2.4.2抛物线的几何性质

x 20 y
2
（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且
经过点M(5,-4).
16 y x 5
2
光学性质： 探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
y 2 px ( p 0)
2
2
又因为点M在抛物线上：
2) 2 p 2 p 2
4x
因此所求抛物线标准方程为：2 y
y 2 4x 作图：
(1)列表（在第一象限内列表）
x
y
0
1
2
3
4
…
…
0
2
y
2.8 3.5
4
(2)描点：
(3)连线：
1
O
1
x
对应训练：
求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;
平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。
例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。
y
解: 在探照灯的轴截面 所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜 的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
焦半径
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p y0 2
（0,0）
p y0 2
离心率 通径
1 2p
1 2p
1 2p
1 2p
归纳:
(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它 也可以无限延伸，但没有渐近线； (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条 准线； (4)、抛物线的离心率e是确定的为１,
e=1
准线
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质? 类比椭圆和双曲线可以从几个方面来研究？ 1、范围 由抛物线y2 =2px（p>0）
有
y
2 px y 0 p0
2
o
F(
p ,0 ) 2
x
x 0
所以抛物线的范围为 x 0
2、对称性
( x, y)
关于x轴
对称
( x, y )
令y=0,则x=0.
即：抛物线y2 = 2px (p>0) 的顶点是（0，0）.
x
4 、离心率
y
抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比，叫做抛物线 的离心率。
由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
P(x,y)
o
p F ( ,0 ) 2
x
5、通径
过焦点且垂直于对称轴的弦 AB，称为抛物线的通径， |AB|=2p 利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图. A O B
2
的焦点的距离是5，则P = 2、抛物线
则焦点到AB的距离为 焦点在直线x-2y-4=0上. 2
4
。
。
y 4x 的弦AB垂直x轴，若|AB|= 4
3 ，
3、求满足下列条件的抛物线的标准方程：
y 16 x或x 8 y
2 2
你学会了吗？
1、范围： 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线； 2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2P越大，抛物线的张口 越大. 6、光学性质： 从焦点出发的光线，通过抛物线反射就 变成了平行光束.
O
F
x
p | PF || y0 | 2
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
A
(40,30)

O
B
x
设抛物线的标准方程为:y2=2px 由条件可得A (40,30), 代入方程得: 45 2=2p· 解之: p= 4 30 40 45 45 2= 故所求抛物线的标准方程为: y 2 x, 焦点为( 8 ,0)
巩固提高：
1、已知点A（-2，3）与抛物线
2
y 2 px( p 0)
1、抛物线定义
在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过 点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
2、 抛物线的标准方程
(1)开口向右 y2 = 2px (p>0) H (2)开口向左 y2 = -2px (p>0) (3)开口向上 x2 = 2py (p>0)
M
·
C
·Biblioteka Baidu
F
焦 点
(4)开口向下 x2 = -2py (p>0) l
p , p 2
y
y2=2px
F
2p
x
2p越大，抛物线张口越大.
p , p 2
6、焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物 线的焦半径。 y 焦半径公式： P(x ,y )
0 0
1、当焦点在x轴上时，
p | PF || x0 | 2
2、当焦点在y轴上时，
y
若点(x,y)在抛物线上,
即满足y2 = 2px，
则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
o
p F ( ,0 ) 2
x
3、顶点
定义：抛物线与坐标轴的 交点称为抛物线的顶点。
y
y2 = 2px
(p>0)中，
o
F( p ,0 ) 2
⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张 口越大.
例题讲解：
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M（２， 2 ），求它 2 的标准方程，并用描点法画出图形。
解： 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐
标原点，并且经过点M（２， 2 ）， 2 所以设方程为： 所以：2 (
布置作业
课本第64页，练习B，1，2