九年级数学函数与方程的综合问题PPT优秀课件
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函数型综合问题
y a2 x b x c (a 0 )
函数与方程 的综合问题
一.一次 k函 xb数 (k0y) 1.b0时 函,数为 kx这 y, 时y叫做函 x的 数正 . 比
性质：1、正比例函数的图象必经过原点（0，0）。 2、当k>0时，y随x的增大而增大。 当k<0时，y随x的增大而减小。
而 x1
x2
4,
x1 x2
4a a
1
42 4 4a 1 4 a
解得 : a 1
抛物线的解析式为 y x 2 4 x 3
(3)设平行x轴 于的直线 y为 k
4
的根的情况,并说明理由.
解:(法一)如图示,当x=1,y<0
即1+2m+m-7<0
所以m<2 (法二)设y x2 2mx m7与x轴的两 个交点为(x1,0),(x2,0) 据题意则有:(x1 1)(x2 1) 0 即x1x2 (x1 x2) 1 0 又x1 x2 2m, x1 x2 m7 m7 2m1 0 m 2
解:由 (x1)2y2 2
(1)
yxb
(2)
把(2)代入(1)中得:(x 1)2 (x b)2 2 整理得: 2x2 2(1b)x b2 1 0 由于原方程组只有一实个数解
方程2x2 2(1b)x b2 1 0有 两个相等的实根
即: [2(1b)]2 42(b2 1) 0 化简求解得:b 1或b 3
y (a 2 3 a 2 )x 2 (a 1 )x 1 4
的图象与x轴总有交点
(1)求a的取值范围
(2)设函数的图象与x轴有两个不同的交点
A、B,其坐标为 A (x 1,0 )B ,(x 2,0 )当,
11 a23时,求a的值. x1 x2
解 : (1)i当 a 2 3a 2 0时 , a 1或 a 2,
当 a 1时 , 原函数为 y 1 与 x 轴平行 , 没有交点 4
当 a 2时 , 原函数为 y x 1 是一个一次函数 , 4
与 x轴有一个交点 .
ii .当 a 2 3 a 2 0时 , a 1且 a 2 , 此时函数为二次函数 如果图象与 x轴有交点 ,则有
(a 1)2 4(a 2 3a 2) 1 0 4
解 : (1)关于x的一元二次方程 ( p m ) x 2 2nx ( p m ) 0 有两个相等的实数根 . (2n)2 4( p m)( p m) 0 即p2 m2 n2 则PMN 为直角三角形 又由二次函数的对称性 知PM PN 故这个三角形是等腰直 角三角形.
解(1)依题意 0,即(4)2 8t 0
t 2 (2)设方程的两根x为1, x2,且x1 x2 0, 则x1 x2 4, x1 x2 2t s 1 1 x1 x2 2
x1 x2 x1 x2 t (其中t 2且t 0)
(3)图象如图示
[例2] 已知:关于x的函数
反比例函数y 1 b的图象在每一个象限 x
都随x的增大而增大 1 b 0即b 1
b 3则反比例函数为 y 2 x
(a,3)在y 2 上 x
3 2 a
a 2 3
[例5]抛物线y ax2 bx c(a 0) 的顶点为P,与x轴的两个交点为M , N (点M在 点N的左侧),PMN的三个内角P, M和N 所对的边分别为p, m, n,若关于x的一元二次方 程( p m)x2 2nx ( p m) 0有两个相等的实 数根. (1)试判定PMN的形状. (2)当顶点P的坐标为(2,1)时, 求抛物线的解析式 (3)平行于x轴的直线与抛物线交于A, B两点,以AB 为直径的圆恰好与x轴相切, 求该圆的圆心坐标.
即a1 0
a 1 又 a 1且 a 2, 所以 a 1且 a 2时 , 二次函数
y (a 2 3a 2) x 2 (a 1) x 1 的图象与 x轴有两个交点 . 4
综上所述 ,当 a 1时 ,函数的图象与 x 轴有交点 .
