数据结构第九章图最短路径详解
最短路径知识点总结
最短路径知识点总结最短路径问题的核心思想是通过某种策略找到两个节点之间的最短路径。
在图的表示方法上，最短路径问题通常使用邻接矩阵或邻接表来表示图的结构。
多种最短路径算法也可以适用于不同的图模型，包括有向图、无向图、带权图等。
常用的最短路径算法包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
下面将对这些算法进行介绍和总结。
Dijkstra算法是一种解决单源最短路径问题的贪心算法。
它的核心思想是通过不断地确定距离源点距离最短的顶点来逐步扩展已知的最短路径集合。
具体步骤包括：初始化距离数组，设置起点距离为0，其他顶点距离为无穷大；选择未访问顶点中距离最短的顶点，并将其标记为已访问；更新与该顶点相邻的顶点的距离；不断重复以上步骤直到所有顶点都被访问。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示顶点的个数。
当图比较大时，可以使用堆优化的Dijkstra算法，将时间复杂度优化到O((V+E)logV)。
Bellman-Ford算法是一种解决单源最短路径问题的动态规划算法。
它的核心思想是通过对所有边进行松弛操作，不断更新顶点的最短路径估计值。
具体步骤包括：初始化距离数组，设置起点距离为0，其他顶点距离为无穷大；循环遍历所有边，不断进行松弛操作，直到没有发生变化为止。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V表示顶点的个数，E表示边的个数。
这个算法可以解决包含负权边的图的最短路径问题，而Dijkstra算法则无法处理负权边。
Floyd-Warshall算法是一种解决多源最短路径问题的动态规划算法。
它的核心思想是通过对所有顶点之间的距离进行不断更新，找到所有顶点之间的最短路径。
具体步骤包括：初始化距离矩阵，设置顶点之间的距离为边的权重，若没有直接相连的边则设置为无穷大；循环遍历所有顶点，尝试将每个顶点作为中转点，并尝试更新所有顶点对之间的距离。
第九章-数据结构与算法基础
解题思路多代入法二叉树度叶子结点就是没有孩子的结点，其度为0，度为二的结点是指有两个子数的结点。
注意树的度和图的度区别叶子结点二叉排序树完全二叉树若设二叉树的深度为h，除第h 层外，其它各层(1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。
完全二叉树——只有最下面的两层结点度小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树；最优二叉树（就是哈弗曼树）平衡二叉树平衡二叉树，又称AVL树。
它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度之差之差的绝对值不超过1.。
满二叉树满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶结点都处在最底层的二叉树,。
除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点（最后一层上的无子结点的结点为叶子结点）。
也可以这样理解，除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。
节点数达到最大值。
所有叶子结点必须在同一层上.本题主要考查一些特殊二叉树的性质。
若二叉树中最多只有最下面两层的结点度数可以小于2，并且最下面一层的叶子结点都依次排列在该层最左边的位置上，则这样的二叉树称为完全二叉树，因此在完全二叉树中，任意一个结点的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1。
二叉排序树的递归定义如下：二叉排序树或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：(1)若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；(2)若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；(3)左右子树也都是二叉排序树。
在n个结点的二叉树链式存储中存在n+1个空指针，造成了巨大的空间浪费，为了充分利用存储资源，可以将这些空链域存放指向结点在遍历过程中的直接前驱或直接后继的指针，这种空链域就称为线索，含有线索的二叉树就是线索二叉树。
最优二叉树即哈夫曼树。
排序各种排序的大致思路？各种排序适用于什么情况？各种排序的时间，空间复杂度？快速排序1.快速排序（Quicksort）是对冒泡排序法的一种改进，它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列；在对一个基本有序的数组进行排序时适合采用快速排序法。
最短路径问题介绍
最短路径问题介绍全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最短路径问题是指在一个带有边权的图中，寻找连接图中两个特定节点的最短路径的问题。
