北航 计算理论 第二章 计算模型
北航计算机研究生课程算法设计及解析总结
一、解：第 k 月的需求量 Nk(k=1,2,3,4)状量 Xk：第 k 月初的存量， X1=X5=0，0≤Xk≤ Nk+⋯+N4决策量 Uk：第 k 月的生量， max{0， Nk-Xk} ≤ Uk≤min{6 ，Nk+⋯+N4 - Xk}状移方程： X = Uk + Xk – Nkk+1第 k 月的成本 Vk = *(Xk - Nk) Uk=03 + Uk + *(Uk + Xk - Nk) Uk ≠ 0F k(Xk) 是由第 k 月初的存量 Xk 开始到第 4 月份束段的最成本F k(Xk) = min{Vk + F k+1(X k+1 )}1≤k≤4= min{ 3 + Uk + *(Uk + Xk - Nk) + F k+1(Uk + Xk - Nk) }Uk≠0min{ *(Xk - Nk) + F k+1(Xk - Nk) }Uk=0F5(X5)=0四个月内的最成本F1 (X1)=F 1(0)算步以下：（1） k=40≤X4≤4，max{0，4 - X4}≤U4≤min{6，4-X4}X4 U4 X5 V4 F5(X5) V4 + F5(X5)0 4 0 7 0 7=F4(0)1 3 0 6 0 6=F4(1)2 2 0 5 0 5=F (2)43 1 04 0 4=F4(3)4 0 0 0 0 0=F4(4)即于状 X4 的每个取，都有唯一确定的决策量U4 使得 F4(X4) 最（2） k=30≤X3≤6，max{0，2 - X3} ≤U3≤min{6 ， 6-X3}X3 U3 X4 V3 F4(X4) V3 + F4(X4) 0 2 0 5 7 123 1 64 2 85 135 3 46 4 11 0 11=F3(0)1 1 0 4 7 112 1 63 2 7 5 124 3 42 5 4 10 0 10=F3(1) 0 0 0 7 7=F (2)31 1 62 2 6 5 113 3 43 4 4 9 0 90 1 6 =F (3)31 2 5 5 102 3 44 3 4 8 0 80 2 1 5 6=F (4)31 3 42 4 7 0 75 0 3 4 =F3 (5)1 4 6 0 66 0 4 3 0 2=F3(6)（3） k=2 时0≤X2≤9，max{0，3 - X2}≤U2≤min{6，9-X2}X2 U2 X3 V2 F3(X3) V2 + F 3(X3) 0 3 0 6 11 174 1 105 2 9 7 16=F (0)26 3 171 2 0 5 11 163 1 104 2 8 7 15=F2(1)5 3 166 4 11 6 172 1 0 4 11 152 1 103 2 7 7 14=F (2)24 3 155 4 106 166 5 173 0 0 0 11 11=F (3)21 1 102 2 6 7 133 3 144 4 9 6 155 5 166 6 12 2 144 0 1 10 =F (4)21 2 5 7 132 3 133 4 8 6 144 5 155 6 11 2 135 0 2 1 7 8=F (5)21 3 122 4 7 6 133 5 144 6 10 2 126 0 3 8=F (6)21 4 6 6 122 5 133 6 9 2 117 0 4 2 6 8=F (7)21 5 122 6 8 2 108 0 5 8=F2(8)9 1 6 7 2 90 6 3 2 5=F (9)2（4） k=1X1=0，max{0，2} ≤U1≤min{6 ， 11}X1 U1 X2 V1 F2(X2) V1 + F2(X2) 0 2 0 5 16 213 1 154 2 8 14 225 3 11 =F1 (0)6 4 11由以上算可得， 4 个月的最成本 F (0) = ( 千元 )1从 k=1 回溯，可得最果中各段的状量Xk 和决策量 Uk 以下表：月份 k 量 Uk 月初存量 Xk 需求量 Nk 每个月成本Vk1 5 0 22 03 3 03 6 0 2 114 0 4 4 0二、解：1、变量设定段 k：已遍 k 个点， k=1,2 ⋯ 6,7 。
uml02.Essentials+of+Visual+Modeling+with+UML2(北航 谭火彬)
Design Model
-12-
Copyright © thbin@
College of Software, BUAA
Levels of Precision May Differ
Every
model may be expressed at different levels of precision. The best kinds of models let you choose your degree of detail, depending on:
-10-
Copyright © thbin@
College of Software, BUAA
Four Principles of Modeling
The
model you create influences how the problem is attacked Every model may be expressed at different levels of precision The best models are connected to reality No single model is sufficient
已广泛应用，主要增强了MDA特性 2005年7月正式发布UML 2.0 2007年8月、11月UML2.1.1&2.1.2 2009年2月UML 2.2 2010年5月UML 2.3
北航 计算理论 第二章 计算模型
2.1 图灵机模型
与图灵机等价的计算模型：
寄存器机 Lambda演算
2.1 图灵机模型
Church－Turning论题：
一切直觉上能行可计算的函数都可用图 灵机计算，反之亦然。
作业
1. 设计一台图灵机，接受由a和b组成的， 且a与b出现次数相同的字符串。举正反例 给出识别过程。长度大于5.
2.1 图灵机模型
给出串0011的识别过程。
q00011 ┣xq1011 ┣x0q111 ┣xq20y1
┣q2x0y1 ┣xq00y1 ┣xxq1y1
┣xxyq11 ┣xxq2yy ┣xq2xyy
┣xxq0yy ┣xxyq3y ┣xxyyq3B
┣xxyyBq4B
2.1 图灵机模型
给出串0010的识别过程：
δ(q0,1) = (q1,（1,R)）,
δ(q0,B) = (q1,（B, R)）,
δ(q1,0) = (q0, 0, L),
δ(q1, 1) = (q0, 1, L), δ(q1, B) = (q0, B, L).
