计算几何算法概览叉积
计算几何
思考如下图形：
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先看最简单的多边形——三角形
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三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
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思考：此方法的缺点：
计算量大 精度损失
更好的方法？
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计算几何题的特点与做题要领
1.大部分不会很难，少部分题目思路很巧妙 2.做计算几何题目，模板很重要，模板必须高度可靠
。 3.要注意代码的组织，因为计算几何的题目很容易上
两百行代码，里面大部分是模板。如果代码一片混乱 ，那么会严重影响做题正确率。 4.注意精度控制。 5.能用整数的地方尽量用整数，要想到扩大数据的方 法（扩大一倍，或扩大sqrt2）。因为整数不用考虑浮 点误差，而且运算比浮点快。
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形。
P3 P4
P2
P0
P1
P5 P6
设你种了很多树，想用一个篱笆把所有的
树都包在里面。出于经济考虑，这个篱笆应该是越 小越好。
平面向量的数量积和叉积的计算示例
平面向量的数量积和叉积的计算示例平面向量是指在同一平面上具有大小和方向的箭头。
在平面向量的运算中，数量积和叉积是两个重要的运算。
数量积也称为点积或者内积，用来计算向量之间的夹角和判断向量之间的垂直关系；叉积也称为向量积或者外积，用来计算两个向量构成的平行四边形的面积和确定法向量。
一、数量积的计算示例数量积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ其中A·B表示A和B的数量积，|A|和|B|表示向量A和向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
下面通过一个实例来演示数量积的计算。
例1：已知向量A = (3, 4)和向量B = (5, -2)，求A·B的结果。
解：由数量积的计算公式可知，A·B = 3×5 + 4×(-2) = 15 - 8 = 7因此，向量A和向量B的数量积A·B的结果为7。
二、叉积的计算示例叉积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn其中A×B表示A和B的叉积，|A|和|B|表示向量A和向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角，n表示垂直于A和B所在平面的单位向量。
下面通过一个实例来演示叉积的计算。
例2：已知向量A = (2, 3)和向量B = (-4, 1)，求A×B的结果。
解：由叉积的计算公式可知，A×B = (2×1 - (-4)×3)n = (2 + 12)n = 14n因此，向量A和向量B的叉积A×B的结果为14n。
综上所述，数量积和叉积是平面向量运算中常用的两种运算。
通过计算示例的演示，我们可以更加清晰地理解和掌握这两种运算的计算方法和应用场景。
在实际问题中，数量积和叉积的运算可以帮助我们解决各种几何和物理上的计算，并且它们的计算方法也可以推广到更高维的向量运算中。
高中数学向量叉积与平面面积解题方法
高中数学向量叉积与平面面积解题方法高中数学中，向量叉积与平面面积是一个重要的考点，也是解题中经常遇到的难点。
在这篇文章中，我们将重点介绍向量叉积与平面面积的解题方法，并通过具体的题目进行分析和说明，帮助读者更好地理解和掌握这个知识点。
一、向量叉积的概念与性质向量叉积是向量的一种运算，用符号"×"表示。
对于两个向量a和b，它们的叉积定义为一个新的向量c，满足以下性质：1. 叉积的方向垂直于原来的两个向量，符合右手定则；2. 叉积的模长等于原来两个向量的模长乘积与夹角的正弦值；3. 叉积满足反交换律，即a×b = -b×a。
了解了向量叉积的概念和性质后，我们来看一个具体的例子：例题1：已知向量a = 2i + 3j + 4k，向量b = i - 2j + 3k，求向量a与向量b的叉积。
解析：根据向量叉积的定义，我们可以通过计算向量a和向量b的坐标分量来求解。
叉积的结果是一个新的向量，其坐标分量可以通过行列式的形式表示：| i j k || 2 3 4 || 1 -2 3 |通过计算这个行列式，我们可以得到叉积向量c的坐标分量为：c = 10i + 2j - 7k。
二、平面面积与向量叉积的关系在解决一些平面几何问题时，我们经常需要计算平面的面积。
而向量叉积与平面面积之间存在着紧密的联系。
对于平面上的两个向量a和b，它们的叉积c的模长等于平行四边形的面积，即S = |a×b|。
当a和b不共线时，叉积的结果是一个与a和b所在平面垂直的向量，其模长等于平行四边形的面积。
当a和b共线时，叉积的结果为零向量，表示两个向量所在平面没有面积。
例题2：已知平面上有三个点A(1, 2, 3)，B(2, -1, 1)，C(-1, 3, 2)，求△ABC的面积。
解析：首先，我们可以通过向量AB和向量AC来求解△ABC的面积。
根据向量叉积与平面面积的关系，△ABC的面积等于向量AB和向量AC的叉积的模长。
平面向量的叉积与应用知识点总结
平面向量的叉积与应用知识点总结平面向量的叉积是向量运算中的一种重要概念，在数学和物理中都有广泛的应用。
它能够帮助我们解决一些复杂的几何问题，并且在向量分析和矢量力学等领域中有着重要的地位。
本文将对平面向量的叉积及其应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、平面向量的叉积的定义平面向量的叉积是指两个二维向量的运算结果，其定义如下：设向量a = (a1, a2)和向量b = (b1, b2)，则向量a与向量b的叉积a×b的计算公式为：a×b = a1b2 - a2b1二、平面向量的叉积的性质1. 叉积是一个向量，方向垂直于平面且符合右手定则。
