自由落体运动规律 1

2 略计算时，我们可以取g＝ 10m/s
.
三、自由落体运动规律 1．自由落体运动实质上是初速度v0＝ 的 匀加速直线 运动． 速度公式：vt＝gt 1 2 2．基本公式 位移公式：s＝2gt 2 位移速度关系式：vt ＝ 2gs
0
，加速度a＝g
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一、测量重力加速度 1．实验方法 (1)借助纸带分析，利用逐差法计算得到当地重力加速度． (2)借助闪光照片记录自由落体物体在每隔一段时间后的位置 (频闪照相类似于打点计时器打点，但前者也可以用于曲线运动 的研究)，再由Δs＝gT2求出重力加速度．
图2－2－3
该同学用两种方法处理数据(T为相邻两计数点的时间间隔)：
图2－2－4
s2－s1 s3－s2 s6 －s5 方法一：由 g1＝ 2 ，g2＝ 2 ，……，g5＝ 2 ，取平 T T T 均值 g ＝8.667 m/s2； s4－s1 s5－s2 s6－s3 方法二：由 g1＝ 2 ，g2＝ 2 ，g3＝ 2 ， 3T 3T 3T 取平均值 g ＝8.673 m/s2. 从数据处理方法看，在 s1、s2、s3、s4、s5、s6 中，对实验结果 起作用的，方法一中有________；方法二中有________．因此， 选 择 方 法 ________( 一 或 二 ) 更 合 理 ， 这 样 可 以 减 小 实 验 的 ____________( 系 统 或 偶 然 ) 误 差 ． 本 实 验 误 差 的 主 要 来 源 有 ____________(试举出两条)．
解法二：由第3个小球和第5个小球的下落时间t3＝8T、t5＝ 6T知此时两球的瞬时速度分别为 v3＝gt3＝10×8×0.5 m/s＝40 m/s v5＝gt5＝10×6×0.5 m/s＝30 m/s
2 根据匀变速直线运动公式v2 t －v0＝2as得 2 2 2 v2 － v 40 － 30 3 5 Δh ＝ ＝ m＝35 m. 2g 2×10
解法四：利用初速度为零的匀加速直线运动的规律． 从时间t＝0开始，在连续相等的时间内位移之比等于以1开 始的连续奇数比．从第11个小球下落开始计时，经 T,2T，…9T,10T后它将依次到达第10个、第9个、…、第2个、第1 个小球的位置，各个位置之间的位移之比为1∶3∶5∶…∶17∶ 19，所以这时第3个小球和第5个小球间距离． 13＋15 28 Δh ＝ h＝ ×125 m＝35 m. 100 1＋3＋5＋…＋17＋19
s2＋s3)]，这种计算加速度的方法叫做“逐差法”．
(2)图象法 先用平均速度法求出各点的瞬时速度，然后在v－t图象中描 点作图，直线的斜率即为重力加速度g.
二、自由落体运动的规律 公式和推论 (1)速度公式：vt＝gt. 1 2 (2)位移公式：s＝ gt . 2 (3)速度位移关系式：v2 t ＝2gs. (4)连续相等的时间T内的位移之差：Δs＝gT2. vt (5)平均速度： v ＝ . 2
答案 见解析
借题发挥 由打点计时器或频闪照相求重力 加速度的一般方法为： (1)计算出各点的速度，由速度值根据速度 公式求加速度，最后取平均值． (2)计算出各点的速度，画出v－t图象，由图 线的斜率可求得重锤下落的加速度即重力加速 度． (3)用逐差法直接求加速度，要注意要尽可 能多选取一些数据．
故在误差允许范围内，物体的运动是 匀变速直线运动 ．
二、自由落体加速度 1．定义：在同一地点，物体做自由落体运动的加速度是一 个常量，这个加速度叫 重力加速度 2．方向： 竖直向下 ． ．
3．大小：地球上其大小随地理纬度的增加而增大，在赤道 上 最小
2 ，两极处 最大 ，一般计算中，常取g＝ 9.8 m/s 粗
要求此时第3个小球和第5个小球的间距，可采用下面的方 法．
解法一：由第3个小球下落时间t3＝8T，第5个小球下落时间 1 2 1 2 1 2 t5＝6T，h＝ gt ，得h3＝ gt3，h5＝ gt5 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 Δh＝h3－h5＝ gt3－ gt5＝ g(t3－t5)＝ ×10×28×0.52 m＝35 2 2 2 2 m.