1
(2)x1
x2
a2
a
1 3a
, 2
x1
x2
பைடு நூலகம்
a2
4 3a
2
1 1 x1 x2 4(a 1) a2 3 x1 x2 x1 x2
a2 4a 1 0
a 2 3 a 1,而 2 3 1舍去
a 2 3
[例3] 已知抛物线
yx 2 2 m m x 7与x轴的两
个交点在点(1,0)的两旁,试判断关于x
的方程 1x 2 (m 1 )x m 2 5 0
2. 0b时 一 函 , 次 数 k x b 为 , y
性质： 1、一次函数图象必经过点（0，b）。 2、当k>0时，y随x的增大而增大。 当k<0时，y随x的增大而减小。
二.二次函y数 ax2 bxc(a0)
性质:1.开口方向 a>0,开口向上
2.对称轴
a<0,开口向下
x b 2a
3.顶点坐标 (b,4acb2) 2a 4a
对 于1方 x2(程 m1)xm250 4
(m1)241(m25) 4
2m4 2(m2)
m 2 2(m 2) 0 此方程无实数根 .
[例4] 已知关于x.y的方程组
(x1)2y2 2有一个实数解,且反比例函 yxb
数 y 1b 的图像在每个象限内,y都随x的增
x
大而增大,如果点(a,3)在双曲线 上,求a的值.
( 2 )抛物线的顶点为 ( 2, 1), 代入解析式中得
y ax 2 4ax 4a 1 又由 (1)知 MPC 为等腰直角三角形 , 如图示 , MN 2 PQ 2
又 MN x1 x 2 ( x1 x 2 )2 4 x1 x 2
( x1 x 2 )2 4 x1 x 2 MN 2 4
4.与x轴的交点 由b24ac来决定
5.与y轴的交点(0,c)
三 .反比例 y函 k(k数 0) x
[例1] 已知关于x的方程
x 2 4 x2 t0有两个实数根.
(1)求t的取值范围
(2)设方程的两个根的倒数和为S,求S 与t之间的函数关系式.
(3)在直角坐标系内画出(2)中所得到 的函数的图象.
y a2 x b x c (a 0 )
函数与方程 的综合问题
一.一次 k函 xb数 (k0y) 1.b0时 函,数为 kx这 y, 时y叫做函 x的 数正 . 比
性质：1、正比例函数的图象必经过原点（0，0）。 2、当k>0时，y随x的增大而增大。 当k<0时，y随x的增大而减小。
而 x1
x2
4,
x1 x2
4a a
1
42 4 4a 1 4 a
解得 : a 1
抛物线的解析式为 y x 2 4 x 3
(3)设平行x轴 于的直线 y为 k
4
的根的情况,并说明理由.
解:(法一)如图示,当x=1,y<0
即1+2m+m-7<0
所以m<2 (法二)设y x2 2mx m7与x轴的两 个交点为(x1,0),(x2,0) 据题意则有:(x1 1)(x2 1) 0 即x1x2 (x1 x2) 1 0 又x1 x2 2m, x1 x2 m7 m7 2m1 0 m 2
解:由 (x1)2y2 2
(1)
yxb
(2)
把(2)代入(1)中得:(x 1)2 (x b)2 2 整理得: 2x2 2(1b)x b2 1 0 由于原方程组只有一实个数解
方程2x2 2(1b)x b2 1 0有 两个相等的实根
即: [2(1b)]2 42(b2 1) 0 化简求解得:b 1或b 3
y (a 2 3 a 2 )x 2 (a 1 )x 1 4
的图象与x轴总有交点
(1)求a的取值范围
(2)设函数的图象与x轴有两个不同的交点
A、B,其坐标为 A (x 1,0 )B ,(x 2,0 )当,
11 a23时,求a的值. x1 x2
解 : (1)i当 a 2 3a 2 0时 , a 1或 a 2,
当 a 1时 , 原函数为 y 1 与 x 轴平行 , 没有交点 4
当 a 2时 , 原函数为 y x 1 是一个一次函数 , 4
与 x轴有一个交点 .
ii .当 a 2 3 a 2 0时 , a 1且 a 2 , 此时函数为二次函数 如果图象与 x轴有交点 ,则有
(a 1)2 4(a 2 3a 2) 1 0 4
解 : (1)关于x的一元二次方程 ( p m ) x 2 2nx ( p m ) 0 有两个相等的实数根 . (2n)2 4( p m)( p m) 0 即p2 m2 n2 则PMN 为直角三角形 又由二次函数的对称性 知PM PN 故这个三角形是等腰直 角三角形.
