第5章 对冲击荷载的反应
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放大系数与脉冲面积对荷载峰值的比成比例。 比较图5—6中短周期范围内的各条曲线，就可
max 是反应的更有效的尺度． 看出这一点．因此，
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
高等结构动力学
用第（2）条结论的数学表示法计算持续时间短 的冲击荷载下最大反应，对于质量m的脉冲—冲量的 关系可写成
[ p(t ) kv(t )]dt mv
其中 为质量的最大总加速度。这是根据在无阻尼体系里，质量与加速度乘 积的大小必然等于弹性恢复力 得到的。
§5.5
震动或反应谱
高等结构动力学
通常仅对反应的绝对值大小感兴趣.上式可以改写为
（5-17）
因此，像用来估计冲击荷载下的最大位移反应一样，图5-6的反应谱曲线，显 然也同样可以用来估计质量m在基底承受加速度脉冲时的最大加速度反应， 当用于这种目的时，此曲线通常称作震动谱。
图5-1 任意冲击荷载
§5.1 冲击荷载的一般性质
高等结构动力学
冲击荷载的特点
1、持续时间很短,结构的最大反应将在很短的时间 内达到； 2、在控制结构的最大反应中，阻尼就显得不太重要 了。
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
§5.2
正弦波脉冲
对可用简单解析函数表达的冲击荷载来说，可以得到运动 方程的闭合解。 讨论一下图5-2所示的正弦波脉冲。 反应可分为两个阶段：第一阶段荷载作用期间内的反应，
正弦波脉冲
高等结构动力学
结构工程师更关心冲击荷载的最大反应，它比全部反应过程 更有意义； 出现反应峰值的时间，可由方程(5-1*)对时间t求导并令其等 于零来确定。于是：
得：
因此
（5-3*）
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
表达式仅在ωt≤π时才是正确的，这就是说，最大反应出现在 冲击荷载作用时间内。对于最有意义的荷载情况来说，此时荷 载频率趋近于自由振动频率，即ω→ω，最大反应发生的时间可 用方程(5-3*)求出，将n=1代入并在(5-3*)式中取负号： （5-4*） 最大反应幅值可将方程(5-4*)代入方程(5-1*)而得到。这个结 果仅在假定ωt≤π时才是正确的，也即只有当β＜1或ω＜ω的情况 下才是正确的。 当β＞1（ω＞ω）时，最大反应出现在自由振动阶段内（阶段 Ⅱ）。这一阶段的初位移和初速度可将ωt=π代入方程（5-1*）而 得到：
§5.5
震动或反应谱
高等结构动力学
§5.5
震动或反应谱（2）
根据表5-1所示数据可作出图5-6中的一条曲线，其它曲线亦 可用相同的方法画出，分别对应于其它冲击荷载形式。这些曲 线称为冲击荷裁的位移反应谱或简称反应谱。 利用这些曲线可以在工程所需精度内，估计作用在简单结 构上的给定冲击荷载所产生的最大效应。
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
冲击荷载产生的动力反应，依赖于荷载持续时间与结构振动 周期的比； 对t1/T=3/4的反应比R(t)=v(t)/(p0/k) 示于图5-3*。 P(t)/k曲线，其峰值等于1(与反应比具有相同的比例尺)．
图5-3* 由正弦脉冲引起的反应比(t1=3/4T)
§5.2
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
（5-5*）
根据方程（2-37），这个自由振动运动的幅值为 （5-6*）
因此，这种情况下的放大系数为： 当β＞1，t＞t1时
§5.3
矩形脉冲
高等结构动力学
§5.3
矩形脉冲
讨论图5-4所示的矩形脉冲。反应再次分为加荷阶段和接着 发生的自由振动阶段。
图5-4 矩形脉冲
§5.3
矩形脉冲
高等结构动力学
对于这种矩形脉冲，显然，如果t1≥T/2的话，最大反应将总是在阶段Ⅰ出现， 此时的动力放大系数D为2。对于持续时间比较短的荷载，最大反应将在阶段 Ⅱ的自由振动期间出现，而反应幅值将由方程(2-37)给出如下：
（5-9*）
从该式可得 （5-10*） 因此当t1/T小于1/2时，动力放大系数是一个正弦函数，它随荷载脉冲长度比 t1/T而变化。
另一阶段则为随后发生的自由振动反应。
