。
c. 引导学生讨论等差数列和等比数列的特点。
第二步：学习等差数列a. 介绍等差数列的定义和通项公式。
b. 引导学生观察等差数列的规律和性质。
c. 演示如何使用等差数列的求和公式。
第三步：学习等比数列a. 介绍等比数列的定义和通项公式。
b. 引导学生观察等比数列的规律和性质。
c. 演示如何使用等比数列的求和公式。
第四步：应用数列解决问题a. 给出一些实际问题，要求学生利用数列的性质和公式进行解答。
b. 引导学生分析问题，建立数学模型，并进行求解。
c. 鼓励学生在解决问题的过程中思考和讨论。
第五步：总结和拓展a. 总结本节课所学的内容和方法。
b. 提供一些拓展练习，巩固学生对数列的理解和应用能力。
教学资源：1. 数列的教学PPT或投影片。
2. 数列的练习题和答案。
3. 实际问题的案例和解答。
评估方法：1. 课堂练习：布置一些练习题，检查学生对数列的理解和应用能力。
2. 实际问题的解答：评估学生解决实际问题的能力和思维方式。
3. 课堂表现：观察学生的参与度、思维活跃度和合作能力。
选修4-4第一讲 教案
§1.1.1 平面直角坐标系教学目标：（1）学会用坐标法来解决几何问题。
（2）能用变换的观点来观察图形之间的因果联系，知道图形之间是可以类与类变换的。
教学重点：应用坐标法的思想解决集合问题。
教学难点：掌握坐标法的解题步骤与应用。
通过典型习题的讲解、剖析，及设置相关问题引导学生思考来突破难点。
教学方法：探究法、讲授法教学过程：一、课题导入：通过直角坐标系，平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数形结合。
根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法。
下面我们先回顾直角坐标系中解决问题的过程，体会坐标法在实际问题中的应用。
二、新知探究：思考：声响定位问题某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。
（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上）(2004年广东高考题)解：以接报中心为原点O ，以BA 方向为x 轴，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A(1020,0),B(－1020,0) C(0,1020)设P （x,y ）为巨响为生点，由B 、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P 在BC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声，故|PA|－ |PB|=340×4=1360由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线 上，用y=-x 代入上式，得： ，∵∣PA ∣＞∣PB ∣答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心 处。
总结：解决此类应用题的关键：建系－设点（点与坐标的对应）－列式（方程与坐标的对应）－化简－说明 三、知识应用：例：已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=5a 2，BE 、CF 分别为边AC 、CF 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系。
2018-2019学年高中数学 第一讲 坐标系 二 第二课时 极坐标和直角坐标的互化学案 新人教A版选修4-4
第2课时 极坐标和直角坐标的互化学习目标 1.了解极坐标和直角坐标互化的条件.2.掌握极坐标与直角坐标互化的公式，能进行极坐标和直角坐标间的互化.3.掌握极坐标系的简单应用．知识点 极坐标和直角坐标的互化思考1 平面内的一个点M 的坐标既可以用直角坐标表示也可以用极坐标表示，那么这两个坐标之间能否转化？ 答案 可以．思考2 要进行极坐标和直角坐标的互化，两个坐标系有什么联系？ 答案 ①直角坐标的原点为极点；②x 轴的正半轴为极轴；③单位长度相同． 梳理 互化的条件及互化公式(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位． (2)互化公式①极坐标化直角坐标：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.②直角坐标化极坐标：⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).类型一 点的极坐标化直角坐标 例1 把下列点的极坐标化为直角坐标． (1)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6；(2)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4；(3)M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6.解 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得(1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin 7π6＝－1，∴点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝322，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－322，∴点B 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫322，－322.(3)x ＝6cos 5π6＝－33，y ＝6sin 5π6＝3，∴点M 的直角坐标为(－33，3)．反思与感悟 由极坐标化直角坐标是惟一的．由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ惟一确定．跟踪训练1 已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π2，求它们的直角坐标．解 根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得A (－1，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C (0，－4)． 类型二 点的直角坐标化极坐标例2 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)． (1)(－2,23)；(2)(6，－2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x＝－3，θ∈[0,2π)． 由于点(－2,23)在第二象限，∴θ＝2π3.∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3.(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)，由于点(6，－2)在第四象限， ∴θ＝11π6.∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6.(3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝y x ＝1，θ∈[0,2π)． 由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4. ∴点的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.引申探究1．若规定θ∈R ，上述点的极坐标还惟一吗？解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3＋2k π(k ∈Z )．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6＋2k π(k ∈Z )． (3)⎝⎛⎭⎪⎫32π2，π4＋2k π(k ∈Z )． 极坐标不惟一．2．若点的直角坐标为(1)(0,23)，(2)(0，－2)，(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0化为极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 结合坐标系及直角坐标的特点知， (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π2.