算法设计与分析-课后习题集答案

第一章

3. 最大公约数为1。快1414倍。

程序1-2的while 循环体做了10次，程序1-3的while 循环体做了14141次（14142-2循环）

8.（1）画线语句的执行次数为

log n ⎡⎤⎢⎥。(log )n O 。

（2）画线语句的执行次数为

111

(1)(21)16

j

n

i

i j k n n n ===++=

∑∑∑。3

()n O 。

（3）画线语句的执行次数为

。O 。

（4）当n 为奇数时画线语句的执行次数为

(1)(1)

4n n +-， 当n 为偶数时画线语句的执行次数为 (2)4

n n +。2

()n O 。

10.（1） 当 1n ≥ 时，22

5825n n n -+≤，所以，可选 5c =，01n =。对于0n n ≥，

22()5825f n n n n =-+≤，所以，22582()-+=O n n n 。

（2） 当 8n ≥ 时，2222

582524n n n n n -+≥-+≥，所以，可选 4c =，08n =。对于0n n ≥，

22()5824f n n n n =-+≥，所以，22582()-+=Ωn n n 。

（3） 由（1）、（2）可知，取14c =，25c =，08n =，当0n n ≥时，有222

12582c n n n c n ≤-+≤，所

以22

582()-+=Θn n n 。

11. (1) 当3n ≥时，3

log log n n n <<，所以()20log 21f n n n n =+<，3

()log 2g n n n n =+>。可选

21

2

c =

，03n =。对于0n n ≥，()()f n cg n ≤，即()(())f n g n =O 。 （2） 当 4n ≥ 时，2

log log n n n <<，所以 2

2

()/log f n n n n =<，2

2

()log g n n n n =≥。可选 1c =，

04n =。对于 0n n ≥，2()()f n n cg n <≤，即 ()(())f n g n =O 。

（3）因为 log log(log )()(log )

n

n f n n n ==，()/log log 2n g n n n n ==。当 4n ≥ 时，log(log )

()n f n n

n =≥，()log 2n g n n n =<。所以，可选 1c =，04n =，对于0n n ≥，()()f n cg n ≥，即 ()(())f n g n =Ω。

2-17. 证明：设

2i n =，则 log i n =。

()22log 2

n T n T n n ⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭

2222log 2log 222n n

n T n n ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎛⎫=+⨯⨯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭

⎣⎦

()2222log log22log 2n T n n n n ⎛⎫

⎢⎥=+-+ ⎪

⎢

⎥⎣⎦⎝⎭

22222log 22n T n n n ⎛⎫

⎢⎥=+⨯- ⎪

⎢

⎥⎣⎦⎝⎭

2

322222log 22log 2222n n n T n n n ⎡⎤

⎛⎫⎢⎥=+⨯⨯+⨯-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭

⎣⎦

()3322log log422log 22n T n n n n n ⎛⎫

⎢⎥=+-+⨯- ⎪

⎢

⎥⎣⎦⎝⎭

33232log 242n T n n n n ⎛⎫

⎢⎥=+⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭

=

()22log 24212k k n T kn n n n n k ⎛⎫

⎢⎥=+----- ⎪

⎢

⎥⎣⎦⎝⎭

()()()1

2221log 2422i T i n n n n n i -=+----

--

()()()1

242log log 121i n n n i i n -=⨯+---- ()

2222log 2log log 3log 2n n n n n n n n =+---+ 2

log log n n n n =+

当2n ≥ 时，()22log T n n n ≤。所以，()()2log T n n n =O 。

5-4. SolutionType DandC1(int left,int right) { while(!Small(left,right)&&leftP[m]) left=m+1; else return S(P) } }

5-7. template

int SortableList::BSearch(const T&x,int left,int right) const { if (left<=right) { int m=left+(right-left+1)/3; if (xl[m]) return BSearch(x,m+1,right); else return m; } return -1; }

7．m=left+(right-left+1)/3

不能用：m=(left+right)/3 ，两者不同。

受对半搜索的影响：m=(left+right)/2和m=left+(right-left+1)/2是一样的 9．

证明：因为该算法在成功搜索的情况下，关键字之间的比较次数至少为log n ⎢⎥⎣⎦，至多为log 1n +⎢⎥⎣⎦。在不成功搜索的情况下，关键字之间的比较次数至少为log 1n +⎢⎥⎣⎦，至多为log 2n +⎢⎥⎣⎦。所以，算法的最