(完整)七年级上角的旋转问题
人教版七年级上角的旋转专题训练(学生版)
人教版七年级上角的旋转专题训练一、综合题1．（2023七上·钦州期末）一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图1所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合(∠APB=45°，∠DPC=30°)，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒15°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t.（1）当t=3时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是度；（2）如图2，若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转，∠MPN=180°.①用含t的代数式表示：∠NPD=▲ ；∠MPB=▲ ；当t为何值时，∠BPC= 5°②从三角尺ABP与三角尺PCD第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结束止，经过的时间t为▲ 秒．2．（2023七上·平南期末）已知∠AOB=130°，∠COD=80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线.（1）如图1，如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，则∠MON=度；（2）如图2，固定∠AOB，将图1中的∠COD绕点O顺时针旋转n°（0<n≤90）.∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OC 绕着O点顺时针旋转m°（0<m<100），如图3，请直接写出∠MON与旋转度数m°之间的数量关系：.3．（2023七上·钦州期末）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON 同时分别以20°/s，10°/s的速度绕点O逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒.（1）如图①，若∠AOB=120°，当OM、ON逆时针旋转到OM′、ON′处，①若OM，ON旋转时间t=3时，则∠BON′+∠COM′=▲ ；②若OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，求∠M′ON′的值；（2）如图②，若∠AOB=3∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由.（3）若∠AOC=70°，OM，ON在旋转的过程中，当∠MON=20°，求t的值.4．（2023七上·达川期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上(直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°)，保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转直至ON边第一次重合在直线AD上，整个过程时间记为t秒．（1）从旋转开始至结束，整个过程共持续了秒；（2）如图2，旋转三角板MON，使得OM、ON在直线OC的异侧，请直接写出∠CON与∠AOM数量关系；如图3，继续旋转三角板MON，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由．（3）若在三角板MON旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒12°的速度顺时针旋转，当ON 边第一次重合在直线AD上时两三角板同时停止．①试用字母t分别表示∠AOM与∠AOC；②在旋转的过程中，当t为何值时OM平分∠AOC．5．（2022七上·大冶期末）已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.（1）如图1，若∠AOC=36°，求∠DOE的度数；（2）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置.①探究∠AOD（小于平角）和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.②在∠AOC（小于平角）的内部有一条射线OF，满足：3∠COF+2∠BOE=12(∠AOD+4∠AOF)，试确定∠AOF与∠BOE的之间的数量关系，并说明理由.6．（2022七上·和平期末）已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分钝角∠BOC．（1）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；（2）如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；（3）当∠AOC=40°时，∠COD绕点O以每秒5°沿逆时针方向旋转t秒(0<t<36)，请探究∠AOC和∠DOE之间的数量关系．（直接写出结果）7．（2021七上·路北期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求∠CON与∠AOM的度数．（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部．请探究：∠CON与∠AOM之间的数量关系，并说明理由．（3）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时．直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为秒（直接写出结果）．8．（2021七上·乐平期末）如图1，一块三角板的一条直角边OC放在直线AB上．将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，使它的两直角边OC、OD均在直线AB的上方，得图2；将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使它的直角边OC在直线AB下方，OD在直线AB的上方得图3．OE始终平分∠AOD．（1）图1中，∠COE的度数为，∠BOD=；图2中，若∠COE=35°，则∠BOD=．（2）在图2中，猜想∠BOD与∠COE数量关系，并说明理由．（3）在图3中，直接写出∠BOD与∠COE的数量关系．不必说明理由．9．（2020七上·南沙期末）将两块直角三角板的顶点A叠在一起，已知∠BAC＝30°，∠DAE＝90°，将三角板ADE绕点A旋转，在旋转过程中，保持∠BAC始终在∠DAE的内部．（1）如图①，若∠BAD＝25°，求∠CAE的度数．（2）如图①，∠BAE与∠CAD有什么数量关系，请说明理由．（3）如图②，若AM平分∠BAD，AN平分∠CAE，问在旋转过程中，∠MAN的大小是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出变化范围．10．（2021七上·巢湖期末）如图1，∠AOB是平角，∠COD是直角，射线OB在∠COD内部，OE，OF分别是∠BOD，∠AOC的平分线．（1）如图1，若OB是∠COD的平分线，求∠AOF的度数；（2）如图1，求∠EOF的度数；（3）若改变∠COD的位置变化，如图2，当∠COD在直线AB的上方时，如图3，当射线OA在∠COD内部时，如图4，当∠COD在直线AB的下方时，∠EOF的度数发生变化吗？若不变，请直接写出∠EOF的度数；若不确定，请说明理由．11．（2021七上·天桥期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．（1）如图1，∠AOB=80°，∠AOC=25°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD=；（2）如图2，已知∠AOB=60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α(0<α<60°)得∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角；（3）已知∠AOB=30°，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4)，问：在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．12．（2021七上·盐湖期末）有两个形状、大小完全相同的直角三角板ABC和CDE，其中∠ACB=∠DCE= 90°．将两个直角三角板ABC和CDE如图①放置，点A、C、E在直线MN上．（1）三角板CDE位置不动，将三角板ABC绕点C顺时针旋转一周，①在旋转过程中，若∠BCD=30°，求∠ACE得度数；②在旋转过程中，∠BCD与∠ACE有怎样的数量关系？请依据图②说明理由．（2）在图①基础上，三角板ABC和CDE同时绕点C顺时针旋转，若三角板ABC的边AC从CM处开始绕点C顺时针旋转，转速为10°/秒，同时三角板CDE的边CE从CN处开始绕点C顺时针旋转，转速为1°/秒，当AC旋转一周再落到CM上时，两三角板都停止转动．如果设旋转时间为t秒，请结合图①完成在旋转过程中，当t=秒时，两三角板重合．在两三角板重合之前当t=秒时，有∠ACE=3∠BCD．13．（2021七上·南开期末）已知：如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：5．将一等腰直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边ON在射线OB上，另一直角边OM在直线AB的下方．（1）将图1中的等腰直角三角板绕点O以每秒3°的速度逆时针方向旋转一周，直角边ON旋转后的对应边为ON'，直角边OM旋转后的对应边为OM'．在此过程中，经过t秒后，OM'恰好平分∠BOC，求t的值；（2）如图2，在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线OC也绕点O以每秒4°的速度顺时针方向旋转，射线OC旋转后的对应射线为OC'．当射线OC'落在射线OC的反向延长线上时，射线OC和等腰直角三角板同时停止运动．在此过程中，是否存在某一时刻t，使得OC'//M'N'．若存在，请求出t的值，若不存在，诮说明理由；（3）如图3，在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线OC也绕点O以每秒5°的速度顺针方向旋转，射线OC旋转后的对应射线为OC'．当等腰直角三角板停止运动时，射线OC 也停止运动．在整个运动过程中．经过l秒后，∠M'ON'的某一边恰好平分∠AOC'，请直接写出所有满足条件的t的值．14．（2022七上·兰山期末）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，将一块直角三角板的直角顶点放在O处．（注：∠DOE＝90°）（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，且∠BOC＝70°，则∠COE＝°；（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置时，∠BOC＝70°，使OD在∠BOC内部，且满足∠AOE＝5∠COD，求∠BOD的度数；（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到如图所示位置时，若OE恰好平分∠AOC，试说明OD所在射线是∠BOC的平分线．15．（2021七上·长兴期末）已知∠AOB=160°，∠COE是直角，OF平分∠AOE.（1）如图1，若∠COF=32°，则∠BOE=；（2）如图1，若∠COF=m°，则∠BOE=；∠BOE与∠COF的数量关系为.（3）在已知条件不变的前提下，当∠COE绕点О逆时针转动到如图2的位置时，第（2）问中∠BOE 与∠COF的数量关系是否仍然成立?请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）90（2）解：①（5t ）°；（45+15t ）°；在三角尺ABP 和三角尺PCD 旋转前，∠BPC =180°−45°−30°=105°，而∠BPC =5°，分两种情况：PB 与PC 相遇前，则： 15t +5t +5=105， 解得：t =5，PB 与PC 相遇后，则： 15t +5t −5=105，解得：t =5.5，∴当t 为秒5或5.5秒时，∠BPC =5°；②154【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题【解析】【解答】（1）解：当t =3时，PB 旋转的角度为3×15°=45°，∴边PB 经过的量角器刻度线对应的度数是45°+45°=90°；故答案为：90；（2）①当旋转时间为t 时，则∠NPD =5t°，∠MPB =(45+15t)°，故答案为： （5t ）°；（45+15t ）°；②∵∠APB =45°，∠CPD =30°，∴当PB 与PC 重合时，∠APD =45°+30°=75°，当PA 与PD 重合时，即PA 与PD 共旋转了75°，∴15t +5t =75，∴t =154， ∴从三角尺ABP 与三角尺PCD 第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结束止，经过的时间t 为154秒. 【分析】（1）当t ＝3秒时，计算出BP 旋转的角度的大小即可得出结论；（2）①分PB 与PC 相遇前和相遇后两种情况分析解答即可；②当PA 与PD 重合时，即PA 与PD 共旋转了75°，即可解答．2．【答案】（1）25（2）解：∠MON =∠COM −∠NOC =65°+n°−40°=n°+25°理由如下，∵OM平分∠AOB，∠AOB=130°，∴∠AOM=12∠AOB=12×130°=65°，∵ON平分∠COD，∠COD=80°，∴∠CON=12∠COD=12×80°=40°，又∵∠AOC=n°，∴∠MON=∠AOM+∠AOC−∠CON=65°+n°﹣40°=n°+25°（3）∠MON=12m°+25°【知识点】角的大小比较；旋转的性质；角平分线的定义【解析】【解答】（1）解：如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB=130°，∴∠AOM=12∠AOB=12×130°=65°，∵ON平分∠COD，∠COD=80°，∴∠AON=12∠COD=12×80°=40°，∴∠MON=∠AOM−∠AON=65°﹣40°=25°；故答案为：25；（3）解：如图3中，当ON在∠AOB内部时，∵OM平分∠AOB，∠AOB=130°，∴∠AOM=12∠AOB=12×130°=65°，∵ON平分∠COD，∠COD=80°+m°，∴∠CON=12∠COD=12×(80°+m°)=40°+12m°∴∠MON=∠AOM−∠AON=65°−(40°−12m°)=12m°+25°，当ON在∠AOB外部时，∠MON=∠AOM+∠AON=65°+12m°﹣40=12m°+25°，综上所述，∠MON=12m°+25°.故答案为：∠MON=12m°+25°.【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠AOM=65°，∠AON=40°，进而根据∠MON=∠AOM-∠AON 即可算出答案；（2）利用（1）中的方法计算∠AOM，∠CON的度数，根据∠MON＝∠AOM+∠AOC−∠NOC代入计算即可；（3）利用角平分线的定义可求得∠AOM，∠CON的度数，再利用角的和差得出结论．