2. 叉积的模长等于两向量构成的平行四边形的面积。
3. 如果两个向量平行或其中一个向量为零向量，则它们的叉积为零向量。
4. 叉积满足分配律和反交换律，即a×(b+c) = a×b + a×c，(a+b)×c = a×c + b×c。
三、平面向量的叉积的运算规律1. 叉积的运算满足交换律，即a×b = -b×a。
2. 叉积的运算满足分配律，即(a+b)×c = a×c + b×c，a×(b+c) = a×b + a×c。
3. 叉积的运算满足结合律的一种形式，即a×(kb) = k(a×b)，其中k 为常数。
四、应用知识点一：平面向量的垂直与平行判定通过平面向量的叉积可以判断两个向量是否垂直或平行。
具体判定方法如下：1. 两个向量a和b垂直的充要条件是a×b = 0。
2. 两个向量a和b平行的充要条件是a×b = 0或a//b（即a与b成比例）。
五、应用知识点二：平面向量的面积计算通过平面向量的叉积可以计算平行四边形的面积，具体计算方法如下：设有平行四边形ABCD，其中向量AC和向量BD为对角线向量，对角线向量的叉积AC×BD的模长即为平行四边形的面积。
向量叉积的运算公式
向量叉积的运算公式摘要：1.向量叉积的定义和作用2.向量叉积的运算公式3.向量叉积的计算方法4.向量叉积在实际应用中的例子5.总结：向量叉积的重要性及其在数学和物理领域的应用正文：向量叉积是向量空间中的一个重要概念，它用于描述两个向量之间的空间关系。
在数学和物理领域，向量叉积被广泛应用于计算各种几何量和解决实际问题。
一、向量叉积的定义和作用向量叉积（又称向量积），是指两个向量之间的的一种组合。
对于二维空间中的向量A=(a, b)和向量B=(c, d)，它们的向量叉积定义为：A ×B = (ad - bc, ac -bd)向量叉积在实际应用中具有以下作用：1.计算两个向量之间的夹角：向量叉积与零向量的数量积等于两个向量的模的乘积与夹角的余弦值的乘积，可以通过此关系求得夹角。
2.计算平行四边形的面积：平行四边形的两个相邻向量的向量叉积等于平行四边形的面积向量。
3.计算力矩：在三维空间中，一个物体受到的力矩等于力向量与物体转轴向量的向量叉积。
二、向量叉积的运算公式对于三维空间中的两个向量A=(a, b, c)和向量B=(d, e, f)，它们的向量叉积为：A ×B = (bf - ce, cd - af, ad - bf)三、向量叉积的计算方法1.手工计算：利用向量叉积的定义，按照运算公式进行计算。
2.利用数学工具：利用计算机编程或数学软件，如MATLAB、Python 等，编写相关算法进行计算。
四、向量叉积在实际应用中的例子1.计算两个向量的夹角：在机器人导航领域，利用向量叉积计算机器人末端执行器与目标位置之间的夹角，以确定机器人运动方向。
2.计算平行四边形面积：在建筑设计中，通过计算建筑平面图中的向量叉积，求得建筑物的面积。
3.计算力矩：在机械工程中，利用向量叉积计算轴承的力矩，以分析轴承的受力情况。
五、总结向量叉积是向量空间中的重要运算，它不仅在数学领域具有理论价值，而且在实际应用中具有广泛的意义。
叉积的运算公式
叉积的运算公式叉积是向量运算中的一种重要运算，它在物理、几何、力学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍叉积的运算公式，以及其在几何和物理中的应用。
一、叉积的定义在三维空间中，给定两个向量a和b，它们的叉积表示为a×b，读作“a叉乘b”。
叉积的结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的正弦值，方向垂直于a和b所在的平面，并符合右手法则。
二、叉积的运算公式叉积的运算公式如下：a×b = |a| |b| sinθ n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位向量。
三、叉积的性质叉积具有以下性质：1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 结合律：(ka)×b = k(a×b)4. 零向量：a×0 = 0四、叉积的几何意义叉积在几何中具有重要的意义。
首先，叉积的大小等于以a和b为邻边所构成的平行四边形的面积。
其次，叉积的方向垂直于a和b 所在的平面，并符合右手法则，即握住右手，让拇指指向a的方向，食指指向b的方向，中指的方向即为叉积的方向。
五、叉积的物理应用叉积在物理中也有广泛的应用。
例如，叉积可以用来计算力矩。
力矩是指力对物体产生旋转的效果，它的大小等于力的大小与力臂（力作用线到旋转轴的垂直距离）的乘积，方向垂直于力和力臂所在的平面，并符合右手法则。
力矩可以通过叉积的运算公式来计算。
叉积还可以用来计算磁场的力。
根据洛伦兹力公式，一个带电粒子在磁场中受到的力等于带电粒子的电荷、速度以及磁场的叉积。
这个公式被广泛应用于磁场中的电磁感应、电磁波传播等现象的研究中。
除此之外，叉积还可以用来计算电流在磁场中的力和扭矩、旋转运动中的角动量等。
总结：本文介绍了叉积的运算公式以及其在几何和物理中的应用。
向量的叉积与几何应用解析
向量的叉积与几何应用解析向量是数学中一种常用的工具，广泛应用于几何、物理学等领域。
向量的叉积是一种特殊的运算方式，它通过两个向量的乘积来得到一个新的向量。
本文将深入探讨向量的叉积及其在几何学中的应用。
一、向量的叉积概述向量的叉积，也称为向量积或矢量积，是指在三维空间中，通过两个向量所构成的平行四边形的面积所得到的新向量。
向量的叉积有以下特点：1. 叉积的结果是一个向量，其方向垂直于原有两个向量所在的平面；2. 叉积的大小等于两个向量所构成的平行四边形的面积；3. 叉积满足右手定则，即叉积的方向由右手法则确定。
向量的叉积可以用向量符号表示，如A叉B，也可以用行列式表示，如(A,B)。