考虑输入串01，10，…
2.1 图灵机模型
对输入串的不接受：
拒绝状态
不停机
2.1 图灵机模型
应用实例1：自然数及其运算
输入带上0的个数表示自然数
n： 0n
函数的参数以1分隔。 f(n1,n2…,nk)的参数表示为：0n1 10n21…10nk
m+n
0m10n 0m+n 思路：将输入带上的中间的1改为0，将最后 的0改为B。 若m为0则直接将1改为B即可。
6种计算模型
6种计算模型计算模型是计算机科学中的一个重要概念，它是描述计算过程的数学模型。
在计算机科学中，有许多种不同的计算模型，每种模型都有自己的特点和适用范围。
在本文中，我们将介绍6种常见的计算模型。
1.有限自动机：有限自动机是一种描述有限状态机的计算模型。
它由一组有限状态、一组输入符号和一组状态转移函数组成。
有限自动机适用于描述简单的计算过程，如正则表达式匹配和字符串处理等。
2.图灵机：图灵机是由英国数学家艾伦·图灵提出的一种抽象计算模型。
图灵机包括一个无限长的纸带和一个可以读写移动的头部。
图灵机可以模拟任何计算过程，因此被认为是一种通用的计算模型。
mbda演算：Lambda演算是一种基于函数定义的计算模型。
它使用匿名函数和函数应用来描述计算过程。
Lambda演算是函数式编程语言的理论基础，它具有优雅简洁的数学形式。
4.递归函数：递归函数是一种递归定义的计算模型。
它使用函数自身的调用来描述计算过程，递归函数适用于描述递归结构的计算问题，如树形结构的遍历和分治算法等。
5.数据流模型：数据流模型是一种描述并行计算的计算模型。
它使用数据流图来描述计算过程，将计算分解成一系列数据流操作。
数据流模型适用于描述流式计算和并行计算等。
6.并发模型：并发模型是一种描述并发计算的计算模型。
它使用并发控制结构来描述计算过程，将计算分解成多个并发执行的任务。
并发模型适用于描述多任务调度和并发通信等。
这些计算模型各具特点，在不同的计算问题中有不同的应用。
了解和掌握这些计算模型有助于我们更好地理解计算过程和设计高效的算法。
希望本文对你有所帮助。
2计算理论与计算模型
2计算理论与计算模型计算理论和计算模型是计算机科学中非常重要的概念，它们对计算机科学的发展和应用产生了深远的影响。
计算理论是研究计算问题的基础理论，包括了算法、复杂性理论、计算复杂度理论等内容；而计算模型是描述计算机的抽象模型，包括了有限自动机、图灵机、lambda演算等多种模型。
在这篇文章中，我们将探讨计算理论和计算模型之间的关系，以及它们在计算机科学领域中的应用。
首先，让我们来看看计算理论和计算模型之间的关系。
计算理论是研究计算问题的数学理论，主要包括了算法的设计和分析、计算复杂性的研究等内容。
算法是一种解决问题的步骤序列，其设计和分析是计算理论的核心内容之一、通过研究算法，我们可以了解到如何高效地解决各种不同的计算问题，从而提高计算机科学的效率和实用性。
另一方面，计算模型是描述计算机的抽象模型，用来帮助我们理解计算机是如何进行计算的。
常见的计算模型包括了有限自动机、图灵机、lambda演算等。
有限自动机是一种具有有限个状态和转移规则的抽象计算模型，用来描述自动控制系统的行为。
而图灵机是英国数学家图灵提出的一种理论计算模型，它可以模拟任何计算问题的解决过程。
lambda演算则是由数学家艾伦·图灵和斯蒂芬·科尔尼（Stephen Cole Kleene）提出的一种基于λ演算符号的计算模型，用来描述函数式编程语言的计算过程。
计算理论和计算模型之间有着密切的关系。
计算理论提供了研究计算问题的基础理论，而计算模型则帮助我们理解计算机是如何进行计算的。
通过研究计算理论和计算模型，我们可以更好地理解计算机科学中的各种重要概念和理论，为计算机科学的发展和应用奠定了坚实的基础。
在计算机科学领域中，计算理论和计算模型有着广泛的应用。
在算法设计和分析方面，计算理论提供了许多重要的方法和技术，如分治法、动态规划、贪心算法等，用来解决各种不同的计算问题。
在计算复杂性理论方面，计算理论帮助我们理解计算问题的困难程度，并提出了许多重要的结论，如P=NP问题、NP完全问题等。
北航计算机组成原理讲义-1
指令周期：指令执行的时间，包括取指令、
分析指令、执行指令所需的时间。
机器周期：指令周期按功能分成几个不同的
阶段，每个阶段所需的时间，称为一个机器
周期。比如取指周期，取数周期等。
节拍周期：也是时钟周期，微操作执行的时
间。
时钟脉冲信号：计算机系统的基本定时信号，
是其他时序信号的基准
一个指令周期 ＝ N 个机器周期
Memory）
•运算器＋控制器＝CPU（Central Process Unit）
计算机组成（2）
存储器
保存程序和数据 存储单元（bit, Byte, Word) 地址的概念（每一个字节单元一个唯一的地址） 存储器的工作方式：读、写 组成：存储体＋地址缓冲部件＋数据缓冲部件＋读写控制部件 存储器的层次：Cache ＋ RAM ＋ Disk ＋ Tape
L64852 MBus control
M-S Adapter
SBus
SBus
DMA
SCSI Ethernet
SBus Cards
STDIO
serial kbd mouse audio RTC
Floppy
计算机的工作原理
❖机器指令：计算机硬件可以执行的表示一种基本操作的 二进制代码。
➢指令格式：操作码 ＋ 操作数（操作数地址） ➢操作码：指明指令的操作性质 ➢操作数（地址）：指令操作数的位置（或操作数本身）
指令的执行过程：微操作
Q AC Q
Q 微Q操作：计算机可以完成的最基D 本
B的D操作，一条机器指令的执行可以
AND
AC + B
AC
解释为一系列的微操作的执行
A B 操AN作D 性质：对数据进行某种处ALU理
2计算理论与计算模型
2计算理论与计算模型计算理论与计算模型是计算机科学中的重要理论基础，它研究计算的基本原理、能力和限制等问题。
在计算机科学的发展过程中，计算理论和计算模型起到了桥梁和纽带的作用，不仅推动了计算机科学的发展，也对计算机科学中的其他分支学科产生了深远的影响。
计算理论主要研究计算的数学和逻辑基础，它关注计算过程、算法和问题，以及计算的可行性和有效性等内容。
计算理论的主要内容包括图灵机模型、可计算性理论、形式语言与自动机理论、复杂性理论等。
计算模型指的是对计算过程的抽象和形式化描述。
计算模型旨在研究不同计算机系统之间的共性和异同，帮助人们更好地理解计算过程的本质。
常见的计算模型有图灵机、有限自动机、带状态机等。
图灵机模型是计算理论和计算模型的核心之一，它由英国数学家图灵于1936年提出。
图灵机模型使用一个带有无限长纸带的虚拟机器，通过读写和移动机器头来模拟计算过程。
图灵机模型具有简单、通用和可计算的特点，被广泛用于计算理论和计算机科学的研究。