3．【答案】（1）解：①30°；②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，∴∠AOM′=∠COM′=12∠AOC，∠BON′=∠CON′=12∠BOC，∴∠COM′+∠CON′=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×120°=60°，即∠M′ON′=60°；（2）解：∠COM=2∠BON，理由如下：设∠BOC=x，则∠AOB=3∠BOC=3x，∠AOC=2x，∵旋转t秒后，∠AOM=20t，∠CON=10t，∴∠COM=2x−20t=2(x−10t)，∠NOB=x−10t，∴∠COM=2∠BON（3）解：设旋转t秒后，①当OM与ON重合之前时，如图，可得：70°+10t−20t=20°，解得：t=5；②当OM与ON重合之后，且OM没有到达OA时，如图，可得：20t −10t −70°=20°，解得：t =9；③当OM 旋转一周后，ON 没有经过OA 时，如图，10t +70°+20°=360°，解得：t =27；④当OM 旋转一周后，ON 经过OA 后时，如图，10t +70°−20°=360°，解得：t =31.综上所述，所求t 的值为5或9或27或31.【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的定义【解析】【解答】（1）解：①由角的旋转定义可得：∠AOM ′=3×20°=60°，∠CON ′=3×10°=30°， ∴∠BON ′+∠COM ′=120°−(∠AOM ′+∠CON ′)=30°，故答案为：30°；【分析】（1）①根据角的旋转的定义先求出∠AOM'、CON'，再表示出∠BON'、∠COM'，然后相加并根据∠AOB ＝120°计算即可得解；②先由角平分线求出∠AOM′＝∠COM′＝12∠AOC ，∠BON′＝∠CON′＝12∠BOC ，再求出∠COM′＋∠CON′＝12∠AOB ＝12×120°＝60°，即∠M'ON'＝60°； （2）设旋转时间为t ，表示出∠CON 、∠AOM ，进而得到∠BON 、∠COM 的关系，再整理即可得解；（3）设旋转时间为t 分四种情况讨论：①当OM 与ON 重合之前时， ②当OM 与ON 重合之后，且OM没有到达OA时，③当OM旋转一周后，ON没有经过OA时，④当OM旋转一周后，ON 经过OA后时，分别建立方程即可得解．4．【答案】（1）9（2）解：①结论：∠CON−∠AOM=45°；理由：如图2中，∵∠CON=90°−∠COM，∠AON=45°−∠COM，∴∠CON−∠AOM=(90°−∠COM)−(45°−∠COM)=45°②如图3中，结论仍然成立．理由：∵∠CON=90°+∠COM，∠AOM=45°+∠COM，∴∠CON−∠AOM=(90°+∠COM)−(45°+∠COM)=45°．（3）解：①∠AOM=10t，∠AOC=12t+45；②∵OM平分∠AOC，∴∠AOC=2∠AOM，∴12t+45°=2×10t，解得：t=458，∴当t为458s时OM平分∠AOC．【知识点】角的运算；图形的旋转；角平分线的定义【解析】【解答】解：（1）如图1中，∵∠MON=∠NOD=90°，∴t=9010=9s．故答案为9．【分析】（1）利用∠MON=∠NOD=90°及△MON绕着点O以每秒10°的速度顺时针旋转，列式计算求出t的值.（2）如图2，利用已知条件可知∠CON=90°-∠COM，∠AON=45°-∠COM，再求出∠CON-∠AOM 的值即可；如图3，根据题意可知∠CON=90°+∠COM，∠AOM=45°+∠COM，再求出∠CON-∠AOM 的值，即可作出判断.（3）①利用旋转的性质即旋转的速度，可表示出∠AOM和∠AOC；②利用角平分线的定义可证得∠AOC=2∠AOM，由此可得到关于t的方程，解方程求出t的值.5．【答案】（1）解：因为∠AOC=36°，∠AOC+∠BOC=180°，所以∠BOC=180°−∠AOC=144°，因为OE平分∠BOC，所以∠COE=∠BOE=72°，因为∠COD是直角，所以∠DOE=∠COD−∠COE=90°−72°=18°（2）解：①∠AOD=270°−2∠DOE；理由：因为∠COD是直角，OE平分∠BOC，所以∠COE=∠BOE=90°−∠DOE，因为∠BOE=∠DOE−∠BOD，所以90°−∠DOE=∠DOE−∠BOD，即∠BOD=2∠DOE−90°，所以∠AOD=180°−∠BOD=180°−(2∠DOE−90°)=270°−2∠DOE，故∠AOD=270°−2∠DOE；②∠BOE+∠AOF=99°，理由：设∠BOE=x，∠AOF=y，因为3∠COF+2∠BOE=12(∠AOD+4∠AOF)，左边=3∠COF+2∠BOE=3∠COF+2x=3(180°−∠AOF−∠BOC)+2x =3(180°−y−2x)+2x=540°−3y−4x，右边=12(∠AOD+4∠AOF)=12[180°−(90°−2∠BOE)]+2y=45°+x+2y，所以540°−3y−4x=45°+x+2y，即x+y=99°，所以∠BOE+∠AOF=90°.【知识点】角的大小比较；旋转的性质；角平分线的定义【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义求出∠BOC的度数，根据角平分线的定义得∠COE的度数，进而根据直角的定义及∠COD-∠COE求出答案；（2）①根据直角的定义及角平分线的定义得∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，进而结合角的和差得∠BOD=2∠DOE-90°，最后根据平角的定义及等量代换即可得出结论；②设∠BOE=x，∠AOF=y，结合图形，将已知等式的左边和右边分别用含x、y的式子表示出来，从而可得关于x、y的等式，进而根据等式的性质化简即可得出答案.6．【答案】（1）解：∵∠AOC=40°，∴∠BOC=180°−∠AOC=140°，∵∠COD是直角，∴∠COD=90°，∴∠BOD=∠BOC−∠COD=140°−90°=50°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠BOC=70°，∴∠DOE=∠BOE−∠BOD=70°−50°=20°；（2）解：∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，∴∠BOE=12∠BOC，∠BOF=12∠BOD，∴∠EOF=∠BOE−∠BOF=12(∠BOC−∠BOD)=12∠COD，∵∠COD=90°，∴∠EOF=45°；（3）解：①0<t≤8时，由题意得∠AOC=40°−5°t，∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−12[180°−(40°−5°t)]=20°−(52)°t，∴∠AOC=2∠DOE；②8<t<36时，由题意得∠AOC=5°t−40°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°+12[180°−(5°t−40°)]=200°−(52)°t，∴∠AOC+2∠DOE=360°．综上，0<t≤8时，∠AOC=2∠DOE；8<t<36时，∠AOC+2∠DOE=360°．【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可得∠BOC=180°-∠AOC=140°，由垂直的定义可得∠COD=90°，从而求出∠BOD=∠BOC-∠COD=50°，利用角平分线的定义可得∠BOE=12∠BOC=70°，根据∠DOE=∠BOE-∠BOD即可求解；（2）由角平分线的定义可得∠BOE=12∠BOC，∠BOF=12∠BOD，从而得出∠EOF=∠BOE−∠BOF=12(∠BOC−∠BOD)=12∠COD，继而得解；（3）分两种情况：①0<t≤8时，②8<t<36时，据此分别画出图形并求解即可.7．【答案】（1）解：∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝120°，又OM平分∠BOC，∠COM=12∠BOC＝60°，∴∠CON＝∠COM+90°＝150°，∠AOM＝∠AOC+∠COM＝60°+60°＝120°；∴∠CON的度数为150°，∠AOM的度数为120°．（2）解：∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由如下：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°，∴∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．（3）12或30【知识点】角的运算；旋转的性质；角平分线的定义【解析】【解答】（3）解：延长NO到点D，如图2，∵∠BOC＝120°∴∠AOC＝60°，当射线OD恰好平分锐角∠AOC，如图2，∴∠AOD＝∠COD＝30°，即顺时针旋转300°时NO延长线平分锐角∠AOC，由题意得10t＝300，∴t＝30，当NO平分∠AOC，如图3，∴∠NOR＝30°，即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，∴10t＝120，∴t＝12，∴t＝12或30．故答案为：12或30．【分析】（1）利用角平分线的定义和角的运算可得∠CON与∠AOM的度数；（2）利用角的运算和等量代换可得∠AOM﹣∠NOC＝30°；（3）分两种情况可得：①当射线OD恰好平分锐角∠AOC，②当NO平分∠AOC，分别画出图象并利用角的运算求解可得答案。
七年级角旋转的经典例题
七年级角旋转的经典例题
摘要：
1.角旋转的定义和概念
2.七年级角旋转的经典例题
2.1 例题一：计算旋转后的图形
2.2 例题二：计算旋转角度
2.3 例题三：综合应用
3.角旋转的性质和应用
4.角旋转的解题技巧和方法
正文：
【1.角旋转的定义和概念】
角旋转是指将一个图形绕着某一点旋转一定的角度，得到一个新的图形。
这个过程叫做角旋转，被绕的点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
【2.七年级角旋转的经典例题】
【2.1 例题一：计算旋转后的图形】
题目：将图形ABC 绕点A 逆时针旋转90 度，得到新的图形A"B"C"，请画出A"B"C"。
【2.2 例题二：计算旋转角度】
题目：将图形ABC 绕点A 逆时针旋转后，与x 轴的夹角为30 度，求旋转的角度。
【2.3 例题三：综合应用】
题目：将图形ABC 绕点A 逆时针旋转后，与y 轴的夹角为45 度，求旋转后的图形与x 轴的夹角。
【3.角旋转的性质和应用】
角旋转具有以下性质：
1.旋转前后的两个图形全等。
2.旋转前后对应点的连线所成的角等于旋转角。
3.旋转中心在旋转线上的点到旋转中心的距离等于旋转半径。
角旋转在实际生活中有广泛的应用，例如：钟表指针的运动、风车的旋转等。
【4.角旋转的解题技巧和方法】
1.确定旋转中心和旋转角。
2.利用旋转的性质，找到对应点之间的联系。
3.根据题目要求，计算旋转后的图形或旋转角度。
七年级角旋转的经典例题
七年级角旋转的经典例题
一、七年级角旋转的概念
在初中数学课程中，角旋转是图形的变换之一。
它指的是在平面内，将一个角绕着其顶点旋转一定角度，使其边的位置发生变化。
角旋转可分为正旋转和逆旋转两种。
七年级的学生需要掌握基础的角旋转概念，以便能在实际问题中灵活运用。
二、七年级角旋转的性质
1.角旋转前后，旋转角的大小和形状不变。
2.角旋转前后，顶点位置不变。
3.角旋转前后，旋转轴不变。
4.角旋转可以沿着任意一条射线进行。
三、七年级角旋转的经典例题解析
例题1：已知角α的顶点为O，边分别为OA、OB，α的旋转轴为OC，旋转角度为90°，求角α的旋转后的角α"的度数。
解：根据角旋转的性质，旋转前后角的大小不变，故α"的度数为90°。
例题2：已知角α的顶点为O，边分别为OA、OB，α的旋转轴为OC，旋转角度为180°，求角α"的度数。
解：根据角旋转的性质，旋转前后角的大小不变，故α"的度数为180°。
四、解题思路与技巧总结
1.熟记角旋转的性质，灵活运用旋转前后角的大小、形状不变这一关键点。
2.根据题目所给条件，判断旋转角度，从而求得旋转后的角。
3.在解题过程中，注意画图，直观地展示角旋转的过程。
通过以上四个步骤，我们可以更好地理解和解决七年级角旋转的经典例题。
初中七年级上旋转动角问题专题
初中七年级（上）旋转动角问题专题（适用于七年级上学期）〖解题策略〗角是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.解与角有关的问题常用到以下知识与方法：1.角平分线的应用，如双角平分线模型；2. 多个角间的数量关系及其等量代换；3. 引入字母表示比例角度、动角，用方程的观点来进行角的计算；4.角的边位置不定时，需要分类讨论.〖典型例题〗已知∠AOB=150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC=60°．（1）如图1，若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD=∠BOD，求∠DOE的度数；（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以5度秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间为t秒，当∠EOC=∠FOC时，求t的值：（3）若射线OM绕着O点从OA开始以15度秒的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，ON平分∠AOM，试问2∠BON一∠BOM在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是请补全图形，求出这个定值并写出t所在的时间段．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）版权所有解：（1）∵∠AOB=150°，OE平分∠AOB，∴∠EOB=∠AOB=75°，∵∠BOC=60°，∠COD=∠BOD，∴∠BOD=40°，∠COD=20°，∴∠EOD=∠EOB﹣∠DOB=75°﹣40°=35°．（2）当OE在∠AOC内部时，∵∠EOC=∠FOC，∴90﹣15t=60﹣5t，∴t=3．当OE与OF重合时，15t+5t=150°，t=7.5．综上所述，当∠EOC=∠FOC时，t=3s或7.5s．（3）2∠BON﹣∠BOM的值为定值（4＜t＜12）．理由：∵∠AOM=15t．∠AON=∠MON=7.5t，∠BON=210°﹣7.5t，∠BOM=210°﹣15t，∴2∠BON一∠BOM=2（210°﹣7.5t）﹣（210°﹣15t）=210°（4＜t＜12）．〖同步练习〗一. 填空题．1．计算：53°40′30″+75°57′28″＝2．同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：（1）三点整时时针与分针所夹的角是度．（2）7点25分时针与分针所夹的角是度．（3）一昼夜（0点到24点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？3．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN=75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为．4．如图1所示∠AOB的纸片，OC平分∠AOB，如图2把∠AOB沿OC对折成∠COB（OA与OB重合），从O点引一条射线OE，使∠BOE=∠EOC，再沿OE把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°，则∠AOB=°．二. 解答题5．