牛顿—莱布尼兹公式
牛顿莱布尼兹公式
极限来判定有界函数的可积性来说，简单得多了。 常用定理9.3' 证明有界函数的可积性较方便。
7
三、 可积函数类 根据可积的准则，我们可以证明下面三种类型的函数必是可积的。 定理9.4 若f在[a, b]上连续，则f在[a, b]上必可积。 证 定理9.5 若f是区间[a, b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在 [a, b]上必可积。 证 定理9.6 若f是区间[a, b]上的单调函数，，则f在[a, b]上必可积。 证
4
思路与方案: 1. 思路与方案 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于 分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 ξi T , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无 关的条件 。 方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s (T ) ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 达布和: 2. 达布和
b
∫ f ( x)dx = F (b) F (a).
a
称为牛顿 莱布尼茨公式，它常写成： f ( x)dx = F ( x) b = F (b) F (a ). a ∫
a
b
证
1
公式使用说明：
1、 在应用公式求∫ f ( x)dx 时，f ( x)的原函数必须是初等函数，否则使用
a b
公式求∫ f ( x)dx失效。即f ( x)的原函数F ( x)可由∫ f ( x)dx求出。
§8.2 牛顿—莱布尼兹公式 若用定积分定义求
b a
∫ f ( x ) dx
a
b
，一般来说是比较困难的。是否有
较简便的方法求 ∫ f ( x ) dx ？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅 为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与 不定积分联系了起来。
牛顿兰布尼兹公式
牛顿兰布尼兹公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，它在数学的发展历程中具有举足轻重的地位。
咱先来说说这个公式到底是啥。
简单来讲，牛顿-莱布尼茨公式表示为：如果函数 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数，那么∫(从 a 到 b) f(x)dx = F(b) - F(a) 。
这看起来是不是有点复杂？别急，咱慢慢捋一捋。
记得我之前教过一个学生小明，他在刚开始接触这个公式的时候，那叫一个头疼。
他总是瞪着大眼睛问我：“老师，这到底是啥意思啊？”我就跟他说：“小明啊，你就想象有一条路，f(x) 就是你在路上走的速度，而 F(x) 就是你走的路程。
这个公式就是在告诉你，从 a 点走到 b 点，你总共走了多远。
”小明似懂非懂地点点头。
为了让小明更好地理解，我给他举了一个特别实际的例子。
我说：“假设你在跑步，速度不是一直不变的，而是随着时间变化的。
比如前半段你跑得慢，后半段跑得快。
那我们怎么知道从开始到结束你一共跑了多远呢？这时候牛顿-莱布尼茨公式就派上用场啦。
”然后我带着小明一步一步地算，先找到速度函数 f(x) 的原函数 F(x) ，再把起点和终点的值代进去相减。
小明一开始总是算错，不是符号搞错了，就是计算出错。
但他特别有耐心，一遍一遍地算。
经过一段时间的练习，小明终于掌握了这个公式。
有一次小测验，考到了相关的题目，小明不仅做对了，还举一反三，用不同的方法验证了自己的答案。
其实啊，牛顿-莱布尼茨公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多数学问题的大门。
比如说，计算曲线围成的面积、物体运动的路程等等。
在实际应用中，它的作用可大了。
比如在物理学中，计算变力做功的时候，我们就可以用这个公式。
想象一个物体受到的力不是恒定的，而是随着位置变化的，那要计算这个力做的功，就得靠它啦。
再比如在工程领域，设计一个复杂的结构，要计算某个参数的变化量，也可能会用到这个公式。
总之，牛顿-莱布尼茨公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去理解，多做练习，就能发现它的美妙之处，就像小明一样，从一开始的迷茫到最后的熟练掌握，这个过程充满了挑战，但也充满了乐趣。
牛顿-莱布尼茨公式
• 牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也 被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函 数或者不定积分之间的联系。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增 量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了 这一公式，[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了 这一公式。[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名 为牛顿-莱布尼茨公式。
原函数存在定理
• 原函数是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函 数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的 任一点都 举例dF(x)=f(x)dx。 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的定义
• 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存 在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 • 若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函 数F(x)为函数f(x)的原函数。 • 例：sinx是cosx的原函数。