二、向量的叉积公式根据定义，向量的叉积可以用行列式来表示。
设两个向量A和B分别为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，则向量A与B的叉积C可以通过以下公式计算：C = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)三、向量的叉积应用1. 计算平行四边形或三角形的面积由于向量的叉积的大小等于两个向量所构成的平行四边形的面积，因此可以利用向量的叉积来计算平行四边形或三角形的面积。
设平行四边形的两条边分别为向量A和B，则平行四边形的面积等于向量A 与B的叉积的大小。
2. 判断向量的垂直性根据叉积的定义，两个向量的叉积所得到的新向量垂直于原有两个向量所在的平面。
因此，可以通过计算向量的叉积来判断两个向量是否垂直。
3. 计算点到直线的距离假设有一条直线L和一个点P，可以通过向量的叉积来计算点P到直线L的距离。
首先，找到直线L上的两个不同的点A和B，再构建两个向量AB和AP，其中向量AB是直线L上的一个方向向量，向量AP是从点A到点P的向量。
然后，计算向量AB和向量AP的叉积的大小，再除以向量AB的模长，即可得到点P到直线L的距离。
4. 判断线段相交通过向量的叉积，还可以判断两个线段是否相交。
计算几何
思考如下图形： 思考如下图形：
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先看最简单的多边形——三角形 三角形 先看最简单的多边形
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三角形的面积： 三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得： 点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
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思考：此方法的缺点： 思考：此方法的缺点：
计算量大 精度损失 更好的方法？
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计算几何的方法： 计算几何的方法：
在计算几何里，我们知道，△ABC的面积就是“向量AB”和“向量 AC”两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在 右手系还是左手系。
B
C
C
B
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A ABC成右手系，正面积 13
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点-线距离 线距离
找出一个点和一条线间的距离是经常遇见的几何问题之一。假设 给出三个点，A，B和C，你想找出点C到点A、B定出的直线间距 离。第一步是找出A到B的向量AB和A到C的向量AC，现在我们用 该两向量的叉积除以|AB|，这就是我们要找的的距离了（下图中 的红线）。 d = (AB x AC)/|AB|
向量的数量积与叉积的几何意义和向量积的应用
向量的数量积与叉积的几何意义和向量积的应用向量是数学中的重要概念，它可以用来表示物体在空间中的方向和大小。
在向量的运算中，数量积和叉积是两个重要的运算符号。
它们分别具有不同的几何意义和应用。
首先，我们来讨论向量的数量积。
数量积又称为点积或内积，它是两个向量的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积。
数量积的几何意义是两个向量在同一方向上的投影的乘积。
具体来说，设向量A和向量B的数量积为A·B，它的计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角。
数量积的几何意义可以通过几何图形来理解。
假设有两个向量A和B，它们的数量积为正值时，表示两个向量的夹角小于90度，它们的方向相近；当数量积为负值时，表示两个向量的夹角大于90度，它们的方向相反；当数量积为零时，表示两个向量垂直，它们的方向互相垂直。
这种几何意义可以应用于求解两个向量之间的夹角、判断向量的正交性等问题。
接下来，我们来讨论向量的叉积。
叉积又称为向量积或外积，它是两个向量的乘积与两个向量夹角的正弦值的乘积。
叉积的几何意义是两个向量所确定的平行四边形的面积的大小和方向。
具体来说，设向量A和向量B的叉积为A×B，它的计算公式为A×B=|A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示两个向量所确定平行四边形的法向量。
叉积的几何意义可以通过几何图形来理解。
假设有两个向量A和B，它们的叉积的模长表示两个向量所确定平行四边形的面积，方向则由右手定则确定。
具体来说，将右手的四指指向向量A的方向，然后将四指旋转到向量B的方向，大拇指的方向就是叉积的方向。
这种几何意义可以应用于求解平行四边形的面积、判断向量的平行性等问题。
除了几何意义之外，向量的叉积还有一些重要的应用。
首先，叉积可以用来求解平面的法向量。
设平面上有两个非零向量A和B，它们的叉积A×B就是平面的法向量。
计算几何算法简介(理论指导)
计算几何算法简介算法1矢量的概念：如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(dire cted segment)。
如果有向线段p1p2的起点pl在坐标原点，我们可以把它称为矢量(vector)p2。
矢量加减法：设二维矢量P = ( xl, yl )，Q = ( x2 , y2 )，则矢量加法定义为：P + Q = ( xl + x 2 , y1 + y2 )，同样的，矢量减法定义为：P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )。
