2019年数学江苏南京高三三模数学试卷

2019年数学江苏南京高三三模数学试卷

一、填空题（共14小题；共70分）

1. 已知全集U={−1,2,3,a}，集合M={−1,3}．若∁U M={2,5}，则实数a的值为．

2. 设复数z满足z(1+i)=2+4i，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数为．

3. 甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：

则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是．

4. 从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的

概率是．

5. 执行如图所示的伪代码，输出的结果是．

S←1

I←2

While S≤100

I←I+2

S←S×I

End While

Print I

6. 已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β．

给出下列命题：① α∥β⇒l⊥m；② α∥β⇒l∥m；③ m∥α⇒l⊥β；④ l∥β⇒m∥α．其中正确的命题是（填写所有正确命题的序号）．

=．

7. 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n−2，则a8

a6

8. 设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则

双曲线的离心率为．

9. .如图，已知A，B分别是函数f(x)=√3sinwx(w>0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一

，则该函数的周期是．

个最低点，且∠AOB=π

2

10. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=2x−2，则不等式f(x−1)≤2的解集

是．

11. 如图，在梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，AB =4，AD =3，CD =2，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，

则 AB

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ．

12. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M ：(x −a )2+(y +a −3)2=1(a >0)，点 N 为圆 M 上任意一点．若以 N 为圆心，ON 为半径的圆与圆 M 至多有一个公共点，则 a 的最小值为 ．

13. 设函数 f (x )={x−1

e x ,x ≥a

−x −1,x

则实数 a 的取值范围为 ．

14. 若实数 x ，y 满足 2x 2+xy −y 2=1，则 x−2y

5x 2−2xy+2y 2 的最大值为 ．

二、解答题（共12小题；共156分）

15. 在 △ABC 中，已知 a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边．若向量 m ⃗⃗ =(a,cosA )，向量 n ⃗ =

(cosC,c )，且 m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =3bcosB ． Ⅰ 求 cosB 的值； Ⅱ 若 a ，b ，c 成等比数列，求 1

tanA +1

tanC 的值．

16. 如图，在直三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中，D 为棱 BC 上一点．

Ⅰ 若 AB =AC ，D 为棱 BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1． Ⅱ 若 A 1B ∥平面ADC 1，求 BD

DC 的值．

17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的离心率为√2

2

，点(2,1)

在椭圆C上．

Ⅰ求椭圆C的方程；

Ⅱ设直线l与圆O:x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．

①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；

②求证：OP⊥OQ．

18. 如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC=90∘，

AB=5千米，BC=8千米，CD=3千米．现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．

Ⅰ若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；

Ⅱ已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．

19. 设函数f(x)=−x3+mx2−m(m>0)．

Ⅰ当m=1时，求函数f(x)的单调减区间；

Ⅱ设g(x)=∣f(x)∣，求函数g(x)在区间[0,m]上的最大值；

Ⅲ若存在t≤0，使得函数f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2,t)，试求m的取值范围．

20. 已知数列{a n}的前n项的和为S n，记b n=S n+1

n

．

Ⅰ若{a n}是首项为a，公差为d的等差数列，其中a，d均为正数．

①当3b1，2b2，b3成等差数列时，求a

d

的值；

②求证：存在唯一的正整数n，使得a n+1≤b n

Ⅱ设数列{a n}是公比为q(q>2)的等比数列，若存在r，t(r,t∈N∗,r

b r =t+2

r+2

，求q

的值．

21. 如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A，H是

OC的中点，AH⊥BC．