在实际生活中，最短路径问题广泛应用于交通运输、通信网络、物流配送等领域。
通过解决最短路径问题，可以使得资源的利用更加高效，节约时间和成本，提高运输效率，并且在紧急情况下可以迅速找到应急通道。
最短路径问题属于图论中的基础问题，通常通过图的表示方法可以简单地描述出这样一个问题。
图是由节点和边组成的集合，节点表示不同的位置或者对象，边表示节点之间的连接关系。
在最短路径问题中，每条边都有一个权重或者距离，表示从一个节点到另一个节点移动的代价。
最短路径即是在图中找到一条路径，使得该路径上的边权和最小。
在解决最短路径问题的过程中，存在着多种算法可以应用。
最著名的算法之一是Dijkstra算法，该算法由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题，即从一个给定的起点到图中所有其他节点的最短路径。
该算法通过维护一个距离数组和一个集合来不断更新节点之间的最短距离，直到找到目标节点为止。
除了Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法外，还有一些其他与最短路径问题相关的算法和技术。
例如A*算法是一种启发式搜索算法，结合了BFS和Dijkstra算法的特点，对图中的节点进行评估和排序，以加速搜索过程。
Bellman-Ford算法是一种解决含有负权边的最短路径问题的算法，通过多次迭代来找到最短路径。
一些基于图神经网络的深度学习方法也被应用于最短路径问题的解决中，可以获得更快速和精确的路径搜索结果。
在实际应用中，最短路径问题可以通过计算机程序来实现，利用各种算法和数据结构来求解。
利用图的邻接矩阵或者邻接表来表示图的连接关系，再结合Dijkstra或者Floyd-Warshall算法来计算最短路径。
图论中的最短路径算法
图论中的最短路径算法图论是数学的一个分支，研究图的性质和图之间的关系。
在图论中，最短路径算法是一类重要的算法，用于寻找图中两个顶点之间的最短路径。
本文将介绍图论中的几种常见的最短路径算法。
一、Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中最常用的一种。
它基于贪心策略，通过逐步扩展路径来求解最短路径。
算法的基本思想是，从一个起始顶点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择当前路径中距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。
Dijkstra算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 选择距离起始顶点最近的顶点，将其加入已扩展顶点集合。
3. 更新与新加入顶点相邻的顶点的距离，如果新的距离比原来的距离小，则更新距离。
4. 重复步骤2和步骤3，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。
5. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。
二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种常用的最短路径算法。
它可以处理带有负权边的图，而Dijkstra算法只适用于非负权边的图。
Bellman-Ford算法的基本思想是通过对所有边进行松弛操作，逐步减小起始顶点到其他顶点的估计距离，直到得到最短路径。
Bellman-Ford算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 对所有边进行松弛操作，即如果存在一条边(u, v)，使得从起始顶点到v的距离大于从起始顶点到u的距离加上边(u, v)的权值，则更新距离。
3. 重复步骤2，直到没有顶点的距离发生变化。
4. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。
三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种多源最短路径算法，可以求解图中任意两个顶点之间的最短路径。
该算法通过动态规划的方式，逐步更新顶点之间的距离，直到得到最短路径。
Floyd-Warshall算法的步骤如下：1. 初始化顶点之间的距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大。
【转】彻底弄懂最短路径问题（图论）
【转】彻底弄懂最短路径问题（图论）P.S.根据个⼈需要，我删改了不少问题引⼊问题：从某顶点出发，沿图的边到达另⼀顶点所经过的路径中，各边上权值之和最⼩的⼀条路径——最短路径。
解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有著名的启发式搜索算法A*，不过A*准备单独出⼀篇，其中Floyd算法可以求解任意两点间的最短路径的长度。
笔者认为任意⼀个最短路算法都是基于这样⼀个事实：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若⼲个节点到B。
