边界条件对电磁波的影响

边界条件对电磁波的影响

摘要：本文主要讨论平面边界条件对电磁波的作用。开篇指出了研究本课题的背景及其相关概念；接着便列出了亥姆霍兹方程在直角坐标系当中的通解形式；然后讨论了无边界条件的电磁波的形式；接着讨论了边界条件与约束，这部分主要从三个方面讨论，即两平行导体面、矩形波导（四个导体平面）、谐振腔（六个导体平面）对电磁波的振幅、波矢的影响。重点阐述了边界条件也就是约束对电磁波波形的影响；最后对计算结果进行分析得出结论从而引申到社会意义。

关键词：边界；电磁波；振幅；波长；电磁振荡

0 引言

边界条件在物理学中至关重要的作用，能够解决物理学中的很多问题，同时在数学计算中也有特别重要的作用。由无界（没有边界）空间中的电磁波和导体中的电磁波可以知道电磁波主要是在绝缘介质中或者是在除了导体之外的空间中传播，只有非常非常小的一部分电磁能量能够进入导体的表层中。在理想导体（电容率→∞）极限的前提条件下，电磁波就完全的被导体反射了，几乎就没有渗入导体的内部。所以，导体的表层很明显就组成电磁波存在的界限。这一种有边界的空间中传播的电磁波有着它自己独有的特点，并且非常广泛地运用于特别多的关于无线电技术以及其它技术的现实问题中，比如在有关微波的技术当中，就会经常的用到波导来进行电磁能量的传播。波导以中空金属管的形式存在，电磁波在波导管内的空间进行传输，而金属的管壁又是电磁场存在的屏障又牵制着波导管内电磁波的固有形式或形状。再比如在一些高频技术当中经常会用到谐振腔来形成特定频率的电磁振荡。谐振腔以中空金属腔的形式存在，电磁波在谐振腔里以一定的频率进行振荡。导体表面的边界条件在这种有界限的电磁波传播问题当中起着非常重要的作用。而这种传播问题属于边界问题，在这一类问题所以，分析平面导体的边界条件对电磁波振幅、波矢的影响是有着特别重要的作用。

随着人们对电磁波的研究的愈来愈深入，电磁波在生活中应用的也越来越广泛。就比如光学谐振腔可以看做是光波在谐振腔内进行往返反射因此能够提供光能进行反馈的空腔。激光器的非常重要的一些部分，通常是用两块与工作介质的轴线相互垂直的平面反射镜或者是凹球面组成。比如在高频技术当中经常会用到谐振腔来产生一些具有特殊频率的电磁振荡。再比如超导谐振腔有着非常低的射频损耗,因此在很多的场合当中,它都有着潜在的使用价值,由超导材料制作的射频超导谐振腔(我们简单的把它叫做超导腔) ,在超导的状态下拥有表层上损耗小、电阻较低、品质因数高的特点。

波导，原来的意思其实就是指一种可以在可见光的波段中或在微波中能够进行传输电磁波的装置，广泛的在雷达、无线电通讯和导航等多种无线电领域中应用。一般情况而言，波导专门指的是各类类型的空心的金属波导管和表层波波导，传输的电磁波将金属波导管完全的禁锢在了金属管内，又称作封闭波导；引导的电磁波则是被表面波波导束缚在了波导结构的周围，又称作开波导。波导在控制中的应用（即波导开关）普遍的用在了电子系统的微波发射设备和微波测控过程当中。

谐振腔的作用是选择具有一致方向、特定频率的光作为最优先的放大，而抑制其他方向和频率的光。

1 直角坐标系当中亥姆霍兹方程的通解

在一起考虑存在依赖时间和空间的偏微分方程的物理问题的研究之中经常会出现亥姆霍兹方程。因为亥姆霍兹方程和波动方程的关系，它会出现在物理学中的一些关于地震学、

电磁辐射和声学研究等领域里。

比如:电磁场中的 220E k E ∇+= (1.1) 220H k H ∇+= (1.2) 叫做是齐次亥姆霍兹方程。 这时候，根据麦克斯韦方程组，有: E i B ω∇⨯= (1.3) B i E E ωμεσμ∇⨯=-+ (1.4)

亥姆霍兹对(1.3)这个式子两边求旋度，然后考虑到(1.4)式，即可求得亥姆霍兹方程。其中 :22k i σμωεω

=+为波数，当忽略传导电流时(也就是忽略(1.4)中E σμ项)，此时22k μεω=。

有的书上是具有22()k f ψ∇+=这种形式的双曲型偏微分方程。式子中2∇称作拉普拉斯算子；ψ是待求的函数;2k 是常数;f 是源函数。当f 等于零的时候就称作是齐次的亥姆霍兹方程;f 不等于零的时候就称作是非齐次的亥姆霍兹方程。在电磁学当中，当这个函数随时间作简谐运动的时候,波动方程就变作了亥姆霍兹方程。

①在一维的问题当中，亥姆霍兹方程表示成：()()0222=+x E k x E dx d ； 这时它的通解表示为：()ikx x e E x E 0 =； 如果加上时间因子为：()t kx i x e E t E ω-=0),x （ ②在三维的问题当中，亥姆霍兹方程表示成：()()0r r 22=+∇ E k E 这时它的通解表示为：()()()()r ik e z E y E x E r E =； 如果加上时间因子为:()()()()()t i e z E y E x E r E ω-=r k

2 边界条件与约束

在讨论约束之前，先来看一下没有边界限制空间中的电磁波形式，在没有边界限制的空间当中，电磁波最最基础的存在方式便是平面电磁波，这种平面电磁波的磁场和电场都做的是横向振荡，这就是所谓的横电磁波（TEM )。在没有电流和电荷分布的自由空间当中电

磁场的运动形式为： 0t

10122222222=∂∂-∇=∂∂-∇B c B t E c E 由导体当中的电磁波和没有界限空间中的电磁波可以知道电磁波主要是在绝缘介质内或者是在导体以外的空间中传播，只是非常非常小的一部分电磁能量渗入到了导体的表层里面。在理想导体（电容率→∞）的极端前提下，电磁波就完全的被导体反射了，渗入导体的穿透深度几乎就等于零（几乎没有渗进去）。因此，导体的表层就很自然的组成了电磁波存在的边界。

现在我们可以讨论导体表面的边界条件。令1表示的是理想导体，2表示的是真空或者绝缘介质。法线由导体指向介质中。在理想导体下，导体的里面几乎没有电磁场的存在（应该说是导体内部足够深处实际上已经没有电磁场了）。因此，就省略了角标为2的那一项，有110E H ==，用E 和H

表示介质一面处的场强，则存在着这样的边界条件： n e 0E ⨯= (2.0-1) n e H α⨯= (2.0-2)

如果这两个条件都满足后，另外两个条件：