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0.反思与感悟 (1)将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)进行求解，先求极径，再求极角．(2)在[0,2π)范围内，由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z )即可．跟踪训练2 在直角坐标系中，求与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532的距离为1且与原点距离最近的点N 的极坐标．解 把点M 的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532化为极坐标，得ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－5322＝5，tan θ＝－53252＝－ 3. 因为点M 在第四象限，所以θ＝5π3＋2k π，k ∈Z ，则点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π3＋2k π，k ∈Z .依题意知，M ，N ，O 三点共线，则点N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3＋2k π，k ∈Z .类型三 极坐标与直角坐标互化的应用例3 已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，求线段AB 中点的直角坐标．解 因为A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A (3,33)，同理可得B (－4，－43)．设线段AB 的中点为M (m ，n )，由线段中点的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4＋32＝－12，n ＝－43＋332＝－32，所以线段AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.引申探究1．若本例条件不变，求线段AB 中点的极坐标． 解 由例3知，AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴ρ2＝x 2＋y 2＝1，∴ρ＝1.又tan θ＝y x ＝3，∴θ＝4π3，∴极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，4π3. 2．若本例条件不变，求AB 的直线方程．解 因为A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，所以x A ＝6×cos π3＝3，y A ＝6×sin π3＝33，所以A (3,33)．又因为直线AB 的倾斜角为π3，故斜率k ＝3，故直线AB 的方程为y －33＝3(x －3)，即3x －y ＝0. 反思与感悟 应用点的极坐标与直角坐标互化的策略在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时，若不方便利用极坐标直接解决，可先将极坐标化为直角坐标，利用直角坐标系中的公式、性质解决，再转化为极坐标系中的问题即可．跟踪训练3 在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)． 解 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2)．对于B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4有ρ＝2，θ＝5π4，∴x ＝2cos 5π4＝－2，y ＝2sin 5π4＝－2.∴B (－2，－2)．设点C 的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4.∴⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴点C 的坐标为(6，－6)或(－6，6)．∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1或tan θ＝6－6＝－1，∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.1．将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53)B ．(53，5)C ．(5,5)D ．(－5，－5)答案 A2．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4答案 B解析 设点P 的极坐标为(ρ，θ)， ∵ρ2＝x 2＋y 2＝4，∴ρ＝2，又tan θ＝y x ＝－1，且点P 在第二象限，∴θ＝3π4.3．若M 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6，则M 点的直角坐标是( )A ．(－3，1)B ．(－3，－1)C ．(3，－1)D ．(3，1) 答案 A解析 由公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos 5π6＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6＝1，∴M 点的直角坐标为(－3，1)．4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 答案 C解析 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标与直角坐标的互化公式，得ρ＝x 2＋y 2＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝y x ＝－31＝－ 3.∵点P 在第四象限，结合选项知，θ可以是－π3，∴点P 的极坐标可以是⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 5．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0,0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3解析 ρ＝(－3)2＋(－33)2＝6， 由6cos θ＝－3，得cos θ＝－12，又0≤θ<2π，且M (－3，－33)在第三象限， ∴θ＝4π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3.极坐标与直角坐标的互化任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带，事实上，若ρ>0，sin θ＝y ρ，cos θ＝x ρ，所以x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)．一、选择题1．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－5π3答案 A2．直角坐标为(－2,2)的点M 的极坐标可以为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4 B.⎝⎛⎭⎪⎫－22，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫22，－π4 答案 C解析 易知ρ＝(－2)2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，因为点M 在第二象限，所以可取θ＝3π4，则点M 的极坐标可以为⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4.3．若点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为( )A ．(3,4)B ．(4,3)C ．(－4,3)D ．(－3,4) 答案 D4．点M 的直角坐标是(3，3)，则点M 的极坐标可能为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫23，5π6 B.⎝⎛⎭⎪⎫23，π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6D.⎝⎛⎭⎪⎫23，－5π6 答案 B解析 ρ＝x 2＋y 2＝23，tan θ＝yx ＝33， 又θ的终边过点(3，3)，所以θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以M 的极坐标可能为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. 