公式应用
• 牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可 以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围 成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算 坝体的填筑方量。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运 动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的 万有引力。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式 在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支 中都有体现。
不等式证明
• 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当 积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据 被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到 证明不等式成立的目的。 • 在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便 去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用 积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运 用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本 不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可 以得到“>”的结论, 或者成功的算中, 如果 含有定积分式, 常常可以运用 定积分的相关知识, 比如积分 中值定理等, 把积分
牛顿-莱布尼茨公式与应用
牛顿-莱布尼茨公式与应用牛顿-莱布尼茨公式，也被称为积分基本定理，是微积分的基石之一。
该公式使我们能够计算定积分，并在物理、经济学、工程学等领域中广泛应用。
公式表述如下：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数F(x)在[a,b]上可导，且有：∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)牛顿-莱布尼茨公式表明，一个函数的原函数在给定区间上的定积分等于该函数在该区间上的两个端点处的函数值的差。
这个公式的证明相对复杂，牵涉到微积分中的基本概念和原理。
在此我们将重点关注它的应用。
1. 面积计算：牛顿-莱布尼茨公式可以帮助我们计算曲线下的面积。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续且非负，函数的图像与x轴之间的面积可以表示为该区间上的定积分。
例如，当我们想要计算x轴和函数y = x^2之间的面积时，可以将该问题转化为计算定积分∫[a,b]x^2 dx。
根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以找到函数F(x)的原函数，并计算出差值F(b)-F(a)。
2. 物理学中的应用：牛顿-莱布尼茨公式在物理学中有广泛应用。
例如，在运动学中，我们可以使用该公式来计算弹簧振子的总能量，或者计算物体在力场中受力移动的功。
3. 经济学中的应用：牛顿-莱布尼茨公式在经济学中也有一定的应用。
经济学家可以使用该公式来计算市场需求曲线下的总消费量，或者计算企业成本曲线下的总成本。
这有助于经济学家更好地理解市场活动和经济指标。
4. 工程学中的应用：在工程学中，牛顿-莱布尼茨公式可以帮助我们计算流体力学等领域中复杂的问题。
例如，工程师可以使用该公式来计算管道中液体的流量，或者计算建筑物中承重梁的受力分布。
总结：牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要定理，它在各个学科领域中都有广泛应用。
通过该公式，我们可以更好地理解和解决数学问题，并将其应用于实际生活和工作中。
无论是计算面积，还是分析物理、经济学、工程学等问题，牛顿-莱布尼茨公式都发挥着至关重要的作用。
牛顿布莱尼公式推导
1牛顿布莱尼茨公式牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.2牛顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很小时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)3牛顿布莱尼茨公式意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
牛顿莱布尼茨公式课件
则
a
f (x)dx 2
a
f (x)dx
a
0
2若f (x)为奇函数, 则 a f (x)dx 0. a
定理2 设函数f (x)为周期为T的连续函数,
则
aT
T
a f (x)dx 0 f (x)dx.
以上两个定理可以作为性质用.
例9
计算
1
2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式
3.微积分基本公式
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
三、定积分计算方法
（一）Newton Leibniz公式
b a
f
(x)dx
F(b)
F (a)
F ( x)
b a
(1)求原函数(即不定积分);
(2)计算F(b) F(a).
例1.计算 1 1 x2 dx.(参照第一节例26) 0
y
( x)
oa
x x x b x
定理1 设函数在区间[a , b]上连续 , 则
(x) x f (t)dt在区间[a , b]上可导,且 a x (x) (a f (t)dt) f (x).
定理2 设函数f (x)在区间[a , b]上连续 ,
则
x
(b]上的一个原函数.
