牛顿—莱布尼兹公式

b
a f ( x)dx F(b) F(a)
这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为
b f ( x)dx F ( x ) b F (b) F (a)
a
。
a
证： 由定积分定义，任给 0 ，要证存在 0,
n
当||T || 时，有| f (i )xi [F(b) F(a)]| i 1
n
n
F (i )xi f (i )xi
(2)
i 1
i 1
因为 f 在 [a, b] 上连续，从而一致连续，所以对上述
0 ，存在 0, 当 x、x [a,b] 且| x x |
时，有：| f ( x) f ( x) |
2 牛顿-莱布尼兹公式
用定义来计算定积分一般是很困难的， 下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不 仅为定积分的计算提供了一个有效的方 法，而且在理论上把定积分与不定积分 联系了起来。
源自文库
定理9.1 若函数f ( x)在[a, b] 上连续，
且存在原函数 F ( x)，则 f ( x)在[a, b]
上可积，且
[0 , 1]上的一个积分和（这里所取的是等分分割），
xi

1 n
,i

i n
[i
1, n
i ], i n

1, 2,L
,n
1 dx
1
所以：J 0 1 x ln(1 x) |0 ln 2
注：也可以把J看作 f ( x) 1 在 [1 , 2] 上的定积分， x
同样有： J 2 dx 3 dx L ln 2
2
3
例2 利用定积分求极限：
11
1
lim( L ) J
n n 1 n 2
2n
解： 把此极限式化为某个积分和的极限式，并 转化为计算定积分。为此作如下变形：
n
J lim
1 1
1 n i1
i n
n
不难看出，其中的和式是函数 f ( x) 1 在区间
1 x
|ba

1 (bn1 n1
an1 )
2)
b dx a x2
(0

a

b)


1 x
|ba
11 ab
3)
2
x
0
4 x2 dx
1 3
(4
x2 )3
|02
8 3
x 4 x2 dx 1 x 4 x2 d(4 x2 ) 1 (4 x2 )3 C
事实上，对于[a , b] 的任一分割T a x0,a1,L , xn b
在每个小区间[ xi1 , xi ] 上对F ( x) 使用拉格朗日中值
定理，则分别存在 i ( xi1, xi ), i 1, 2,L , n,
n
使得： F (b) F (a) [F ( xi ) F ( xi1)] i 1
ba
于是，当xi || T || 时，任取i [ xi1, xi ],
便有 | i i | ，这就证得
n
| f (i )xi [F(b) F(a)]| i 1
n
| [ f (i ) f (i )]xi | i 1
n
| f (i ) f (i ) | xi
2）对 f 的要求可削减为：在[a,b] 上可积。这
时（2）式仍成立，且由 f 在 [a,b]上可积，
b
（2）式右边当 || T || 0 时的极限就是 a f ( x)dx,
而左边恒为一常数。
例1 利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分：
1) b xndx（n为正整数） a

x n
n1
1
i 1


ba
n i 1
xi


所以 f 在[a,b] 上可积，且有公式成立
注1 ：在应用牛顿-莱布尼茨公式时，F ( x)可由积分 法求得。
注2： 定理条件尚可削减，例如：
1）对F 的要求可削减为：在 [a, b]上连续，在 [a,b] 内可导，且F(x) f (x), x [a ,b]
1 x 2 x1
例 3 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
成的平面图形的面积.
解
面积 A

sin xdx
0
y
cos x0 2. o
x