圆的方程经典例题.docx

高中数学圆的方程典型例题

类型一：圆的方程

点M (x0, y0)与圆(x - a)2∙ (y —b)2 = r2的位置关系:

当

当

当

(2) 一般方程

当

当

当

,点在圆外

,点在圆上

,点在圆内

时，方程表示圆，此时圆心为

时，表示一个点；

时，方程不表示任何图形。

,半径为

(3)求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r ;若利用一般方程，需要求出D, E, F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

. . 2 2 2 . .

1.若过点P(a,a)可作圆X +y -2ax+a +2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围是______________

2 .圆X2+ y2-2x + 6y + 5a= 0关于直线y= x+ 2b成轴对称图形，则a- b的取值范围是()

A. ( -∞, 4)

B. ( -∞, 0) C . ( —4,+∞ ) D. (4 , +∞ )

3.求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关

4.求半径为4,与圆x2 y2一4χ-2y-4=0相切，且和直线y =0相切的圆的方程.

5.求经过点A(0,5),且与直线X -2y = 0和2x 0都相切的圆的方程.

6. ___________ 已知直线l :x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+54=0,则与直线I和圆C都相切且半径最小的圆的标准方程是____ .

7、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被X轴分成两段弧，其弧长的比为3:1 ,在满足条件

⑴(2)的所有圆中，求圆心到直线I: x-2y=0的距离最小的圆的方程.

8. 已知点P(2,2),点M是圆O:X 2+(y-1) 2=错误！未找到引用源。上的动点，点N是圆Q(x-2) 2+y2= 错误！未找到引用源。上的动点，则IPNl-IPMl的最大值是()

A.错误！未找到引用源。-1

B.错误！未找到引用源。-2

C.2- 错误！未找到引用源。

D.3-错误！未找到引用源。

类型二：直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种情况：

AXByC=O ,圆C : X -a 2∙ y -b 2= r2,圆心C a,b 到l 的距离为 ,则有

(1 )设直线l :

(2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立② k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距

离=半径，求解k ,得到方程【一定两解】

.. .. 2 2 2 ..

⑶过圆上一点的切线方程：圆(x-a) +(y-b) =r ,圆上一点为(x0, y0),则过此点的切线方程

1、已知直线∙.3x ∙ y - 2・、3 = 0和圆X2∙ y2=4,判断此直线与已知圆的位置关系.

2：直线x y =1与圆X2∙ y2 -2ay =0(a 0)没有公共点，贝U a的取值范围是 _________

2 2

3 :若直线y=kχ∙2与圆(x-2) ∙(y-3) =1有两个不同的交点，则k的取值范围

是_____ . ____

2 2

4 .圆X + y - 2x —2y + 1 = 0上的动点Q到直线3x+ 4y + 8= 0距离的最小值为_______ .

5.圆（χ 一3）2 ∙ （y 一3）2 =9上到直线3x ∙4y -11 = O 的距离为1的点有几个? 6•、若直线 ^X m 与曲线y =持4 -X 2有且只有一个公共点，求实数

m 的取值范围

7.已知圆M :x 2

+（y —2）2

=1,Q 是X 轴上的动点，QA QB 分别切圆M 于 A, B 两点

（1）若点Q 的坐标为（1, 0），求切线QA QB 勺方程；

4j2

⑵求四边形QAMi 的面积的最小值；（3）若AB

,求直线Mc 的方程.

3

类型三：圆与圆的位置关系

通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆 G : （x 2

+（y _bi 2

=r 2

, C 2 ： （x - a ? 丫 + （y —b ?『=R 2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

当 时两圆外离，此时有公切线 条；

当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条; _______ 当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线; ______ 当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当

时，两圆内含；

当0时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线

圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

1、判断圆 C 1 ： X 2 ∙ y 2 ∙ 2χ - 6y -26 = 0与圆 C 2 : x 2 y^4x 2y 0 的

位置关系， 2：圆x 2

y 2 -2χ = 0和圆x 2 y 2

4^0的公切线共有 ___________ 条。

3.圆X 2+ y 2- 2x - 5= 0与圆X 2 + y 2+ 2x — 4y - 4= 0的交点为 A , B,则线段AB 的垂直平分线的方程 是

（）

A . X + y -1 = 0

B. 2x - y + 1 = 0 C . X - 2y + 1 = 0

D. X - y + 1 = 0

4：求与圆X 2 y^5外切于点P （-1,2）,且半径为2∙.5的圆的方程.

5.在平面直角坐标系 XOy 中，圆C 的方程为χ2+y 2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该

（I ）若I 1、I 2都和圆C 相切，求直线I 1、I 2的方程； （∏）当a =2时，若圆心为 M （1,m ）的圆和圆C 外切且与直线I 1、I 2都相切，求圆 M 的方程;

点为圆心，1为半径的圆与圆

C 有公共点，则k 的最小值是（

A.-4

B 」

3

4

6.已知圆 C : (x 2)2

y 2

C.-3

D.-5 5 3

=4 ,相互垂直的两条直线 I 1

I 2都过点A （a ，0）.