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
牛顿-莱布尼茨公式.
i 1
n
n
F '(i )xi f (i )xi
i 1 i 1
n
（2）
首页
×
因为f在[a,b]上连续, 从而一致连续, 所以对上述
0, 存在 0, 当 x' 、 x''∈[a,b]且 x' x'' 时，有
i
i 1 i
i 1,2,
,n ). 所以 J 0
1
1 dx ln(1 x ) ln 2. 1 x 0
当然， 也可把J看作 f ( x )
J
2 1
1 同样有 x 在[1,2]上定积分，
3 dx dx 2 x1 x
ln 2.
首页
×
是要把所求的极限转化为 注 这类问题的解题思想， 然后利用 某个函数f(x)在某一区间[a,b]上的积分和的极限， 牛顿—菜布尼茨公式计算 J
n
2）
b b a e dx e e e . a a
b x x
3）
b
a
dx 1b 1 1 . 2 x xa a b
首页
×
4） （这是图9-6所示正弦曲线 一拱下的面积，其余各题也可作
此联想.）
，
0
sin xdx cos x
0
2.
5） 先用不定积分法求出 f ( x ) x 4 x 2 的任一原函数， 然后完成定积分计算：
1 ) J . 2n
解 把此极限式化为某个积分和的极限式， 并转化为计 算定积分. 为此作如下变形：
《牛顿莱布尼茨公式》课件
牛顿莱布尼茨公式定义为一个函数在一个区间上的定积分等于该函数在区间端点上的值之差与一个关于该函数在 区间内所有点的平均值的权重的积分之和。公式表示为：∫(a,b) f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
牛顿莱布尼茨公式的历史背景
总结词
牛顿莱布尼茨公式是微积分发展史上的重要里程碑，为解决定积分问题提供了有 效的方法计算系统的传递函数。通过使用牛顿
-莱布尼茨公式，我们可以找到传递函数的原函数，从而更好地理解系
统的动态行为。
02
流体动力学
在流体动力学中，我们经常需要计算流体在管道或容器中的压力和速度
分布。通过使用牛顿-莱布尼茨公式，我们可以找到这些量作为位置的
函数的定积分。
03
热力学
在热力学中，我们经常需要计算系统的热量和熵等量。通过使用牛顿-
莱布尼茨公式，我们可以找到这些量作为温度的函数的定积分。
05
牛顿莱布尼茨公式的扩展与
深化
广义的牛顿莱布尼茨公式
广义的牛顿莱布尼茨公式是指将积分上限和下限扩展到任意 实数，甚至扩展到复数域的情况。这使得积分运算的范围更 加广泛，能够处理更复杂的数学问题。
的函数的定积分。
解决力学问题
在解决与力、运动和牛顿第二定 律相关的问题时，牛顿-莱布尼 茨公式可以帮助我们找到物体的
位移、速度和加速度。
电磁学中的应用
在电磁学中，我们经常需要计算 电场和磁场的能量密度。通过使 用牛顿-莱布尼茨公式，我们可 以找到这些量作为空间位置的函
数的定积分。
在工程领域的应用
01
详细描述
牛顿和莱布尼茨分别独立地发现了这个公式，并为其证明做出了贡献。在此之前 ，计算定积分需要使用复杂的几何方法或数值近似法，而牛顿莱布尼茨公式提供 了一种简便且精确的计算方法，极大地推动了微积分学的发展。
牛顿莱布尼茨公式
牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式，也称为牛顿-莱布尼茨公式，是微积分中的一个重要公式，用于计算定积分。
该公式由英国科学家艾萨克·牛顿和德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨独立发现并证明。
牛顿-莱布尼茨公式为我们提供了计算曲线下面积的有效方法，对于解决许多实际问题具有重要意义。