可计算性理论是计算理论中的一个重要分支，它研究了哪些问题可以通过算法和计算过程进行求解，以及哪些问题是无法通过算法求解的。
可计算性理论的核心是判定问题的可计算性，即确定一些问题是否存在一个算法可以解决它。
可计算性理论的代表性工作是图灵的停机问题，即判断一些图灵机是否能在有限步骤内终止。
图灵证明了停机问题是不可判定的，也就是说无法通过一个算法来解决停机问题。
形式语言与自动机理论是计算机科学中的另一个重要分支，它研究了形式语言的定义、生成和识别等问题，以及自动机的建模和分析方法。
形式语言是用于描述计算机科学中的计算过程和问题的一种工具，而自动机则是用于模拟和分析这些计算过程和问题的一种抽象模型。
形式语言与自动机理论不仅在编程语言的设计和解析中有重要应用，还在计算过程的理论分析中起到了重要的作用。
复杂性理论是计算理论和计算模型中的一个重要研究方向，它研究问题的复杂性与计算资源之间的关系，以及不同计算模型和算法的效率和可行性。
北航计算方法复习题
k0 (xk x j )
j0 jk
差商具有对称性
第一章 插值方法
问题2：求做n次多项式pn(x)，使满足条件：
p
(k n
)
(
x0
)
y (k ) 0
k 0,1,, n
y
(k 0
)
(
k
0,1,, n)
为一组已给数据。
Taylor插值
Pn (x)
f (x0 )
f ' (x 0 )(x x0 )
作为I(f)的近似值。
求积节点：xi(i=0，1，…，n)
求积系数：Ai(i=0，1，…，n)与f(x)无关；
第二章 数值积分
机械求积
n
一般形式 I ( f ) In ( f ) Ai f (xi ) i0
一般性问题：
求积系数的特征: 求积公式的收敛性:
n
Ak b a
f (x0 , x1)
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f (x0 ) x0 x1
f (x1) x1 x0
f (x0 , x1, x2 )
f (x1, x2 ) f (x0 , x1 ) x2 x0
n
f (x0 , x1,, xn )
f (xk )
第二章 数值积分
求积节点固定的情况
设[a，b]为有限区间，取h=(b-a)/n，等距节点 xi=a+i·h(i=0，1，…，n)。
记x=a+t·h(0≤t ≤n)，则：
li (x)
n j0
(x xj) (xi x j )
北航水力学课件s2 第二章流体静力学
水静压力的作用点（压力中心）：
Q p=gh，压强与水深成正比，深度越深，压强 越大
\压力中心D在y轴上的位置必 低于形心c。
力矩平衡原理： 各微小面积dA上水静压力dP对x轴力矩之和 ＝整个受压面上的水静压力P对x轴的力矩 左边
右边＝水静压力P对x轴力矩
yD － 压力中心D至x轴的距离 Q左边＝右边， 即 各分力对某轴的力矩＝合力对同轴力矩之和
表示： 压强在x, y, z三方向都无变化，表示流体空间各点压强 相等
把流体平衡微分方程改写为：
结论：压强递增率的方向，就是 单位质量力在各轴向分力的方向，
即质量力作用的方向就是压强递增的方向。
如，静止液体，压强增加的方向，就是重力作用的垂直向下的方向。
对不可压缩流体，r为常数，将上方程中各式分别乘以dx, dy, dz后相加，得：
过水静压力分布图ABE的形心，并位于对称面上。
流体力学中一般只考虑地球吸引力，惯性力。 单位质量力：单位质量流体受到的质量力。
2. 表面力：作用在所取流体体积表面上的力，与作用的表面积大小成正 比，是其它物体所直接施加的表面接触力
一般分解为两部分：
法向应力：垂直于作用表面的分量
切向应力：平行于作用表面的分量
静止流体中没有切向力，只存在法向力，因此，定义
2-2-2 重力作用下流体的压强分布规律
如图，均匀液体：
容器：开口 液体密度：r
容器和液体：静止
流体所受质量力：重力 单位质量力： X=0, Y=0, Z= -g
代入式 dp =r (Xdx+Ydy+Zdz) = -rgdz = -gdz
积分上式得：p = -gz + c
c：积分常数，由边界条件确定
计算理论与计算模型课件
生物信息学中的计算模型研究
总结词
详细描述
THANKS
感谢观看
量子计算与量子计算模型研究
总结词
研究量子力学原理在计算领域的应用，包括量子比特、量子门、量子算法等概念， 以及量子计算模型和量子计算机的实现方式。
详细描述
量子计算利用量子比特作为信息的基本单位，通过量子门实现信息的处理和变换， 从而在理论上实现比传统计算机更高效的算法。量子计算模型的研究有助于深入 理解量子计算的原理和机制，为量子计算机的研发和应用提供指导。
数据结构
数据结构是数据的组织方式，对于提高算法效 率至关重要。
图灵机
图灵机是一个理论上能够模拟任何计算机程序的数学模型。
计算理论的应用领域
计算机科学 人工智能 密码学
CATALOGUE
计算模型基础
计算模型的定义与分类
计算模型定义 计算模型分类
常见计算模型介绍
线性回归模型
用于分析两个或多个变量之间的 关系，通过最小二乘法拟合直线， 并计算出回归系数。
决策树模型
一种分类和回归方法，通过递归 地将数据集划分为更小的子集， 构建出一棵树状图。
神经网络模型
模拟人脑神经元网络的一种计算 模型，通过训练和学习过程，实 现对输入数据的分类、预测和识 别等功能。
计算模型的构建方法
数据收集与处理
收集相关数据，并进行清洗、整理和 转换等预处理工作，为构建计算模型 提供基础数据。
计算模型在深度学习中扮演着关 键角色，可以实现复杂的特征提 取和分类任务。
计算模型可以应用于智能控制系 统中，提高系统的稳定性和性能。
CATALOGUE
计算模型的优化与改进
计算模型的性能优化
算法优化 并行计算 内存管理
第二章计算理论与计算模型
➢ 由于计算与算法联系在一起，因此，可计 算性理论又称算法理论。
10
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
1.可计算理论的发展
可计算理论起源于对数学基础问题的研究。从20世纪30年 代开始，为了讨论所有问题是否都有求解的算法，数学家和逻 辑学家从不同角度提出了几种不同的算法概念精确化定义。
为什么学习算法：①算法是计算机的灵魂；②算法是数学机 械化的一部分，能够帮助我们解决复杂的计算问题；③算法作为 一种思想，能锻炼我们的思维，使思维变得更清晰、更有逻辑。
6
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
Hale Waihona Puke 计算理论：关于计算和计算机械的数学理论， 它研究计算的过程与功效。
计算理论主要包括算法、算法学、计算复杂 性理论、可计算性理论、自动机理论和形式语言 理论等等。
5
计算理论 计算模型
