第5章-对冲击荷载的反应

高等结构动力学
近似分析可以认为是非常可靠的。实际上，将运动方程 直接积分来求得的最大反应为0.604英寸，因此近似结果 的误差小于2 %。
图E5-2 近似冲击反应分析
阶段Ⅱ 计算阶段Ⅰ结束时（t=t1）的方程（5-12*）及其一阶导数的值，得 到
（5-13*）
再将上式代人方程(5-2*)，则可获得阶段Ⅱ 的自由振动反应。
§5.4
三角形脉冲
高等结构动力学
这些反应函数的最大值，如在其他情况一样，可用在速度为零这个条件下的 时间值来计算。对于持续时间很短的加荷情况（t1/T＜0.4），最大反应在阶 段Ⅱ的自由振动期间出现；否则，最大反应在加荷阶段内出现（阶段Ⅰ）。 不同加荷持续时间的动力放大系数D=vmax/(p0/k)的值，示于表5-1。 表5-1 三角形冲击荷载作用下的动力放大系数
§5.6 冲击荷载反应的近似分析 应用如下的近似关系：
高等结构动力学
mv
或

t1
0
p(t )dt
(5-19)
(5-20)
1 t1 v p(t )dt m 0 加荷结束之后的反应为自由振动：
v( t )
其中
t t t1
v(t1 )
sin t v(t1 ) cos t
放大系数与脉冲面积对荷载峰值的比成比例。 比较图5—6中短周期范围内的各条曲线，就可
max 是反应的更有效的尺度． 看出这一点．因此，
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
高等结构动力学
用第（2）条结论的数学表示法计算持续时间短 的冲击荷载下最大反应，对于质量m的脉冲—冲量的 关系可写成
mv [ p(t ) kv(t )]dt
当sin t 1时最大反应为
结构工程师最关心的、在弹簧中所产生的最大弹性力是：
2 T 2秒 ，对于这样的短持 因为这个系统的振动周期为
max
0.614英寸
f s ,max kvmax 51.1(0.614) 3.14千磅
t1 续时间荷载( 0.15 )， T
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
§5.5
震动或反应谱
高等结构动力学
§5.5
震动或反应谱（2）
根据表5-1所示数据可作出图5-6中的一条曲线，其它曲线亦 可用相同的方法画出，分别对应于其它冲击荷载形式。这些曲 线称为冲击荷裁的位移反应谱或简称反应谱。 利用这些曲线可以在工程所需精度内，估计作用在简单结 构上的给定冲击荷载所产生的最大效应。
高等结构动力学ຫໍສະໝຸດ Baidu
高等结构动力学
第五章
对冲击荷载的反应
高等结构动力学
第五章 对冲击荷载的反应
§5.1 冲击荷载的一般性质 §5.2 正弦波脉冲 §5.3 矩形脉冲 §5.4 三角形脉冲 §5.5 震动谱或反应谱 §5.6 冲击荷载反应的近似分析
§5.1 冲击荷载的一般性质
高等结构动力学
§5.1 冲击荷载的一般性质
t1/T D 0.20 0.66 0.40 1.05 0.50 1.20 0.75 1.42 1.00 1.55 1.50 1.69 2.00 1.76
§5.5
震动或反应谱（1）
高等结构动力学
§5.5
震动或反应谱（1）
由上述表达式，在无阻尼单自由度结构里，给定的冲击荷 载形式所引起的最大反应仅依赖于脉冲的持续时间与结构的固 有周期的比值t1/T。对于各种冲击荷载形式，画出动力放大系数 作为t1/T的函数的曲线。
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
冲击荷载产生的动力反应，依赖于荷载持续时间与结构振动 周期的比； 对t1/T=3/4的反应比R(t)=v(t)/(p0/k) 示于图5-3*。 P(t)/k曲线，其峰值等于1(与反应比具有相同的比例尺)．
图5-3* 由正弦脉冲引起的反应比(t1=3/4T)
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
结构工程师更关心冲击荷载的最大反应，它比全部反应过程 更有意义； 出现反应峰值的时间，可由方程(5-1*)对时间t求导并令其等 于零来确定。于是：
得：
因此
（5-3*）
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
表达式仅在ωt≤π时才是正确的，这就是说，最大反应出现在 冲击荷载作用时间内。对于最有意义的荷载情况来说，此时荷 载频率趋近于自由振动频率，即ω→ω，最大反应发生的时间可 用方程(5-3*)求出，将n=1代入并在(5-3*)式中取负号： （5-4*） 最大反应幅值可将方程(5-4*)代入方程(5-1*)而得到。这个结 果仅在假定ωt≤π时才是正确的，也即只有当β＜1或ω＜ω的情况 下才是正确的。 当β＞1（ω＞ω）时，最大反应出现在自由振动阶段内（阶段 Ⅱ）。这一阶段的初位移和初速度可将ωt=π代入方程（5-1*）而 得到：
图5-1 任意冲击荷载
§5.1 冲击荷载的一般性质
高等结构动力学
冲击荷载的特点
1、持续时间很短,结构的最大反应将在很短的时间 内达到； 2、在控制结构的最大反应中，阻尼就显得不太重要 了。
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
§5.2
正弦波脉冲
对可用简单解析函数表达的冲击荷载来说，可以得到运动 方程的闭合解。 讨论一下图5-2所示的正弦波脉冲。 反应可分为两个阶段：第一阶段荷载作用期间内的反应，
另一阶段则为随后发生的自由振动反应。
图5-2 正弦波脉冲