图5-2 正弦波脉冲
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
阶段Ⅰ ：结构承受谐振荷载，从静止开始运动。包含瞬态以及 稳态的无阻尼反应由下式给出： 当0≤t≤t1时 （5-1*）
阶段Ⅱ： 结构发生自由振动，干扰为阶段Ⅰ最终时刻的位移 v(t1)和速度v(t1) 。可以用如下表达式表示： 当t=t-t1≥0时 此处引入新的时间变量： （5-2*）
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
高等结构动力学
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
对图5—6所示的反应谱及其它形式荷载的谱的 研究，得出关于冲击荷载下结构反应的两个结论： (1)对于长持续时间荷载（ t1/T＞1），动力放大 系数主要依赖于荷载达到它的最大值的增加速度； 具有足够持续时间的单阶荷载所产生的动力放
(t1 ) 0
(t1 ) v v
有如下的近似关系：
t1 1 v( t ) ( p(t )dt )sin t m 0
（5-21）
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
高等结构动力学
例题 E5-2 作为应用这个近似公式的一个例子，讨论
图E5-2中的结构在所示冲击荷载下的反应．在此情况下， t kg / W 3.14弧度 / 秒，且 1 p(t )dt 10千磅 秒。 0 反应约为 10 （386） v( t ) sin t 2000 （3.14） 其中重力加速度取作 g 386英寸 / 秒2。
0
t1
(5-18)
荷载引起的速度的改变。t1值小时，在荷载 v
作用期间所引起的位移 (t1 ) 是属于 (t1 ) 2量级的，而速 是属于t1量级的．因此，既然冲量也是t1量 度改变 v 级的，故当t1趋近于零时弹性力项 kv(t ) 自表达式消失， 而对持续时间短的荷载，它的值很小，可以忽略．
§5.5
震动或反应谱
高等结构动力学
图5-6 对于三种脉冲型式的位移反应谱（震动谱）
§5.5
震动或反应谱
高等结构动力学
这些反应谱也可用来求出结构对作用在它基底的加速度脉冲的反应。如果作 用于基底的加速度为 ，则它所引起的等效冲击荷载为 [参看方程 （2-17）]。若以 代表最大基底加速度，则最大等效冲击荷载为 。 此时动力放大系数为 （5-16）
§5.3
矩形脉冲
高等结构动力学
阶段I 在阶段I期间突然施加的恒荷载，称为单阶荷载。单阶荷载的特解即 为它所引起的静挠度 （5-10）
从这个结果，一般解中的自由振动常数可由满足静止的初始条件来确定，从 而很容易得到一般解：
当0≤t≤t1时： （5-7*） 阶段Ⅱ 在此阶段内，自由振动再次由方程(5-2*)给出： 当t=t-t1≥0时： （5-8*）
大系数为2；而缓慢地逐渐增加的荷载，其动力放
大系数为1 。
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
Fra Baidu bibliotek高等结构动力学
(2)对于持续时间短的荷载，例如t1/T ＜1/4，最 大位移幅值 max 主要依赖于作用冲量 I 0 p(t )dt 的 大小, 而脉冲荷载的形式对它影响不大。但是，动
t1
力放大系数D却十分依赖于荷载的形式， 因为动力
§5.6 冲击荷载反应的近似分析 应用如下的近似关系： 或
高等结构动力学
p(t )dt mv
0
t1
(5-19)
(5-20)
1 t1 p(t )dt v m 0 加荷结束之后的反应为自由振动：
v( t )
其中
t t t1
(t1 ) v
sin t v(t1 ) cos t
阶段Ⅱ 计算阶段Ⅰ结束时（t=t1）的方程（5-12*）及其一阶导数的值，得 到
（5-13*）
再将上式代人方程(5-2*)，则可获得阶段Ⅱ 的自由振动反应。
§5.4
三角形脉冲
高等结构动力学
这些反应函数的最大值，如在其他情况一样，可用在速度为零这个条件下的 时间值来计算。对于持续时间很短的加荷情况（t1/T＜0.4），最大反应在阶 段Ⅱ的自由振动期间出现；否则，最大反应在加荷阶段内出现（阶段Ⅰ）。 不同加荷持续时间的动力放大系数D=vmax/(p0/k)的值，示于表5-1。 表5-1 三角形冲击荷载作用下的动力放大系数