公式描述：设函数f(x)在[a, b]上连续，F(x)是f(x)在[a, b]上任意一点的原函数，则有：∫(a->b) f(x) dx = F(x) ∣[a,b]这个公式表示了一个函数在给定区间上的定积分可以通过该函数在区间端点处的原函数值之差来表示。
解释与推导：牛顿-莱布尼茨公式的推导相对简单理解。
可以将函数f(x)对变量x进行微分，得到函数f'(x)。
如果函数f(x)具有原函数F(x)，即F'(x)=f(x)，则有dF(x)=f(x)dx。
根据微积分中的基本定理，曲线下的定积分可以用该函数的原函数在两个端点的值之差来计算。
即∫(a->b) f(x) dx = F(x) ∣[a,b]。
这个公式的直观解释是，曲线下的定积分可以通过由曲线围成的区域面积来进行计算。
通过求解曲线的原函数F(x)，我们可以获得曲线在给定区间上的每个点的切线斜率，从而计算得到曲线下的面积。
应用：牛顿-莱布尼茨公式在实际应用中非常有用。
它被广泛应用于物理学、工程学以及经济学等领域中的面积、概率和积分等计算问题。
在物理学中，我们可以使用该公式来求解质点在曲线上的运动的路径长度、速度、加速度等相关问题。
例如，通过计算曲线下的定积分，我们可以求得一个物体在给定时间内的位移。
在工程学中，牛顿-莱布尼茨公式可以用来计算复杂形状的曲线的面积，比如计算土地的面积或建筑物的体积等问题。
在经济学中，该公式可以用来计算需求曲线和供给曲线之间的面积，从而帮助我们估计市场的需求和供给。
总结：牛顿-莱布尼茨公式是微积分中非常重要的一个公式，它为我们提供了一种有效计算曲线下面积的方法。
二元函数的牛顿-莱布尼茨公式
二元函数的牛顿-莱布尼茨公式
二元函数的牛顿-莱布尼茨公式是一种用于计算二元函数的导数的公式，也被称为“多元链式法则”。
这个公式可以用于计算二元函数在某个点的导数，也可以用于计算二元函数在某个区域内的积分。
公式的表述如下：
设$z=f(x,y)$ 是一个二元函数，而$x$ 和$y$ 都是关于某个变量$t$ 的函数，则可以得到如下的公式：
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$
这个公式的意思是，一个二元函数的导数可以通过对其分别求偏导数，然后用每个偏导数乘以对应自变量的导数，最后将它们相加得到。
需要注意的是，这个公式只适用于可微的函数。
如果函数不可微，则可能会出现误差，导致计算结果不准确。
此外，在应用公式时还需要注意变量的范围和定义域，以避免出现误解和错误的计算结果。
数分牛顿-莱布尼茨公式
f ( )x f ( )x
i 1 i i i 1 i
n
n
i
f ( ) f ( )x
i 1 i i
n
i
x ba
i 1
n
i
所以 f ( x) 在 [a, b] 上可积，且
注 1
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
由Lagrange中值定理 F (b) F (a) f ( k )xk k 1 k ( xk 1 , xk ) 因 f 在 [a, b] 可积，令 b max x k 0 ，则上式右边 f ( x)dx
1 k n
n
a
所以
F (b) F (a) f ( x)dx .
成的平面图形的面积.
解 面积 A sin xdx
0
y
1 dx. x
cos x
0
2.
o
x
例2
1 1 1 求 lim . n n n n1 n 2
解
n n 1 n 原 式 lim n n1 n n1 n1
1 1 1 n 1 1 1 lim lim n n n n i n i 1 1 1 1 2 1 1 n n n n
1 1 0 dx ln1 x 0 ln 2. 1 x
求极限：
1 sin xdx. 0
i
x i
1
(cos0 cos )
2
.