5．在极坐标系中，已知△OAB 的顶点A 的极坐标为(2，π)，AB 边的中点D 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B 的直角坐标为( ) A ．(32，42) B ．(－32，42) C ．(－32，－42) D ．(32，－42)答案 C解析 设顶点B 的直角坐标为(x 0，y 0)．把A ，D 两点的极坐标化为直角坐标，得A (－2，0)，D (－22，－22)，则由中点坐标公式得－2＋x 02＝－22，0＋y 02＝－22，解得x 0＝－32，y 0＝－42，故顶点B 的直角坐标为(－32，－42)． 二、填空题6．把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－10，π6化为直角坐标为________．答案 (－53，－5)7．已知两点的极坐标A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线AB 的倾斜角为________． 答案5π6解析 点A ，B 的直角坐标分别为(0,3)，⎝⎛⎭⎪⎫332，32，故k AB ＝32－3332－0＝－33，故直线AB 的倾斜角为5π6.8．将向量OM →＝(－1，3)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为________． 答案 (－1，－3)解析 由于M (－1，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，绕极点(即原点)逆时针旋转120°得到的点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3，化为直角坐标为(－1，－3)．9．在极坐标系中，O 是极点，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3，则点O 到AB 所在直线的距离是________．答案125解析 点A ，B 的直角坐标分别为(23，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，则直线AB 的方程为y －2332－2＝x －23－32－23，即(4－33)x －(43＋3)y ＋24＝0，则点O 到直线AB 的距离为24(4－33)2＋[－(43＋3)]2＝125.10．在极轴上与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标为________． 答案 (1,0)或(7,0)解析 设M (r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)． 三、解答题11．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)解 (1)∵x ＝ρcos θ＝4cos 5π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－23， ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内，∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y <0，∴ρ＝15，θ＝3π2.∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 12．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，7π6.(1)求|AB |的值；(2)求△AOB 的面积(O 为极点)． 解 如图所示，(1)∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以|AB |2＝32＋(43)2－2×3×43cos 5π6＝93，所以|AB |＝93.(2)S △AOB ＝12OA ·OB sin∠AOB ＝12×3×43×12＝3 3.13．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.判断M ，N ，P 三点是否共线？说明理由．解 将极坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6分别化为直角坐标，得M (1，－3)，N (2,0)，P (3，3)．方法一 因为k MN ＝k PN ＝3，所以M ，N ，P 三点共线． 方法二 因为MN →＝NP →＝(1，3)，所以MN →∥NP →， 所以M ，N ，P 三点共线．四、探究与拓展14．已知点P 在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π 解析 ∵点P (x ，y )在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，y ＝－2，∴ρ＝x 2＋y 2＝2 2. 又tan θ＝y x ＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝54π. 因此，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，54π. 15．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，极点O ′在直角坐标系xOy 中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x 轴，极轴的方向与x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M 的直角坐标．解 如图所示．设M 在直角坐标系x ′O ′y ′中的坐标为(x ′，y ′)，则x ′＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ′＝ρsin θ＝4sin π6＝2， 又M 在原坐标系中的坐标为(x ，y )，则x ＝x ′＋2＝23＋2，y ＝y ′＋3＝5，∴点M 的直角坐标是(23＋2,5)．。
选修4-4数学全部教案 人教版
________，________；
(2) 经 过 ⊙ O1 ， ⊙ O2 交 点 的 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 是
________．
(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ.
二、极坐标和直角坐标的互化
1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的
正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如 图所示．
2．互化公式：设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角 坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与
直角坐标的互化公式如下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
|－6|
tan2α＋（－1）2＝3，解得
tan
α＝
3或 tan α＝
－ 3(舍去)．又 0≤α≤π2 ，所以α＝π3 .
π 3
§2 参 数 方 程
考点
考纲解读
1
普通方程与参数方 理解普通方程与参
程
数方程的概念
2
直线、圆和圆锥曲 线的参数方程，以 及普通方程与参数
方程的互化
理解直线、圆和圆 锥曲线的参数方 程，并能利用曲线 的参数方程解决弦 长和最值问题
程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程． 二、参数方程和普通方程的互化
1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，
一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
2．如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关
系 y＝g(t)，那么xy＝ ＝fg（ （tt） ），就是曲线的参数方程，在参 数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持
高中数学第一章坐标系四柱坐标系与球坐标系简介教学案新人教A版选修4-4(2021学年)