如图，∠AOB=20°，∠AOE=110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE=30°？6．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=100°，则∠DOE=；若∠AOC=120°，则∠DOE=；（2）若∠AOC=α，则∠DOE=（用含α的式子表示），请说明理由；（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．7．一副三角板ABC、DEF，如图（1）放置，（∠D=30°、∠BAC=45°）（1）求∠DBA的度数．（2）若三角板DBE绕B点逆时针旋转，（如图2）在旋转过程中BM、BN分别平分∠DBA、∠EBC，则∠MBN如何变化？（3）若三角板BDE绕B点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？8．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE=30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．9．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM=；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．10．如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE=90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF=；（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF 平分∠ACE，此时记∠DCF=α．①当t=1时，α=；②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF=α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t （0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1=β，若α与β满足|α﹣β|=20°，请直接写出t的值为．〖参考答案〗一. 填空题．1．计算：53°40′30″+75°57′28″＝129°37′58″，解：53°40′30″+75°57′28″=128°97′58″=129°37′58″2．同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：（1）三点整时时针与分针所夹的角是90度．（2）7点25分时针与分针所夹的角是72.5度．（3）一昼夜（0点到24点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？解：（1）3×30=90°；（2）2×30°=72.5°；（3）从重合到第一次垂直所需要的时间为，设一次垂直到下一次垂直经过x分钟，则6x﹣0.5x=2×905.5x=180x=，（24×60﹣）÷=24×60×=43.5（次）取整为43次．故总次数为43+1=44（次）答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为44次．3．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN=75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为3或或．解：当∠NPQ=∠MPN时，15t=（75°+5t），解得t=3；当∠NPQ=∠MPN时，15t=（75°+5t），解得t=．当∠NPQ=∠MPN时，15t=（75°+5t），解得t=．故t的值为3或或．4．如图1所示∠AOB的纸片，OC平分∠AOB，如图2把∠AOB沿OC对折成∠COB（OA与OB重合），从O点引一条射线OE，使∠BOE=∠EOC，再沿OE把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°，则∠AOB=114°．解：∵OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC又∵剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°，∴2∠COE=76°∴∠COE=38°又∵∠BOE=∠EOC，∴∠BOE=×38°=19°∴∠BOC=∠BOE+∠EOC=19°+38°=57°则∠AOB=2∠BOC=2×57°=114°．二. 解答题5．如图，∠AOB=20°，∠AOE=110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE=30°？解：（1）因为OB平分∠AOC，∠AOB=20°，所以∠AOC=40°，因为OD平分∠AOE，∠AOE=110°，所以∠AOD=55°，因为∠COD=∠AOD﹣∠AOC，所以∠COD=55°﹣40°=15°；（2）因为90°﹣55°=35°，所以射线OD的方位角是北偏东35°；（3）设经过x秒时，∠AOE=30°，①如图1所示，当OA未追上OE时，依题意，得5x﹣110=3x﹣30，解得，x=40；②如图2所示，当OA超过OE时，依题意，得5x﹣110=3x﹣305x﹣110=3x+30，解得，x=70．6．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=100°，则∠DOE=50°；若∠AOC=120°，则∠DOE=60°；（2）若∠AOC=α，则∠DOE=α（用含α的式子表示），请说明理由；（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．解：（1）∵∠AOC=100°，∴∠BOC=180°﹣100°=80°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×80°=40°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣40°=50°；∵∠AOC=120°，∴∠BOC=180°﹣120°=60°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×60°=30°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣30°=60°；（2）∠DOE=α；∵∠AOC=α，∴∠BOC=180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=90°﹣α，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣（90°﹣α）=α；（3）∠DOE﹣∠AOF=45°．理由：∵∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，∴∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE+∠AOF，设∠DOE=x，∠AOF=y，左边=∠AOC﹣3∠AOF=2∠DOE﹣3∠AOF=2x﹣3y，右边=2∠BOE+∠AOF=2（90°﹣x）+y=180°﹣2 x+y，∴2x﹣3y=180﹣2 x+y 即4x﹣4y=180°，∴x﹣y=45°∴∠DOE﹣∠AOF=45°．7．一副三角板ABC、DEF，如图（1）放置，（∠D=30°、∠BAC=45°）（1）求∠DBA的度数．（2）若三角板DBE绕B点逆时针旋转，（如图2）在旋转过程中BM、BN分别平分∠DBA、∠EBC，则∠MBN 如何变化？（3）若三角板BDE绕B点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？解：（1）∠DBA=∠DBC﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；（2）∠MBN的度数不变化，理由如下：设∠ABE=x°，则∠ABD=60﹣x°、∠CBE=45°﹣x°，∵BM、BN分别平分∠ABD、∠CBE∴∠ABM=∠ABD=（60°﹣x°），∠EBN=∠EBC=（45°﹣x°），∴∠MBN=∠ABM+∠ABE+∠EBN=（60°﹣x°）+x°+（45°﹣x°）=52.5°；（3）（2）中的结论不变，理由如下：设∠ABE=x°，则∠ABD=60+x°、∠CBE=45°+x°，∵BM、BN分别平分∠ABD、∠CBE，∴∠ABM=∠ABD=（60°+x°），∠EBN=∠EBC=（45°+x°），∴∠MBN=∠ABM﹣∠ABE+∠EBN=（60°+x°）﹣x°+（45°+x°）=52.5°．8．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE=30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB=∠NOE=（180°﹣30°）=75°，∴90°﹣3t°=75°，解得：t=5．此时∠MOA=3°×5=15°=∠MOE，∴此时OA平分∠MOE．（2）①OE平分∠AOB，依题意有30°+9t﹣3t=90°÷2，解得t=2.5；OF平分∠AOB，依题意有30°+9t﹣3t=180°+90°÷2，解得t=32.5．故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB②OB在MN上面，依题意有180°﹣30°﹣9t=（90°﹣3t）÷2，解得t=14；OB在MN下面，依题意有9t﹣（360°﹣30°）=（3t﹣90°）÷2，解得t=38（舍去）．故EF能平分∠NOB，t的值为14s．9．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM=90°；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 4.5秒或40.5秒（直接写出结果）．解：（1）如图2，∠BOM=90°，OM平分∠CON．理由如下：∵∠BOC=135°，∴∠MOC=135°﹣90°=45°，而∠MON=45°，∴∠MOC=∠MON；（2）∠AOM=∠CON．理由如下：如图3，∵∠MON=45°，∴∠AOM=45°﹣∠AON，∵∠AOC=45°，∴∠NOC=45°﹣∠AON，∴∠AOM=∠CON；（3）T=×45°÷5°=4.5（秒）或t=（180°+22.5°）÷5°=40.5（秒）．10．如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE=90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF=45°；（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF 平分∠ACE，此时记∠DCF=α．①当t=1时，α＝30°；②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF=α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t （0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1=β，若α与β满足|α，请直接写出t的值为．﹣β|=20°解：（1）如图1中，∵∠EOD=90°，OF平分∠EOD，∴∠FOD=∠EOD=45°，（2）①如图2中，当t=1时，∵∠DCA=30°，∠ECD=90°，∴∠ECA=120°，∵CF平分∠ACE，∴∠FCA=∠ECA=60°∴α＝∠FCD=60°﹣30°=30°②如图2中，猜想：∠BCE=2α．理由：∵∠DCE=90°，∠DCF=α，∴∠ECF=90°﹣α，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF=∠ECF=90°﹣α，∵点A，O，B共线∴AOB=180°∴∠BCE=∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD=180°﹣90°﹣（90°﹣2α）=2α．（3）如图3中，由题意：α＝∠FCA﹣∠DCA=（90°+30t）﹣30t=45°﹣15t，β＝∠AC1D1+∠AC1F1=30t+（90°﹣30t）=45°+15t，∵|β﹣α|=20°，，∴|30t|=20°解得t=．。
培优五：七年级上上第四章角度的相关计算(旋转问题)
角度的相关计算培优（旋转问题）例题精讲例1：（18●新罗区期末）点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB．(1)如图1，若∠AOM=30°，求∠CON的度数；(2)在图1中，若∠AOM=a，直接写出∠CON的度数（用含a的代数式表示）；(3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB 上方，另一边ON在直线AB的下方．①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②当∠AOC=3∠BON时，求∠AOM的度数．例2：（18●三明期末），O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM 与OC都在直线AB的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，ON落在OC边上，则t=______秒（直接写结果）．（2）如图2，三角板继续绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转到起点OA上．同时射线OC也绕O点以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，①当OC转动9秒时，求∠MOC的度数．②运动多少秒时，∠MOC=35°,请说明理由．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠AOC ：∠BOC = 2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 在直线AB 的下 方．（1）将图1中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM 落在射线OA 上，此时ON 旋转的角度为 °；（2）继续将图2中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图3的位置，使得OM 在∠BOC 的内部，则∠BON -∠COM = °；（3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O 按每秒钟15°的速度旋转，当OM 恰为∠BOC 的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为 秒，简要说明理由．图1MCBA O N NO A BCM 图2图3MCB A O NO A BC备用图已知直角三角板ABC和直角三角板DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝45°，∠DEF＝60°．（1）如图1，将顶点C和顶点D重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C 旋转，当CF平分∠ACB时，求∠ACE的度数；（2）在（1）的条件下，继续旋转三角板DEF，猜想∠ACE与∠BCF有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；（3）如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C 旋转．当CA落在∠DCF内部时，直接写出∠ACD与∠BCF的数量关系．期考真题过关1、（17●五县区期末）,点O 为直线AB 上一点,过点O 作射线 OC ,使∠BOC=60°，将一直角三角板如图①摆放 (90MON ∠=).（1）将图①中的三角板绕点O 按每秒10°的速度逆时针方向旋转一周。