显然有性质 P + Q = Q + P，P - Q = - ( Q - P )。
矢量叉积：计算矢量叉积是与直线和线段相关算法的核心部分。
设矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x 2, y2 )，则矢量叉积定义为由(0,0)、p1、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号的面积，即：P X Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个标量。
显然有性质P X Q = - ( Q X P )和P X ( - Q ) = - ( P X Q )。
一般在不加说明的情况下，本文下述算法中所有的点都看作矢量，两点的加减法就是矢量相加减，而点的乘法则看作矢量叉积。
叉积的一个非常重要性质是可以通过它的符号判断两矢量相互之间的顺逆时针关系：若P X Q > 0 ,则P在Q的顺时针方向。
若P X Q < 0 ,则P在Q的逆时针方向。
若P X Q = 0 ,则P与Q共线，但可能同向也可能反向。
折线段的拐向判断：折线段的拐向判断方法可以直接由矢量叉积的性质推出。
对于有公共端点的线段P0P1 和p1p2，通过计算(p2 - p0) X (p1 - p0)的符号便可以确定折线段的拐向：若(p2 - p0) X (p1 - p0) > 0,则p0p1在p1点拐向右侧后得到p1p2。
若(p2 - p0) X (p1 - p0) < 0,则p0p1在p1点拐向左侧后得到p1p2。
两矢量的叉积运算
两矢量的叉积运算
矢量的叉积运算，也被称为向量积，是指用来求得两个矢量叉乘积的一种运算方法。
对于两个三维矢量u和v，它们的叉积结果是另一个三维矢量w。
这个结果的大小等于u和v组成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。
具体地说，对于给定的两个矢量u和v，它们的叉积积可以用下式计算：
u × v = |u|·|v|·sinθ·n
其中，|u|和|v|分别代表u和v的大小，θ为u和v夹角的大小，n为一个垂直u 和v所在平面的单位矢量，其方向可以通过右手定则（或左手定则）确定。
需要注意的是，当θ=0或θ=180度时，u和v的叉积积为0。
叉积积的方向可以通过右手定则（或左手定则）来确定。
右手定则是指，将右手的拇指、食指和中指分别指向u、v和叉积积w的方向，并保持食指与中指成90度，此时拇指所指的方向即为w的方向。
左手定则与右手定则类似，区别在于食指和中指的方向相反，拇指所指的方向也相反。
除了计算几何和物理学中的应用外，矢量叉积还可以用来表示双线性函数和欧拉旋转等重要的数学概念。
计算几何讲义——叉积
计算⼏何讲义——叉积这篇⽂章将介绍计算⼏何中⼀个基础⽽重要的⼯具——叉积。
在这之前，我们先要解决⼀些基本问题。
点、线段的代码表⽰结合结构体或者类的知识，这⾥其实很好理解，但是在具体的编码过程中怎么写，这个根据个⼈有很⼤的灵活性。
⽐如对于点，就可以⽤如下的语句表达：struct point{double x , y;}对于线段，可以⽤如下的语句表达：struct line{point a , b ;}其实在这⾥⽆论是lrj的《训练指南》还是具宗万的《算法问题实战策略》都会提到，在实际问题中我们⽤向量作为数据结构其实更加⽅便，这句话是⼀句总结性的话语，需要编程者随着阅历的增长才会有深刻的体会。
对于向量，有如下的表述语句：struct vector{double x , y ;}叉积概念的引⼊在平⾯中我们为了度量⼀条直线的倾斜状态，为引⼊倾斜⾓这个概念。
⽽通过在直⾓坐标系中建⽴tan α = k，我们实现了将⼏何关系和代数关系的衔接，这其实也是⽤计算机解决⼏何问题的⼀个核⼼，计算机做的是数值运算，因此你需要做的就是把⼏何关系⽤代数关系表达出来。
⽽在空间中，为了表⽰⼀个平⾯相对空间直⾓坐标系的倾斜程度，我们利⽤⼀个垂直该平⾯的法向量来度量(因为这转化成了描述直线倾斜程度的问题)。
叉积的定义：注意这⾥的θ是根据右⼿法则和叉乘的顺序确定的，是具有⼀定的⽅向性，这种定义直接导致了叉乘在计算⼏何问题上的⼴泛应⽤。
通过这个定义式，我们马上能够很容易的得到如下的运算规律。
显然这个定义式我们不怎么喜欢，因为它代数化程度还是太浅，主要就是由于⾓的正弦值我们不好找，但是这丝毫不影响这个定义式在应⽤当中的重要性，下⾯我们需要解决的问题就是，找到⼀个等价的代数化程度更⾼的定义式。
叉积的⾏列式公式(以⼆维为例)：其实在这⾥我们就能够看到，如果说是⽤赋予⽅向性的线段(line)做向量进⾏叉乘，那么根据定义，我们编写的cross函数中将会出现8个变量(感兴趣的同学完全可以实现⼀下这个过程看看有多⿇烦)，这对编程者来说太过繁琐，因此我们提倡将平⾯⼏何中的线段⽤向量vector的形式表⽰出来。
利用向量叉乘解决几何三角形面积问题
利用向量叉乘解决几何三角形面积问题在几何学中，求解三角形面积是一个非常基本且重要的问题。
传统的方法通常需要计算底边和高，或使用海伦公式等等。
然而，利用向量叉乘可以提供一种简单而又直观的方法来解决这个问题。
本文将介绍如何利用向量叉乘来计算几何三角形的面积。
首先，我们需要明确什么是向量叉乘。
向量叉乘也被称为向量叉积或矢量积，用符号"×"表示。
对于给定的两个向量A和B，它们的叉乘结果将得到一个新的向量C。
向量C的大小等于A和B所构成的平行四边形的面积，方向垂直于A和B所在的平面。
接下来，让我们考虑一个三角形ABC，其中点A、B、C的坐标分别为(Ax, Ay)、(Bx, By)和(Cx, Cy)。
我们可以通过向量AB和向量AC来构建一个平行四边形，而该平行四边形的面积就是我们要求解的三角形ABC的面积。
为了求解平行四边形的面积，我们可以利用向量叉乘的性质。
首先，我们可以根据点的坐标计算向量AB和向量AC：AB = (Bx - Ax, By - Ay)AC = (Cx - Ax, Cy - Ay)然后，我们可以通过计算向量AB和向量AC的叉乘来得到平行四边形所在平面上的法向量N：N = AB × AC这里的"×"表示向量叉乘运算。