⼀.Dijkstra算法该算法在《数据结构》课本⾥是以贪⼼的形式讲解的，不过在《运筹学》教材⾥被编排在动态规划章节，建议读者两篇都看看。
(1) 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度递增次序产⽣最短路径。
先把V分成两组：S：已求出最短路径的顶点的集合V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合将T中顶点按最短路径递增的次序加⼊到S中，依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证）。
(2) 求最短路径步骤1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值，若存在<V0,Vi>，为<V0,Vi>弧上的权值（和SPFA初始化⽅式不同），若不存在<V0,Vi>，为Inf。
2. 从T中选取⼀个其距离值为最⼩的顶点W(贪⼼体现在此处)，加⼊S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作⽤⾄关重要)，对T中顶点的距离值进⾏修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值⽐不加W的路径要短，则修改此距离值（上⾯两个并列for循环，使⽤最⼩点更新）。
3. 重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为⽌（说明最外层是除起点外的遍历）。
图的最短路径与最小生成树算法实践
图的最短路径与最小生成树算法实践在计算机科学中，图（Graph）是一种抽象的数据结构，它由节点（Vertex）和边（Edge）组成。
图的最短路径和最小生成树是图算法中的两个重要问题，它们在网络、交通、社交网络等领域有着广泛的应用。
本文将介绍图的最短路径算法和最小生成树算法的实践。
一、图的最短路径算法实践图的最短路径算法用于求解两个节点之间的最短路径，常用的算法有迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd Algorithm）。
（这里可以介绍迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法的思想和流程，注意使用文字和图示来说明）在实际应用中，最短路径算法可以被用于许多场景，比如导航系统中的路径规划、物流配送中的最优路线选择等。
例如，在一座城市中，我们需要规划出从A地到B地的最短路径，可以使用最短路径算法来求解。
二、图的最小生成树算法实践图的最小生成树算法用于找到一个连通图的最小生成树，最常用的算法是普里姆算法（Prim Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal Algorithm）。
（这里可以介绍普里姆算法和克鲁斯卡尔算法的思想和流程，注意使用文字和图示来说明）最小生成树算法在实际应用中也有很多用途，比如电力系统的最优输电线路规划、通信网络的构建等。
例如，在一个城市的交通网络中，我们希望为每个区域之间建立电缆线路，以便实现高速、稳定的通信，可以使用最小生成树算法来求解。
三、图的最短路径和最小生成树算法在实践中的应用图的最短路径和最小生成树算法在现代社会中有广泛的应用，下面将介绍一些实际应用场景。
1. 路径规划最短路径算法可以用于导航系统中的路径规划。
通过输入起点和终点，最短路径算法可以帮助我们找到从起点到终点的最短路径，以便在导航系统上为驾驶员提供准确的路线指引。
2. 物流配送在物流配送中，最短路径算法可以用于选择最优路线，以节省时间和成本。
通过计算各个配送点之间的距离和路径，可以帮助物流公司规划出最佳配送路线，提高配送效率。
最短路径问题 ppt课件
12
图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
13
图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。 步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。 步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖，这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)
数据结构-拓扑排序和最短路径
Dijkstra算法
如何找到Vk?
min( D[i] + dur(i,k)) i = 0,1,…k-1
Vk
S
Dijkstra算法
V5
V0
10
30 10
V4
20
V1 V2
V3
S={V0} D[0]=0
S={V0,} D[3] = 50 S={V0,V2,V4,V3,V5}
Dijkstra算法实现
void ShortestPath_DIJ(MGraph G, int v0, PathMatrix &P, ShortestPathTable &D){ for(v=0;v<G.vexnum;++v){ final[v]=FALSE; //S中的顶点 D[v]=G.arcs[v0][v];//v0到v的路径的长度 for(w=0;w<G.vexnum;++w) p[v][w]=FALSE; if(D[v]<INFINITY){//V0的邻接点 p[v][v0]=TRUE; p[v][v]=TRUE; }//if }//for final[v0]=TRUE;
