反馈控制与极点配置-精选

0 1 0 0
x
0
0
1
x
0
u
4 6 4 1
y [10 0 0 ]x
在例6-3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时 需先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。
➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
2020/7/23
第6章 线性系统综合
2) 期望的极点必须是实数或成对出 现的共轭复数;
3) 期望的极点必须体现对闭环系统 的性能品质指标等的要求。
p2 p1
p3
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第6章 线性系统综合
• 基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为: – 给定线性定常连续系统 x AxBu
确定反馈控制律 uKxv
6.2.1 状态反馈极点配置定理
在进行极点配置时,存在如下问题: ➢ 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进 行极点配置的。 ➢ 下面的定理就回答了该问题。
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第6章 线性系统综合
定理6-1 对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能使 闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为被 控系统(A,B,C)状态完全能控。
0 5
1 2
B~
Tc21B
0 1
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第6章 线性系统综合
3. 求反馈律:
➢ 因此开环特征多项式
f(s)=s2-2s-5,
而由期望的闭环极点-1j2所确定的期望闭环特征多项式
f*(s)=s2+2s+5,
则得状态反馈阵K为 K K~Tc21 [a2* -a2 a1* -a1]Tc21
[5-(-5)
试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点 配置在-2和-1±j上。
解 1：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。 ➢ 因此,可选择能控规范II形来建立被控系统的状态空间模 型。 ➢ 故有
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第6章 线性系统综合
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0
u
0 2 3 1
6.2 反馈控制与极点配置
• 本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行 线性定常连续系统的极点配置,即使反馈闭环 控制系统具有所指定的闭环极点。
– 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全 平行的结论和方法。
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第6章 线性系统综合
• 对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很 大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。
– 本节所讨论的极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵K 的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择 的一组期望极点上。
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第6章 线性系统综合
由于线性定常系统的特征多项式为实 系数多项式,因此考虑到问题的可解性, 对期望的极点的选择应注意下列问题:
1) 对于n阶系统,可以而且必须给出n 个期望的极点;
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第6章 线性系统综合
6.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法
求反馈矩阵K的方法: 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态空 间模型为能控规范II形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期望 的闭环系统特征多项式的系数。
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第6章 线性系统综合
解 1： 判断系统的能控性。
➢ 开环系统的能控性矩阵为
[B
AB]12
-4 1
则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。
2. 求能控规范II形:
T1 [0 1][B AB]1 1/6 1/3
T1 c2
T1 T1A
1 6
1 1
2 8
ห้องสมุดไป่ตู้
A~ Tc21ATc2
K a n * a n a n * 1 a n 1
a 1 * a 1
因此,原系统的相应状态反馈阵K为
K KTc2
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第6章 线性系统综合
下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。 例6-2 设线性定常系统的状态方程为
x11 23x12u
求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-1±j2。
2- (-2)] 16 --11
2 8
-7/3 26/3
则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为
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x13141
58 2 17x1u
通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要求。
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第6章 线性系统综合
例6-3 已知系统的传递函数为 G(s) 10 s(s1)(s2)
– 因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平面 上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点,是 可以有效地改善系统的性能品质指标的。
• 这样的控制系统设计方法称为极点配置。
• 在经典控制理论的系统综合中,无论采用频域法还是根 轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指标,本质 上均属于极点配置方法。
使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环 极点也就是成立
i(A B)K si*, i1 ,2 ,.n ..,
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第6章 线性系统综合
• 下面分别讨论:
– 状态反馈极点配置定理 – SISO系统状态反馈极点配置方法 – 输出反馈极点配置
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第6章 线性系统综合
➢ 由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的,因此对 实际控制系统,它可能不能直接测量,更甚者是抽象的数学 变量,实际中不存在物理量与之直接对应。
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第6章 线性系统综合
2. 若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范II形,则由 4.6节讨论的求能控规范II形的方法,利用线性变换x=Tc2 x , 将系统(A,B)变换成能控规范II形 ( A , B ) ,即有
AT c 2 1A T c2 BT c 2 1B
对能控规范II形~进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如 下
y [10 0 0 ]x
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭环 特征多项式f*(s)分别为 f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4
则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
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第6章 线性系统综合
因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为