新必修二 8.6.3 平面与平面垂直(教案+练习)

8.6.3平面与平面垂直 要点一、二面角 1.二面角定义

平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

表示方法：棱为AB 、面分别为αβ、的二面角记作二面角AB αβ--.有时为了方便，也可在αβ、内(棱以外的半平面部分)分别取点P Q 、，将这个二面角记作二面角P AB Q --.如果棱记作l ，那么这个二面角记作二面角l αβ--或P l Q --.

2.二面角的平面角

(1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.

(2)二面角的平面角θ的范围：0°≤θ≤180°．当两个半平面重合时，θ=0°；当两个半平面相交时，0°＜θ＜180°；当两个半平面合成一个平面时，θ=180°．

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

角

二面角

图形

定义 从半面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形

从空间内二直线出发的两个半平面所组成的图形

表示法

由射线、点（顶点）、射线构成，表示为∠AOB 由半平面、线（棱）、半平面构成，表示

为二面角a αβ--

方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．

如右图，在二面角a αβ--的棱a 上任取一点O ，在平面α内过点O 作OA ⊥a ，在平面β内过点O 作BO ⊥a ，则∠AOB 为二面角a αβ--的平面角．

方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． 如下图（左），已知二面角l αβ--，

过棱上一点O 作一平面γ，使l γ⊥，且OA γα=I ，OB γβ=I ．

∴OA γ⊂，OB γ⊂，且l ⊥OA ，l ⊥OB ， ∴∠AOB 为二面角l αβ--的平面角．

方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，具体步骤：一找，二证，三求． 如上图（右），已知二面角A-BC-D ，求作其平面角．

过点A 作AE ⊥平面BCD 于E ，过E 在平面BCD 中作EF ⊥BC 于F ，连接AF ． ∵AE ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴AE ⊥BC ． 又EF ⊥BC ，AE ∩EF=E ， ∴BC ⊥平面AEF ，∴BC ⊥AF

由垂面法可知，∠AFE 为二面角A-BC-D 的平面角．

要点二、平面与平面垂直的定义与判定 1.平面与平面垂直定义

定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 表示方法：平面α与β垂直，记作αβ⊥.

画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：

2.平面与平面垂直的判定定理

文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 符号语言：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥

图形语言：

特征：线面垂直⇒面面垂直 要点诠释：

平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.

要点三、平面与平面垂直的性质 1．性质定理

文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。

符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥I 图形语言：

要点诠释：

面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．

2．平面与平面垂直性质定理的推论

如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 要点四、垂直关系的综合转化

线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：

在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．

垂直间的关系可按下面的口诀记忆： 线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清． 平面之内两直线，两线交于一个点，

面外还有一条线，垂直两线是条件． 面面垂直要证好，原有图中去寻找， 若是这样还不好，辅助线面是个宝． 先作交线的垂线，面面转为线和面， 再证一步线和线，面面垂直即可见． 借助辅助线和面，加的时候不能乱， 以某性质为基础，不能主观凭臆断， 判断线和面垂直，线垂面中两交线． 两线垂直同一面，相互平行共伸展， 两面垂直同一线，一面平行另一面． 要让面和面垂直，面过另面一垂线， 面面垂直成直角，线面垂直记心间． 【典型例题】 类型一：二面角

例1．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1C 1-B 1的正切值．

【总结升华】求空间角如二面角、直线和平面所成的角等，都是找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值．

举一反三： 【变式1】已知Rt △ABC ，斜边BC α⊂，点A α∉，AO ⊥α，O 为垂足，∠ABO=30°，∠ACO=45°，求二面角A-BC-O 的大小．

【总结升华】本题是用垂线法作二面角的平面角，求二面角的平面角关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解．

类型二：平面与平面垂直的判定

例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥EC ，且EC=CA=2BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE=DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；

（3）平面DEA ⊥平面ECA ．