Floyd 算法
首先对顶点进行编号，n个顶点对应1……n个整 数，分别叫做V1，V2,……，Vn 显然，顶点vi和vj之间的最短路径通过了n个 顶点的某些顶点。
Floyd 算法
•偏序就是集合中的部分成员可以比较。 •全序是集合中的任何成员之间都可以比较。 B A C 偏序 D A C 全序 B D
拓扑排序
按照有向图给出的次序关系，将图中顶点排成 一个线性序列，对于有向图中没有限定次序关系 的顶点，则可以人为加上任意的次序关系。
由此所得顶点的线性序列称之为拓扑有序序 列
离散数学中的图的最短路径与迪杰斯特拉算法
在离散数学中，图论是一个重要的研究领域，涉及到许多与图有关的概念和算法。
其中，最短路径和迪杰斯特拉算法被广泛应用于图中节点之间最短路径的计算与查找。
首先，我们来了解一下最短路径的概念。
在一个有向或无向图中，最短路径是指从起始节点到目标节点的路径中，具有最小权重的路径。
权重可以表示为两个节点之间的距离、成本或代价等。
在现实生活中，最短路径问题可以应用到许多场景中，比如寻找两个城市之间的最短路线或者确定网络中两台计算机之间的最短连接。
要计算图中的最短路径，其中一种经典的算法是迪杰斯特拉算法。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，通过逐步更新节点的距离值来找到最短路径。
它的基本思想是从起始节点开始，首先将起始节点的距离值设置为0，然后将所有其他节点的距离值设置为无穷大。
接下来，算法根据每条边的权重更新节点的距离值，直到找到目标节点或者遍历完所有节点为止。
具体来说，迪杰斯特拉算法可以分为以下几个步骤：1.初始化：将起始节点的距离值设为0，将其他节点的距离值设为无穷大。
2.遍历：从起始节点开始，逐一考察与当前节点相邻的节点。
3.更新距离：对于每一个相邻节点，计算通过当前节点到达该节点的距离，并将其与该节点存储的当前最短距离进行比较。
如果通过当前节点的路径更短，就更新该节点的最短距离值。
4.标记节点：在遍历的过程中，通过节点之间的最短路径更新，我们可以逐渐标记节点为“已访问”，确保每一个节点的最短路径都已计算。
5.终止条件：当遍历完成或者找到目标节点时，算法终止。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N是图中的节点数量。
尽管在大规模图中可能会出现效率问题，但对于中小规模的图，该算法具有较高的实用价值。
总结来说，离散数学中的图的最短路径与迪杰斯特拉算法密不可分。
通过迪杰斯特拉算法，我们可以在图中找到从起始节点到目标节点的最短路径。
该方法的基本思想是贪心的，通过逐步更新节点的距离值，从而逐渐找到最短路径。
无论是用于寻找城市间最短路线还是网络中最短连接，这个算法都具有广泛的应用前景。
数据结构课程设计最短路径
数据结构课程设计题目名称：最短路径计算机科学与技术学院一、需求分析(1)题目：最短路径实现图的输入，选择合适的结构表示图，在此基础上实现求解最短路径的算法，可以从任意一点求最短路径，学生必须准备多组测试数据，并设计清晰易懂的输入输出界面，要求：如何用多种数据结构来求解问题。
同时要求实现对应数据结构的所有基本操作。
（2）程序的输入与输出:要求用多种数据结构求解问题，也就是要用邻接表与邻接矩阵实现最短路径的算法，需要有多组输入输出，(a)输入的形式和输入值的范围：输入的形式为整型1.先输入共需要创建几次图2.再分别输入边数和顶点数（范围：1~100）3.输入1和2选择是否为有向图图（1为有向，2为无向）4.对应每条边输入起点和终点下标，以及对这条边的权值（最大的权值为100）。
5.输入在邻接表的基础上输入深度与广度优先搜索的起点6.我们输入求各种最短路径起点和终点(b)输出的形式；1.输出所建立的邻接表（表结点后面的括号是头结点与表结点的权值）2.输出DFS和BFS的结果3.输出该图不带权值的最短路径与路径4.接下来输入起点和终点，求带权值的最短路径也就是Dijstra算法，输出长度并给出路径5.前面都是用邻接表实现的各种算法，接下来的Floyd算法就用矩阵实现，于是直接邻接表转矩阵输出6.用Floyd算法求出图的多源最短路径，给出起点终点输出最短路径长度，接着便到了第二次创建图，直至循环结束。
（3）程序的功能:求给出带权图的任意两点，输出最短路径长度并给出其最短路径所经过的顶点。
在实际应用中可以将交通网络化成带权的图，图中顶点表示城市，边代表城市之间的公路，边上的权值表示公路的长度。
这样可以发现两个地方之间有无公路可连，在几条公路可通的情况下，可以找到那条路径最短。
也就是现在地图app中的功能。
（4）测试数据:包括正确的输入及其输出结果和含有错误的输入及其输出结果。
在有向图中输入错误的数据（顶点与顶点方向相反），会输出逆向信息。
数学最短路径问题讲解
数学最短路径问题讲解数学中的最短路径问题是一个经典的优化问题，主要涉及在图或网络中找到两个节点之间的最短路径。