20１7-2018学年高中数学第一章坐标系四柱坐标系与球坐标系简介教学案新人教A版选修4－４编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2017-2０18学年高中数学第一章坐标系四柱坐标系与球坐标系简介教学案新人教A版选修４－4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为20１7-2018学年高中数学第一章坐标系四柱坐标系与球坐标系简介教学案新人教A版选修４-4的全部内容。
四柱坐标系与球坐标系简介错误!1．柱坐标系（1)定义:建立空间直角坐标系Oxyｚ。
设P是空间任意一点,它在Oｘy平面上的射影为Q,用(ρ,θ)（ρ≥0，0≤θ＜２π）表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点Ｐ的位置可用有序数组(ρ,θ,ｚ)(ｚ∈R)表示，这样,我们建立了空间的点与有序数组（ρ，θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记作P（ρ,θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜２π,z∈R。
(2）空间点Ｐ的直角坐标（x,ｙ，z)与柱坐标（ρ,θ，z）之间的变换公式为错误!２．球坐标系（1）定义：建立空间直角坐标系Oxｙz,设P是空间任意一点，连接OＰ,记|ＯP|＝r，ＯP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Ｏｘy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到ＯＱ时所转过的最小正角为θ。
这样点P的位置就可以用有序数组（r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组（r，φ，θ）之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系）,有序数组（r,φ,θ）叫做点Ｐ的球坐标,记作Ｐ(ｒ，φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π．(2)空间点Ｐ的直角坐标(ｘ,y，z）与球坐标(r,φ,θ）之间的变换关系为错误!错误!柱坐标与直角坐标的互相转化［例1］(1)设点A的直角坐标为(1,错误!,5)，求它的柱坐标.(２)已知点P的柱坐标为错误!，求它的直角坐标.［思路点拨］直接利用公式求解.[解］（1)由变换公式错误!即ρ2=１2+(3)2＝4,∴ρ＝２．tａn θ＝错误!=错误!，又ｘ＞0,y＞０,点Ａ在第一象限.∴θ=错误!，∴点A的柱坐标为错误!。
2012年金版新学案新编高三总复习选修4-4 第1课时
个方程， 个方程，得 2λx－µy＝ 4，与 x－2y＝ 2 比较系 － ＝ ， － ＝ 数得 λ＝1，µ＝ 4， ＝ ， ＝ ，
x′＝x， ′ ， 也就是说， 即 也就是说，直线 x－2y＝2 图象 － ＝ ′ ， y′＝ 4y，
上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的 上所有点的横坐标不变， 4 倍可得到直线 2x′－ y′＝4. ′ ′
选修4-4
坐标系与参数方程
栏目导引
4．柱坐标系与球坐标系 ． 设空间中一点M的直角坐标为 的直角坐标为(x， ， ， 点 设空间中一点 的直角坐标为 ，y，z)，M点 坐标面上的投影为M 点在xOy平面 在xOy坐标面上的投影为 0，M0点在 坐标面上的投影为 平面 上的极坐标为(ρ， ，则三个有序数ρ、 上的极坐标为 ，θ)，则三个有序数 、 θ、z构成的 数组 ，θ，z) 称为空间中点 的 构成的_____________称为空间中点 、 构成的 数组(ρ， ， 称为空间中点M的 柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z为 柱坐标．在柱坐标中，限定 ，为 任意实数．由此可见， 任意实数．由此可见，柱坐标就是平面上的 极坐标，加上与平面垂直的一个直角坐标． 极坐标，加上与平面垂直的一个直角坐标． 因此， 因此，由平面上极坐标和直角坐标的变换公 式容易得到： 式容易得到：
提示： 规定极点的极坐标是极径 ＝ ， 提示： 规定极点的极坐标是极径 ρ＝ 0， 极角可取任意角． 极角可取任意角．
选修4-4
坐标系与参数方程
栏目导引
3．极坐标与直角坐标的转化 ． 为平面上的一点，它的直角坐标为(x， ， 设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为 ，y)， 极坐标为(ρ， ．由图可知下面的关系式成立： 极坐标为 ，θ)．由图可知下面的关系式成立： x＝ρcos θ ＝ ，或 ＝ ρsin θ y＝_______
高中北师大版数学选修4-4教学案...
⾼中北师⼤版数学选修4-4教学案... 2019新版⾼中北师⼤版数学选修4-4教学案：第⼀章曲线的极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的互化圆锥曲线统⼀的极坐标⽅程[对应学⽣⽤书P12]曲线的极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合．②极坐标系中的极轴与直⾓坐标系中的x 轴的正半轴重合．③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式： x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，错误!(3)圆锥曲线统⼀的极坐标⽅程为：ρ＝.ρ＝1和ρ＝－1是同⼀个圆的极坐标⽅程，那么，该圆对应的直⾓坐标⽅程也有两个吗？提⽰：唯⼀的⼀个，x2＋y2＝1.[对应学⽣⽤书P13][例(1)x ＋y ＝0；(2)x2＋y2＋2ax ＝0(a≠0)；(3)(x －5)2＋y2＝25.[思路点拨] 本题考查极坐标与直⾓坐标互化公式的应⽤及转化与化归思想，解答此题，需要将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，及x2＋y2＝ρ2代⼊直⾓坐标⽅程，再化简即可．[精解详析] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊x＋y＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴cos θ＋sin θ＝0.∴sin θ＝－cos θ.∴tan θ＝－1.∴θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．综上所述，直线x＋y＝0的极坐标⽅程为θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊x2＋y2＋2ax＝0得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2acos θ)＝0.∴ρ＝－2acos θ.∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标⽅程为ρ＝－2acos θ.(3)(x－5)2＋y2＝25，即：x2＋y2－10x＝0.把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代⼊上式得：ρ2－10ρcos θ＝0.即ρ＝0或ρ＝10cos θ.∵极点ρ＝0在圆ρ＝10cos θ上，∴所求圆的极坐标⽅程为ρ＝10cos θ.将直⾓坐标⽅程化为极坐标⽅程，只需将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代⼊化简即可，但化简时要注意变形的等价性．1．把圆的直⾓坐标⽅程(x－a)2＋(y－b)2＝r2化为极坐标⽅程．解：把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊⽅程(x－a)2＋(y－b)2。
选修4-4第一讲
长垣一中学生课堂导学案提纲 编号：高二数学01 一轮复习（2013-4-13） 编制：靳国坤 审核：高二文数数学组椭圆复习学案（一）椭圆的定义和基本性质班级： 姓名： 小组： 评价： 【考纲要求】1.能够准确叙述出椭圆的定义，能够用符号语言描述椭圆的定义2.知道当椭圆中2a 与21F F 的大小关系改变时得到的轨迹方程是什么。
