一类无理函数值域问题的探讨

养 的 重 要途 径 。
关键词 ：无理 函数 ； 值域 ； 定义域； 向量 ； 换元法
中图 分 类 号 ：０１４ ７ 文 献标 识 码 ：Ａ 文章 编 号 ：１０ ４ ６ ２ １ ）３— １４— ２ ０７— ２０（０ ２ ０ ０ ３ ０
在教学过程 中， 同学问到这样一类求值域 的问题 ， ｙ ＝ ／ ４＋ ￣ ５—３ ， 有 如 ｘ一 ／ ／ １ ｘ ｙ＝
值帅 有 值 （ 或 ） 。
例 ４ 求 函数 Ｙ ＝ ／ ， ｘ一４ ＋ ，１ ／ ５—３ ｘ的值 域 。 解 因为定 义域 为 ［ ，］令 ＝４＋ｓｎ０ ０∈ ［ ， ］ ， 以 ， 函数化 为 ： ４５ ， ｉ （ ０ ） 所 原 ｙ＝ｓ Ｏ＋ ｃｓ ｉ ｏＯ＝ ｎ
＝ 、
＿＿ ・
① 当点 Ｐ（ｒ ） 直线 ＝ｕ上 （ 一象 限 ）时 ， ｒ， 在 ／ ， 第 此时 ｍ ＝凡 则 点 Ｑ在 轴 或 轴上 时 ， ， ０最大 ， 此
收 稿 日期 ：２ １ ０ １—１ ２—１ ２
作者简介 ：施利 国， ， 男 安徽安庆人 ， 庆市第二 中学 中教一级教师 ， 安 主要从事高 中数学教学工作。
分 析 原 函 数 可 化 为 ： ＝ Ｙ
（
。
，
）则 ｙ： ，
．
：ｌ
１１ ．
１ ｃｓ， ＝ （ ， ） ， Ｑ的轨迹 方程 为 ： ＋ ． ｏ０ （ ）点 ｍ Ｉ ， 以 ， ０＝０即 与Ｄ ＝２所 当 同 向时 ，ｏＯ＝ ｃｓ
＝１ ｍ ≥ ０ ≥ ０ ， 以 ＪＤ （ ， ）所 Ｊ＝１ ，又 因为 Ｊ
１ｙ ＝ ， （ ， ） ， ２而Ｐ １、 在直线Ｙ： ／ ３ 的左上方， 所以点 Ｑ 轴上时０ 在 角最大， 此时Ｑ Ｏ １ ， ｓ ＝÷， （ ，）ｃ Ｏ ｏ
所 以 ｙｉ １故 ｙ ＝ Ｕ ： ， ｘ一４ ＋ 、１ ，５—３ ／ ｘ的值 域 为 ［ ，］ １２ 。
方法 二 ： 利用 三角 函数 知识 。 造辅 助角 公式 ¨ 构 例３ 求 ） ０ ，＝ ＋ｂ＋ ＋ｄ（ ｃ＜０ ａ・ ）的值域 。
２１ ０ ２年 ９月
第１ ８卷第 ３期
安庆 师范 学院学报 （自然 科 学版 ）
Ｊ ｕ ｌ ｆＡ ｑｎ ｅ ｃ ｅｓＣ ｌｇ （ ａｕａ ｃ ｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ ｍａ ｏ ｎ ｉｇＴ ａ ｈ ｒ ｏｌ ｅ Ｎ ｔｒｌ ｉ ｃ ｄ ｉｎ ｅ Ｓｅ ｔ
Ｓｅ ｔ２ １ ｐ．０ ２
第 ３期
施 木 国 ： 类 无 理 函数 值 域 问 题 的 探 讨 １ ～
。１ ５ ‘ ３
时ｃＯ 最 为 Ｙ ：／ ｏ 的 小值 孚， ｓ ￣ｍ ２ －
值 为— ， Ｙｉ ＝ ・
・ ＝ 等 ｍ
・
￣ ｍ ＋ ／
（ 或