得到法向量N后，我们可以计算平行四边形的面积S，即三角形ABC的面积的两倍：S = |N|/2这里的"|"表示向量的模或大小。
通过上述步骤，我们可以使用向量叉乘的方法简单而又高效地求解几何三角形的面积。
下面我们通过一个例子来进一步说明。
假设我们有一个三角形ABC，其中A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)。
我们可以按照上述步骤计算出向量AB和向量AC：AB = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)AC = (5 - 1, 6 - 2) = (4, 4)然后，我们可以计算叉乘得到法向量N：N = (2, 2) × (4, 4) = (0, 0, 4)由于法向量N的大小为4，所以三角形ABC的面积为S = 4/2 = 2。
点积和叉积——精选推荐
点积和叉积点积：指数量积（也称为标量积、点积、点乘或内积）是接受在实数 R 上的两个向量并返回⼀个实数值标量的⼆元运算。
它是欧⼏⾥得空间的标准内积。
叉积：也被称为⽮量积、外积，是⼀种在向量空间中向量的⼆元运算。
与点积不同，它的运算结果是⼀个伪向量⽽不是⼀个标量。
并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。
--------------------定义：点积：两个(来⾃正交规范向量空间)向量 a = [a1, a2, … , a n] 和 b = [b1, b2, … , b n] 的点积定义为:这⾥的Σ指⽰总和符号。
例如，两个三维向量 [1, 3, ?5] 和 [4, ?2, ?1] 的点积是使⽤矩阵乘法并把(纵列)向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为:这⾥的 a T指⽰矩阵 a 的转置。
使⽤上⾯的例⼦，这将结果⼀个 1×3 矩阵(就是⾏向量)乘以 3×1 向量(通过矩阵乘法的优势得到 1×1 矩阵也就是标量):叉积：两个向量 a 和 b 的叉积写作 a × b （有时也被写成 a ∧ b，避免和字母 x 混淆）。
叉积可以被定义为：在这⾥θ表⽰ a 和 b 之间的⾓度（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个⽮量所定义的平⾯上。
⽽ n 是⼀个与 a 和 b 均垂直的单位⽮量。
这个定义有⼀个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于 a 和 b：若 n 满⾜垂直的条件，那么 -n 也满⾜。
“正确”的向量由向量空间的⽅向确定，即按照给定直⾓坐标系 (i, j, k) 的左右⼿定则。
若 (i, j, k) 满⾜右⼿定则，则 (a, b, a × b) 也满⾜右⼿定则；或者两者同时满⾜左⼿定则。
⼀个简单的确定满⾜“右⼿定则”的结果向量的⽅向的⽅法是这样的：若坐标系是满⾜右⼿定则的，当右⼿的四指从a 以不超过180度的转⾓转向b时，竖起的⼤拇指指向是c的⽅向。
计算几何常用算法
计算几何常用算法作者：未知文章来源：Sohu博客点击数：8785 更新时间：2008-4-18一、引言计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。
作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。
在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。
在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。
二、目录本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容：矢量的概念矢量加减法矢量叉积折线段的拐向判断判断点是否在线段上判断两线段是否相交判断线段和直线是否相交判断矩形是否包含点判断线段、折线、多边形是否在矩形中判断矩形是否在矩形中判断圆是否在矩形中判断点是否在多边形中判断线段是否在多边形内判断折线是否在多边形内判断多边形是否在多边形内判断矩形是否在多边形内判断圆是否在多边形内判断点是否在圆内判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内判断圆是否在圆内计算点到线段的最近点计算点到折线、矩形、多边形的最近点计算点到圆的最近距离及交点坐标计算两条共线的线段的交点计算线段或直线与线段的交点求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点求线段或直线与圆的交点凸包的概念凸包的求法三、算法介绍矢量的概念：如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。
如果有向线段p1p2的起点p1在坐标原点，我们可以把它称为矢量(vector)p2。
矢量加减法：设二维矢量P = ( x1,y1 ) ，Q = ( x2 , y2 ) ，则矢量加法定义为：P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，同样的，矢量减法定义为：P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )。
向量叉积的运算公式
向量叉积的运算公式【最新版】目录1.引言2.向量叉积的定义3.向量叉积的运算公式4.向量叉积的性质与应用5.结论正文1.引言向量叉积是一种在三维空间中的向量运算，它可以帮助我们更好地理解和描述空间中的物体和运动。
在许多科学和工程领域中，向量叉积都有着广泛的应用。
本篇文章将介绍向量叉积的运算公式，并探讨其在实际应用中的重要性。
2.向量叉积的定义向量叉积，又称向量积，是一种用于计算两个三维向量之间的乘积的数学运算。