高等结构动力学
高等结构动力学
第五章
对冲击荷载的反应
高等结构动力学
第五章 对冲击荷载的反应
§5.1 冲击荷载的一般性质 §5.2 正弦波脉冲 §5.3 矩形脉冲 §5.4 三角形脉冲 §5.5 震动谱或反应谱 §5.6 冲击荷载反应的近似分析
§5.1 冲击荷载的一般性质
高等结构动力学
§5.1 冲击荷载的一般性质
当sin t 1时最大反应为
结构工程师最关心的、在弹簧中所产生的最大弹性力是：
2 T 2秒 ，对于这样的短持 因为这个系统的振动周期为
max 0.614英寸
f s ,max kvmax 51.1(0.614) 3.14千磅
t1 续时间荷载( 0.15 )， T
§5.4
三角形脉冲
高等结构动力学
§5.4
三角形脉冲
讨论冲击荷载为图5-5所示的随时间而减小的三角形脉冲荷载。
图5-5 三角形脉冲
§5.4
三角形脉冲
高等结构动力学
阶段Ⅰ 在这个阶段，荷载为p0(1-t/t1)，不难证明，在此荷载下的特解为 （5-11*）
如果假定为零初始条件，可以算出在一般解中的自由振动常数，从而求得 （5-12*）
t1/T D 0.20 0.66 0.40 1.05 0.50 1.20 0.75 1.42 1.00 1.55 1.50 1.69 2.00 1.76
§5.5
震动或反应谱（1）
高等结构动力学
§5.5
震动或反应谱（1）
由上述表达式，在无阻尼单自由度结构里，给定的冲击荷 载形式所引起的最大反应仅依赖于脉冲的持续时间与结构的固 有周期的比值t1/T。对于各种冲击荷载形式，画出动力放大系数 作为t1/T的函数的曲线。
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
高等结构动力学
近似分析可以认为是非常可靠的。实际上，将运动方程 直接积分来求得的最大反应为0.604英寸，因此近似结果 的误差小于2 %。
图E5-2 近似冲击反应分析
讨论单自由度体系动力荷载的另一种特殊类型——冲击荷 载．如图6-1的例子所示，这种荷载由一个单独的主要脉冲组成， 一般来说它的持续时间很短。与承受周期性荷载或谐振荷载的结 构比较，在控制结构的最大反应中，阻尼就显得不太重要了。 在冲击荷载下，结构的最大反应将在很短的时间内达到。在 这之前，阻尼力还来不及从结构吸收较多的能量。鉴于此，仅 讨论冲击荷载下体系的无阻尼反应．
max 是反应的更有效的尺度． 看出这一点．因此，
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
高等结构动力学
用第（2）条结论的数学表示法计算持续时间短 的冲击荷载下最大反应，对于质量m的脉冲—冲量的 关系可写成
[ p(t ) kv(t )]dt mv
其中 为质量的最大总加速度。这是根据在无阻尼体系里，质量与加速度乘 积的大小必然等于弹性恢复力 得到的。
§5.5
震动或反应谱
高等结构动力学
通常仅对反应的绝对值大小感兴趣.上式可以改写为
（5-17）
因此，像用来估计冲击荷载下的最大位移反应一样，图5-6的反应谱曲线，显 然也同样可以用来估计质量m在基底承受加速度脉冲时的最大加速度反应， 当用于这种目的时，此曲线通常称作震动谱。
图5-1 任意冲击荷载
§5.1 冲击荷载的一般性质
高等结构动力学
冲击荷载的特点
1、持续时间很短,结构的最大反应将在很短的时间 内达到； 2、在控制结构的最大反应中，阻尼就显得不太重要 了。
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
§5.2
正弦波脉冲
对可用简单解析函数表达的冲击荷载来说，可以得到运动 方程的闭合解。 讨论一下图5-2所示的正弦波脉冲。 反应可分为两个阶段：第一阶段荷载作用期间内的反应，
正弦波脉冲
高等结构动力学
结构工程师更关心冲击荷载的最大反应，它比全部反应过程 更有意义； 出现反应峰值的时间，可由方程(5-1*)对时间t求导并令其等 于零来确定。于是：
得：
因此
（5-3*）
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