这类问题在日常生活和工程中有着广泛的应用，如交通路线规划、网络路由、电路设计等。
最短路径问题的常用算法有Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法适用于没有负权重的图，它从源节点开始，逐步找到离源节点最近的节点，直到找到目标节点。
Bellman-Ford算法则可以处理包含负权重的图，它通过不断地松弛边的权重来找到最短路径。
下面以一个简单的例子来解释最短路径问题：假设我们有一个有向图，其中节点表示城市，边表示道路，边的权重表示两城市之间的距离。
我们要找出从城市A到城市B的最短路径。
首先，我们需要理解最短路径的含义。
最短路径是指从一个节点到另一个节点经过的边的权重之和最小的路径。
如果存在负权重的边，我们需要找到一个路径，使得经过的边的权重之和加上起点的权重（如果起点有权重）最小。
在解决最短路径问题时，我们可以使用图论中的一些基本概念，如路径、权重、源节点、目标节点等。
路径是指从一个节点到另一个节点经过的一系列边，权重是指路径上边的权重之和。
源节点是指我们开始寻找最短路径的节点，目标节点是指我们要找到最短路径的终点。
最短路径问题的求解方法通常包括贪心算法和动态规划。
贪心算法是指每一步都选择当前看起来最优的选择，希望这样的局部最优选择能够导致全局最优解。
动态规划则是将问题分解为若干个子问题，并从子问题的最优解逐步推导出原问题的最优解。
在实际应用中，我们还需要考虑一些特殊情况，如图中存在负权重的环、图中存在负权重的边等。
对于这些情况，我们需要使用特定的算法来处理，如Bellman-Ford算法或Floyd-Warshall算法等。
总之，最短路径问题是一个经典的的问题，它的求解方法有很多种。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的算法来处理最短路径问题。
图的最短路径(ppt文档)
begin min:=max ; flag[1]:=[1] ; city[1]:=1 ; n:=0 ;pnt[1]:=0 ; r:=1 ;f:=0; repeat inc(f); k:=city[f]; if k<>m then begin flags:=flag[f] ; for j:= 2 to m do if (not( j in flags )) and (link[k,j]>0 ) then begin inc(r); city[r]:=j; flag[r]:=flags+[j];
图的最短路径
1
最短路径
一、最短路径 从一个顶点到另一个顶点最短路径长度，称为最短路
径。
2
从源点Vi到终点Vj的每条路径上的权（它等于 该路径上所经边上的权值之和，称为该路径的带 权路径长度）可能不同，我们把权值最小的那条 路径称为最短路径。
例如：图中V1到V5共有三条路径： (v1,v5),(v1,v2,v3,v5),(v1,v2,v4,v5),其带权 路径长度分别为30，23和38，其最短路径为23。
18
第三次遍历：
1
2
3
4
5
S
1
DIST
0
PATH V1
1
1
1
0
3
15
11
23
V1,V2 V1,V2,v4,V3 V1,V2,V4 V1,v2,V4,v 5
19
经过以上遍历，我们得到从V1点到各个顶点的最短路径 长度以及最短路径所经过的顶点序号。 算法的具体描述： Procedure dijkstra (GA,dist , path , i) ;{ 从源点vi点开始}
3
最短路径计算过程
最短路径计算过程
最短路径计算是图论中的一个经典问题，主要目的是寻找图中两点之间的最短路径。
常用的算法有迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）、贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford algorithm）和动态规划算法等。
以迪杰斯特拉算法为例，其计算最短路径的过程大致如下：
1. 初始化：选择一个起点，并设其余所有顶点的最短路径估计值为无穷大，只有起点到起点的最短路径估计值为0。
2. 访问顺序：按照估计值递增的顺序访问顶点，即每次从未访问顶点中选择估计值最小的顶点进行访问。
3. 更新最短路径：对于每个访问的顶点，考虑通过该顶点到达其他顶点的路径，如果这条路径的长度小于当前记录的最短路径估计值，则更新该顶点的最短路径估计值和前驱顶点。
4. 重复步骤2和3，直到到达终点或者所有顶点都被访问过。
5. 路径重构：通过保存的最短路径前驱顶点，从终点反向追踪至起点，得到最短路径。
这个过程中需要注意算法对图中边的权重和是否有负权边的支持。
迪杰斯特拉算法仅适用于有权图中没有负权边的场景，而贝尔曼-福特算法则可以处理包含负权边的图，但其时间复杂度相对较高。
动态规划算法则适用于更为一般的情况，尤其是当最短路径问题可以通过分解为子问题来解决时。
【数据结构算法】实验8-图的最短路径问题（附源代码）
【数据结构算法】实验8-图的最短路径问题（附源代码）浙江大学城市学院实验报告课程名称数据结构与算法实验项目名称实验八图的最短路径问题实验成绩指导老师（签名）日期一.实验目的和要求1.掌握图的最短路径概念。
2.理解并能实现求最短路径的DijKstra算法（用邻接矩阵表示图）。