如何简单的牛顿莱布尼茨公式证明
如何简单的牛顿莱布尼茨公式证明牛顿- 莱布尼茨公式可是微积分里的重要内容呢，要说简单证明它，那咱们可得好好说道说道。
咱先来说说这公式到底是啥。
牛顿 - 莱布尼茨公式表述为：如果函数 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数，那么∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a) 。
这公式就像一把神奇的钥匙，能帮我们解决好多积分的问题。
那怎么证明它呢？咱们一步步来。
假设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，F(x) 是 f(x) 的一个原函数。
咱先想想定积分的定义。
定积分就是把区间 [a, b] 分成很多很小很小的小段，每一小段的长度用Δx 表示。
然后在每一小段上取一个点ξi，计算f(ξi)Δx 的和。
当这些小段分得越来越细，越来越多的时候，这个和就会趋近于定积分的值。
那咱们来看看 F(x) 的性质。
因为 F(x) 是 f(x) 的原函数，所以 F'(x)= f(x) 。
咱们设 xi 是区间 [a, b] 上的分割点，形成的小区间是 [xi - 1, xi] 。
这时候，F(x) 在区间 [xi - 1, xi] 上的增量可以表示为：F(xi) - F(xi - 1) 。
根据导数的定义，当Δx 趋近于 0 时，[F(xi) - F(xi - 1)] / Δx 趋近于F'(xi) ，也就是 f(xi) 。
所以，F(xi) - F(xi - 1) 就约等于f(xi)Δx 。
把这些小区间上的增量加起来，就得到：∑[i = 1 到 n](F(xi) - F(xi - 1)) ，这其实就等于 F(b) - F(a) 。
而当分割越来越细，n 趋向于无穷大时，∑[i = 1 到n]f(xi)Δx 就趋近于定积分∫[a,b]f(x)dx 。
所以就证明了∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a) 。
这证明过程听起来可能有点复杂，但多想想，多琢磨琢磨，其实也没那么难。
第二讲 牛顿-莱布尼茨公式
§5-3 牛顿－莱布尼兹公式
牛顿 Newton , lsaac
(1642~1727)
牛顿是他那时代的世界著 名的物理学家、数学家和天文学 家.关于微积分，牛顿总结了已 经由许多人发展了的思想，建立 起系统和成熟的方法，其最重要 的工作是建立了微积分基本定 理，指出微分与积分互为逆运算. 恩格斯在论述微积分产生过程 时说，微积分“是由牛顿和莱布 尼茨大体上完成的，但不是由他 们发明的”.在他写于 1671 年但 直到 1736 年他死后才出版的书 《流数法和无穷级数》中清楚地 陈述了微积分的基本问题.
42 3
5 3
2.
1
2 e2t dt
0
1
1 2
e2t
2
0
1 2
(e1
1)
3.
2 0
x 1 x
2
dx
1 2
21 0 1x2
d(1
x
2
)
1 2
ln(1
x2)
2 0
1 2
(ln 5 ln1)
1 2
ln 5
4.
dx 2 x2
1 x1
2 1
sin x ( cos x)dx
2
2 0
sin xd sin x
sin xd sin x
2
2
s
in
3 2
3
x
2 0
2
s
in
3 2
3
x
2
2 ( 2) 4 . 3 33
牛顿 莱布尼茨公式
因为函数在区间上可积，任取区间的分割 在区间上任取一点，则有 其次，对于分割，有 在区间上对函数应用拉格朗日中值定理得 其中因此有 证毕。
定理推广
二重积分形 式
曲线积分形 式
设函数在矩形区域上连续，如果存在一个二元函数，使得 ， 则二重积分
பைடு நூலகம்
与格林公式和高斯公式的设D为单连通区域，与在区域D上有连续的一阶偏导数， 若存在一个二元函数，使得 在区域D中任意取两个点，则对连接的任意一条光滑曲线L， 都有
发展简史
1670年，英国数学家伊萨克·巴罗在他的著作《几何学讲义》中以几何形式表达了切线问题是面积问题的逆 命题，这实际是牛顿-莱布尼茨公式的几何表述。
1666年10月，牛顿在它的第一篇微积分论文《流数简论》中解决了如何根据物体的速度求解物体的位移这一 问题，并讨论了如何根据这种运算求解曲线围成的面积，首次提出了微积分基本定理。
谢谢观看