人教版七年级上册数学期末角的旋转问题压轴题
人教版七年级上册数学期末角的旋转问题压轴题1．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A =30°，∠C =45°△COD固定不动，△AOB绕着O点逆时针旋转α°（0°< α< 180°）（1）若△AOB绕着O点旋转图2的位置，若∠BOD=60°，则∠AOC = ________；（2）若0°< α < 90°，在旋转的过程中∠BOD+∠AOC的值会发生变化吗?若不变化，请求出这个定值；（3）若90°< α< 180°，问题（2）中的结论还成立吗?并说明理由；2．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10），在旋转过程中∠AOE ﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，当∠COF＝14°时，t＝秒．3．如图，已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动. 设旋转时间为t秒．（1）当t=2时，求∠POQ的度数；（2）当∠POQ=40°时，求t的值；∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在旋转过程中，是否存在t的值，使得∠POQ=124．如图，O为直线AB上的一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°），的直角顶点放在O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）几秒后ON与OC重合？（2）如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC，求此时t的值．（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC 平分∠MOB？请画出图并说明理由．5．如图，将45°角三角板绕直角顶点旋转．（1）问∠AOC与∠BOD大小关系，并说明理由；（2）∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；（3）若∠AOD=3∠BOC，求∠AOC的大小．6．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角，（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）（1）如图1所示，O为直线AB上一点，OC⊥AB，OE⊥OD，图中哪些角互为垂角？（写出所有情况）（2）如图2所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，将∠AOC绕点O顺时针旋转n°（0°＜n＜120），OA旋转得到OA′，OC旋转得到OC′，当n为何值时，∠AOC′与∠BOA′互为垂角？7．（1）如图1，∠AOC＝α，∠BOC＝β，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON＝（用含α、β的式子表示）；（2）如图2，若将∠BOC绕点O逆时针旋转30°后得到∠EOD，OM平分∠AOD，ON平分∠COE，求∠MON的度数（用含α、β的式子表示）；（3）若∠BOC旋转90°至图3的位置，其他条件不变，则∠MON的度数是（用含α、β的式子表示）．8．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB上，另一边OM在直线AB的上方．（1）在图1中，∠COM＝度；（2）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠BOC的内部，如图2，若∠NOC＝15∠MOA，求∠BON的度数；（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线ON恰好平分∠BOC时，旋转的时间是秒．9．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如图，求∠EOF的度数．（2）如图，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；（3）当∠COD从图的位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10）；在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．10．如图，已知∠AOB=30°，∠AOE=130°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以O为观测中心，OA为正东方向，则射线OD的方位角是；（3）若∠AOC、射线OE分别以每秒5°、每秒3°的速度同时绕点O逆时针方向旋转，其他条件不变，当OA回到原处时，全部停止运动，则经过多长时间，∠BOE=28°？11．如图，已知∠AOB=90，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4的速度顺时针方向旋转；同时，射线OD 绕点O从OB位置开始，以每秒1的速度逆时针方向旋转．当OC与OA成180时，OC与OD同时停止旋转．（1）当OC旋转10秒时，∠COD=___．（2）当OC与OD的夹角是30时，求旋转的时间．（3）当OB平分∠COD时，求旋转的时间．12．如图1，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC．（1）若∠AOC=60°，试通过计算比较∠NOD和∠MOC的大小；（2）如图2，若将图1中∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转．①旋转过程中∠MON的大小始终不变．求∠MON的值；②如图3，若旋转后OC恰好为∠MOA的角平分线，试探究∠NOD与∠MOC的数量关系．13．如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．（1）写出以C为顶点的相等的角；（2）若∠ACB=150°，请直接写出∠DCE的度数；（3）写出∠ACB与∠DCE之间所具有的数量关系；（4）当三角板ACD绕点C旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．14．将一副三角板60°角的顶点与45°角的顶点重合，如图①②，60AOB ∠=︒，45COD ∠=︒，OE 平分AOB ∠，OF 平分COD ∠，COD △绕着点O 旋转；（1）旋转过程中，当点C 在射线OB 上时，如图①，求EOF ∠的度数： （2）旋转过程中，当点D 在射线OB 上时，如图②，求EOF ∠的度数；15．如图，90AOB ∠=︒，AOB ∠绕顶点O 按逆时针方向旋转45°得到MON ∠．求：（1）AON ∠的度数 （2）MOB ∠的度数答案第1页，共1页参考答案1．（1）120°;（2）∠BOD+∠AOC=180° 2．（1）35°；（2）∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值；（3）4．3．（1）∠POQ =104°；（2）当∠POQ =40°时，t 的值为10或20；（3）存在，t =12或18011或1807，使得∠POQ =12∠AOQ ． 4．（1）10秒；（2）5秒；（3）703秒． 5．（1）∠AOC=∠BOD （2）∠AOD+∠BOC=180°；（3）45°. 6．（1）互为垂角的角有4对：∠EOB 与∠DOB ，∠EOB 与∠EOC ，∠AOD 与∠COD ，∠AOD 与∠AOE ；（2）当n ＝15°或n ＝105°，∠AOC′与∠BOA′互为垂角． 7．（1）2αβ+；（2）2αβ+；（3）2αβ+8．（1）30；（2）52.5°；（3）3或219．（1）∠EOF ＝75°；（2）∠AOE ﹣∠BOF ＝35°；（3）∠AOE ﹣∠BOF=35°. 10．（1）∠COD= 5°；（2）北偏东25°；（3）经过36秒或者64秒 11．（1）40°；（2）12秒或24秒；（3）30秒．12．（1）NOD MOC ∠=∠；（2）①60︒；②4NOD MOC ∠=∠．13．（1）∠ACD=∠BCE ；∠ACE=∠BCD （2）∠DCE=30°；（3）∠ACB+∠DCE=180°；（4）不变14．（1）52.5︒；（2）7.5︒； 15．（1）45︒；（2）135︒。
七年级角旋转的经典例题
七年级角旋转的经典例题：例题：已知∠AOB=110°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）当OB、OC重合时，∠AOE-∠BOF=__________°；（2）当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒（0＜t＜10），在旋转过程中∠AOE-∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE-∠BOF求解；（2）首先由题意得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分线的定义解答即可．本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键，本题也可以借助数轴动点题的思想来表示角的度数．【解答】解：（1）根据角平分线的定义有∠AOE=∠BOE，∠BOF=∠COF，当OB、OC重合时，有∠AOE=∠BOE=55°，∠COF=∠BOF=55°，∴∠AOE-∠BOF=55°-55°=0°；（2）当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒时，有∠BOC=3t°，∴∠AOC=∠AOB+3t°=140°+3t°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=70°+1.5t°，又OF平分∠BOD，∴∠BOF=0.5×(140°−3t°)=70°−1.5t°，∴∠AOE-∠BOF=(70°+1.5t°)-(70°−1.5t°)=3t°．不随时间的变化而变化，定值为3t°．。
成都七中初中学校七年级上旋转动角问题专题
旋转动角问题专题（适用于七年级上学期）〖解题策略〗角是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.解与角有关的问题常用到以下知识与方法：1.角平分线的应用，如双角平分线模型；2. 多个角间的数量关系及其等量代换；3. 引入字母表示比例角度、动角，用方程的观点来进行角的计算；4.角的边位置不定时，需要分类讨论.〖典型例题〗已知∠AOB=150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC=60°．（1）如图1，若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD=∠BOD，求∠DOE的度数；（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以5度秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间为t秒，当∠EOC=∠FOC时，求t的值：（3）若射线OM绕着O点从OA开始以15度秒的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，ON平分∠AOM，试问2∠BON一∠BOM在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是请补全图形，求出这个定值并写出t所在的时间段．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）解：（1）∵∠AOB=150°，OE平分∠AOB，∴∠EOB=∠AOB=75°，∵∠BOC=60°，∠COD=∠BOD，∴∠BOD=40°，∠COD=20°，∴∠EOD=∠EOB﹣∠DOB=75°﹣40°=35°．（2）当OE在∠AOC内部时，∵∠EOC=∠FOC，∴90﹣15t=60﹣5t，∴t=3．当OE与OF重合时，15t+5t=150°，t=7.5．综上所述，当∠EOC=∠FOC时，t=3s或7.5s．（3）2∠BON﹣∠BOM的值为定值（4＜t＜12）．理由：∵∠AOM=15t．∠AON=∠MON=7.5t，∠BON=210°﹣7.5t，∠BOM=210°﹣15t，∴2∠BON一∠BOM=2（210°﹣7.5t）﹣（210°﹣15t）=210°（4＜t＜12）．〖同步练习〗一. 填空题1．计算：53°40′30″+75°57′28″=．2．同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：（1）三点整时时针与分针所夹的角是度．（2）7点25分时针与分针所夹的角是度．（3）一昼夜（0点到24点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？3．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN=75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为．4．如图1所示∠AOB的纸片，OC平分∠AOB，如图2把∠AOB沿OC对折成∠COB（OA与OB重合），从O点引一条射线OE，使∠BOE=∠EOC，再沿OE把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°，则∠AOB=°．二. 解答题5．如图，∠AOB=20°，∠AOE=110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE=30°？6．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=100°，则∠DOE=；若∠AOC=120°，则∠DOE=；（2）若∠AOC=α，则∠DOE=（用含α的式子表示），请说明理由；（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．7．一副三角板ABC、DEF，如图（1）放置，（∠D=30°、∠BAC=45°）（1）求∠DBA的度数．（2）若三角板DBE绕B点逆时针旋转，（如图2）在旋转过程中BM、BN分别平分∠DBA、∠EBC，则∠MBN如何变化？（3）若三角板BDE绕B点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？8．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE=30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．9．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM=；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．10．