二. 实验内容1、编写用邻接矩阵表示有向带权图时图的基本操作的实现函数，基本操作包括：① 初始化邻接矩阵表示的有向带权图void InitMatrix(adjmatrixG);② 建立邻接矩阵表示的有向带权图 void CreateMatrix(adjmatrix G, int n) （即通过输入图的每条边建立图的邻接矩阵）;③ 输出邻接矩阵表示的有向带权图void PrintMatrix(adjmatrix G, int n) （即输出图的每条边）。
把邻接矩阵的结构定义以及这些基本操作函数存放在头文件Graph2.h中。
2、编写求最短路径的DijKstra算法函数 void Dijkstra( adjmatrix GA, int dist[], edgenode *path[], int i, int n) ，该算法求从顶点i到其余顶点的最短路径与最短路径长度，并分别存于数组path 和dist 中。
编写打印输出从源点到每个顶点的最短路径及长度的函数void PrintPath(int dist[], edgenode *path[], int n)。
3、编写测试程序（即主函数），首先建立并输出有向带权图，然后计算并输出从某顶点v0到其余各顶点的最短路径。
要求：把指针数组的基类型结构定义edgenode、求最短路径的DijKstra算法函数、打印输出最短路径及长度的函数PrintPath以及主函数存放在文件test9_2.cpp中。
测试数据如下：4、填写实验报告，实验报告文件取名为report8.doc。
5、上传实验报告文件report8.doc与源程序文件test9_2.cpp及Graph2.h到Ftp服务器上自己的文件夹下。
数据结构课程设计最短路径
数据结构课程设计最短路径一、课程目标知识目标：1. 理解图的基本概念，掌握图的表示方法，如图的邻接矩阵和邻接表；2. 掌握最短路径问题的定义，了解其应用场景；3. 学会运用Dijkstra算法和Floyd算法解决最短路径问题；4. 了解最短路径算法的时间复杂度，并能够分析其优缺点。
技能目标：1. 能够运用所学知识，编写程序实现最短路径算法；2. 能够分析实际问题，选择合适的数据结构和算法解决最短路径问题；3. 学会使用调试工具，调试并优化最短路径算法程序。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数据结构课程的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生的团队合作精神，学会在团队中分工合作，共同解决问题；3. 培养学生面对问题时的耐心和毅力，勇于克服困难，寻求解决方案；4. 通过解决实际问题，增强学生的应用意识和创新意识。
课程性质：本课程为计算机科学专业选修课程，旨在帮助学生掌握图论中的最短路径问题及其算法实现。
学生特点：学生已经具备一定的编程基础，熟悉C/C++等编程语言，了解基本的数据结构，如数组、链表、栈和队列等。
教学要求：结合学生特点和课程性质，注重理论与实践相结合，通过实例分析、算法实现和调试优化，使学生掌握最短路径问题的解决方法，并培养其分析问题和解决问题的能力。
在教学过程中，关注学生的情感态度价值观的培养，提高学生的综合素质。
二、教学内容1. 图的基本概念：图的定义、图的分类、图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）。
2. 最短路径问题：最短路径的定义、应用场景、最短路径算法的分类。
3. Dijkstra算法：算法原理、算法步骤、实例分析、编程实现。
4. Floyd算法：算法原理、算法步骤、实例分析、编程实现。
5. 最短路径算法时间复杂度分析：比较Dijkstra算法和Floyd算法的时间复杂度，分析其适用场景。
6. 实践环节：设计实际案例，让学生动手编写程序实现最短路径算法，并进行调试优化。
7. 算法优化：探讨最短路径算法的优化方法，如优先队列、动态规划等。
最短路径问题和解法
最短路径问题和解法最短路径问题是计算一个图中从一个源点到目标点的最短路径问题，是图论中的重要问题之一。
该问题的解法可以划分为两种：单源最短路径问题和全源最短路径问题。
一、单源最短路径问题单源最短路径问题是指从一个源点出发，计算该源点到其他所有点的最短路径的问题。
解法有两种：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，每次将到源点距离最短的点加入已求出最短路径的点集。
虽然Dijkstra算法只适用于边权值均为正的带权有向图或者无向图，但是它的时间复杂度相比Bellman-Ford算法更优秀，为O(n^2)。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种较为通用的算法，不需要图的属性满足任何特殊要求，但是时间复杂度为O(n^3)，不适用于大规模的图。
算法原理是进行n次松弛操作，查找从源点到其他点的最短路径，其中进行松弛的过程是比较消耗时间的。
二、全源最短路径问题全源最短路径问题是指求解所有点之间的最短路径问题。
解法有两种：Floyd算法和Johnson算法。