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
定理定义
定义
弱化条件
如果函数在区间上连续，并且存在原函数， 则
如果函数区间上有定义，并且满足以下条件： （1）在区间上可积； （2）在区间上存在原函数 ； 则
公式推导
推导一
推导二
定义一个变上限积分函数，让函数获得增量，则对应的函数增量 根据积分中值定理可得， ，（ξ在x与x+Δx之间） ， 所以 ， 因为 ，所以，即 所以 即 证毕。
德国数学家莱布尼茨在研究微分三角形时发现曲线的面积依赖于无限小区间上的纵坐标值和，1677年，莱布 尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理：给定一个曲线，其纵坐标为y，如果存在一条曲线z，使得 dz/dx=y，则曲线y下的面积∫ydx=∫dz=z。
牛顿-莱布尼茨公式综述
牛顿-莱布尼茨公式综述1、简介：牛顿-莱布尼兹公式，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
2、定义：如果函数在区间上连续，并且存在原函数，则或[F(x)]a b3、证明：（1）积分上限函数在证明牛顿莱布尼茨公式前，需引入积分上限函数的概念为证明牛顿莱布尼茨公式铺路架桥。
a.定义：设函数f(x)在区间[a，b]上可积，且对任意在[a，x]上也可积，称变上限定积分为的积分上限函数，记为即b.原函数存在定理：设函数在区间[a，b]上连续，则积分上限函数在[a，b]上可导，并且即Φ(x)为f（x）的一个原函数。
这个定理一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步的揭示了积分学中的定积分与原函数之间的关系。
因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分。
C.证明：对于任意给定的给x以增量其绝对值足够的小，使得由的定义及定积分对区间的可加性，有再由定积分中值定理，得其中，在和之间。
由于假设f（x）在[a,b]上连续，令则从而由的连续性，得根据导数定义，得即证毕。
（2）牛顿-莱布尼茨公式：已知函数F（x）是连续函数f(x)的一个原函数，又根据原函数存在定理知，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。
于是这两个原函数之差F(x)-Φ(x)在[a,b]上必定是某一个常数C，即F(x)-Φ(x)=C (a≤x≤b).a f(x)dx=0可知Φ(a)=0.在上式中x=a，得F(a)-Φ(a)=C.又由Φ(x)的定义式及∫a因此C=F(a)。
牛顿莱布尼茨公式使用的条件
牛顿莱布尼茨公式使用的条件牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，用于计算定积分的值。
其一般形式为：∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)其中f(x) 是被积函数，F(x) 是f(x) 的一个原函数。
在使用牛顿-莱布尼茨公式进行定积分计算时，需要满足以下条件：1. 被积函数f(x) 在区间[a, b] 上连续。
如果被积函数不连续，可能导致公式不成立或结果错误。
2. 区间[a, b] 内的每一个点都存在一个原函数F(x)。
如果被积函数不存在原函数或者其他情况下找不到这样的原函数，可能也会导致公式不成立或结果错误。
3. 积分上限和下限都是确定的有限值。
无穷区间上的积分需要使用其他方法求解。
4. 公式的左边是定积分的值，右边是对应原函数在积分区间端点处的函数值之差。
因此，在使用公式计算定积分时，需要确保原函数在积分区间上是可导的。
在使用牛顿-莱布尼茨公式进行定积分计算时，需要仔细检查被积函数是否满足连续性、原函数是否存在可导等条件，以确保结果的准确性。
除了上述条件，使用牛顿-莱布尼茨公式进行定积分计算时，还需要注意以下几点：1. 原函数F(x) 的确定：在使用牛顿-莱布尼茨公式时，需要找到被积函数f(x) 的一个原函数F(x)。
对于常见的函数，可以通过求导得到其原函数。
但是，对于一些复杂的函数，其原函数可能非常难以求出，甚至不存在一个有限的解析表达式。
这时候我们需要寻找其他方法，如运用积分技巧、换元法、分部积分等等，来求得原函数。