给定两个三维向量 A 和 B，它们的向量叉积结果是一个新的向量，记作 A×B。
叉积结果的方向垂直于向量 A 和向量 B 所在的平面，大小等于两个向量长度的乘积与它们之间的夹角的正弦值的乘积。
3.向量叉积的运算公式向量叉积的运算公式如下：A ×B = |A| × |B| × sinθ× (A × B - A × B)其中，|A|和|B|分别表示向量 A 和向量 B 的长度，θ表示向量 A 和向量 B 之间的夹角，A、A、B和 B分别表示向量 A 和向量 B 在 x、y、z 轴上的分量。
4.向量叉积的性质与应用向量叉积具有一些重要的性质，如：（1）结合律：对于任意向量 A、B 和 C，有 (A × B) × C = A ×(B × C)。
（2）分配律：对于任意向量 A、B 和 C，有 A × (B + C) = A ×B + A × C。
（3）恒正性：向量叉积的结果总是垂直于叉积的两个向量，并具有正值。
向量叉积在物理学、工程学、计算机图形学等领域具有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，向量叉积用于计算物体的表面积和体积；在物理学中，向量叉积用于描述力矩、角动量和磁场等概念。
5.结论向量叉积是一种重要的向量运算，它在三维空间中的物体描述和运动分析中具有重要作用。
向量的叉积计算
向量的叉积计算
向量的叉积是一种用于计算两个向量之间的垂直向量的运算。
它通常用于计算三维空间中的向量，例如在物理学和工程学中。
向量的叉积可以用叉积公式进行计算，其中结果向量的大小等于两个原始向量的大小的乘积与它们之间的夹角的正弦值。
此外，叉积的方向可以由右手法则确定，其中右手的拇指指向第一个向量，食指指向第二个向量，而中指指向结果向量。
需要注意的是，向量的叉积是一个向量，并且它只对三维向量有定义。
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Eviews交叉积公式
Eviews交叉积公式如果一条线段的端点是有次序之分的话，那么这种线段就称为有向线段，如果有向线段p1p2的起点p1在坐标的原点，则可以把它称为矢量p2矢量的加减设二维矢量P=(x1,y1),Q=(x2,y2)，则P+Q=(x1+x2,y1+y2),P-Q=(x1-x2,y1-y2)，且有P+Q=Q+P,P-Q=-(Q-P)矢量叉积设矢量P=(x1,y1),Q=(x2,y2)，则P*Q=x1*y2-x2*y1;其结果是一个由(0,0),P,Q,P+Q所组成的平行四边形的带符号的面积，P*Q=-(Q*P),P*(-Q)=-(P*Q)叉积的一个非常重要的性质是可以通过它的符号来判断两矢量相互之间的顺逆时针关系：若P*Q>0，则P在Q的顺时针方向若P*Q<0,则P在Q的逆时针方向若P*Q=0，则P与Q共线，但不确定P,Q的方向是否相同折线段的拐向判断如图，假设有折线段p0p1p2，要确定p1p2相对于p0p1是向左拐还是向右拐，可以通过计算(p2-p0)*(p1-p0)的符号来确定折线的拐向(点p2-p0实际上就是向量p2，但这里要注意线段和矢量的区别)判断点是否在线段上设点Q=(x,y),P1=(x1,y1),P2=(x2,y2)，若(Q-P1)*(P2-P1)=0且min(x1,x2)<=x<=max(x1,x2)&&min(y1,y2)<=y<=max(y1,y2)，则点Q在线段P1P2上判断两线段是否相交1)快速排斥试验设以线段P1P2为对角线的矩形为R，设以线段Q1Q2为对角线的矩形为T，若R、T不相交，则两线段不可能相交假设P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),Q1=(x3,y3),Q2=(x4,y4)，设矩形R的x坐标的最小边界为minRX=min(x1,x2)，以此类推，将矩形表示为R=(minRX,minRY,maxRX,maxRY)的形式，若两矩形相交，则相交的部分构成了一个新的矩形F，如图所示，我们可以知道F的minFX=max(minRX,minTX),minFY=max(minRY,minTY),maxFX=min(maxRX,maxTX),maxFY=min(maxRY,maxTX)，得到F的各个值之后，只要判断矩形F是否成立就知道R和T到底有没有相交了，若minFX>maxFX或minFY>maxFy则F无法构成，RT不相交，否则RT相交跨立试验若P1P2跨立Q1Q2，则P1,P2分别在Q1Q2所在直线的两端，则有(P1-Q1)*(Q2-Q1)*(Q2-Q1)*(P2-Q1)>0，当(P1-Q1)*(Q2-Q1)=0时，说明(P1-Q1)与(Q2-Q1)共线，但由于已经经过快速排斥试验，所以Q1必为P1P2与Q1Q2的交点，依然满足线段相交的条件，则跨立试验可改为：当(P1-Q1(Q2-Q1)(Q2-Q1)(P2-Q1)>=0，则P1P2跨立Q1Q2，当Q1Q2也跨立P1P2的时候，则P1P2相交(注意式子中被隔开的*代表两个叉积的值的相乘，而另外的两个则代表计算矢量叉积)。
三维向量叉积
三维向量叉积引言在数学和物理学中，向量是一个有大小和方向的量。
在三维空间中，向量可以用三个实数表示。
三维向量叉积是一种通过两个三维向量计算出第三个与两个向量均垂直的向量的方法。
三维向量叉积在计算机图形学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
三维向量的表示在三维空间中，一个向量可以用一个有序数列表示，如[a, b, c]。
其中[a, b, c]分别代表向量在x、y、z轴上的分量。
叉积的定义给定两个三维向量[A = [a1, a2, a3]]和[B = [b1, b2, b3]]，则向量的叉积[C = A B]定义为：[C = [a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1]]叉积的性质叉积具有以下一些重要的性质：1. 反交换性[A B = -B A]2. 分配性[A (B + C) = (A B) + (A C)]3. 结合性[A (B C) = (A C)B - (A B)C]其中，[A B]表示向量A和B的数量积。