解(1)依题意 0,即(4)2 8t 0
t 2 (2)设方程的两根x为1, x2,且x1 x2 0, 则x1 x2 4, x1 x2 2t s 1 1 x1 x2 2
x1 x2 x1 x2 t (其中t 2且t 0)
(3)图象如图示
[例2] 已知:关于x的函数
反比例函数y 1 b的图象在每一个象限 x
都随x的增大而增大 1 b 0即b 1
b 3则反比例函数为 y 2 x
(a,3)在y 2 上 x
3 2 a
a 2 3
[例5]抛物线y ax2 bx c(a 0) 的顶点为P,与x轴的两个交点为M , N (点M在 点N的左侧),PMN的三个内角P, M和N 所对的边分别为p, m, n,若关于x的一元二次方 程( p m)x2 2nx ( p m) 0有两个相等的实 数根. (1)试判定PMN的形状. (2)当顶点P的坐标为(2,1)时, 求抛物线的解析式 (3)平行于x轴的直线与抛物线交于A, B两点,以AB 为直径的圆恰好与x轴相切, 求该圆的圆心坐标.
即a1 0
a 1 又 a 1且 a 2, 所以 a 1且 a 2时 , 二次函数
y (a 2 3a 2) x 2 (a 1) x 1 的图象与 x轴有两个交点 . 4
综上所述 ,当 a 1时 ,函数的图象与 x 轴有交点 .
1
(2)x1
x2
a2
a
1 3a
, 2
x1
x2
பைடு நூலகம்
a2
4 3a
2
1 1 x1 x2 4(a 1) a2 3 x1 x2 x1 x2
a2 4a 1 0
a 2 3 a 1,而 2 3 1舍去
a 2 3
[例3] 已知抛物线
yx 2 2 m m x 7与x轴的两
个交点在点(1,0)的两旁,试判断关于x
的方程 1x 2 (m 1 )x m 2 5 0
2. 0b时 一 函 , 次 数 k x b 为 , y
性质： 1、一次函数图象必经过点（0，b）。 2、当k>0时，y随x的增大而增大。 当k<0时，y随x的增大而减小。
二.二次函y数 ax2 bxc(a0)
性质:1.开口方向 a>0,开口向上
2.对称轴
a<0,开口向下
x b 2a
3.顶点坐标 (b,4acb2) 2a 4a
对 于1方 x2(程 m1)xm250 4
(m1)241(m25) 4
2m4 2(m2)
m 2 2(m 2) 0 此方程无实数根 .
[例4] 已知关于x.y的方程组
(x1)2y2 2有一个实数解,且反比例函 yxb
数 y 1b 的图像在每个象限内,y都随x的增
x
大而增大,如果点(a,3)在双曲线 上,求a的值.
( 2 )抛物线的顶点为 ( 2, 1), 代入解析式中得
y ax 2 4ax 4a 1 又由 (1)知 MPC 为等腰直角三角形 , 如图示 , MN 2 PQ 2
又 MN x1 x 2 ( x1 x 2 )2 4 x1 x 2
( x1 x 2 )2 4 x1 x 2 MN 2 4
4.与x轴的交点 由b24ac来决定
5.与y轴的交点(0,c)
三 .反比例 y函 k(k数 0) x
[例1] 已知关于x的方程
x 2 4 x2 t0有两个实数根.
(1)求t的取值范围
(2)设方程的两个根的倒数和为S,求S 与t之间的函数关系式.
(3)在直角坐标系内画出(2)中所得到 的函数的图象.