2. 定积分边界的确定：使用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分时，需要明确积分区间的边界。
边界的确定可以根据实际问题进行分析，并且需要保证积分区间有限并且存在。
3. 函数连续性和可导性：使用牛顿-莱布尼茨公式时，被积函数f(x) 需要满足连续性，而对应的原函数F(x) 需要满足可导性。
因此，我们需要在使用该公式时，仔细考察原函数的导数是否存在，以及被积函数的连续性是否成立。
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时（2）式仍成立，且由 f 在 [a,b]上可积，
b
（2）式右边当 || T || 0 时的极限就是 a f ( x)dx,
而左边恒为一常数。
例1 利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分：
1) b xndx（n为正整数） a
x n
n1
1
i 1
ban i 1xi Nhomakorabea
所以 f 在[a,b] 上可积，且有公式成立
注1 ：在应用牛顿-莱布尼茨公式时，F ( x)可由积分 法求得。
注2： 定理条件尚可削减，例如：
1）对F 的要求可削减为：在 [a, b]上连续，在 [a,b] 内可导，且F(x) f (x), x [a ,b]
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为
b f ( x)dx F ( x ) b F (b) F (a)
a
。
a
证： 由定积分定义，任给 0 ，要证存在 0,
n
当||T || 时，有| f (i )xi [F(b) F(a)]| i 1
1 x 2 x1
例 3 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
成的平面图形的面积.
解
面积 A
sin xdx
0
y
cos x0 2. o
x
[0 , 1]上的一个积分和（这里所取的是等分分割），
xi
1 n
,i
i n
[i
1, n
i ], i n
1, 2,L
,n
1 dx
1
所以：J 0 1 x ln(1 x) |0 ln 2
注：也可以把J看作 f ( x) 1 在 [1 , 2] 上的定积分， x
同样有： J 2 dx 3 dx L ln 2
事实上，对于[a , b] 的任一分割T a x0,a1,L , xn b
在每个小区间[ xi1 , xi ] 上对F ( x) 使用拉格朗日中值
定理，则分别存在 i ( xi1, xi ), i 1, 2,L , n,
n
使得： F (b) F (a) [F ( xi ) F ( xi1)] i 1
2 牛顿-莱布尼兹公式
用定义来计算定积分一般是很困难的， 下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不 仅为定积分的计算提供了一个有效的方 法，而且在理论上把定积分与不定积分 联系了起来。
定理9.1 若函数f ( x)在[a, b] 上连续，
且存在原函数 F ( x)，则 f ( x)在[a, b]
上可积，且
|ba
1 (bn1 n1
an1 )
2)
b dx a x2
(0
a
b)
1 x
|ba
11 ab
3)
2
x
0
4 x2 dx
1 3
(4
x2 )3
|02
8 3
x 4 x2 dx 1 x 4 x2 d(4 x2 ) 1 (4 x2 )3 C
n
n
F (i )xi f (i )xi
(2)
i 1
i 1
因为 f 在 [a, b] 上连续，从而一致连续，所以对上述
0 ，存在 0, 当 x、x [a,b] 且| x x |
时，有：| f ( x) f ( x) |
ba
于是，当xi || T || 时，任取i [ xi1, xi ],
便有 | i i | ，这就证得
n
| f (i )xi [F(b) F(a)]| i 1
n
| [ f (i ) f (i )]xi | i 1
n
| f (i ) f (i ) | xi
2
3
例2 利用定积分求极限：
11
1
lim( L ) J
n n 1 n 2
2n
解： 把此极限式化为某个积分和的极限式，并 转化为计算定积分。为此作如下变形：
n
J lim
1 1
1 n i1
i n
n
不难看出，其中的和式是函数 f ( x) 1 在区间
1 x