2.1 计算的几种视角
算法：为解决一个特定的问题所采取确定的有限步骤。 计算机用于解决数值计算，如科学计算中的数值积分、解线 性方程等计算方法，就是数值计算的算法。 计算机用于解决非数值计算，如用于管理、文字处理、图像 图形等的排序、分类和查找，就是非数值计算的算法。
算法的组成：操作、数据。 这些操作包括加、减、乘、除和判断等，并按顺序、分支、 循环等控制结构所规定的次序执行。 数据是指操作对象和操作结果，包括布尔值、字符、整数和 实数等；以及向量、记录、集合、树和图以及声音等。
➢ 图灵给出的可计算性定义：能够在图灵机上 执行的过程（通常又称算法的过程）。
➢ 图灵之所以能取得成功，是他采用了算法思 维来研究计算的过程，从而揭示可计算性的 概念。
计算理论2章 计算模型2
2.2.1 RAM机器
2.2.1 RAM机器
操作数映射V(a):
V(a) = C(a) V(*a) = C(C(a)) V(=a) = a
2.2.1 RAM机器
RAM指令及含义：
LOAD a ： C(0) V(a)
STORE a : ADD a : SUB a : MULT a : DIV a :
l(j+6) + l(j+11) + l(C(i)+t)
j+8 1 LOAD 1 j+9 1
l(j+8) + l(1) + l(C(0))
时间为1；每个寄存器占用一个空间单位。 用于数据科学计算，如解方程，矩阵等，因其
数据一般采用科学法表示，数据长度固定。
2.3 复杂度
对数标准：
每条指令需要执行的时间和空间与操作数的长 度成正比。 操作数的长度： 当k＝0，l(k)=1 当k＞0，l(k)=lint(log(k)) + 1 其中，lint()表示向 下取整。
j+0 3 STORE 1 j+1 1
l(j) + l(1) + l(C(0))
j+2 1 LOAD i+t j+3 i+t
l(j+2) + l(i+t) + l(C(i))
j+4 5 ADD =t j+5 t
l(j+4) + l(C(i)) + l(t)
j+6 3 STORE j+11 j+7 j+11
一个符号； 输出带空白。
2.2.1 RAM机器
北航复变函数PPT第二章2(滕岩梅)
∫C udx − vdy = 0, ∫C vd x + u d y = 0 故得， 故得， f ( z )dz = 0. ∫C
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5
1900 年古萨发表此定理新的证明方法 无须将 f (z) 年古萨发表此定理新的证明方法. 分为实部和虚部. 更重要的是免去了f 分为实部和虚部 更重要的是免去了 '(z)连续的假 连续的假 只需f'(z)在区域 内存在即可 在区域D内存在即可 设，只需 在区域 内存在即可. 设函数f 在单连通域 内解析, 在单连通域D内解析 定理 设函数 (z)在单连通域 内解析 则f (z)在D内 在 内 任意按段光滑曲线C上的积分与路径无关 只与C的 任意按段光滑曲线 上的积分与路径无关, 只与 的 上的积分与路径无关 起点和终点有关. 起点和终点有关 所围成的单连通区域， 定理 设D是逐段光滑曲线 C所围成的单连通区域， 是逐段光滑曲线 所围成的单连通区域 函数f (z)在D内解析 在D = D + C 上连续, 那末 函数 在 内解析, 内解析
C−+L
∫ (2z
2
+ 8 z + 1)dz = 0,
y
C
即∫ ( 2 z 2 + 8 z + 1)dz
C
= ∫ ( 2 z 2 + 8 z + 1)dz
L
o
L
2πa x
机动
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结束
7
而
∫ ( 2 z + 8 z + 1)dz = ∫
2 L
2πa
0
( 2 x 2 + 8 x + 1)dx
计算理论与计算模型(精)
2.1 计算的几种视角
三、算法与计算
从不同角度看，算法的定义有多种： 从哲学角度看：算法是解决一个问题的抽象行为序列。 从抽象层次看：算法是一个将输入转化为输出的计算步骤序列 从技术层面看：算法是接收输入并产生输出的计算过程。
简而言之，算法就是计算的办法或法则。
算法无处不在，每个人每天都在 使用不同的算法来活出自己的人生。 比如你去食堂买饭会选择一个较短的 队列，而有人则可能选择一个推进速 度更快的队列。
计算复杂性：用计算机求解问题的难易程度。 度量标准： ①时间复杂度→计算所需的步数或指令条数； ②空间复杂度→计算所需的存储空间大小。
特性：确定性、有限性、机械性、可执行性和终止性。
11/48
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
3.可计算理论的主要内容
图灵机：一种在理论计算机科学中广泛采用的抽象计算机 用于精确描述算法的特征。通用图灵机正是后来的存储程序的 通用数字计算机的理论原型。
λ转换演算：一种定义函数的形式演算系统。丘奇为精确 定义可计算性而提出的，他引进λ记号以明确区分函数和函数 值，并把函数值的计算归结为按照一定规则进行一系列转换， 最后得到函数值。
5/48
计算理论 计算模型
2.1 计算的几种视角
算法：为解决一个特定的问题所采取确定的有限步骤。 计算机用于解决数值计算，如科学计算中的数值积分、解线 性方程等计算方法，就是数值计算的算法。 计算机用于解决非数值计算，如用于管理、文字处理、图像 图形等的排序、分类和查找，就是非数值计算的算法。
算法的组成：操作、数据。 这些操作包括加、减、乘、除和判断等，并按顺序、分支、 循环等控制结构所规定的次序执行。 数据是指操作对象和操作结果，包括布尔值、字符、整数和 实数等；以及向量、记录、集合、树和图以及声1936
(完整word版)北航研究生算法设计与分析Assignment_2
用分支定界算法求以下问题：某公司于乙城市的销售点急需一批成品，该公司成品生产基地在甲城市。
甲城市与乙城市之间共有n 座城市，互相以公路连通。
甲城市、乙城市以及其它各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度由矩阵M1 给出。
每段公路均由地方政府收取不同额度的养路费等费用，具体数额由矩阵M2 给出。
请给出在需付养路费总额不超过1500 的情况下，该公司货车运送其产品从甲城市到乙城市的最短运送路线。
具体数据参见文件：m1.txt: 各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度矩阵(有向图); 甲城市为城市Num.1，乙城市为城市Num.50。
m2.txt: 每段公路收取的费用矩阵（非对称）。
思想：利用Floyd算法的基本方法求解。