如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE=90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF=；（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF 平分∠ACE，此时记∠DCF=α．①当t=1时，α=；②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF=α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t （0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1=β，若α与β满足|α﹣β|=20°，请直接写出t的值为．〖参考答案〗一. 填空题1．计算：53°40′30″+75°57′28″=129°37′58″．解：53°40′30″+75°57′28″=128°97′58″=129°37′58″，2．同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：（1）三点整时时针与分针所夹的角是90度．（2）7点25分时针与分针所夹的角是72.5度．（3）一昼夜（0点到24点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？解：（1）3×30=90°；（2）2×30°=72.5°；（3）从重合到第一次垂直所需要的时间为，设一次垂直到下一次垂直经过x分钟，则6x﹣0.5x=2×905.5x=180x=，（24×60﹣）÷=24×60×=43.5（次）取整为43次．故总次数为43+1=44（次）答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为44次．3．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN=75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为3或或．解：当∠NPQ=∠MPN时，15t=（75°+5t），解得t=3；当∠NPQ=∠MPN时，15t=（75°+5t），解得t=．当∠NPQ=∠MPN时，15t=（75°+5t），解得t=．故t的值为3或或．4．如图1所示∠AOB的纸片，OC平分∠AOB，如图2把∠AOB沿OC对折成∠COB（OA与OB重合），从O点引一条射线OE，使∠BOE=∠EOC，再沿OE把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°，则∠AOB=114°．解：∵OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC又∵剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°，∴2∠COE=76°∴∠COE=38°又∵∠BOE=∠EOC，∴∠BOE=×38°=19°∴∠BOC=∠BOE+∠EOC=19°+38°=57°则∠AOB=2∠BOC=2×57°=114°．二. 解答题5．如图，∠AOB=20°，∠AOE=110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE=30°？解：（1）因为OB平分∠AOC，∠AOB=20°，所以∠AOC=40°，因为OD平分∠AOE，∠AOE=110°，所以∠AOD=55°，因为∠COD=∠AOD﹣∠AOC，所以∠COD=55°﹣40°=15°；（2）因为90°﹣55°=35°，所以射线OD的方位角是北偏东35°；（3）设经过x秒时，∠AOE=30°，①如图1所示，当OA未追上OE时，依题意，得5x﹣110=3x﹣30，解得，x=40；②如图2所示，当OA超过OE时，依题意，得5x﹣110=3x﹣305x﹣110=3x+30，解得，x=70．6．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=100°，则∠DOE=50°；若∠AOC=120°，则∠DOE=60°；（2）若∠AOC=α，则∠DOE=α（用含α的式子表示），请说明理由；（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．解：（1）∵∠AOC=100°，∴∠BOC=180°﹣100°=80°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×80°=40°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣40°=50°；∵∠AOC=120°，∴∠BOC=180°﹣120°=60°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×60°=30°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣30°=60°；（2）∠DOE=α；∵∠AOC=α，∴∠BOC=180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=90°﹣α，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣（90°﹣α）=α；（3）∠DOE﹣∠AOF=45°．理由：∵∠AOC﹣2∠BOE=4∠AOF，∴∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE+∠AOF，设∠DOE=x，∠AOF=y，左边=∠AOC﹣3∠AOF=2∠DOE﹣3∠AOF=2x﹣3y，右边=2∠BOE+∠AOF=2（90°﹣x）+y=180°﹣2 x+y，∴2x﹣3y=180﹣2 x+y 即4x﹣4y=180°，∴x﹣y=45°∴∠DOE﹣∠AOF=45°．7．一副三角板ABC、DEF，如图（1）放置，（∠D=30°、∠BAC=45°）（1）求∠DBA的度数．（2）若三角板DBE绕B点逆时针旋转，（如图2）在旋转过程中BM、BN分别平分∠DBA、∠EBC，则∠MBN 如何变化？（3）若三角板BDE绕B点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？解：（1）∠DBA=∠DBC﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；（2）∠MBN的度数不变化，理由如下：设∠ABE=x°，则∠ABD=60﹣x°、∠CBE=45°﹣x°，∵BM、BN分别平分∠ABD、∠CBE∴∠ABM=∠ABD=（60°﹣x°），∠EBN=∠EBC=（45°﹣x°），∴∠MBN=∠ABM+∠ABE+∠EBN=（60°﹣x°）+x°+（45°﹣x°）=52.5°；（3）（2）中的结论不变，理由如下：设∠ABE=x°，则∠ABD=60+x°、∠CBE=45°+x°，∵BM、BN分别平分∠ABD、∠CBE，∴∠ABM=∠ABD=（60°+x°），∠EBN=∠EBC=（45°+x°），∴∠MBN=∠ABM﹣∠ABE+∠EBN=（60°+x°）﹣x°+（45°+x°）=52.5°．8．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE=30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB=∠NOE=（180°﹣30°）=75°，∴90°﹣3t°=75°，解得：t=5．此时∠MOA=3°×5=15°=∠MOE，∴此时OA平分∠MOE．（2）①OE平分∠AOB，依题意有30°+9t﹣3t=90°÷2，解得t=2.5；OF平分∠AOB，依题意有30°+9t﹣3t=180°+90°÷2，解得t=32.5．故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB②OB在MN上面，依题意有180°﹣30°﹣9t=（90°﹣3t）÷2，解得t=14；OB在MN下面，依题意有9t﹣（360°﹣30°）=（3t﹣90°）÷2，解得t=38（舍去）．故EF能平分∠NOB，t的值为14s．9．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM=90°；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 4.5秒或40.5秒（直接写出结果）．解：（1）如图2，∠BOM=90°，OM平分∠CON．理由如下：∵∠BOC=135°，∴∠MOC=135°﹣90°=45°，而∠MON=45°，∴∠MOC=∠MON；（2）∠AOM=∠CON．理由如下：如图3，∵∠MON=45°，∴∠AOM=45°﹣∠AON，∵∠AOC=45°，∴∠NOC=45°﹣∠AON，∴∠AOM=∠CON；（3）T=×45°÷5°=4.5（秒）或t=（180°+22.5°）÷5°=40.5（秒）．10．如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE=90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF=45°；（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF 平分∠ACE，此时记∠DCF=α．①当t=1时，α=30°；②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF=α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t （0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1=β，若α与β满足|α﹣β|=20°，请直接写出t的值为．解：（1）如图1中，∵∠EOD=90°，OF平分∠EOD，∴∠FOD=∠EOD=45°，（2）①如图2中，当t=1时，∵∠DCA=30°，∠ECD=90°，∴∠ECA=120°，∵CF平分∠ACE，∴∠FCA=∠ECA=60°∴α=∠FCD=60°﹣30°=30°②如图2中，猜想：∠BCE=2α．理由：∵∠DCE=90°，∠DCF=α，∴∠ECF=90°﹣α，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF=∠ECF=90°﹣α，∵点A，O，B共线∴AOB=180°∴∠BCE=∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD=180°﹣90°﹣（90°﹣2α）=2α．（3）如图3中，由题意：α=∠FCA﹣∠DCA=（90°+30t）﹣30t=45°﹣15t，β=∠AC1D1+∠AC1F1=30t+（90°﹣30t）=45°+15t，∵|β﹣α|=20°，∴|30t|=20°，解得t=．。
角旋转问题初一压轴题
角旋转问题初一压轴题
角旋转问题是数学中一个常见的问题，通常涉及到图形旋转后角度的测量和计算。
这类问题可以作为初一的压轴题，因为它需要学生具备一定的几何知识和空间思维能力。
以下是一个角旋转问题的示例：
题目：一个直角三角形ABC，其中∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3。
现在将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A'B'C'。
求旋转后点A所对应的位置A'的坐标。
解题思路：
1. 确定点A的坐标：由于△ABC是一个直角三角形，且∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，我们可以使用勾股定理计算出AB的长度。
然后，我们可以使用直角三角形的性质确定点A的坐标。
2. 确定旋转中心和旋转角度：题目中指出△ABC是绕点C逆时针旋转90°得到△A'B'C'。
因此，旋转中心是点C，旋转角度是90°。
3. 确定点A'的坐标：旋转后，点A会移动到点A'的位置。
由于旋转中心是点C，我们可以使用坐标变换的原理来确定点A'的坐标。
具体来说，我们可
以将点A的坐标减去旋转中心的坐标，然后加上旋转后旋转中心的坐标，得到点A'的坐标。
这个问题需要学生具备一定的几何知识和空间思维能力，以理解图形旋转的概念和性质，并能够运用坐标变换的原理来解决问题。
通过解决这类问题，学生可以加深对图形旋转的理解，提高他们的几何思维能力和问题解决能力。
初一数学有关三角形旋转的题
一、在四边形 ABCD中， AB、 BC、CD、DA的中点分别为 P、 Q、 M、 N，1、如图 1，顺次连接 P、Q、M、N，试判断四边形 PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论；证明时依据的定理或定义有：（ 1）；（ 2）。
2、若在 AB上取一点 E，连结 DE，CE，恰好△ ADE和△ BCE都是等边三角形（如图 2）：①判断此时四边形PQMN的形状为，并说明理由②当 AE=6，EB=3，求此时四边形PQMN的周长（结果保留根号）3、在图 2 的基础上，将△ BCE绕着点 E 旋转任意一个角度，在旋转过程中，四边形 PQMN的内角∠ MNP的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出∠MNP的度数。
二、如图①，将两个有公共直角顶点 A 的不全等的等腰直角三角板叠放在一起，C 在AE上．点 B 在AD上，点(1) 在图①中，你发现线段BD，CE的数量关系是，直线BD，CE相交成度的角．(2)将图①中的△ ABC绕点 A 逆时针旋转一个锐角得到图②，这时 (1) 中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若△ ABC绕点 A 继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．(3)如图③若将“两个有公共直角顶点 A 的不全等的等腰直角三角板”改为“两个有公共顶角为锐角∠A 的不全等等腰三角形”，△ ABC绕点 A 逆时针旋转任意一个角度，这时 (1) 中的两个结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．三、 (2014 山西百校联考 ) 如图，在△ ABC中， AB＝AC，∠ CAB的角度记为α．(1)操作与证明：如图①，点 D 为边 BC上一个动点，连接 AD，将线段 AD绕点 A 逆时针旋转角度α至AE位置，连接CE．求证：BD＝CE；(2)探究与发现：如图②，在(1) 中若α＝90°，点 D 变为 BC延长线上一动点．可以发现：①线段 BD和 CE的数量关系是 ________；②线段 BD和 CE的位置关系是________；2(3) 思考与判断：如图③，在 (1) 中若α＝90°， AB＝BD· BC，判断四边形 ADCE的形状，并说明理由．四、如图 1, 已知正方形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O,E 是线段 OC上一点 , 过点 A作 BE的垂线，交线段 OB于点Ｇ，垂足为点Ｆ ,（1）求证： OG=OE；（2）如图 2, 若点 E 在 AC的延长线上 , 过点 A 作 BE 的垂线，交 OB的延长线于点 G,垂足为点 F，求证 OG=OE．（3）如图 3，将图 1 中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，且∠ABC=60度，其余条件不变，试求ＯＧ：ＯＥ的值。
初一上：动角问题