3.能够根据椭圆的标准方程，知道a,b 的大小关系，知道a,b,c 之间的关系及其几何意义4.能够根据椭圆的标准方程写出椭圆的焦点，焦距，长轴长，短轴长，离心率 【课堂六环节】 一、“导”------（2分钟） 二、“思”------（15分钟） 【知识梳理一】椭圆的定义椭圆定义：______________________________符号语言表示_____________________ 焦点＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿:焦距_________________________ 【知识梳理二】椭圆的标准方程与性质【牛刀小试】1.动点P 到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F 1F 2 C.直线F 1F 2 D.不能确定2.若5,62121==+F F MF MF ，则M 点轨迹是_________3.已知椭圆的方程为：1162522=+yx，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为__________焦距等于______;顶点坐标为_____________________长轴长_______,短轴长________,离心率为______, CD 为过左焦点F 1的弦，三角形F 2CD 的周长为________4.已知方程 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 .5.已知F 1、F 2为椭圆12222=+by ax (a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e=23 ，则椭圆的方程是__________________________6.已知椭圆的方程为22143xy+=，若点P 在第二象限，且12120P F F ∠=︒,求12P F F ∆的面积三、“议”------（8分钟） 四、“展”------（8分钟） 五、“评”------（8分钟） 六、“检”------（4分钟）。
人教版选修4-4全套教案
高中数学选修4-4全套教案第一讲坐标系一平面直角坐标系课题：1、平面直角坐标系教学目的：1•回忆在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法\2. 体会坐标系的作用3. 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系，解决数学问题教学过程：一、复习引入：情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按方案完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1:如何刻画一个几何图形的位置？问题2:如何创立坐标系？二、学生活动学生回忆刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对〔x,y〕确定3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对〔x,y,z〕确定三、讲解新课：1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例1选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
*变式训练如何通过它们到点0的距离以及它们相对于点0的方位来刻画，即用〞距离和方向确定点的位置？例2B村位于A村的正西方1公里处，原方案经过B村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m的方案需要修改吗？*变式训练1. 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,A、B两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程12. 在面积为1的PMN中，tan PMN ,tan MNP 2，建立适当的坐标系,2求以M , N为焦点并过点P的椭圆方程例3Q (a,b),分别按以下条件求出P的坐标(1)P是点Q关于点M (m,n)的对称点(2)P是点Q关于直线l:x-y+4=0的对称点(Q不在直线1 上)变式训练用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点思考通过平面变换可以把曲线(X 11- "卫1变为中心在原点的单位圆，请求出该复合9 4变换？四、稳固与练习五、小结：本节课学习了以下内容：1.如何建立直角坐标系；2. 建标法的根本步骤；3. 什么时候需要建标。
选修4-4极坐标与参数方程教学案1
4．1 坐标系基础知识1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。
）设M是平面上的任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以ρθ射线OX为始边，射线OM为终边所成的角。
那么有序数对(,)称为点M的极坐标。
其中ρ称为极径，θ称为极角。
说出下图中各点的极坐标A（）B（）C（）D（）E（）F（）G（）①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？③不同的极坐标是否可以写出统一表达式P7约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。
4．直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为ρθ，则（x，y）和(,)x=2ρ=y=tanθ=题型练习1．已知⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 2．点()3,1-P ，则它的极坐标是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫⎝⎛-34,2π 3．已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为 A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形4.已知△ABC 的三边a,b,c 满足2225b c a +=,BE,CF 分别为边AC,CF 上的中线，建立适当的平面直角坐标系，探究BE 与CF 的位置关系。
人教A版高中数学选修4-4第一讲1.1平面直角坐标系教案
⼈教A版⾼中数学选修4-4第⼀讲1.1平⾯直⾓坐标系教案平⾯直⾓坐标系本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作⽤，掌握坐标法的解题步骤，会运⽤坐标法解决实际问题与⼏何问题.⼀、温故⽽知新1．到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹⽅程.回顾：⼆、重点、难点都在这⾥【问题1】：某信息中⼼接到位于正东、正西、正北⽅向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到⼀声巨响，正东观测点听到巨响的时间⽐它们晚4s.已知各观测点到中⼼的距离都是1020m.试确定巨响发⽣的位置.（假定声⾳传播的速度为340m/s ，各观测点均在同⼀平⾯上.）练⼀练：3．相距1400m 的A 、B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s.已知声速为340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？4．有三个信号检测中⼼A 、B 、C ，A 位于B 的正东，相距6千⽶，C 在B 的北偏西300，相距4千⽶.在A 测得⼀信号，4秒后B 、C 同时测得同⼀信号.试求信号源P 相对于信号A 的位置（假设信号传播速度为1千⽶/秒）.课前⼩测典型问题【问题2】：已知⊿ABC 的三边c b a ,,满⾜2225a c b=+，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，建⽴适当的平⾯直⾓坐标系探究BE 与CF 的位置关系.三、懂了，不等于会了5．选择适当的坐标系，表⽰边长为1的正三⾓形的三个顶点的坐标.6．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平⽅和为26，求点M 的轨迹.7．求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标.8．求证：三⾓形的三条⾼线交于⼀点.四、试试你的⾝⼿呀9．已知A （-2，0），B （2，0），则以AB 为斜边的直⾓三⾓形的顶点C 的轨迹⽅程是 . 10．已知A （-3，0），B（3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94，则点M 的轨迹⽅程是 .11．