数据结构第九章图最短路径详解

最 终点 v1 短 步骤1 路 径 步骤2 求 步骤3 解 步骤4 过 程
v2
v3
v4
v5
vi
10
(v0,v2)
30
100 v2
(v0,v4) (v0,v5)
60 (v0,v2,v3)
50 (v0,v4,v3)
30
100 v4
(v0,v4) (v0,v5)
90 (v0,v4,v5)
v3
60
v5
(v0,v4,v3,v5)
V5 100 30
60 V4
V0 10 10 20
V1 5
V2
V3 50
最 终点 v1 短 步骤1 路 径 步骤2 求 步骤3 解 步骤4 过 程
v2
v3
v4
v5 vi
10
(v0,v2)
30
100 v2
(v0,v4) (v0,v5)
60 (v0,v2,v3)
50 (v0,v4,v3)
第九章 图
9.1 图的概念 9.2 图的存储结构 9.3 图的遍历 9.4 最小生成树 9.5 图的应用 9.6 最短路径
内容回顾
最短路径
拓扑排序 关键路径
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法 弗洛伊德(Floyd)算法
求关键路径步骤
• 求Ve(i)
• 求Vl(j)
1
• 求e(i)
• 求l(i)
加入B： 6 0 2 路径： BA
BC
370
CA CAB
04 6
AB ABC
加入C： 5 0 2 路径： BCA
BC
370
CA CAB
v0 v1
无
v2 (v0,v2)
10
v3 (v0,v4,v3)
50
v4 (v0,v4)
30
v5 (v0,v4,v3,v5) 60
算法步骤：
设置两个顶点的集合T和S;
S存放已找到最短路径的顶点 T存放还未找到最短路径的顶点
初始时,S只包含源点v0 S={V0},T={其余顶点}; 从T中选取某个顶点vi加入到S中 (要求路径长度最短) S中每加入一个顶点vi,都要修改顶点v0到T中剩余顶点的
最短路径长度值;
它们的值为原来值与新值的较小者; 新值是vi的最短路径长度值加上vi到该顶点的路径长度
不断重复选取和修改操作，直到S包含全部顶点;
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法举例
V5 60
100
30
V4
V0
10 10
20
V1
V3
5 V2 50
带权邻接矩阵为:
10 30 100 5 50 10 20 60
a4
3
4
a5
2
2
a6
2
5
a7
6
6
a8
6
7
9.6 最短路径
一 问题的提出
交通咨询系统、通讯网、计算机网络 路径长度：路径上边的权值之和 最短路径：两结点间权值之和最小的路径
例：求V0到V4最短路径
V0到V4 路径： V0 V4
45
V0 V1 V4
60
V0 V2 V3 V4 60
V0 V2 V3 V1 V4 55
30
100 v4
(v0,v4) (v0,v5)
90 (v0,v4,v5)
v3
60
v5
(v0,v4,v3,v5)
V5 100 30
60 V4
V0 10 10 20
V1 5
V2
V3 50
9.6 最短路径
9.6.2 每一对顶点间的最短路径
给定带权有向图G,求G中每个顶点到其余各顶 点的最短路径
例:求有向网G的每一对顶点的最短路径
• 计算l(i)-e(i)
顶点
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9
Ve Vl
00 66 46 58 77 7 10 16 16 14 14 18 18
2
7
5
9
3
8
4 a6=2 6
活动
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11
el 00 02
03 66 46 58 77 77 7 10 16 16 14 14
V0 6 4 V1
3 11 2 V2
有向网G
0 4 11 602 3 0
邻接矩阵
• 方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n 次—— T(n)=O(n³)
• 方法二：弗洛伊德(Floyd)算法
– 算法思想：逐个顶点试探法
• 求最短路径步骤:
– 初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存 在弧<Vi,Vj>，则对应元素为权值；否则为
– 逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点 后路径变短，则修改之；否则，维持原值
– 所有顶点试探完毕，算法结束
例
6
A 4B
3 11
2
C
0 4 11
AB AC
初始： 6 0 2 路径： BA
BC
30
CA
0 4 11
AB AC
加入A： 6 0 2 路径： BA
BC
370
CA CAB
04 6
AB ABC
l-e 0 2
3 0 2 3 0 0 3 0 0
练习题：
a1=3
V1 a2=2
a4=3
V2
a3=2
V4 a5=4
V5 a7=2
a8=1 V6
a6=3 V3
事件Vj 最早发生时间 最晚发生时间
V1
0
0
V2
3
4
V3
2
2
V4
6
6
V5
6
7
V6
8
8
活动ak 最早发生时间 最晚发生时间
a1
0
1
a2
0
0
a3
3
4
45
百度文库
50
10
V0
V1
35
20 10 20
V2 15
V3 5
V4
30 V5
9.6 最短路径
9.6.1 单源点的最短路径
给定带权有向图G和源点v,求从v到G中其余各顶点的 最短路径
例:求v0到其余顶点的最短路径
V5 60
100
30
V4
V0
10 10
20
V1
V3
5 V2 50
始点 终点 最短路径 路径长度