计算叉积的步骤要计算两个向量的叉积，可以按照以下步骤进行：1.将两个向量表示成[A = [a1, a2, a3]]和[B = [b1, b2, b3]]的形式。
2.根据叉积的定义，按照以下公式计算叉积的分量值：–第一个分量：[a2b3 - a3b2]–第二个分量：[a3b1 - a1b3]–第三个分量：[a1b2 - a2b1]3.将得到的分量值组成一个新的向量[C = [c1, c2, c3]]，即为所求的叉积。
叉积的几何意义叉积不仅具有代数上的性质，还有着重要的几何意义。
两个向量的叉积所得到的向量与这两个向量都垂直，且方向由右手定则确定。
右手定则右手定则是确定叉积方向的一种规则。
将右手的四指由向量A的方向转向向量B的方向，那么伸出的大拇指的方向就是叉积向量C的方向。
这一规则对于保持向量的顺序是敏感的，交换向量A和B，叉积向量C的方向将发生改变。
叉积的应用叉积在许多领域中都有着广泛的应用，下面列举了其中一些常见的应用。
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计算几何算法概览一、引言计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。
作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。
在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。
在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。
二、目录本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容：矢量的概念矢量加减法矢量叉积折线段的拐向判断判断点是否在线段上判断两线段是否相交判断线段和直线是否相交判断矩形是否包含点判断线段、折线、多边形是否在矩形中判断矩形是否在矩形中判断圆是否在矩形中判断点是否在多边形中判断线段是否在多边形内判断折线是否在多边形内判断多边形是否在多边形内判断矩形是否在多边形内判断圆是否在多边形内判断点是否在圆内判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内判断圆是否在圆内计算点到线段的最近点计算点到折线、矩形、多边形的最近点计算点到圆的最近距离及交点坐标计算两条共线的线段的交点计算线段或直线与线段的交点求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点求线段或直线与圆的交点凸包的概念凸包的求法三、算法介绍矢量的概念：如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。
如果有向线段p1p2的起点p1在坐标原点，我们可以把它称为矢量(vector)p2。
矢量加减法：设二维矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 )，则矢量加法定义为：P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，同样的，矢量减法定义为：P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )。
显然有性质P + Q = Q + P，P - Q = - ( Q - P )。
矢量叉积：计算矢量叉积是与直线和线段相关算法的核心部分。
设矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2, y2 )，则矢量叉积定义为由(0,0)、p1、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号的面积，即：P ×Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个标量。
显然有性质P ×Q = - ( Q ×P ) 和P ×( - Q ) = - ( P ×Q )。
一般在不加说明的情况下，本文下述算法中所有的点都看作矢量，两点的加减法就是矢量相加减，而点的乘法则看作矢量叉积。
叉积的一个非常重要性质是可以通过它的符号判断两矢量相互之间的顺逆时针关系：若P ×Q > 0 , 则P在Q的顺时针方向。
若P ×Q < 0 , 则P在Q的逆时针方向。
若P ×Q = 0 , 则P与Q共线，但可能同向也可能反向。
折线段的拐向判断：折线段的拐向判断方法可以直接由矢量叉积的性质推出。
对于有公共端点的线段p0p1和p1p2，通过计算(p2 - p0) ×(p1 - p0)的符号便可以确定折线段的拐向：若(p2 - p0) ×(p1 - p0) > 0,则p0p1在p1点拐向右侧后得到p1p2。
若(p2 - p0) ×(p1 - p0) < 0,则p0p1在p1点拐向左侧后得到p1p2。
若(p2 - p0) ×(p1 - p0) = 0,则p0、p1、p2三点共线。
具体情况可参照下图：判断点是否在线段上：设点为Q，线段为P1P2 ，判断点Q在该线段上的依据是：( Q - P1 ) ×( P2 - P1 ) = 0 且Q 在以P1，P2为对角顶点的矩形内。
前者保证Q点在直线P1P2上，后者是保证Q点不在线段P1P2的延长线或反向延长线上，对于这一步骤的判断可以用以下过程实现：ON-SEGMENT(pi,pj,pk)if min(xi,xj) <= xk <= max(xi,xj) and min(yi,yj) <= yk <= max(yi,yj)then return true;else return false;特别要注意的是，由于需要考虑水平线段和垂直线段两种特殊情况，min(xi,xj)<=xk<=max(xi,xj)和min(yi,yj)<=yk<=max(yi,yj)两个条件必须同时满足才能返回真值。