已知B 村位于A 村的正西⽅向1公⾥处，原计划经过B 村沿着北偏东600的⽅向埋设⼀条地下管线m.但在A 村的西北⽅向400⽶处，发现⼀古代⽂物遗址W.根据初步勘察的结果，⽂物管理部门将遗址W 周围100⽶范围划为禁区.试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？技能训练变式训练五、你有什么收获？写下你的⼼得应该记住的内容：重点内容：个⼈⼼得：12．在体育场排练团体操，甲、⼄两名同学所在位置的坐标分别为（2，1）、（3，2），丙同学所在位置的坐标为),5(a .若这三名同学所位置是在⼀条直线上，则a 的值为．13．到两坐标轴距离相等的点的轨迹⽅程是．14．已知直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是．本课⼩结七、记下你的疑惑4.1.1—第⼀课【问题1】解：巨响在信息中⼼的西偏北450⽅向，距离m 10680处，．【问题2】解：BE 与CF 互相垂直，解答见课本第4页. 1．轨迹是线段AB 的垂直平分线，轨迹⽅程是x y -=；2．轨迹是双曲线的左⽀，轨迹⽅程是)3(116922-<=-x y x ；本课质疑3．爆炸点在以A 、B 为焦点的双曲线上，双曲线⽅程为122990026010022=-y x ；4．点P 位于点A 的北偏东300，相距10千⽶的位置；5．答案不唯⼀.对于图（1），)23,0(),0,21(),0,21(C B A -；对于图（2），)23,21(),0,1(),0,0(C B A ；6．点M 的轨迹是以这两个定点的中点为圆⼼，2为半径的圆； 7．)31,3(),2,21(--； 8．如图，以AB 所在直线为x 轴，边AB 上的⾼CD 所在直线为y 轴建⽴直⾓坐标系.设),0(),0,(),0,(c C b B a A -，则bck a c k BC AC -==,.∵AC BE BC AD ⊥⊥,，∴c a k c b k BEAD -==,，∴直线AD 、BE 的⽅程分别为)(),(b x cay a x c b y --=+=，联⽴解得0=x .所以AD 、BE 的交点H 在y 轴上.因此，三⾓形的三条⾼线交于⼀点；9．)0(422≠=+y y x；10．)0(14922≠=-y y x ； 11．如图，以A 为原点，正东⽅向和正北⽅向分别为x 轴和y 轴的正⽅向建⽴直⾓坐标系，则A （0，0），B （-1000，0），)2200,2200(-W .由于直线m 的⽅程是010003=+-y x ，于是点W 到直线m 的距离为100)625(100>--=d ，所以埋设地下管线m 的计划可以不修改；12．4； 13．0=-y x ；14．（4，2）.。
数学选修4-4教案
数学选修4-4教案教案标题：数学选修4-4教案课时数：1课时教学目标：1. 理解和掌握数列的概念及其性质。
2. 能够确定数列的通项公式。
3. 能够利用数列的通项公式计算数列中的任意项。
4. 能够解决与数列相关的实际问题。
教学重点：1. 数列的概念及其性质。
2. 数列的通项公式的确定。
3. 利用数列的通项公式计算数列中的任意项。
教学准备：1. 教材：数学选修4-4教材。
2. 教具：黑板、粉笔、计算器。
教学过程：步骤一：引入（5分钟）1. 教师简要介绍数列的概念，并与学生讨论数列在生活中的应用。
2. 引导学生思考：如何确定一个数列的通项公式？步骤二：概念讲解（10分钟）1. 教师详细讲解数列的定义，并给出一些例子进行说明。
2. 引导学生发现数列的性质，如公差、首项、末项等。
3. 讲解等差数列和等比数列的定义及其特点。
步骤三：通项公式的确定（15分钟）1. 教师通过具体的例子，引导学生发现数列的通项公式与数列的性质之间的关系。
2. 以等差数列为例，讲解如何通过已知条件确定数列的通项公式。
3. 以等比数列为例，讲解如何通过已知条件确定数列的通项公式。
步骤四：应用与拓展（20分钟）1. 教师给出一些实际问题，要求学生利用已学知识解决。
2. 学生分组进行讨论和解答，教师逐个指导和纠正。
3. 鼓励学生自主思考，拓展更复杂的数列问题。
步骤五：总结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调数列的重要性和应用价值。
2. 学生对本节课的学习进行反思，提出问题和困惑。
教学延伸：1. 学生可通过课后作业进一步巩固和拓展数列的相关知识。
2. 学生可自主查找更多数列的实际应用例子，并进行分析和讨论。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。
2. 教师布置课后作业，检查学生对数列概念和通项公式的掌握情况。
3. 教师根据学生的表现和作业情况，进行个别辅导和巩固。
教学反思：本节课通过引入、概念讲解、通项公式的确定、应用与拓展等环节，全面培养了学生对数列的理解和掌握能力。
人教A版2019年高中数学选修4-4教学案： 第一讲 第2节 极坐标系_含答案
[核心必知]1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)点的极坐标设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ； ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）Ｗ. [问题思考]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2n π)或(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(其中n ∈Z )．2．若ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点M (ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．若点M 的极坐标为(ρ，θ)，则M 点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．已知定点P ⎝⎛⎭⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．[精讲详析] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．(1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23， |OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 即|O ′P |＝2.∴|OP |2＝|OO ′|2＋|O ′P |2，∠OO ′P ＝π2.∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3.∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为(2，2π3)．(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝∴P 点的新坐标为(4，π2)．—————————————建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.1．边长为a 的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，求正六边形各顶点坐标．解：由点的极坐标的定义可知，正六边形各顶点的极坐标分别为：(0，0)、(a ，0)、(3a ，π6)、(2a ，π3)、(3a ，π2)、(a ，23π)或(0，0)、(a ，0)、(3a ，－π6)、(2a ，－π3)、(3a ，－π2)、(a ，－23π)．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． (1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π)[精讲详析] 本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可．(1)∵x ＝ρcos θ＝4·cos 5π3＝2. y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋（－2）2＝22， tan θ＝－22＝－1.且点B 位于第四象限内， ∴θ＝7π4.∴点B 的极坐标为(22，7π4)．又∵x ＝0，y ＜0，ρ＝15， ∴点C 的极坐标为(15，3π2)．(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；(2)将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．2．