(6)若从开始运动时刻计时，划分为相等的时间间隔T，则有 如下比例关系 ①T末、2T末、3T末…瞬时速度之比 v1∶v2∶v3∶…＝1∶2∶3∶… ②T内、2T内、3T内…位移之比 s1∶s2∶s3∶…＝1∶4∶9∶… ③第一个T内、第二个T内、第三个T内…位移之比 sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…＝1∶3∶5∶…
图2－2－6
解析 由题图可知，自由落体运动是：①直线运动，②变速 直线运动；③加速直线运动；④x为相邻小球间距，则x1∶x2∶ x3∶x4＝1∶3∶5∶…；⑤Δx＝1.6 cm＝恒量．要通过这幅频闪照 片测出自由落体加速度的方法为：①根据Δx＝aT2，其中T＝0.04 1 2 s．②由h＝ gt ，测出下落点与图中某一位置的距离x，确定相应 2 时间t，代入公式求解．③计算出图中某一位置的瞬时速度(由 v s ＝vt/2＝ t 即可求得)，再由vt＝gt求解．④计算出图中各位置对应 的瞬时速度(方法同③)，画出其v－t图象，图线的斜率代表g.
解析 对方法一 g1＋g2＋g3＋g4＋g5 g＝ 5 s2－s1＋s3－s2＋…＋s6－s5 s6－s1 ＝ ＝ . 5T2 5T2 从计算结果可看出，起到作用的只有s1和s6两个数据，其他 数据如s2、s3、s4、s5都没用上．
对方法二 g1＋g2＋g3 s4＋s5＋s6－s1＋s2＋s3 g＝ ＝ .从计算结果可看 2 3 9T 出，s1、s2、s3、s4、s5、s6六个数据都参与了运算，因此方法二 的误差更小，选择方法二更合理．本实验的误差来源除了上述由 测量和计算带来的偶然误差外，其他的误差还有阻力(包括空气 阻力，振针的阻力、限位孔及复写纸的阻力等)，打点计时器打 点的频率变动，长度测量，数据处理方法等．
(7)若从运动起点(初位置)划分为连续相等的位移x，则有如 下比例关系 ①连续相等的位移末的瞬时速度之比 v1∶v2∶v3∶…＝1∶ 2∶ 3∶…
2 推证：由v2 t －v0＝2as可直接得到．
②通过连续相等的位移所用时间之比 t1∶t2∶t3∶…＝1∶( 2－1)∶( 3－ 2)∶…
【典例 1】某同学用图 2－2－3 所示装置测量重力加速度 g， 所用交流电频率为 50 Hz.在所选纸带上取某点为 0 号计数点，然 后每 3 个点取一个计数点，所有测量数据及其标记符号如图 2－2 －4 所示．
解法三：由第4个小球下落时间t4＝7T，得到此时第4个小球 的瞬时速度v4＝gt4＝g· 7T＝10×7×0.5 m/s＝35 m/s 因为做匀变速直线运动的物体在某段时间内的平均速度等于 中间时刻的瞬时速度，所以此时第3个小球至第5个小球这段时间 内的平均速度 v ＝v4＝35 m/s 故这段时间内两球间距离 Δh ＝ v · 2T＝35×2×0.5 m＝35 m.
根据s4－s1＝(s4－s3)＋(s3－s2)＋(s2－s1)＝3a1T2，可得a1＝ s4－s1 s5－s2 s 6 －s 3 ，同理可得：a2＝ ，a3＝ .加速度的平均值为： a 3T2 3T2 3T2
a1＋a2＋a3 1 1 s4－s1 s5－s2 s6－s3 ＝ ＝ ＝ 2· [(s4＋s5＋s6)－(s1＋ 3 3 3T2 ＋ 3T2 ＋ 3T2 9 T
(3)落下一半时间即t′＝5 s，其位移大小为 1 1 2 h5＝ gt′ ＝ ×10×25 m＝125 m 2 2 (4)设落地时速度为v，由公式v2 t ＝2gh v＝ 2gh＝ 2×10×500 m/s＝100 m/s
答案 (4) 100 m/s
(1)10 s
(2) 5 m
95 m (3) 125 m
2．数据处理方法 (1)逐差法 如图2－2－2所示，s1、s2、s3…sn是相邻两计数点间的距离， Δs是两个连续相等的时间内的位移之差，即Δs1＝s2－s1，Δs2＝s3 －s2，…T是两相邻计数点间的时间间隔且T＝0.02n s(n为两相邻 计数点间的间隔数)．
图2－2－2
设物体做匀变速直线运动时经过计数点0时刻的初速度为 1 2 1 2 v0，加速度为a，由位移公式得：s1＝v0T＋ aT ，s2＝v1T＋ aT . 2 2 又因为v1＝v0＋aT，所以Δs＝s2－s1＝aT2.因为时间T是个恒量， 物体的加速度a也是个恒量，因此，Δs必然是个恒量．这表明， 只要物体做的是匀变速直线运动，它在任意两个连续相等的时间 内的位移之差就一定相等．
－3
m/s2＝9.75 m/s2.