3. Floyd算法Floyd算法是一种动态规划算法，算法将所有点对之间的最短路径逐步推进，通过枚举中间点，得到更加精细的状态转移方程和最短路径。
时间复杂度为O(n^3)，因此带来的计算负担较大。
4. Johnson算法Johnson算法目前是解决稠密图最短路径问题的最好算法之一。
Johnson算法先通过引入虚拟点，将原图转化为一个没有负权边的新图，再对新图使用Dijkstra算法进行求解。
该算法的时间复杂度为O(mnlogn)，其中m为边的条数，n为点的个数。
综上所述，最短路径问题是图论中的重要问题之一。
对于单源最短路径问题，Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是常用的解法；全源最短路径问题，Floyd算法和Johnson算法是较为常用的解法。
最短路径问题
最短路径问题最短路径问题是图论中一个重要的研究领域，即求解两个节点之间的最短路径。
在实际生活中，最短路径问题有着广泛的应用，例如导航系统、交通规划以及网络通信等领域。
本文将介绍最短路径问题的定义、常见算法以及应用实例。
一、定义最短路径问题可以用来求解从一个节点到另一个节点的最短路径。
在图论中，最短路径通常指的是路径上的边的权重之和最小。
图可以由节点和边组成，边可以有权重，表示两个节点之间的距离或成本。
最短路径问题的目标是找到两个节点之间的路径，使得路径上的边的权重之和最小。
二、算法1. Dijkstra算法Dijkstra算法是解决最短路径问题的经典算法之一。
该算法采用贪心策略，逐步确定起点到其他节点的最短路径。
具体步骤如下：（1）初始化距离数组，起点到起点的距离为0，所有其他节点的距离为无穷大。
（2）选择一个未被访问过的节点，标记为当前节点。
（3）对于当前节点的所有邻居节点，更新其距离为当前节点距离加上边的权重，并更新最短路径。
（4）继续选择未被访问过的节点中最短路径最小的节点，标记为当前节点，重复步骤（3）。
（5）重复步骤（3）和（4），直到所有节点都被访问过。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的数量。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种解决最短路径问题的算法。
与Dijkstra 算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
该算法通过迭代更新距离数组，逐步确定最短路径。
具体步骤如下：（1）初始化距离数组，起点到起点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。
（2）对于图中的每条边，重复以下步骤：a. 从边的起点到终点的距离是否可以通过起点到起点的距离加上边的权重来达到更小值。
b. 如果是，则更新终点的距离为该更小值。
（3）重复步骤（2）|V|-1次，其中V为节点的数量。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的数量，E为边的数量。
最短路径法
最短路径法
最短路径法是用于在给定条件下从一点A到一点B找到一条最短的路径的一种算法。
它是用于求解带有权重的有向图的最短路径的方法。
它的目的是要在图的给定顶点之间找到一条最短的路径，主要是通过考察不同的路径，从而找到效率最高的路径，以期达到最优化的目的。
最短路径算法的原理是：设定一个源节点并且把它设置为一个较小的值0这就是称作“最小花费”，其他非源节点初始设置一个任意值。
从源节点开始，当你可以到达目标节点时，就从图中得到一条路径。
接下来，所有连接源节点的边都会被检索，然后把源节点附近任一某点当作新的源节点，重复上述步骤，一直到找到目标节点。
最短路径算法常用的方法有：贪心法、迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
贪心法(Greedy Algorithm)根据每一步的最优选择来处理问题，而迪杰斯特拉算法(Dijkstra's Algorithm)是一种基于动态规划来求解最短路径的简单的单源最短路径算法，这个算法无法处理权重为负值的情况，而弗洛伊德算法(Floyd-Warshall Algorithm)则可以处理负权重情况，这是一种基于动态规划的方法，它可以求出一个有向图中任意给定两点之间最短路径。
最短路径算法可以应用于许多场景，如寻找交通路线的最短距离、物流路线的最佳排序等，其应用领域较为广泛。
最短路径算法拥有给定时间复杂度，可在具有稀疏性特征的图上进行有效求解，以及不断发展改进的算法，这使它被广泛应用于实际中。
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a4
3
4
a5
2
2
a6
2
5
a7
6
6
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6
7
9.6 最短路径
一 问题的提出
交通咨询系统、通讯网、计算机网络 路径长度：路径上边的权值之和 最短路径：两结点间权值之和最小的路径
例：求V0到V4最短路径
V0到V4 路径： V0 V4
45
V0 V1 V4
60
V0 V2 V3 V4 60