表达式仅在ωt≤π时才是正确的，这就是说，最大反应出现在 冲击荷载作用时间内。对于最有意义的荷载情况来说，此时荷 载频率趋近于自由振动频率，即ω→ω，最大反应发生的时间可 用方程(5-3*)求出，将n=1代入并在(5-3*)式中取负号： （5-4*） 最大反应幅值可将方程(5-4*)代入方程(5-1*)而得到。这个结 果仅在假定ωt≤π时才是正确的，也即只有当β＜1或ω＜ω的情况 下才是正确的。 当β＞1（ω＞ω）时，最大反应出现在自由振动阶段内（阶段 Ⅱ）。这一阶段的初位移和初速度可将ωt=π代入方程（5-1*）而 得到：
§5.5
震动或反应谱
高等结构动力学
§5.5
震动或反应谱（2）
根据表5-1所示数据可作出图5-6中的一条曲线，其它曲线亦 可用相同的方法画出，分别对应于其它冲击荷载形式。这些曲 线称为冲击荷裁的位移反应谱或简称反应谱。 利用这些曲线可以在工程所需精度内，估计作用在简单结 构上的给定冲击荷载所产生的最大效应。
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
冲击荷载产生的动力反应，依赖于荷载持续时间与结构振动 周期的比； 对t1/T=3/4的反应比R(t)=v(t)/(p0/k) 示于图5-3*。 P(t)/k曲线，其峰值等于1(与反应比具有相同的比例尺)．
图5-3* 由正弦脉冲引起的反应比(t1=3/4T)
§5.2
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
（5-5*）
根据方程（2-37），这个自由振动运动的幅值为 （5-6*）
因此，这种情况下的放大系数为： 当β＞1，t＞t1时
§5.3
矩形脉冲
高等结构动力学
§5.3
矩形脉冲
讨论图5-4所示的矩形脉冲。反应再次分为加荷阶段和接着 发生的自由振动阶段。
图5-4 矩形脉冲
§5.3
矩形脉冲
高等结构动力学
对于这种矩形脉冲，显然，如果t1≥T/2的话，最大反应将总是在阶段Ⅰ出现， 此时的动力放大系数D为2。对于持续时间比较短的荷载，最大反应将在阶段 Ⅱ的自由振动期间出现，而反应幅值将由方程(2-37)给出如下：
（5-9*）
从该式可得 （5-10*） 因此当t1/T小于1/2时，动力放大系数是一个正弦函数，它随荷载脉冲长度比 t1/T而变化。
另一阶段则为随后发生的自由振动反应。
图5-2 正弦波脉冲
§5.2
正弦波脉冲
高等结构动力学
阶段Ⅰ ：结构承受谐振荷载，从静止开始运动。包含瞬态以及 稳态的无阻尼反应由下式给出： 当0≤t≤t1时 （5-1*）
阶段Ⅱ： 结构发生自由振动，干扰为阶段Ⅰ最终时刻的位移 v(t1)和速度v(t1) 。可以用如下表达式表示： 当t=t-t1≥0时 此处引入新的时间变量： （5-2*）
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
高等结构动力学
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
对图5—6所示的反应谱及其它形式荷载的谱的 研究，得出关于冲击荷载下结构反应的两个结论： (1)对于长持续时间荷载（ t1/T＞1），动力放大 系数主要依赖于荷载达到它的最大值的增加速度； 具有足够持续时间的单阶荷载所产生的动力放
(t1 ) 0
(t1 ) v v
有如下的近似关系：
t1 1 v( t ) ( p(t )dt )sin t m 0
（5-21）
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
高等结构动力学
例题 E5-2 作为应用这个近似公式的一个例子，讨论
图E5-2中的结构在所示冲击荷载下的反应．在此情况下， t kg / W 3.14弧度 / 秒，且 1 p(t )dt 10千磅 秒。 0 反应约为 10 （386） v( t ) sin t 2000 （3.14） 其中重力加速度取作 g 386英寸 / 秒2。
0
t1
(5-18)
荷载引起的速度的改变。t1值小时，在荷载 v
作用期间所引起的位移 (t1 ) 是属于 (t1 ) 2量级的，而速 是属于t1量级的．因此，既然冲量也是t1量 度改变 v 级的，故当t1趋近于零时弹性力项 kv(t ) 自表达式消失， 而对持续时间短的荷载，它的值很小，可以忽略．
§5.5
震动或反应谱
高等结构动力学
图5-6 对于三种脉冲型式的位移反应谱（震动谱）
§5.5
震动或反应谱
高等结构动力学