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
阶段Ⅰ ：结构承受谐振荷载，从静止开始运动。包含瞬态以及 稳态的无阻尼反应由下式给出： 当0≤t≤t1时 （5-1*）
阶段Ⅱ： 结构发生自由振动，干扰为阶段Ⅰ最终时刻的位移 v(t1)和速度v(t1) 。可以用如下表达式表示： 当t=t-t1≥0时 此处引入新的时间变量： （5-2*）
§5.4
三角形脉冲
高等结构动力学
§5.4
三角形脉冲
讨论冲击荷载为图5-5所示的随时间而减小的三角形脉冲荷载。
图5-5 三角形脉冲
§5.4
三角形脉冲
高等结构动力学
阶段Ⅰ 在这个阶段，荷载为p0(1-t/t1)，不难证明，在此荷载下的特解为 （5-11*）
如果假定为零初始条件，可以算出在一般解中的自由振动常数，从而求得 （5-12*）
大系数为2；而缓慢地逐渐增加的荷载，其动力放
大系数为1 。
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
高等结构动力学
(2)对于持续时间短的荷载，例如t1/T ＜1/4，最 大位移幅值 max 主要依赖于作用冲量 I 0 p(t )dt 的 大小, 而脉冲荷载的形式对它影响不大。但是，动
t1
力放大系数D却十分依赖于荷载的形式， 因为动力
(t1 ) 0
v(t1 ) v
有如下的近似关系：
v( t )
t1 1 ( p(t )dt )sin t m 0
（5-21）
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
高等结构动力学
例题 E5-2 作为应用这个近似公式的一个例子，讨论
图E5-2中的结构在所示冲击荷载下的反应．在此情况下， t kg / W 3.14弧度 / 秒，且 1 p(t )dt 10千磅 秒。 0 反应约为 10 （386） v( t ) sin t 2000 （3.14） 其中重力加速度取作 g 386英寸 / 秒2。
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
（5-5*）
根据方程（2-37），这个自由振动运动的幅值为 （5-6*）
因此，这种情况下的放大系数为： 当β＞1，t＞t1时
§5.3
矩形脉冲
高等结构动力学
§5.3
矩形脉冲
讨论图5-4所示的矩形脉冲。反应再次分为加荷阶段和接着 发生的自由振动阶段。
图5-4 矩形脉冲
讨论单自由度体系动力荷载的另一种特殊类型——冲击荷 载．如图6-1的例子所示，这种荷载由一个单独的主要脉冲组成， 一般来说它的持续时间很短。与承受周期性荷载或谐振荷载的结 构比较，在控制结构的最大反应中，阻尼就显得不太重要了。 在冲击荷载下，结构的最大反应将在很短的时间内达到。在 这之前，阻尼力还来不及从结构吸收较多的能量。鉴于此，仅 讨论冲击荷载下体系的无阻尼反应．
§5.3
矩形脉冲
高等结构动力学
对于这种矩形脉冲，显然，如果t1≥T/2的话，最大反应将总是在阶段Ⅰ出现， 此时的动力放大系数D为2。对于持续时间比较短的荷载，最大反应将在阶段 Ⅱ的自由振动期间出现，而反应幅值将由方程(2-37)给出如下：
（5-9*）
从该式可得 （5-10*） 因此当t1/T小于1/2时，动力放大系数是一个正弦函数，它随荷载脉冲长度比 t1/T而变化。
§5.3
矩形脉冲
高等结构动力学
阶段I 在阶段I期间突然施加的恒荷载，称为单阶荷载。单阶荷载的特解即 为它所引起的静挠度 （5-10）
从这个结果，一般解中的自由振动常数可由满足静止的初始条件来确定，从 而很容易得到一般解：
当0≤t≤t1时： （5-7*） 阶段Ⅱ 在此阶段内，自由振动再次由方程(5-2*)给出： 当t=t-t1≥0时： （5-8*）
0
t1
(5-18)
v 荷载引起的速度的改变。t1值小时，在荷载
作用期间所引起的位移 (t1 ) 是属于 (t1 ) 2量级的，而速 度改变 v 是属于t1量级的．因此，既然冲量也是t1量 级的，故当t1趋近于零时弹性力项 kv(t ) 自表达式消失， 而对持续时间短的荷载，它的值很小，可以忽略．
§5.5
震动或反应谱
高等结构动力学
图5-6 对于三种脉冲型式的位移反应谱（震动谱）
§5.5
震动或反应谱
高等结构动力学
这些反应谱也可用来求出结构对作用在它基底的加速度脉冲的反应。如果作 用于基底的加速度为 ，则它所引起的等效冲击荷载为 [参看方程 （2-17）]。若以 代表最大基底加速度，则最大等效冲击荷载为 。 此时动力放大系数为 （5-16）
其中 为质量的最大总加速度。这是根据在无阻尼体系里，质量与加速度乘 积的大小必然等于弹性恢复力 得到的。
§5.5
震动或反应谱
高等结构动力学
通常仅对反应的绝对值大小感兴趣.上式可以改写为
（5-17）
因此，像用来估计冲击荷载下的最大位移反应一样，图5-6的反应谱曲线，显 然也同样可以用来估计质量m在基底承受加速度脉冲时的最大加速度反应， 当用于这种目的时，此曲线通常称作震动谱。
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
高等结构动力学
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
对图5—6所示的反应谱及其它形式荷载的谱的 研究，得出关于冲击荷载下结构反应的两个结论： (1)对于长持续时间荷载（ t1/T＞1），动力放大 系数主要依赖于荷载达到它的最大值的增加速度； 具有足够持续时间的单阶荷载所产生的动力放