程序实现流程说明：1.将m1.txt和m2.txt的数据读入两个50×50的数组。
2.用Floyd算法求出所有点对之间的最短路径长度和最小费用。
3.建立一个堆栈，初始化该堆栈。
4.取出栈顶的结点，检查它的相邻的所有结点，确定下一个当前最优路径上的结点，被扩展的结点依次加入堆栈中。
在检查的过程中，如果发现超出最短路径长度或者最小费用，则进行”剪枝”，然后回溯。
5.找到一个解后，保存改解，然后重复步骤4。
6.重复步骤4、5，直到堆栈为空，当前保存的解即为最优解。
时间复杂度分析：Floyd算法的时间复杂度为3O N，N为所有城市的个数。
()该算法的时间复杂度等于DFS的时间复杂度，即O(N+E)。
其中，E为所有城市构成的有向连通图的边的总数。
但是因为采用了剪枝，会使实际运行情况的比较次数远小于E。
求解结果：算法所得结果:甲乙之间最短路线长度是:464最短路线收取的费用是:1448最短路径是:1 3 8 11 15 21 23 26 32 37 39 45 47 50C源代码（注意把m1.txt与m2.txt放到与源代码相同的目录下，下面代码可直接复制运行）：#include<stdlib.h>#include<stdio.h>#include<time.h>#include<string.h>#define N 50#define MAX 52void input(int a[N][N],int b[N][N]);void Floyd(int d[N][N]);void fenzhi(int m1[N][N],int m2[N][N],int mindist[N][N],int mincost[N][N]);int visited[N],bestPath[N];void main(){clock_t start,finish;double duration;int i,j,mindist[N][N],mincost[N][N],m1[N][N],m2[N][N]; /* m1[N][N]和m2[N][N]分别代表题目所给的距离矩阵和代价矩阵*/// int visited[N],bestPath[N];FILE *fp,*fw;// system("cls");time_t ttime;time(&ttime);printf("%s",ctime(&ttime));start=clock();for(i=0;i<N;i++){visited[i]=0;bestPath[i]=0;}fp=fopen("m1.txt","r"); /* 把文件中的距离矩阵m1读入数组mindist[N][N] */if(fp==NULL){printf("can not open file\n");return;}for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<N;j++)fscanf(fp,"%d",&mindist[i][j]);fclose(fp); /* 距离矩阵m1读入完毕*/fp=fopen("m2.txt","r"); /* 把文件中的代价矩阵m2读入数组mincost[N][N] */if(fp==NULL){printf("can not open file\n");return;}for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<N;j++)fscanf(fp,"%d",&mincost[i][j]);fclose(fp); /* 代价矩阵m2读入完毕*/input(m1,mindist); /* mindist[N][N]赋值给m1[N][N]，m1[N][N]代表题目中的距离矩阵*/input(m2,mincost); /* mincost[N][N]赋值给m2[N][N]，m2[N][N]代表题目中的代价矩阵*/for(i=0;i<N;i++) /* 把矩阵mindist[i][i]和mincost[i][i]的对角元素分别初始化，表明城市到自身不连通，代价为0 */{mindist[i][i]=9999;mincost[i][i]=0;}Floyd(mindist); /* 用弗洛伊德算法求任意两城市之间的最短距离，结果存储在数组mindist[N][N]中*//*fw=fopen("1.txt","w");for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++)fprintf(fw,"%4d ",mindist[i][j]);fprintf(fw,"\n");}fclose(fw);// getchar();//*/Floyd(mincost); /* 用弗洛伊德算法求任意两城市之间的最小代价，结果存储在数组mincost[N][N]中*//*fw=fopen("2.txt","w");for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++)fprintf(fw,"%4d ",mincost[i][j]);fprintf(fw,"\n");}fclose(fw);// getchar();//*/fenzhi(m1,m2,mindist,mincost); /* 调用分支定界的实现函数，寻找出所有的可行路径并依次输出*/finish=clock();duration = (double)(finish - start) / CLOCKS_PER_SEC;printf( "%f seconds\n", duration );//*/}void Floyd(int d[N][N]) /* 弗洛伊德算法的实现函数*/{int v,w,u,i;for(u=0;u<N;u++){for(v=0;v<N;v++){for(w=0;w<N;w++)if(d[v][u]+d[u][w]<d[v][w]){//printf("v,w,u,d[v][u],d[u][w],d[v][w] %d %d %d %d %d %d",v+1,w+1,u+1,d[v][u],d[u][w],d[v][ w]);getchar();d[v][w]=d[v][u]+d[u][w];}}}}void input(int a[N][N],int b[N][N]) /* 把矩阵b赋值给矩阵a */{int i,j;for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<N;j++)a[i][j]=b[i][j];}void fenzhi(int m1[N][N],int m2[N][N],int mindist[N][N],int mincost[N][N]){int