＝ｎ ；
） ；
② 当点 Ｐ（ ｒ ｍ，）在直 线 ＝ 右下 方 时 ， 时 ｍ ＞ｉ， 点 Ｑ在 轴 上 时 ， 最 大 ， ／ ， 此 ｒ则 ｔ ０ 此时 ｃｓ ｏＯ的最 小
之一 圆周 ， 图 １ 则 如 ，
＝Ｏ —Ｐ
・
图 １
ｏ Ｉ １ Ｉ ｓ ４： ． Ｉ … ０：
。 面讨论 函数最小 值 ： 下
．
与
。０ （ ：（ ， ） 。 ０ ）
同 向 ，。０ ： １ 函 数 有 最 大 值 ｃｓ ，
求 函数 的最 值 就 是 求 ｃｓ 。０的最 值 ， 然 当 ０ ＝ ０ 即 显 ，
＋１＋
ｖ 一１ 。 ／ ３ 等 很多 同学遇到双根号问题就想到两边平方去根号 ， 往往计算量大且容易 出错 ， 基础好一点
的同学 再用 不等 式或二 次 函数 的相 关知识 求值 域 ， 实 际操作 起 来却 没 有 那 么容 易 。 但 因此 ， 生 遇到 这 学
类 问题 时 ， 首先从 心理上 产生 畏惧 感 。 者根 据 自己的教 学 实践 与探 索 ， 为 在界 定 该 函数 的定 义 域 的 笔 认 基 础上 ， 采用 向量 的数量 积或 三角 函数换 元法 解题 是切 实可 行 的 ， 这不 仅 是一 种 方法 的探 讨 ， 且 也是 而
， 一
解 不 妨设 口＞０ ｃ＜０ 函数 定义 域 为 ［ ， ， 一ｂ
ｄ］设 ＝一 ｂ＋（ ＋ ）ｉ 一 ｓ ｎ
， ，
∈０ ］ ［芋 ， ，
－ ，
＋
＝
ｓ＋ ｉ ｎ Ｏ
ｃ ｏ ｓ
＝
ｓ ｉ ｎ
咖 ， 芋
ｙ ｂ ｓ ） ｄｃ （ 因 ０ ∈ 詈＋ ］ 以 ｓ（＋ ） １， ＝６ｄａ 当ｎ＋ 取 为 ＋ ［， 咖， 当ｉＯ 时一 √＋一 — ，ｉ 所 ｎ
题 过程 中 ， 对 特征 数据 的特 点 ， 择不 同的方 法 ， 简化 解题 过程 。 针 选 可
参ห้องสมุดไป่ตู้考 文献 ：
［］ １ 李鹏 ． 于的值域 的统一解法 ［ ］ 中学数学 （ 关 Ｊ． 高中版）， ０ ，５ ：１ ２ ９ （ ）２． ０ ［ ］ 改珍 ． ２ 王 巧用 三角函数解 函数值域 问题 ［ ］ 中学数学教学参考 ， １ ，１ ２ ： ． Ｊ． ２ １ （ ， ）４ ０ ６
综合以上： 当 ≥ｎ时， 函数值域为：ｎ ［
当 ｍ ＜ 时， 函数值域 为 ：ｍ ［ 例 ２ 求 函数 Ｙ ＝
，／ ＋ｎ ￣ ｍ ・
， ｍ ＋ｎ 。・
］ ；
］ 。
一４ ＋ Ｕ１ ５—３ ｘ的值 域 。
一４ ＋ ・ ５一 ， 造 向量 ０ ＝ （ ， ） Ｏ ＝ （ ｔｎ ＝ 构 Ｐ １ ， Ｑ ｒ， ） ｒ
ＶＯ ． ８ ＮＯ． Ｉ１ ３
一
类 无 理 函数 值 域 问题 的探 讨
施 利 国
（ 庆 市 第 二 中 学 ， 徽 安 庆 ２６ ０ ） 安 安 ４ ０ ０