动角问题(描角法)例1．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当x＝19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数．（2）当x＝60°，射线OE、OF分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF重合时至少需要多少时间？（3）当x＝60°，射线OE以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF＝90°时，求射线OE转动的时间．例2．一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒4°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动．设三角尺ABP的运动时间为t（秒）．（1）当t＝5秒时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数为°；（2）t＝秒时，边PB平分∠CPD；（3）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒1°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转，①当t为何值时，边PB平分∠CPD；②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得∠BPD：∠APC＝3：2．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．例3．已知∠AOD＝40°，射线OC从OD出发，绕点O以20°/秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（t≤7）．射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD．（1）如图①，如果t＝4秒，求∠EOA的度数；（2）如图①，若射线OC旋转时间为t秒，求∠EOF的度数（用含t的代数式表示）；（3）射线OC从OD出发时，射线OB也同时从OA出发，绕点O以10°/秒的速度逆时针旋转，射线OC、OB在旋转过程中（t≤7），若∠BOD＝∠EOB，请你借助图②和备用图进行分析后，直接写出的值．例4．如图，直线AB和直线CF相交于点O，∠BOC＝α．（1）如图1，若α＝60°，射线OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，试求∠EOF的度数；（2）如图2，若∠AOD＝∠AOC，∠DOE＝60°，试求∠EOF的度数；（3）如图3，若∠AOD＝∠AOC，∠DOE＝（n≥2，n为整数），那么∠EOF 与α的度数有何数量关系？（直接写出结果，不写过程）例5．已知∠AOB＝100°，作射线OC，再分别∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①，当∠BOC＝60°时，则∠DOE＝度；（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，则∠DOE＝；（3）若∠AOB＝m，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小否发生变化若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．（用含m的代数式表示）例6．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC＝10°．以点O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合．射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止），两条射线同时开始旋转．（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）（1）当射线OP平分∠AOC时，求它旋转的时间；（2）若射线OQ的转速为3°/s，请求出当∠POQ＝70°时，射线OP旋转的时间；（3）若当∠POA＝2∠POB时，射线OQ旋转到的位置恰好将∠AOB分成度数比为1：2的两个角，求此时射线OQ的旋转速度．例7．如图所示：点P是直线AB上一点，∠CPD是直角，PE平分∠BPC．（1）如图①，若∠APC＝40°，求∠DPE的度数；（2）如图①，若∠APC＝α，直接写出∠DPE的度数（用含α的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图①中的∠CPD按顺时针方向旋转至图②所示的位置，探究∠APC和∠DPE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．例8．如图1，直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM放在射线OB上，另一边ON放在直线AB的下方．（1）将图1中的直角三角板绕点O逆时针旋转至图2点P为线段延长线NO上一点，且OP平分∠AOC①若∠BOC＝119°40′，求∠COM的度数；②试说明射线OM是∠BOC的角平分线；（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，若∠BOC＝2∠AOC，且在旋转的过程中，第t秒时ON所在的直线恰好平分锐角∠AOC，求t的值．练习1．已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝30°）（1）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，∠BOD的度数是；（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板COD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是；（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC．射线ON 平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．2．（1）如图1，射线OC、OD在∠AOB的内部，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC、且∠BON＝50°，∠AOM＝40°，∠COD＝30°，求∠AOB的度数；（2）如图2，射线OC、OD在∠AOB的内部，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC、且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠MON的度数．3．如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒）（1）当t＝2时，求∠AOB的度数；（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到63°时，求t的值；（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON 中的其中两条组成的角（指大于0°而小于180°的角）的平分线？如果存在，请求出t 的值；如果不存在，请说明理由．4．如图，已知∠AOB＝120°，∠COD是∠AOB内的一个角，OE是∠AOC的平分线，OF 是∠BOD的平分线．（1）如果∠AOE＝20°，∠BOF＝25°，那么∠COD是多少度？（2）如果∠COD＝40°，那么能否求出∠EOF的大小？若能，则求出∠EOF的度数；若不能，请说明理由．5．将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC＝90°，∠BOC＝45°，∠MON＝90°，∠MNO＝30°），保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转直至ON边第一次重合在直线AD 上，整个过程时间记为t秒．（1）从旋转开始至结束，整个过程共持续了秒；（2）如图2，旋转三角板MON，使得OM、ON在直线OC的异侧，请直接写出∠CON 与∠AOM数量关系；如图3，继续旋转三角板MON，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由．（3）若在三角板MON旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒12°的速度顺时针旋转，当ON边第一次重合在直线AD上时两三角板同时停止．①试用字母t分别表示∠AOM与∠AOC；②在旋转的过程中，当t为何值时OM平分∠AOC．6．O是直线AB上的一点，∠AOC＝72°．（本题中角的度数均为大于0°且小于等于180°）．（1）如图1，若OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝°；（2）在（1）的条件下，如图2，若OF平分∠BOD，求∠EOF的值；（3）如图3，将整个图形绕点O逆时针旋转m°（0＜m＜180），直线AB旋转到A1B1，OC旋转到OC1，作射线OP且不与射线OB1重合，使∠BOP＝∠BOB1，当m为何值时，∠POA1﹣∠AOC1＝60°．7．已知点O是直线AB上一点，将一个直角三角形板如图①放置，使其中一条直角边ON 在直线AB上，射线OC在∠BOM的内部．（1）如图②，将三角板绕点O逆时针旋转，当∠BON＝∠CON时，请判断OM是否平分∠AOC，并说明理由．（2）若∠BOC＝40°，将三角板绕点O逆时针旋转，每秒旋转1°，多少秒时∠AOM＝∠COM？（3）在（2）的条件下，如图③，旋转三角板使ON在∠AOC内部，另一边OM在直线AB的另一侧，请探索∠AOM与∠CON的数量关系，并说明理由．8．如图1，点O为线段MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边DO、BO在线段MN上，∠COD＝∠AOB＝90°．（1）将图1中的三角板COD绕着点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC ＝35°，则∠BOD＝；猜想∠AOC与∠BOD的数量关系为；（2）将图1中的三角板COD绕着点O沿逆时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒后OD所在的直线平分∠AOB？（3）将图1中的三角板COD绕着点O沿逆时针方向按每秒15°的速度旋转两周，同时三角板AOB绕着点O沿逆时针方向按每秒5°的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后OC所在直线平分∠AON．9．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为度；（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC 的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．10．已知∠AOB＝120°（本题中的角均大于0°且小于180°）（1）如图1，在∠AOB内部作∠COD．若∠AOD+∠BOC＝160°，求∠COD的度数；（2）如图2，在∠AOB内部作∠COD，OE在∠AOD内，OF在∠BOC内，且∠DOE＝3∠AOE，∠COF＝3∠BOF，∠EOF＝∠COD，求∠EOF的度数；（3）射线OI从OA的位置出发绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，旋转时间为t秒（0＜t＜50且t≠30），射线OM平分∠AOI，射线ON平分∠BOI，射线OP平分∠MON．若∠MOI＝3∠POI，则t＝秒．11．已知∠AOB、∠COD，射线OE平分∠AOD（1）如图1，已知∠AOB＝180°、∠COD＝90°，若∠DOB＝40°，则∠COE＝度；（2）∠AOB、∠COD的位置如图所示，已知∠AOB＝2∠COD，求的值；（3）射线OC、OD在直线OA的右侧按顺时针方向分布，已知∠COD＝30°，OF为∠AOD的三等分线且靠近射线OD，设∠COF＝α，将∠COD绕点O顺时针旋转，满足45°＜∠AOD＜135°且∠AOD≠90°，若∠BOD＝3α，求∠AOB（可用α表示）12．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．13．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD．（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，∠MON ＝°；（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON 的度数；（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜120），则n＝时，∠MON＝2∠BOC．14．已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝80°．（1）如图，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；（2）点F在射线OB上，①若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA＝3∠AOD，请判断∠FOE和∠EOC的数量关系并说明理由；②若射线OF绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180），∠FOA＝2∠AOD，OH平分∠EOC，当∠FOH＝∠AOC时，则n＝．。
(完整word版)七年级数学角度旋转题
F E D (C)B A N M O D B A NM O DC B A N M OD (C)B A N M OD C B A 角度旋转题已知∠AOB ＝100°，∠COD ＝40°，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD （本题中的角均为大于0°且小于180°的角）（1）如图1，当OB ，OC 重合时，求∠EOF 的度数；（2）当∠COD 从图1所示的位置绕点O 顺时针旋转n °（0<n<90）时，AOE BOF ∠-∠的值是否为定值？若是定值，求出AOE BOF ∠-∠的值，若不是说明理由；（3）当∠COD 从图1所示位置绕点O 顺时针旋转n °（0<n<180）时，满足6AOD BOF COD ∠+∠=∠，求n 的值。
已知∠AOD ＝160°，OB 、OC 、OM 、ON 是∠AOD 内的射线；（1）如图1，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，当OB 绕点O 在∠AOD 内旋转时，则∠MON ＝_________。
（2）如图2，若∠BOC ＝20°，OM 平分∠AOC ，ON 平∠BOD ，当∠BOC 绕点O 在∠AOD 内旋转时，求∠MON 的大小。
（3）在（2）的条件下，若∠AOB ＝10°，当∠BOC 在∠AOD 内绕点O 以2°/秒的速度逆时针旋转t 秒时，∠AOM ：∠DON ＝2：3，求t 的值。
已知∠AOD ＝α，射线OB ，OC 在∠AOD 的内部，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，（1）如图1，当射线OB ，OC 重合时，求∠MON 的度数；（2）在（1）的条件下，OC 绕点O 逆时针旋转一定角度，如图2，求∠MON 的度数；（3）在（2）的条件下，射线OC 绕点O 继续逆时针，旋转到与射线OA 的反向延长线重合为止，在这一旋转过程中，∠ MON ＝_________。