判断两线段是否相交：我们分两步确定两条线段是否相交：(1)快速排斥试验设以线段P1P2 为对角线的矩形为R，设以线段Q1Q2 为对角线的矩形为T，如果R和T不相交，显然两线段不会相交。
(2)跨立试验如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方。
若P1P2跨立Q1Q2 ，则矢量( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即( P1 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) < 0。
上式可改写成( P1 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) ×( P2 - Q1 ) > 0。
当( P1 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明( P1 - Q1 ) 和( Q2 - Q1 )共线，但是因为已经通过快速排斥试验，所以P1 一定在线段Q1Q2上；同理，( Q2- Q1 ) ×(P2 - Q1 ) = 0 说明P2 一定在线段Q1Q2上。
所以判断P1P2跨立Q1Q2的依据是：( P1 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) ×( P2 - Q1 ) >= 0。
同理判断Q1Q2跨立P1P2的依据是：( Q1 - P1 ) ×( P2 - P1 ) * ( P2 - P1 ) ×( Q2 - P1 ) >= 0。
具体情况如下图所示：在相同的原理下，对此算法的具体的实现细节可能会与此有所不同，除了这种过程外，大家也可以参考《算法导论》上的实现。
判断线段和直线是否相交：有了上面的基础，这个算法就很容易了。
如果线段P1P2和直线Q1Q2相交，则P1P2跨立Q1Q2，即：( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) >= 0。
判断矩形是否包含点：只要判断该点的横坐标和纵坐标是否夹在矩形的左右边和上下边之间。
判断线段、折线、多边形是否在矩形中：因为矩形是个凸集，所以只要判断所有端点是否都在矩形中就可以了。
判断矩形是否在矩形中：只要比较左右边界和上下边界就可以了。
判断圆是否在矩形中：很容易证明，圆在矩形中的充要条件是：圆心在矩形中且圆的半径小于等于圆心到矩形四边的距离的最小值。
判断点是否在多边形中：判断点P是否在多边形中是计算几何中一个非常基本但是十分重要的算法。
以点P 为端点，向左方作射线L，由于多边形是有界的，所以射线L的左端一定在多边形外，考虑沿着L从无穷远处开始自左向右移动，遇到和多边形的第一个交点的时候，进入到了多边形的内部，遇到第二个交点的时候，离开了多边形，……所以很容易看出当L 和多边形的交点数目C是奇数的时候，P在多边形内，是偶数的话P在多边形外。
但是有些特殊情况要加以考虑。
如图下图(a)(b)(c)(d)所示。
在图(a)中，L和多边形的顶点相交，这时候交点只能计算一个；在图(b)中，L和多边形顶点的交点不应被计算；在图(c)和(d) 中，L和多边形的一条边重合，这条边应该被忽略不计。
如果L和多边形的一条边重合，这条边应该被忽略不计。
为了统一起见，我们在计算射线L和多边形的交点的时候，1。
对于多边形的水平边不作考虑；2。
对于多边形的顶点和L相交的情况，如果该顶点是其所属的边上纵坐标较大的顶点，则计数，否则忽略；3。
对于P在多边形边上的情形，直接可判断P属于多边行。
由此得出算法的伪代码如下：count ← 0;以P为端点，作从右向左的射线L;for 多边形的每条边sdo if P在边s上then return true;if s不是水平的then if s的一个端点在L上if 该端点是s两端点中纵坐标较大的端点then count ← count+1else if s和L相交then count ← count+1;if count mod 2 = 1then return true;else return false;其中做射线L的方法是：设P'的纵坐标和P相同，横坐标为正无穷大（很大的一个正数），则P和P'就确定了射线L。
判断点是否在多边形中的这个算法的时间复杂度为O(n)。
另外还有一种算法是用带符号的三角形面积之和与多边形面积进行比较，这种算法由于使用浮点数运算所以会带来一定误差，不推荐大家使用。
判断线段是否在多边形内：线段在多边形内的一个必要条件是线段的两个端点都在多边形内，但由于多边形可能为凹，所以这不能成为判断的充分条件。
如果线段和多边形的某条边内交（两线段内交是指两线段相交且交点不在两线段的端点），因为多边形的边的左右两侧分属多边形内外不同部分，所以线段一定会有一部分在多边形外(见图a)。
于是我们得到线段在多边形内的第二个必要条件：线段和多边形的所有边都不内交。
线段和多边形交于线段的两端点并不会影响线段是否在多边形内；但是如果多边形的某个顶点和线段相交，还必须判断两相邻交点之间的线段是否包含于多边形内部（反例见图b)。
因此我们可以先求出所有和线段相交的多边形的顶点，然后按照X-Y坐标排序(X 坐标小的排在前面，对于X坐标相同的点，Y坐标小的排在前面，这种排序准则也是为了保证水平和垂直情况的判断正确)，这样相邻的两个点就是在线段上相邻的两交点，如果任意相邻两点的中点也在多边形内，则该线段一定在多边形内。
证明如下：命题1：如果线段和多边形的两相邻交点P1 ，P2的中点P' 也在多边形内，则P1, P2之间的所有点都在多边形内。
证明：假设P1,P2之间含有不在多边形内的点，不妨设该点为Q，在P1, P'之间，因为多边形是闭合曲线，所以其内外部之间有界，而P1属于多边行内部，Q属于多边性外部，P'属于多边性内部，P1-Q-P'完全连续，所以P1Q和QP'一定跨越多边形的边界，因此在P1,P'之间至少还有两个该线段和多边形的交点，这和P1P2是相邻两交点矛盾，故命题成立。