V0 V2 V3 V1 V4 55
l-e 0 2
3 0 2 3 0 0 3 0 0
练习题：
a1=3
V1 a2=2
a4=3
V2
a3=2
V4 a5=4
V5 a7=2
a8=1 V6
a6=3 V3
事件Vj 最早发生时间 最晚发生时间
V1
0
0
V2
3
4
V3
2
2
V4
6
6
V5
6
7
V6
8
8
活动ak 最早发生时间 最晚发生时间
a1
0
1
a2
0
0
a3
3
4
第九章 图
9.1 图的概念 9.2 图的存储结构 9.3 图的遍历 9.4 最小生成树 9.5 图的应用 9.6 最短路径
内容回顾
最短路径
拓扑排序 关键路径
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法 弗洛伊德(Floyd)算法
求关键路径步骤
• 求Ve(i)
• 求Vl(j)
1
• 求e(i)
• 求l(i)
v5
(v0,v4,v3,v5)
V5 100 30
60 V4
V0 10 10 20
V1 5
V2
V3 50
最 终点 v1 短 步骤1 路 径 步骤2
v5 vi
10
(v0,v2)
30
100 v2
(v0,v4) (v0,v5)
60 (v0,v2,v3)
50 (v0,v4,v3)
最 终点 v1 短 步骤1 路 径 步骤2 求 步骤3 解 步骤4 过 程
v2
v3
v4
v5
vi
10
(v0,v2)
30
100 v2
(v0,v4) (v0,v5)
60 (v0,v2,v3)
50 (v0,v4,v3)
30
100 v4
(v0,v4) (v0,v5)
90 (v0,v4,v5)
v3
60
最短路径长度值;
它们的值为原来值与新值的较小者; 新值是vi的最短路径长度值加上vi到该顶点的路径长度
不断重复选取和修改操作，直到S包含全部顶点;
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法举例
V5 60
100
30
V4
V0
10 10
20
V1
V3
5 V2 50
带权邻接矩阵为:
10 30 100 5 50 10 20 60
• 计算l(i)-e(i)
顶点
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9
Ve Vl
00 66 46 58 77 7 10 16 16 14 14 18 18
2
7
5
9
3
8
4 a6=2 6
活动
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11
el 00 02
03 66 46 58 77 77 7 10 16 16 14 14
45
50
10
V0
V1
35
20 10 20
V2 15
V3 5
V4
30 V5
9.6 最短路径
9.6.1 单源点的最短路径
给定带权有向图G和源点v,求从v到G中其余各顶点的 最短路径
例:求v0到其余顶点的最短路径
V5 60
100
30
V4
V0
10 10
20
V1
V3
5 V2 50
始点 终点 最短路径 路径长度
加入B： 6 0 2 路径： BA
BC
370
CA CAB
04 6
AB ABC
加入C： 5 0 2 路径： BCA
BC
370
CA CAB
– 逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点 后路径变短，则修改之；否则，维持原值
– 所有顶点试探完毕，算法结束
例
6
A 4B
3 11
2
C
0 4 11
AB AC
初始： 6 0 2 路径： BA
BC
30
CA
0 4 11
AB AC
加入A： 6 0 2 路径： BA
BC
370
CA CAB
04 6
AB ABC
30
100 v4
(v0,v4) (v0,v5)
90 (v0,v4,v5)
v3
60
v5
(v0,v4,v3,v5)
V5 100 30
60 V4
V0 10 10 20
V1 5
V2
V3 50
9.6 最短路径
9.6.2 每一对顶点间的最短路径
给定带权有向图G,求G中每个顶点到其余各顶 点的最短路径
例:求有向网G的每一对顶点的最短路径
v0 v1
无
v2 (v0,v2)
10
v3 (v0,v4,v3)
50
v4 (v0,v4)
30
v5 (v0,v4,v3,v5) 60
算法步骤：
设置两个顶点的集合T和S;
S存放已找到最短路径的顶点 T存放还未找到最短路径的顶点
初始时,S只包含源点v0 S={V0},T={其余顶点}; 从T中选取某个顶点vi加入到S中 (要求路径长度最短) S中每加入一个顶点vi,都要修改顶点v0到T中剩余顶点的
V0 6 4 V1
3 11 2 V2
有向网G
0 4 11 602 3 0
邻接矩阵
• 方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n 次—— T(n)=O(n³)
• 方法二：弗洛伊德(Floyd)算法
– 算法思想：逐个顶点试探法
• 求最短路径步骤:
– 初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存 在弧<Vi,Vj>，则对应元素为权值；否则为