答案
9.75 m/s2
【典例2】
一矿井深为125 m，在井口每隔一定时间自由下
落一个小球．当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰 好到达井底，则相邻小球开始下落的时间间隔为多少？这时第 3 个小球和第5个小球相距多远？(g取10 m/s2)
解析 设相邻小球开始下落的时间间隔为T，则第1个小球从 井口落至井底的时间t＝10T 1 2 1 由题意知h＝ gt ＝ g(10T)2 2 2 T＝ 2h ＝ 100g 2×125 s＝0.5 s. 100×10
答案 0.5 s 35 m
借题发挥 自由落体运动为初速度为0的匀 加速直线运动，匀加速直线运动的各个公式都 可在求解自由落体运动时灵活运用．
【变式2】 从离地500 m的空中由静止开始 自由落下一个小球，取g＝10 m/s2，求： (1)经过多少时间落到地面； (2)从开始落下的时刻起，在第1 s内和最后1 s内的位移大小； (3)落下一半时间的位移大小； (4)落地时小球的速度大小．
第二节
自由落体运动规律
1．理解自由落体运动是初速度为零的匀加 速直线运动． 2．理解自由落体运动的速度公式和位移公 式． 3．理解自由落体运动的速度、位移关系式.
一、猜想与验证 1．猜想：物体做自由落体运动时，运动方向始终 向下 ，即 速度的方向不变， 由频率为 50 Hz 打点计时器记录的自由落体运动 信息的纸带可以看出，如图 2－ 2－1 所示，在相同时间内物体的位 移 变大 ，即速度增大 ，自由落体运动可能是匀变速直线运动．
【变式 1】 如图 2－2－5 所示，为探究自由落体运动规律时 打出的一条纸带的一部分，试根据纸带分析重锤的运动情况并求 出自由落体的加速度的大小．
图 2－2－5
解析
由于相邻两点间的位移差分别为
Δs1＝s2－s1＝3.9 mm， Δs2＝s3－s2＝3.9 mm， Δs3＝s4－s3＝3.9 mm， Δs4＝s5－s4＝3.9 mm. 则相邻两点间位移差恒定，所以重锤做匀加速直线运动，且 释放时的初速度为 0. 由 Δx＝aT2 得，自由落体的加速度为 Δs 3.9×10 a＝ 2 ＝ T 0.022
图 2－2－ 1
2．则有： vt＝at 1 v ＝ vt 2 1 2 s＝ at 2 2s vt＝ t
3．验证：
3 sAC 7.7×10 vB＝ ＝ m/s＝0.193 m/s 2T 2×0.02
－
sBD vC＝ ＝0.5 m/s 2T sCE vD＝ ＝0.575 m/s 2T sDF vE＝ ＝0.767 m/s 2T vC－vB≈vD－vC≈vE－vD≈0.192 m/s Δv a＝ ＝9.6 m/s2 Δt
自由落体加速度——重力加速度
1. 如图 2－2－6 所示，频闪摄影是研究变速运动 常用的实验手段．在暗室中，照相机的快门处于常开状 态，频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光，照 亮运动的物体， 于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻 的位置．图中是小球自由下落时的频闪照片，频闪仪每 隔 0.04 s 闪光一次．根据这张频闪照片，你能获取关于 自由落体运动的哪些规律性的结论？如果要通过这张 照片测量自由落体加速度，可以采用哪些方法？ (照片 中的数字是小球距起落点的距离，单位：cm)
解析 t＝
1 2 (1)由h＝ gt ，得落地时间 2 2h g＝ 2×500 s＝10 s 10
(2)第1 s内的位移大小 1 2 1 h1＝ gt1＝ ×10×12 m＝5 m 2 2 因为从开始运动起前9 s内的位移大小为 1 2 1 h9＝ gt9＝ ×10×92 m＝405 m 2 2 所以最后1 s内的位移大小为 h10＝h－h9＝500 m－405 m＝95 m