部编数学七年级上册专题13与角相关的旋转(翻折)问题专项讲练(解析版)含答案
专题13 与角相关的旋转（翻折）问题专项讲练与角有关的旋转（翻折）问题属于人教版七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。
绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。
本专题重点研究与角有关的旋转问题（求值问题；定值问题；探究问题；分类讨论问题）和与角有关的翻折问题。
【与角相关的旋转问题】【解题技巧】1、角度旋转问题解题步骤：①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大：变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
常见的三角板旋转的问题：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。
三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。
抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。
【重要题型】题型1：求值问题例1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；②当α=80°时，如图2，求∠POQ 的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）12m °+12n °或180°-12m °-12n °【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：（1）①∵∠AOB =60°，∠COD =40°，OP 平分∠AOC ，OQ 平分∠BOD ，∴∠BOP =12∠AOB =30°，∠BOQ =12∠COD =20°，∴∠POQ =50°，故答案为：50°；②解：∵∠AOB =60°，∠BOC =α=80°，∴∠AOC =140°，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12∠AOC =70°，∵∠COD =40°，∠BOC =α=80°，且OQ 平分∠BOD ，同理可求∠DOQ =60°，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =20°，∴∠POQ =∠POC -∠COQ =70°-20°=50°；③解：补全图形如图3所示，∵∠AOB =60°，∠BOC =α=130°，∴∠AOC =360°-60°-130°=170°，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12∠AOC =85°，∵∠COD =40°，∠BOC =α=130°，且OQ 平分∠BOD ，同理可求∠DOQ =85°，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =85°-40°=45°，∴∠POQ =∠POC +∠COQ =85°+45°=130°；（2）当∠AOB =m °，∠COD =n °时，如图2，∴∠AOC = m °+ a °，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12(m °+ a °)，同理可求∠DOQ =12(n °+ a °)，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =12(n °+ a °)- n °=12(-n °+ a °)，∴∠POQ =∠POC -∠COQ =12(m °+ a °)-12(-n °+ a °) =12m °+12n °，当∠AOB =m °，∠COD =n °时，如图3，∵∠AOB =m °，∠BOC =α，∴∠AOC =360°-m °-a °，∵OP 平分∠AOC ，∴∠POC =12∠AOC =180°12-(m °+ a °)，∵∠COD =n °，∠BOC =α，且OQ 平分∠BOD ，同理可求∠DOQ =12(n °+ a °)，∴∠COQ =∠DOQ -∠DOC =12(n °+ a °)-n °=12(-n °+ a °)，∴∠POQ =∠POC +∠COQ =180°12-(m °+ a °)+12(-n °+ a °) =180°-12m °-12n °，综上所述，若∠AOB =m °，∠COD =n °，则∠POQ =12m °+12n °或180°-12m °-12n °．故答案为：12m °+12n °或180°-12m °-12n °．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．变式1．（2022•高新区期末）已知∠AOB ＝90°，∠COD ＝60°，按如图1所示摆放，将OA 、OC 边重合在直线MN 上，OB 、OD 边在直线MN 的两侧：（1）保持∠AOB 不动，将∠COD 绕点O 旋转至如图2所示的位置，则①∠AOC +∠BOD ＝ ；②∠BOC ﹣∠AOD ＝ ．（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．【解题思路】（1）①将∠AOC+∠BOD拆分、转化为∠COD+∠AOB即可得；②依据∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC、∠AOD＝∠COD﹣∠AOC，将原式拆分、转化为∠AOB﹣∠COD计算可得；（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD与OA相遇前、后表达式不同，故需分OD与OA相遇前后即0＜t≤20和20＜t≤36两种情况求解；（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，再分①射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧；②射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧；③射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧；④射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧；四种情况分别求解．【解答过程】解：（1）①∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠AOD+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝60°+90°＝150°；②∠BOC﹣∠AOD＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°；故答案为：150°、30°；（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；（3）设OC 绕点O 逆时针旋转n °，则OD 也绕点O 逆时针旋转n °，①0＜n °≤150°时，如图4，射线OE 、OF 在射线OB 同侧，在直线MN 同侧，∵∠BOF =12[90°﹣（n ﹣60°）]=12（150﹣n ）°，∠BOE ＝（90−12n ）°=12（180﹣n ）°，∴∠EOF ＝∠BOE ﹣∠BOF ＝15°；②150°＜n °≤180°时，如图5，射线OE 、OF 在射线OB 异侧，在直线MN 同侧，∵∠BOF =12(n−150)°，∠BOE ＝（90−12n ）°=12（180﹣n ）°，∴∠EOF ＝∠BOE +∠BOF ＝15°；③180°＜n °≤330°时，如图6，射线OE 、OF 在射线OB 异侧，在直线MN 异侧，∵∠DOF =12(n−150)°，∠COE =12(360−n)°，∴∠EOF ＝∠DOF +∠COD +∠COE ＝165°；④330°＜n °≤360°时，如图7，射线OE 、OF 在射线OB 同侧，在直线MN 异侧，∵∠DOF =12[360﹣（n ﹣150）]°=12（510﹣n ）°，∠COE =12(360−n)°，∴∠EOF ＝∠DOF ﹣∠COD ﹣∠COE ＝15°；综上，∠EOF ＝15°或165°．变式2.（2022•浙江七年级期中）如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板（30M Ð=°）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（注：本题旋转角度最多180°．）（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t 秒后，AON Ð=______度（用含t 的式子表示），若OM 恰好平分BOC Ð，则t =______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过t 秒后，AOC Ð=______度（用含t 的式子表示）若OC 平分MON Ð，求t 为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC 平分BOM Ð？（直接写结果）【答案】（1）3t ，5；（2）306t +，5；（3）经过703秒OC 平分BOM Ð【解析】（1）3AON t Ð=，∵30AOC Ð=°，∴150BOC Ð=°∵OM 平分BOC Ð，90MON Ð=°，∴75COM Ð=°，∴15CON Ð=°∴301515AON AOC CON Ð=Ð-Ð=-=°°°，解得：1535t =¸=°°秒（2）()306AOC t Ð=+度∵90MON Ð=°，OC 平分MON Ð，∴45CON COM Ð=Ð=°∴45AOC AON CON Ð-Ð=Ð=°，∴306345t t +-=解得：5t =秒（3）如图：∵90AON BOM Ð+Ð=°，BOC COMÐ=Ð由题可设AON Ð为3t ，AOC Ð为()306t +°，∴()19032COM BOC t Ð=Ð=-°∵180BOC AOC Ð+Ð=°，()()130********t t ++-=，解得：703t =秒答：经过703秒OC 平分BOM Ð．题型2：定值问题（角度不变问题）例2．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB ，CD 相交于点O ，且∠AOC ＝∠AOD ，射线OM 从OB 开始绕O 点逆时针方向旋转，速度为15°/s ，射线ON 同时从OD 开始绕O 点顺时针方向旋转，速度为12°/s ，运动时间为t 秒（0＜t ＜12，本题出现的角均小于平角）（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；（3）当射线OM在∠COB内部，且7COM2BONMONÐ+ÐÐ是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．变式1．（2022•渝中区七年级期中）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O 逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小；（2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t 表示出角的度数，列出等量关系式求出t ；②分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，当C ′在B 下方时，当C ′在B 上方时，根据角平分线的定义用t 表示出角的度数，求在某个时间段使得|∠BOP ﹣∠MON ′|的值不变，求出这个定值及其对应的t 的取值范围．【解答过程】解：（1）∵OM 为∠AOB 的角平分线、∠AOB ＝40°，∴∠MOB ＝20°．∵∠MON ＝70°，∴∠BON ＝∠MON ﹣∠MOB ＝50°．∵ON 为∠BOD 的角平分线，∴∠BON ＝∠DON ＝50°．∴∠CON ＝∠COD ﹣∠DON ＝10°∴∠BOC ＝∠DON ﹣∠CON ＝40°．故答案为：40°．（2）如图①：①逆时针旋转时：当C ′在B 上方时，根据题意可知，∠BOC ′＝40°﹣4t ，∠BOD ′＝∠BOD ﹣4t ＝100°﹣4t ．∠BON ′=12∠BOD ′=12(100°−4t)=50°﹣2t ，∵OC ′平分∠BON ′，∴∠BOC ′=12∠BON′，即40°﹣4t =12（50°﹣2t ），解得：t ＝5（s ）．当C ′在B 下方时，此时C ′也在N ′下方，此时不存在OC ′平分∠BON ′．顺时针旋转时：如图②，同理当C ′在B 下方时，此时C ′也在N ′下方，此时不存在OC ′平分∠BON ′．当C ′在B 上方时，即OC ′与OB 重合，由题意可求OC ′与OB 重合用的时间＝∠AOC ÷4+∠AOB ÷6＝（∠AOB +∠BOC ）÷4+∠AOB ÷6=803（s ）．∴OC ′与OB 重合之后，∠BOC ′＝6（t −803）（s ）．∴∠BOD ′＝∠BOC ′+60°＝6（t −803）+60°＝6t ﹣100°．∴∠BON ′=12∠BOD′=12（6t ﹣100°）＝3t ﹣50°，∵OC ′平分∠BON ′，∴∠BOC ′=12∠BON′，∴6（t −803）=12（3t ﹣50°），解得：t ＝30（s ）综上所述t 的值为5或30．②逆时针旋转时：当C ′在B 上方时，如图③根据①可知，∠BOC ′＝40°﹣4t ，∠BOD ′＝100°﹣4t ，∠BON ′＝50°﹣2t ．∴∠AOD ′＝∠AOB +∠BOD ′＝140°﹣4t ，∴∠AOP =12∠AOD′=12∠(140°−4t)=70°﹣2t ，∴∠BOP ＝∠AOP ﹣∠AOB ＝30°﹣2t ，∵∠MON ′＝∠MOB +∠BON ′＝70°﹣2t ，∴|∠BOP ﹣∠MON ′|＝|30°﹣2t ﹣70°+2t |＝40°，此段时间0≤t ≤10s ；如图④当C ′在B 下方时，设经过OB 后运动时间为t 2，同理可知，∠BOC ′＝4t 2，∠BOD ′＝60°﹣4t 2，∴∠MON′=12∠BON′=30−2t 2，∴∠AOD ′＝∠AOB +∠BOD ′＝100°﹣4t 2，∴∠AOP =12∠AOD′=50°−2t 2，∴∠BOP ＝∠AOP ﹣∠AOB ＝10°﹣2t 2，∵∠MON ′＝∠MOB +∠BON ′＝50°﹣2t 2，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t2﹣50°+2t2|＝40°．此时：10＜t≤20；顺时针旋转时：当C′在B下方时，如图⑤，设经过OB后运动时间为t1，同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t1，∠BOD′＝20°+6t1，∴∠BON′=12∠BOD′=10°+3t1，∴∠AOD′＝60°+6t1，∠AOP＝30°+3t1，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t1﹣10°，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t1，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t1﹣10°﹣30°﹣3t1|＝40°，此时：20＜t≤803；当C′在B上方时，如图⑥，设经过OB后运动时间为t3，同理可知：，∠BOC′＝60°+6t3，∠BOD′＝100°+6t3，∴∠BON′=12∠BON′=50°+3t3，∴∠AOD′＝140°+6t3，∴∠AOP＝70°+3t3，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t3，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t3，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t3﹣70°﹣3t3|＝40°，此时：803＜t≤50．