2011年注册环保工程师《公共基础考试》真题及详解【圣才出品】

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dx 2arctan x (1 x)
x C
9．设 f（x）是连续函数，且
f (x) x2 2
2
f (t)dt
0
则 f（x）＝（ ）。
A．x2
B．x2－2
C．2x
D．x2－（16/9）
【答案】D
【考点】定积分的应用
【解析】因为 f′（x）＝2x，故 f（x）＝x2＋C；又令
2
0 f (t)dt A
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【答案】B
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【考点】函数间断点的求解
【解析】函数分母不能为零，分母为零的点有 0，±1，±2，±3…；分子为零的点有
0，1。当 x＝0，1 时，
lim x x2 lim x x2 1
x0 sin x x1 sin x
g
x
x, x, x
x x0 x0
f（x）＝0，此时 f（x）g（x）在 x0 可导。
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令
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g
x
x,
x,
x
x x0 x0
f（x）＝1，此时 f（x）g（x）在 x0 点不可导。
6．当 x＞0 时，下列不等式中正确的是（ ）。 A．ex＜1＋x B．ln（1＋x）＞x C．ex＜ex D．x＞sinx 【答案】D 【考点】中值定理 【解析】记 f（x）＝x－sinx，则当 x＞0 时，f′（x）＝1－cosx≥0，f（x）单调增加， 所以 f（x）＞f（0）＝0，即 x＞sinx。
则
A
2
f (x)dx
2 (x2 2 A)dx
0
0
得：A＝－8/9。因此
f (x) x2 2 2 f (t)dt x2 2 A x2 16
0
9
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2
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4 x2 dx
10． 2
（ ）。
A．π
7．若函数 f（x，y）在闭区域 D 上连续，下列关于极值点的陈述中正确的是（ ）。
A．f（x，y）的极值点一定是 f（x，y）的驻点 B．如果 P0 是 f（x，y）的极值点，则 P0 点处 B2－AC＜0（其中： A＝∂2f/∂x2，B＝∂2f/（∂x∂y），C＝∂2f/∂y2） C．如果 P0 是可微函数 f（x，y）的极值点，则在 P0 点处 df＝0 D．f（x，y）的最大值点一定是 f（x，y）的极大值点
B．2
35 C． 2
55 D． 3
【答案】D
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【考点】曲线积分的求解
【解析】直线 L 方程为：y＝－2x＋2。使用第一类曲线积分化定积分公式并代入 y 有：
(x2 y2 )ds 1(x2 (2x 2)2 ) 1 (2)2 dx 5 5
z2
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1
【解析】由于
x
0
表示为在 x＝0 的平面上的双曲线，故在三维空间里
y2－z2＝1 表示母线平行 x 轴的双曲柱面。
3．当 x→0 时，3x－1 是 x 的（ ）。
A．高阶无穷小
B．低阶无穷小
C．等价无穷小
D．同阶但非等价无穷小
【答案】D
【考点】无穷小的定义及常用等价无穷小
3x 1 lim
B．2π
C．3π
D．π/2
【答案】B
【考点】定积分的求解
2 4 x2 dx
【解析】 2
的几何意义为圆心在原点，半径为 2 的上半圆面积，故
2 4 x2 dx 1 22 2
2
2
11．设 L 为连接（0，2）和（1，0）的直线段，则对弧长的曲线积分∫L（x2＋y2） ds＝（ ）。
5 A． 2
x 【解析】因为 x0
为 0/0 型，运用洛必达法则，可得：
lim 3x 1 lim 3x ln 3 ln 3
x0 x
x0 1
故 3x－1 是 x 的同阶但非等价无穷小。
4．函数 f（x）＝（x－x2）/（sinπx）的可去间断点的个数为（ ）。 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无穷多个
dx x (1 x)
8．
（ ）。
A． arctan x C
2 arctan x C
B．
C．tan（1＋x）
D．（1/2）artanx＋C
【答案】B
【考点】不定积分的求解
【解析】因为
arctan
x
1
21 x
x
故
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2．在三维空间中方程 y2－z2＝1 所代表的图形是（ ）。 A．母线平行 x 轴的双曲柱面 B．母线平行 y 轴的双曲柱面 C．母线平行 z 轴的双曲柱面 D．双曲线 【答案】A 【考点】柱面的曲线方程
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y2
而
lim x x2 k 1, 2,...
xk sin x
故 f（x）有两个可去间断点 0、1。
5．如果 f（x）在 x0 可导，g（x）在 x0 不可导，则 f（x）·g（x）在 x0（ ）。
A．可能可导也可能不可导
B．不可导
C．可导
D．连续
【答案】A
【考点】复合函数的可导性
【解析】两可导函数的乘积函数不一定可导，举例说明，令
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【答案】C
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【考点】多元函数的极值
【解析】对于可微函数，极值点为驻点，则
f x
0
f
0
y
又由于 df＝（∂f/∂x）dx＋（∂f/∂y）dy，故 df＝0。最值点可能没有导函数，故最值
点和极值点没有必然联系。
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2011 年注册环保工程师《公共基础考试》真题及详解
单项选择题（共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意）
1．设直线方程为 x＝y－1＝z，平面方程为 x－2y＋z＝0，则直线与平面（ ）。 A．重合 B．平行不重合 C．垂直相交 D．相交不垂直 【答案】B 【考点】平面与直线之间的位置关系 【解析】直线的方向向量 s＝（1，1，1），平面的法向向量 n＝（1，－2，1），其向 量积 s·n＝1－2＋1＝0，则这两个向量垂直，即直线与平面平行。又该直线上的点 （0，1，0）不在平面上，故直线与平面不重合。