stack[MAX],depth=0,next,i,j; /* 定义栈，depth表示栈顶指针；next指向每次遍历时当前所处城市的上一个已经遍历的城市*/int bestLength,shortestDist,minimumCost,distBound=9999,costBound=9999;int cur,currentDist=0,currentCost=0; /* cur指向当前所处城市，currentDist和currentCost分别表示从甲城市到当前所处城市的最短距离和最小代价，currentDist和currentCost初值为0表示从甲城市出发开始深度优先搜索*/stack[depth]=0; /* 对栈进行初始化*/stack[depth+1]=0;visited[0]=1; /* visited[0]=1用来标识从甲城市开始出发进行遍历，甲城市已被访问*/while(depth>=0) /* 表示遍历开始和结束条件，开始时从甲城市出发，栈空，depth=0；结束时遍历完毕，所有节点均被出栈，故栈也为空，depth=0 *//* 整个while（）循环体用来实现从当前的城市中寻找一个邻近的城市*/{cur=stack[depth]; /* 取栈顶节点赋值给cur，表示当前访问到第cur号城市*/ next=stack[depth+1]; /* next指向当前所处城市的上一个已经遍历的城市*/for(i=next+1;i<N;i++) /* 试探当前所处城市的每一个相邻城市*/{if((currentCost+mincost[cur][N-1]>costBound)||(currentDist+mindist[cur][N-1]>=distBound)){ /* 所试探的城市满足剪枝条件，进行剪枝*///printf("here1 %d %d %d %d %d %d %d\n",cur,currentCost,mincost[cur][49],costBound,curre ntDist,mindist[cur][49],distBound); getchar();//printf("%d %d %d %d %d %d",cur,i,m1[cur][i],currentCost,mincost[cur][49],costBound); getchar();continue;}if(m1[cur][i]==9999) continue; /* 所试探的城市不连通*/if(visited[i]==1) continue; /* 所试探的城市已被访问*/if(i<N) break; /* 所试探的城市满足访问条件，找到新的可行城市，终止for循环*/ }if(i==N) /* 判断for循环是否是由于搜索完所有城市而终止的，如果是（i==N），进行回溯*/{// printf("here");getchar();depth--;currentDist-=m1[stack[depth]][stack[depth+1]];currentCost-=m2[stack[depth]][stack[depth+1]];visited[stack[depth+1]]=0;}else /* i!=N,表示for循环的终止是由于寻找到了当前城市的一个可行的邻近城市*/{//printf("%d %d %d %d %d %d\n",cur,i,m1[stack[depth]][i],m2[stack[depth]][i],currentCost,curre ntDist);//getchar();currentDist+=m1[stack[depth]][i]; /* 把从当前所处城市到所找到的可行城市的距离加入currentDist */currentCost+=m2[stack[depth]][i]; /* 把从当前所处城市到所找到的可行城市的代价加入currentCost */depth++; /* 所找到的可行城市进栈*/stack[depth]=i; /* 更新栈顶指针，指向所找到的可行城市*/stack[depth+1]=0;visited[i]=1; /* 修改所找到的城市的访问标志*/if(i==N-1) /* i==N-1表示访问到了乙城市，完成了所有城市的一次搜索，找到一条通路*/{// printf("here\n");for(j=0;j<=depth;j++) /* 保存当前找到的通路所经过的所有节点*/ bestPath[j]=stack[j];bestLength=depth; /* 保存当前找到的通路所经过的所有节点的节点数*/shortestDist=currentDist; /* 保存当前找到的通路的距离之和*/minimumCost=currentCost; /* 保存当前找到的通路的代价之和*///costBound=currentCost;distBound=currentDist; /* 更新剪枝的路径边界，如果以后所找到的通路路径之和大于目前通路的路径之和，就剪枝*/if(minimumCost>1500) continue; /* 如果当前找到的通路的代价之和大于1500，则放弃这条通路*/printf("最短路径:%3d,路径代价:%3d,所经历的节点数目:%3d,所经历的节点如下:\n",shortestDist,minimumCost,bestLength+1); /* 输出找到的通路的结果*/bestPath[bestLength]=49;for(i=0;i<=bestLength;i++) /* 输出所找到的通路所经过的具体的节点*/ printf("%3d ",bestPath[i]+1);(完整word版)北航研究生算法设计与分析Assignment_2 printf("\n");depth--; /* 连续弹出栈顶的两个值，进行回溯，开始寻找新的可行的通路*/currentDist-=m1[stack[depth]][stack[depth+1]];currentCost-=m2[stack[depth]][stack[depth+1]];visited[stack[depth+1]]=0;depth--;currentDist-=m1[stack[depth]][stack[depth+1]];currentCost-=m2[stack[depth]][stack[depth+1]];visited[stack[depth+1]]=0;// getchar();}}}}。
2 计算理论与计算模型
22
• 转换函数的另一种表示: 状态
a b c d
(b,1,R) (b,1,R) (c,1,R) (a,0,S)停机
23
[例]做一个以1的个数表示数值的加法运算，在磁带上的数据是： 0011101100 , 就是3+2的意思。 输出结果为0011111000。