这些反应谱也可用来求出结构对作用在它基底的加速度脉冲的反应。如果作 用于基底的加速度为 ，则它所引起的等效冲击荷载为 [参看方程 （2-17）]。若以 代表最大基底加速度，则最大等效冲击荷载为 。 此时动力放大系数为 （5-16）
§5.3
矩形脉冲
高等结构动力学
阶段I 在阶段I期间突然施加的恒荷载，称为单阶荷载。单阶荷载的特解即 为它所引起的静挠度 （5-10）
从这个结果，一般解中的自由振动常数可由满足静止的初始条件来确定，从 而很容易得到一般解：
当0≤t≤t1时： （5-7*） 阶段Ⅱ 在此阶段内，自由振动再次由方程(5-2*)给出： 当t=t-t1≥0时： （5-8*）
大系数为2；而缓慢地逐渐增加的荷载，其动力放
大系数为1 。
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
Fra Baidu bibliotek高等结构动力学
(2)对于持续时间短的荷载，例如t1/T ＜1/4，最 大位移幅值 max 主要依赖于作用冲量 I 0 p(t )dt 的 大小, 而脉冲荷载的形式对它影响不大。但是，动
t1
力放大系数D却十分依赖于荷载的形式， 因为动力
§5.6 冲击荷载反应的近似分析 应用如下的近似关系： 或
高等结构动力学
p(t )dt mv
0
t1
(5-19)
(5-20)
1 t1 p(t )dt v m 0 加荷结束之后的反应为自由振动：
v( t )
其中
t t t1
(t1 ) v
sin t v(t1 ) cos t
阶段Ⅱ 计算阶段Ⅰ结束时（t=t1）的方程（5-12*）及其一阶导数的值，得 到
（5-13*）
再将上式代人方程(5-2*)，则可获得阶段Ⅱ 的自由振动反应。
§5.4
三角形脉冲
高等结构动力学
这些反应函数的最大值，如在其他情况一样，可用在速度为零这个条件下的 时间值来计算。对于持续时间很短的加荷情况（t1/T＜0.4），最大反应在阶 段Ⅱ的自由振动期间出现；否则，最大反应在加荷阶段内出现（阶段Ⅰ）。 不同加荷持续时间的动力放大系数D=vmax/(p0/k)的值，示于表5-1。 表5-1 三角形冲击荷载作用下的动力放大系数
高等结构动力学
高等结构动力学
第五章
对冲击荷载的反应
高等结构动力学
第五章 对冲击荷载的反应
§5.1 冲击荷载的一般性质 §5.2 正弦波脉冲 §5.3 矩形脉冲 §5.4 三角形脉冲 §5.5 震动谱或反应谱 §5.6 冲击荷载反应的近似分析
§5.1 冲击荷载的一般性质
高等结构动力学
§5.1 冲击荷载的一般性质
当sin t 1时最大反应为
结构工程师最关心的、在弹簧中所产生的最大弹性力是：
2 T 2秒 ，对于这样的短持 因为这个系统的振动周期为
max 0.614英寸
f s ,max kvmax 51.1(0.614) 3.14千磅
t1 续时间荷载( 0.15 )， T
§5.4
三角形脉冲
高等结构动力学
§5.4
三角形脉冲
讨论冲击荷载为图5-5所示的随时间而减小的三角形脉冲荷载。
图5-5 三角形脉冲
§5.4
三角形脉冲
高等结构动力学
阶段Ⅰ 在这个阶段，荷载为p0(1-t/t1)，不难证明，在此荷载下的特解为 （5-11*）
如果假定为零初始条件，可以算出在一般解中的自由振动常数，从而求得 （5-12*）
t1/T D 0.20 0.66 0.40 1.05 0.50 1.20 0.75 1.42 1.00 1.55 1.50 1.69 2.00 1.76
§5.5
震动或反应谱（1）
高等结构动力学
§5.5
震动或反应谱（1）
由上述表达式，在无阻尼单自由度结构里，给定的冲击荷 载形式所引起的最大反应仅依赖于脉冲的持续时间与结构的固 有周期的比值t1/T。对于各种冲击荷载形式，画出动力放大系数 作为t1/T的函数的曲线。
§5.6 冲击荷载反应的近似分析
高等结构动力学
近似分析可以认为是非常可靠的。实际上，将运动方程 直接积分来求得的最大反应为0.604英寸，因此近似结果 的误差小于2 %。
图E5-2 近似冲击反应分析
讨论单自由度体系动力荷载的另一种特殊类型——冲击荷 载．如图6-1的例子所示，这种荷载由一个单独的主要脉冲组成， 一般来说它的持续时间很短。与承受周期性荷载或谐振荷载的结 构比较，在控制结构的最大反应中，阻尼就显得不太重要了。 在冲击荷载下，结构的最大反应将在很短的时间内达到。在 这之前，阻尼力还来不及从结构吸收较多的能量。鉴于此，仅 讨论冲击荷载下体系的无阻尼反应．