(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π) 解：(1)x ＝8cos 2π3＝－4， y ＝8sin2π3＝43， 因此，点M 的直角坐标是(－4，43)． (2)ρ＝（6）2＋（－2）2＝22， tan θ＝－26＝－33，又因为点在第四象限，得θ＝116π.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎫3，－π3，B ⎝⎛⎭⎫1，23π，求A 、B 两点之间的距离． [精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式．解答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标，然后利用两点间的距离公式求解．法一：由A (3，－π3)、B (1，2π3)在过极点O 的一条直线上，这时A 、B 两点的距离为|AB |＝3＋1＝4，所以，A 、B 两点间的距离为4.法二：∵ρ1＝3，ρ2＝1，θ1＝－π3，θ2＝2π3，由两点间的距离公式得|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）＝32＋12－2×3×1×cos （－π3－23π）＝10－6cos π ＝10＋6 ＝16 ＝4.法三：将A (3，－π3)，B (1，2π3)由极坐标化为直角坐标，对于A (3，－π3)有x ＝3cos (－π3)＝32，y ＝3sin(－π3)＝－332，∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)有x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin2π3＝32， ∴B (－12，32)．∴|AB |＝（32＋12）2＋（－332－32）2＝4＋12＝4. ∴AB 两点间的距离为4.对于这类问题的解决方法，可以直接用极坐标内两点间的距离公式d ＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）求得；也可以把A 、B 两点由极坐标化为直角坐标，利用直角坐标中两点间的距离公式d ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2求得；极坐标与直角坐标的互化体现了化归的解题思想；还可以考虑其对称性，根据对称性求得．3．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，54π，则求第三个顶点C 的坐标．解：由题设知，A 、B 两点关于极点O 对称，又|AB |＝4，由正三角形的性质知，|CO |＝23，∠AOC ＝π2，从而C 的极坐标为(23，34π)或(23，－π4)．极坐标与直角坐标的互化在高考模拟中经常出现．本考题将极坐标与直角坐标的互化同极坐标系中两点间的距离和简单的三角恒等变换相结合考查，是高考模拟命题的一个新亮点．[考题印证]已知极坐标系中，极点为O ，将点A (4，π6)绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查点的极坐标的求法以及直角坐标与极坐标的转化． [解析] 依题意，点B 的极坐标为(4，5π12)，∵cos 5π12＝cos (π4＋π6)＝cos π4cos π6－sin π4·sin π6＝22·32－22·12＝6－24， sin 5π12＝sin (π4＋π6)＝sin π4cos π6＋cos π4·sin π6＝22·32＋22·12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， y ＝ρsin θ＝6＋ 2.∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2)． [答案] (6－2，6＋2)一、选择题1．在极坐标系中，点M ⎝⎛⎭⎫－2，π6的位置，可按如下规则确定( )A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2解析：选B 当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点．2．在极坐标平面内，点M ⎝⎛⎭⎫π3，200π，N ⎝⎛⎭⎫－π3，201π，G ⎝⎛⎭⎫－π3，－200π，H ⎝⎛⎭⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( )A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H 解析：选A 由极坐标定义可知，M 、N 表示同一个点．3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点 (ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称． 4．已知极坐标平面内的点P ⎝⎛⎭⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )A.⎝⎛⎭⎫2，π3，(1，3)B.⎝⎛⎭⎫2，－π3，(1，－3)C.⎝⎛⎭⎫2，2π3，(－1，3)D.⎝⎛⎭⎫2，－2π3，(－1，－3)解析：选D 点P (2，－5π3)关于极点的对称点为(2，－5π3＋π)，即(2，－2π3)，且x ＝2cos (－2π3)＝－2cos π3＝－1，y ＝2sin (－2π3)＝－2sin π3＝－ 3.二、填空题5．限定ρ>0，0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )，依题意得ρ＝x ，θ＝y ， 即x 2＋y 2＝x 2. ∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M (ρ，0)． 答案：(ρ，0)6．已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.答案：(7，π3)或(1，4π3)7．直线l 过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， ∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12.所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π48．已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为________．解析：∵tan θ＝－43，π2<θ<π，∴cos θ＝－35，sin θ＝45.∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4. ∴点M 的直角坐标为(－3，4)． 答案：(－3，4) 三、解答题9．设点A ⎝⎛⎭⎫1，π3，直线L 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线L ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)解：如图所示：关于极轴的对称点为 B (1，－π3)关于直线L 的对称点为C (1，2π3)．关于极点O 的对称点为D (1，－2π3)．10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0，0≤θ≤2π时，求点P 的极坐标．解：设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x －3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.∴点P 的直角坐标为(3，－3)．ρ＝32＋（－3）2＝23，tan θ＝－33，∵0≤θ<2π，点P 在第四象限， ∴θ＝11π6.∴点P 的极坐标为(23，11π6)． 11．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r ，0)，因为A (42，π4)， 所以 （42）2＋r 2－82r ·cos π4＝5. 即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1，0)或(7，0)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012—2013学年下学期高二文数学案第4周第一节平面直角坐标系学习目标：1.理解平面直角坐标系的定义，并会建立恰当的坐标系2.掌握坐标法解决几何问题的步骤并能灵活应用3.掌握平面直角坐标系中的伸缩变换公式并能灵活运用学习重点：理解平面直角坐标系中的伸缩变换学习难点：能够建立适当的坐标系解决数学问题学习过程：一、知识要点1．平面直角坐标系（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与（有序实数对）、曲线与建立联系，从而实现的结合．（2）坐标法：根据集合对象的，选择适当的坐标系，建立它的，通过研究它的及与其他集合图形的。