•
当前状态-读入-查表-改变状态-写出
36
时间复杂度= (n+1)+ n(n+1)+n2+ n2(n+1)+n3=2n3+3n2+2n+1
算法时间复杂度
• 时间复杂度的表示
–一般情况下，算法中基本操作重复执行的次 数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示。
• T(n)=2n3+3n2+2n+1
37
–若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无 穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的 常数，则称f(n)是T(n)的渐近函数。 –记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n)) 为算法的渐 进时间复杂度，简称时间复杂度。
• 问题的规模与计算复杂性
– 问题的规模，即一个问题的大小。 – 给定一个算法以后，计算大小为n的问题 所需要的时间、空间就可以表示为 n的函 数。
29
问题规模
30
【例】有两个算法A1和A2求解同一问题，时间消耗分别是： T1(n)=100n2，T2(n)=5n3 （1）当输入量n＜20时，有T1(n)＞T2(n)，后者花费的时间较少。 （2）随着问题规模n的增大，两个算法的时间开销之比 100n2/5n3=20/n亦随着增小。即当问题规模较大时，算法A1比算 法A2要有效得多。
计算模型基础知识点总结
计算模型基础知识点总结计算模型是计算机科学领域的一个重要分支，它研究如何使用数学模型和算法来描述和解决实际的计算问题。
在计算模型的研究中，人们首先需要明确问题的描述和目标，然后设计合适的数据结构和算法来解决这些问题，并进行理论分析和实际实验来验证算法的可行性和有效性。
在这篇文章中，我将总结计算模型的基础知识点，包括计算模型的基本概念、常见的数据结构和算法、以及计算模型在实际应用中的一些典型问题和解决方法。
1. 计算模型的基本概念计算模型是描述和研究计算问题和算法的一种抽象框架，它包括输入、输出、数据结构、算法、复杂性分析和应用等内容。
在计算模型中，输入是描述问题的描述信息，输出是描述问题的解决结果，数据结构是描述问题的信息组织形式，算法是描述问题的解决步骤，复杂性分析是描述算法的效率和资源消耗，应用是描述算法的实际应用场景。
在计算模型的研究中，常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、树、图等，常见的算法包括排序、搜索、动态规划、贪心算法、回溯算法、分治算法、图算法等。
2. 常见的数据结构和算法在计算模型的研究中，数据结构是描述问题的信息组织形式，它包括线性结构和非线性结构。
线性结构包括数组、链表、栈、队列等，非线性结构包括树、图等。
算法是描述问题的解决步骤，它包括排序、搜索、动态规划、贪心算法、回溯算法、分治算法、图算法等。
常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、树、图等。
数组是由相同类型的元素组成的有序集合，它可以按照下标随机访问元素；链表是由节点组成的一种动态数据结构，它可以在任意位置插入和删除元素；栈是一种后进先出的线性数据结构，它可以用于程序调用栈和表达式求值；队列是一种先进先出的线性数据结构，它可以用于任务调度和广度优先搜索；树是一种节点组成的层次结构，它可以用于文件系统和数据库索引；图是由节点和边组成的一种动态数据结构，它可以用于网络和路径搜索。
常见的算法包括排序、搜索、动态规划、贪心算法、回溯算法、分治算法、图算法等。
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2.1 图灵机模型
给出串0011的识别过程。
q00011 ┣xq1011 ┣x0q111 ┣xq20y1
┣q2x0y1 ┣xq00y1 ┣xxq1y1
┣xxyq11 ┣xxq2yy ┣xq2xyy
┣xxq0yy ┣xxyq3y ┣xxyyq3B
┣xxyyBq4B
2.1 图灵机模型
给出串0010的识别过程：
：Q× Q×(×{L, R, S})为转移函数。
2.1 图灵机模型
例1：δ(q, a) = (p, (b, L)) 说明：若当前状态为 q ，读写头读取 a ，经过 δ 转 换后，图灵机状态改为p，线性带上a改变为b，同 时读写头左移一格。
例2：δ(q, a) = (p, (a, R)) 说明：若当前状态为 q ，读写头读取 a ，经过 δ 转 换后，图灵机状态改为 p，线性带上a不改变，同 时读写头右移一格。
2.1 图灵机模型
例5：设计一台图灵机，接受由0和1组成的 ，且0与1出现次数相同，0先出现的字符串 形如0…01…1。
基本思路：读头将第一个0改为x，右移，把找到 的第一个1改为y，然后退回去直到遇到第一个x ，再右移把遇到的第一个0改为x，右移，把找到 的第一个1改为y，如此反复直至指针指向空白B 为止。
δ(q0, 0) = (q0, 0, R), δ(q0, 1) = (q1, 1, R), δ(q1, 0) = (q1, 0, R),
δ(q1, B) = (q2, B, R).
0/0,R
0/0,R
q0
1/1,R
q1
B/B,R
q2
识别由0和1组成的且只含有一个1的字符 串。
2.1 图灵机模型
2.1 图灵机模型
例3：δ(q, a) = (q, (B, S)) 说明：当前状态为 q ，读写头读取 a ，经过 δ 动作 后，图灵机状态不改变，仍为 q，线性带上a被清 空，同时读写头不动。
2.1 图灵机模型
表示：
图
表
2.1 图灵机模型
例4：有图灵机M= ({q0,q1,q2}, {0,1}, {0,1,B}, δ, q0, B, {q2}), 其中δ定义为：
与图灵机类似，唯一的不同在于它可以有 k
(k> 1)条纸带，每条纸带上都有一个读写头.
其状态转移函数δ为：
：Q×k Q×(k ×{L, R,S}k ) (q,x1,…,xk) = (p,(x1’,…,xk’,A1,…,Ak))
例如： (q, x,y) = (p, (a,b, L, R)) 例如：识别0n1n 两个带，一个存放输入串，将输入串的0串 拷贝到第二个线性带上，两个带开始匹配。 读写指针不需要频繁移动。
2.1 图灵机模型
若uqv和u’pv’为图灵机M的格局，有：
uqv ⊢ u’pv’ iff 存在a∈, ∈*,有v = a和δ(q, a)=(p, (b, A)), u=x, ∈*, x∈：
若A=L, 则u’=, v’= xb; 若A=R, 则u’=ub, v’=; 若A=S，则u’=u, v’=b.
