函数的凸性与拐点

函数的凸性与拐点

教学目的：熟练掌握函数凸性的相关定义定理以及判别函数凸性与拐点的方法。 重点难点：重点为对函数凸性概念的理解，难点为函数凸性相关命题的证明。 教学方法：讲练结合。

考察函数2

)(x x f =和x x f =

)(的图象．它们不同的特点是：曲线2)(x x f =上任意

两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲x x f =

)(线则相反，任意两点间的弧段总在

这两点连线的上方．我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数；后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数． 一、函数的凸性 1．定义

设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点21,x x 和任意实数)1,0(∈λ总有

)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，则称f 为I 上的凸函数．反之，如果总有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+则称f 为I 的凹函数．

如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数． 易证：若f -为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数．故只需讨论凸性即可． 2．引理

f 为I 上的凸函数的充要

条件是：对于I 上的任意三点,321x x x <<总有

≤--1212)()(x x x f x f 2

323)

()(x x x f x f --。

证 [必要性] 记.)1(,3121

32

3x x x x x x x λλλ-+=--=

则由 f 的凸性知道

),()()

()1()())1(()(31

3121132331312x f x x x x x f x x x x x f x f x x f x f --+--=-+≤-+=λλλλ

从而有 )()()()()()

(312123213x f x x x f x x x f x x -+-≤-， ),()()()()()()()(312123212223x f x x x f x x x f x x x f x x -+-≤-+-

整理后即得(3)式·

[充分性] 在f 上任取两点1x ，3x （1x <3x )，在[31,x x ]上任取一点

)1(12λλ-+=x x 3x ，.),1,0(1

32

3x x x x --=

∈λλ即由必要性的推

导逆过程，可证得

),()1()())1((3131x f x f x x f λλλλ-+≤-+故f 为I 上

的凸函数

同理可证，f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上任意三点21x x <<3x ，有

.)

()()()()()(2

32313131212x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--

3．可导函数凸性的等价命题

定理6.13 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价： ο

1 f 为I 上凸函数；

ο

2 '

f 为I 上的增函数；

ο

3 对I 上的任意两点21,x x ，有))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥． (5) 证 (οο21⇒) 任取I 上两点21,x x (21x x <)及充分小的正数h ．由于

h x x x h x +<<<-2211，根据f 的凸性及引理有

.)

()()()()()(22121211h

x f h x f x x x f x f h h x f x f -+≤--≤--

由f 是可导函数，令+

→0h 时可得 )()

()()(21

2121x f x x x f x f x f '≤--≤

'，

所以f '为I 上的递增函数．

(οο32⇒) 在以)(,2121x x x x <为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和f '递增，有

))(())(()()(1211212x x x f x x f x f x f -'≥-'=-ξ． 移项后即得(5)式成立，且当21x x >时仍可得到相同结论．

(οο13⇒) 设以21,x x 为上任意两点，213)1(x x x λλ-+= 0<λ<1．由ο

3，并利用

)())(1(12322131x x x x x x x x -=---=-λλ与，

).

)(()())(()()(),

)(()1()())(()()(123332332213331331x x x f x f x x x f x f x f x x x f x f x x x f x f x f -'+=-'+≥-'-+=-'+≥λλ

分别用λ和λ-1乘上列两式并相加，便得 ))1(()()1()(2121x x f x f x f λλλλ-+≥-+． 从而f 为I 上的凸函数． 口

注:论断ο

3几何意义：曲线)(x f y =总在它任一切线之上．这是可导凸函数的几何特征． 4．二阶可导函数凸性的充要条件

定理6．14 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸(凹)函数的充要条件是 I x x f x f ∈≤''≥''),0)((0)(． 例1讨论函数x x f arctan )(=的凸(凹)性区间。 解 由于2

2)

1(2)(x x

x f +-=

''，因而当0≤x 时，0;0)(≥≥''x x f 时0)(≤''x f ．从而在(0,∞-]上f 为凸函

数，在[+∞,0)上f 为凹函数．口

例2 若函数f 为定义在开区间(b a ,)内的可导的凸(凹)函数，则a x (0∈,)b 为f 的极小(大)值点的充要条件是0x 为f 的稳定点，即0)(0='x f ．

证 下面只证明f 为凸函数的情形． 必要性已由费马定理可出，现在证明充分性． 由定理6．13，任取(b a ,)内的一点

)(0x x ≠，它与0x 一起有

).)(()()(000x x x f x f x f -'+≥

因0)(0='x f ，故),(b a x ∈∀有)()(0x f x f ≥，即0x 为f 的极小值点(且为最小值点)．