（3）坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的元素，将几何问题转化为问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换（1）平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为伸缩变换，这就是用研究变换．（2）设点(,)P x y是平面直角坐标系中的任意一点，在变换ϕ：的作用下，点(,)''',称ϕ为平面直角坐标系中P x yP x y对应到点(,)的，简称变换二、例题展示【探究一】运用坐标法解决问题例1、声响定位问题某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。
（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上）解决此类应用题的关键：1、建立平面直角坐标系2、设点（点与坐标的对应）3、列式（方程与坐标的对应）4、化简5、说明建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
变式1：已知点A 为定点，线段B C 在定直线l 上滑动，已知4BC =,点A 到直线l 的距离为3，求A B C ∆的外心的轨迹方程。
例2、已知△ABC 的三边a,b,c 满足b 2+c 2=5a 2,BE,CF 分别为边AC,CF 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系。
【探究二】平面直角坐标系中的伸缩变换23x x y y'=⎧⎨'=⎩例3、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。
(1) 2x+3y=0; (2) x 2+y 2=1变式3：在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换1312x x y y⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩后的图形（1）22194xy+= （2）2211812xy-= （3）22y x =三、练习与巩固1、若点(2011,2012)P -在伸缩变换1201212011x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩后所得的点在曲线k y x '='上，则（ ）A 、 1B 、-1C 、2012D 、-20122、在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换： 曲线224936x y +=变为曲线221x y ''+=3、在同一直角坐标系下经过伸缩变换3x xy y'=⎧⎨'=⎩后，曲线C 变为2299x y ''-= ，求曲线C 的方程并画出图形。
【思考】在伸缩变换下，直线、椭圆、双曲线、抛物线可能变为什么图形？ 四、小结1.利用坐标系解决问题的方法和步骤是：2.伸缩变换公式为：3.伸缩变换有三种题型：①已知伸缩变换求曲线方程；②探求伸缩变换；③利用伸缩变换求参数2012—2013学年下学期高二文数学案第4周第二节 极坐标系（第1课时）编写人：丁淑红 审核人：文数数学组 2013.03.11学习目标：1． 认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；2． 体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。
学习重点：理解并能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标互化。
学习难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。
学习过程：认真阅读教材P8—10，结合实例，理解极坐标的建立、点与极坐标的对应；结合任意角的三角函数的定义，理解极坐标和直角坐标间的互化。
一、 极坐标系的概念1．极坐标系：在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O 引一条射线Ox,叫做极轴; 再选定一个 ，一个 (通常用弧度)及其正方 向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.2．极坐标：如图：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ；有序实数对( ,ρθ)叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ； 注：一般地,不做特殊说明时,我们认为0,ρθ≥∈R特别的，当点M 在极点时，它的极坐标为 ，θ可以取 。
例1.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点D(2，6π) ，E(4，34π) ， F(3.5，53π)所在的位置。
例2．在右图中，点A ，B ，C ，D ，E 分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置。
建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标。
思考1:在极坐标系中，（4，6π），（4，26ππ+），（4，46ππ+），（4，26ππ-）表示的点有什么关系？你能体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？思考2：如果规定0ρ>，02θπ≤<，那么平面内的点与极坐标极是一一对应的吗？6极坐标系与直角坐标系的区别二、极坐标与平面直角坐标的互化1引入：为实现转换，要把两个坐标系放在同一个平面中，应当如何建立这两个坐标系呢？2极坐标与平面直角坐标的互化：1）互化前提： 与 重合， 与 重合；取 的单位长度2）互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ那么两者之间的关系：cos ,sin x y ρθρθ==--------（1） 坐标化为坐标222,tan (0)y x y x xρθ=+=≠-----（2）坐标化为 坐标你能联想到过去所学的哪个知识？ . 3例题：例3.将点M 的极坐标（5，23π）化成直角坐标。
例4.将点M 的直角坐标（-1）化成极坐标。
六、达标训练1．已知点的极坐标分别为)4,3(π-A ，)32,2(πB ，),23(πC ，求它们的直角坐标。
2.已知点的直角坐标分别为)32,2(),35,0(),3,3(---C B A ，)3,1(-，求它们的极坐标。
3．极坐标系中，点A 的极坐标是)6,3(π，则 （1）点A 关于极轴对称的点是_______.(2) 点A 关于极点对称的点的极坐标是___. (3) 点A 关于直线2πθ=的对称点的极坐标是________.(规定:)0(>ρ[)πθ2,0∈4．在极坐标中，若等边∆ABC 的两个顶点是)4,2(πA 、)45,2(πB ，那么顶点C 的坐标可能是（ ）)43,4.(πA)43,32(πB),32.(πC),3.(πD5已知两点的极坐标)6,3(),2,3(ππB A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________. 七、课堂小结1． 极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。
规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。
2． 平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。
3． 极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。
4． 如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5． 极坐标与直角坐标的互化（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。
（2） 互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。
八、课后反思:。