2. 设计自然数上的乘法运算nm。举例给 出计算过程。
剩余的1和0都改为B抹去。
实例应用2：串的拷贝
输入 1n
结果12n
思路： 将每一个1改为X，将最右端的X改为
1，向右找到第一个B改为1，返回寻找最左
端的X，重复上一步骤。
2.1 图灵机模型
图灵机的变形
多带图灵机
非确定图灵机
多指针图灵机 多维图灵机 离线图灵机
多带图灵机：
的编码，然后பைடு நூலகம்拟 M 的运作。
输入符编码
转换函数编码 图灵机编码
例：
q1 : 0, q1:00, …
a: 0, b: 00 , …
L: 0, R: 00 (q1, a) = (q2, b, R) : 010100100100
2.1 图灵机模型
定理：
任意一台图灵机都可以等价转换为
定理：
对任意一个多带图灵机，存在一个单带 图灵机与之等价。
证明： 记录多带信息 记录多带读写头位置
2.1 图灵机模型
非确定图灵机
：Q× (Q×(×{L, R,S})) 例如：M = ({q ,p ,r},{0,1},{0,1,B}, , B, q, {r}), 定义如下：
多指针图灵机
有多个指针，一个控制器和一条线性带，
指针由1到k编号，图录机的一个动作由当前
状态和被每个指针所扫描的符号。
在一个动作中，每个指针独立地左移、右移
或不动。
定理：每一个多指针图灵机都有一个与
之等价的单指针图灵机。
定理：每一个多维图灵机都有一个与之
等价的单维图灵机。
2.1 图灵机模型
2.1 图灵机模型
┣*:表示转换关系的自反、传递闭包。即多步转
换。如 C┣*D，则存在C1…Ck，使得：
C┣C1，C1┣C2，…，Ck┣D
2.1 图灵机模型
计算：q0ω┣*xqfy称为一个以ω为输入，
xy为输出的计算。即:
计算是从初始格局到终止格局按照
动作函数规定的规则进行的一系列转换的 格局转换序列。
0 {(q ,1,R)} {(p, 0, R), (q, 0,L)} 1 {(p, 0, R)} {(p, 1,R), (q,1,L)} {(r, B,R)} B
q p r
输入串0101的识别过程： q0101├ 1q101 ├ 10p01 ├ 1q001 ├ 11q01 ├ 111q1 ├ 1110pB ├ 1110BrB
计算理论
第二章 计算模型
主要内容
图灵机模型
RAM机 RASP机 Lambda演算模型
2.1 图灵机模型
图灵机组成：
两端无限的线性带（读写介质） 有限的符号表（表示信息） 有限的信息处理状态 信息处理动作（静止，左、右移） 信息处理方法（规则）
2.1 图灵机模型
线性带 读写头
100p1 ├ 10q01 ├ 101q1 ├ 1010pB ├ 1010rB ├ 1001pB ├ 1001BrB
定理：每一个非确定图灵机都有一个与 之等价的确定图灵机。
证明： 思路：用确定型图灵机模拟非确定型图灵机 算法：以宽度优先策略搜索非确定图灵机的 每个分枝，直到遇到接受格局。
q0
q5
q1
q2 q3
状态控制器
q4
2.1 图灵机模型
定义：图灵机的M＝(Q, ∑, , δ, B, q0, F)，其中：
Q 为状态的有限集合；
∑为有限字母表，为输入符号集；
为线性带符号集，∑ ； B空符号，B，B ∑； q0Q为初始状态 FQ是终止状态集;
q00010 ┣xq1010 ┣x0q110 ┣xq20y0 ┣q2x0y0 ┣xq30y0 ┣xxq1y0 ┣xxyq10 ┣xxy0q1B 拒绝停机
2.1 图灵机模型
例6：设有图灵机M =({q0,q1}, {0,1}, {0,1,B}, δ, q0, B, ), 其中转换函数δ定义为：
δ(q0,0) = (q1,（0,R）),
2.1 图灵机模型
应用实例1：自然数及其运算
输入带上0的个数表示自然数
n： 0n
函数的参数以1分隔。 f(n1,n2…,nk)的参数表示为：0n1 10n21…10nk
m+n
0m10n 0m+n 思路：将输入带上的中间的1改为0，将最后 的0改为B。 若m为0则直接将1改为B即可。
语言：
L(M) = {ω|q0ω┣* xqfy}
称为图灵机M识别的语言 。
即：
图灵机M能够接受停机的所有输 入信息串的集合就是M能识别的语言。
2.1 图灵机模型
定义1（可识别）：如果有图灵机识别一
个语言，则称该语言是图灵可识别的。
又称为递归可枚举的。
2.1 图灵机模型
定义2（可判定）：如果有图灵机对所有
一台通用图灵机。
2.1 图灵机模型
与图灵机等价的计算模型：
寄存器机 Lambda演算
2.1 图灵机模型
Church－Turning论题：
一切直觉上能行可计算的函数都可用图 灵机计算，反之亦然。
作业
1. 设计一台图灵机，接受由a和b组成的， 且a与b出现次数相同的字符串。举正反例 给出识别过程。长度大于5.
δ(q0,1) = (q1,（1,R)）,
δ(q0,B) = (q1,（B, R)）,
δ(q1,0) = (q0, 0, L),
δ(q1, 1) = (q0, 1, L), δ(q1, B) = (q0, B, L).
考虑输入串01，10，…
2.1 图灵机模型
对输入串的不接受：
拒绝状态
不停机
m-n
0m10n m>n: 0m-n ; mn: B 思路：1最左端的0改为B，向右查找1之后遇 到的第一个0，将其改为1。返回将最左端的 0改为B，继续上一步骤。