摘
要 ：双根号类无理函数的值域 问题是教学过程中学生比较棘手 的问题 ， 在界定该 函数 的定义域的基础上 ， 用 采
向量的数量 积或三角 函数换元法解题 ， 既可减少运算量、 便于学生理解与掌握 ， 同时也是促进换 位思维、 提高学生数学 素
２ｎ 了）因 ｓ（ ７ 。 为０∈［， ］所以ｓ（ ＋ ｉ ＋ １ ＂ ０ ， ｉ ０ 詈）∈［ ， ， ｎ １ 故ｙ∈［， ， Ｙ＝ １］ １ ］从而， ２
Ｊ 厶 Ｊ
＋
￣ ５— 的值域为［ ，］ ／ １ ３ １２ 。
注 三角 换元方 法 ： 若定 义域 为 ［ ／ ， 令 ＝ ｍ ＋（ ｍ， ］ 则 １ ， ｎ—ｍ） ｉ ０ ｓ 。 ｎ 从 上 面 的例 题 可 以看 出 ， 向量 的数量 积 或三 角 函数换元 解 形如 Ｙ ＝ 。 用 ＋ｂ＋ ｃ ＋ｄ ａ‘ （ ｃ＜ ０ ）的无 理 函数 ， 可减 少 运算量 ， 于学 生理 解 与掌 握 。 便 考虑 到 某 些 特征 数 据 的变 化性 较 强 ， 具体 的解 在
［ ］李 盘喜． ３ 高中数学解 题题典 ［ ．长春 ： Ｍ］ 东北师范大学出版社生 ，０ １ ２０ ． （ 下转 １８页 ） ３
ｎ￣ｇ— 的 形 式 ， 造 向 量 Ｄ ＝ （ ） ｏｑ ／ 构 Ｐ ｍ， ， ＝ （ ，） ＝ “
＋
（ ， Ｖ＝“ ）
（
＋Ｐ，／ ）Ｑ的轨迹 方程 是 ＋ ＝Ｐ＋ｑ ≥０， ，ｑ— ， （ ≥
０
ｐ＋
０ ， 的轨 迹是 圆 ／ ＇ ）它 ／ ／ ， ３ ＋ ＝Ｐ＋ｑ 在第 一象 限及 坐标轴 上 的 四分
￣ ｍ ＋ ／ ／ ／ ， ‘
③ 当点 Ｐ（ ｎ 在 直线 ｖ＝ｕ左上 方时 ， 时 ｍ ＜ｎ则 点 Ｑ在 轴上 时 ， 最大 ， 时 ｃｓ 的最 小 ｍ，） 此 ， ０ 此 ｏＯ 值 为 ， ｙｉ ＝ ｒ・ ・ ｍ ＝ｍ 。
￣ ｍ‘ ＋ ｎ ／ ‘ √ ｍ ＋ ｎ 。
一
种思 维 的训练 与提高 。
事实上 ， 双根号类无理函数 Ｙ＝ ０ ＋６＋、 ＋ｄ ０・ ≠０ 的值域问题是有规律可循 的。 ／ ／ ｃ （ ｃ ） 一般 来说 ， 对这类无理 函数 ， 首先求函数 的定义域 ， 口ｃ 而 ，在求定义域时起关键作用 ， 因此只需对 ６ ｃ １ 进行分 ， ，
情况讨 论 。
（ ）当 ０ｃ １ ， 同号时 ， 函数在其定义域内为单调函数 ， 因此根据函数的单调性直接求值域 。
（ ）当 口 ｃ 号时 ， ２ ，异 下面用 两种 方法 进行探 究 ： 方法 一 ： 造 向量 。 构 利用 向量 的数量 积
例 １ 求 Ｙ＝ 。 ＋ｂ＋ ｖｃ ／ ＋ｄ 口・ （ ｃ＜０ ）的值域 。 解 Ｙ ＝ 口 ＋ｂ ＋ ｃ ＋ｄ 可 化 为 ｙ ＝ ， ￣ ＋Ｐ ＋ ／