综上所述：存在且定值为40°，0≤t≤50．变式2．（2022•碑林区七年级开学）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON 平分 （平分或不平分）∠AOC．（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 10或40 ．（直接写出结果）（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．【解题思路】（1）设ON的反向延长线为OD，由角平分线的性质和对顶角的性质可求得∠BON＝∠AOD＝∠COD＝30°；（2）由直线ON恰好平分锐角∠AOC可知旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，根据旋转速度可求得需要的时间；（3）由∠MON＝90°，∠AOC＝60°，可知∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，最后求得两角的差，从而可做出判断．【解答过程】解：（1）直线ON平分∠AOC．理由如下：设ON的反向延长线为OD，∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，∠BOC＝60°，∴∠MOC＝∠MOB=12又∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，∠AOC，∴OD平分∠AOC，∴∠COD=12即直线ON平分∠AOC，故答案为：平分；（2）∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°．∴∠BON＝∠COD＝30°．即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC．由题意得，6t＝60或240．解得：t＝10或40，故答案为：10或40；（3）∠AOM﹣∠NOC的差不变．∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON．∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．∴∠AOM与∠NOC的差不变，这个差值是30°．题型3：探究类问题（判断角的数量之间的关系）例3．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点P是直线AB上一点，∠CPD是直角，PE平分∠BPC．（1）如图1，若∠APC=40°，求∠DPE的度数；（2）如图1，若∠APC=a，直接写出∠DPE的度数（用含a的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的∠CPD按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠APC和∠DPE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．变式1．（2022·广东七年级期中）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE等于多少；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．【答案】（1）∠ACB=155°；∠DCE=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由见解析．【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根据∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；（3）根据∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（4）根据∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．【详解】解：(1)∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案为：155°，50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．【点睛】本题考查了角的运算，理解角的和差运算是解题的关键．变式2．（2022•喀喇沁旗七年级期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB 的度数；（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC内部，请探究∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）根据对顶角求出∠BON ，代入∠BOM ＝∠MON ﹣∠BON 求出即可；（2）求出∠BOC ＝120°，根据角平分线定义请求出∠COM ＝∠BOM ＝60°，代入∠CON ＝∠MON +∠COM 求出即可；（3）用∠AOM 和∠CON 表示出∠AON ，然后列出方程整理即可得解．【解答过程】解：（1）如图2，∵∠AOC ＝60°，∴∠BON ＝∠AOC ＝60°，∵∠MON ＝90°，∴∠BOM ＝∠MON ﹣∠BON ＝30°，故答案为：30°；（2）∵∠AOC ＝60°，∴∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝120°，∵OM 平分∠BOC ，∴∠COM ＝∠BOM ＝60°，∵∠MON ＝90°，∴∠CON ＝∠MON +∠COM ＝90°+60°＝150°；（3）∠AOM ﹣∠NOC ＝30°，理由是：∵∠MON ＝90°，∠AOC ＝60°，∴∠AON ＝90°﹣∠AOM ，∠AON ＝60°﹣∠NOC ，∴90°﹣∠AOM ＝60°﹣∠NOC ，∴∠AOM ﹣∠NOC ＝30°，故∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系为：∠AOM ﹣∠NOC ＝30°．题型4：分类讨论问题例4．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板OAB 和直角三角板OCD ）如图1所示放置，两个顶点重合于点O ，OC 与OB 重合，且60AOB Ð=°，30A Ð=°，45OCD ODC Ð=Ð=°，90COD ABO Ð=Ð=°．将三角板OCD 绕着点O 逆时针旋转一周，旋转过程中，OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，（AOD Ð和BOC Ð均是指小于180°的角）探究EOF Ð的度数．（1）当三角板OCD 绕点O 旋转至如图2的位置时，OB 与OD 重合，AOC Ð=______°，EOF Ð=______°．（2）三角板OCD 绕点O 旋转过程中，EOF Ð的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓展：当COD Ð的度数为a ()0180a °<<°时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出EOF Ð的度数．（用含a 的式子来表示）【答案】（1）150；75 （2）有，105° （3）1302EOF a =°+或11502a °-【分析】（1）利用两个角的和的定义,角的平分线的定义计算即可； （2）利用分类思想， 确定不同方式计算即可；（3）利用特殊与一般的思想，分类将问题抽象即可．【详解】（1）如图，由OB 与OD 重合，∵60AOB Ð=°，90COD BOC Ð=Ð=°，∴6090150AOC AOB BOC Ð=Ð+Ð=°+°=°．又∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴1452BOE BOC Ð=Ð=°，1302DOF AOD Ð=Ð=°，∴453075EOF BOE EOF Ð=Ð+Ð=°+°=°．故答案为：150°；75°；（2）如图，∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴12BOE BOC Ð=Ð()12AOC AOB =Ð+Ð()1602AOC =Ð+°1302AOC =Ð+°()13602COD AOD =°-Ð-Ð+30°()1360902AOC =°-°-Ð+30°()12702AOD =°-Ð+30°11652AOD =°-Ð．∴EOF BOE AOF AOB Ð=Ð+Ð-Ð，∴111656010522EOF AOD AOD Ð=Ð+°-Ð-°=°．（3）如图，∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴12BOE BOC Ð=Ð()12AOC AOB =Ð+Ð()1602AOC =Ð+°1302AOC =Ð+°，()1111++2222AOF AOD COD AOC AOC a Ð=Ð=ÐÐ=Ð，∴EOF AOF AOB BOE Ð=Ð+Ð-Ð=11+22AOC a Ð+60°-1-302AOC а=1302a °+；如图，∵OE 平分BOC Ð，OF 平分AOD Ð，∴12BOE BOC Ð=Ð()12AOC AOB =Ð+Ð()1602AOC =Ð+°1302AOC =Ð+°，()()1111136036018022222AOF AOD COD AOC AOC AOC a a Ð=Ð=°-Ð-Ð=°--Ð=°--Ð∴EOF BOE AOF AOB Ð=Ð+Ð-Ð111130180601502222AOC AOC a a =Ð+°+°--Ð-°=°-．综上所述，1302EOF a Ð=°+或11502a °-．【点睛】本题考查了两个角的和，角的平分线，周角的定义，灵活运用分类思想，角的平分线定义，角的和，差定义计算是解题的关键．变式1.（2022•广东七年级期末）如图（1），∠BOC 和∠AOB 都是锐角，射线OB 在∠AOC 内部，AOB a Ð=，BOC b Ð=．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2），OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，填空：①当40a =°，70b =°时，COM Ð=______，CON Ð=______，MON Ð=______；②MON Ð=______（用含有a 或b 的代数式表示）．(2)如图（3），P 为∠AOB 内任意一点，直线PQ 过点O ，点Q 在∠AOB 外部：①当OM 平分∠POB ，ON 平分∠POA ，∠MON 的度数为______；②当OM 平分∠QOB ，ON 平分∠QOA ，∠MON 的度数为______；（∠MON 的度数用含有a 或b 的代数式表示）(3)如图（4），当40a =°，70b =°时，射线OP 从OC 处以5°/分的速度绕点O 开始逆时针旋转一周，同时射线OQ 从OB 处以相同的速度绕点O 逆时针也旋转一周，OM 平分∠POQ ，ON 平分∠POA ，那么多少分钟时，∠MON 的度数是40°？【答案】(1)135,55,20,2°°°a ；(2)12a ，11802a °-；(3)48分钟时，∠MON 的度数是40°【解析】(1)①Q OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，当40a =°，70b =°时，COM Ð=113522BOC Ð=b =°，CON Ð=()111()55222AOC AOB BOC Ð=Ð+Ð=a +b =°，MON Ð=()11120222CON COM a b b a Ð-=+-==°②MON Ð()111222CON COM =Ð-=a +b -b =a ，故答案为：135,55,20,2°°°a (2)①Q OM 平分∠POB ，ON 平分∠POA ，\()12MON POB POA Ð=Ð+Ð 1122AOB =Ð=a ②Q OM 平分∠QOB ，ON 平分∠QOA ，\()12MON BOQ QOA Ð=Ð+Ð()1136018022AOB =°-Ð=°-a 故答案为：12a ，11802a °-(3)根据题意POQ BOC Ð=Ð=bQ OM 平分∠POQ ，113522POM POQ \Ð=Ð=b =°如图，当OP 在AOB Ð的外部时，Q MON 的度数是40°MON PON POM Ð=Ð+Q 5PON \Ð=°Q ON 平分∠POA ，210POA PON \Ð=Ð=°，120POC \Ð=°，则OP 旋转了360120240°-°=°240548\¸=分，即48分钟时，∠MON 的度数是40°如图，OP 在AOB Ð的内部时，MON POM PON Ð=Ð-ÐQ 即4035PON °=°-Ð5PON \Ð=-°此情况不存在，综上所述，48分钟时，∠MON 的度数是40°变式2．（2022·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若12COD AOB Ð=Ð，则COD Ð是ACB Ð的内半角．（1）如图1，已知80AOB °Ð=，25AOC °Ð=，COD Ð是AOB Ð的内半角，则BOD Ð=________；（2）如图2，已知68AOB °Ð=，将AOB Ð绕点O 按顺时针方向旋转一个角度()060a a °<<得COD Ð，当旋转的角度a 为何值时，COB Ð是AOD Ð的内半角；（3）已知30AOB °Ð=，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O 以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线OA ，OB ，OC ，OD 能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．如图2，∵BOC Ð是AOD Ð的内半角，AOC BOD a Ð=Ð=，如图4，∵AOD Ð是BOC Ð的内半角，360AOC BOD a Ð=Ð=-，【折叠（翻折）问题】【解题技巧】折叠前后对应角、对应边相等；出现角的比值或无角的具体度数却求度数常设x 列方程。
期末难点突破专题(四)角的动态问题-2022-2023学年七年级上册初一数学(人教版)
期末难点突破专题（四）角的动态问题一、引言角是初中数学中的一个重要概念，对于初一学生来说，理解和掌握角的概念是十分关键的。
在学习角的过程中，我们会遇到一些角的动态问题，这些问题要求我们通过观察图形的变化来解决。
本文将介绍角的动态问题的解题思路和方法，帮助同学们在期末考试中突破这一难点。
二、角的基本知识回顾在介绍角的动态问题之前，我们先来回顾一下角的基本知识。
2.1 角的定义角是由两条相交的线段所夹的图形，我们通常用大写字母来表示角，如∠ABC。
2.2 角的度量角的度量是指角的大小，单位是度（°）。
在平面直角坐标系中，我们可以通过顶点的坐标来确定角的位置和大小。
2.3 角的分类按照角的度量，角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。
•锐角：角的度量小于90度。
•直角：角的度量等于90度。
•钝角：角的度量大于90度。
•平角：角的度量等于180度。
三、角的动态问题的解题思路解决角的动态问题需要我们通过观察图形的变化，寻找其中的规律，从而得出结论。
下面，我们将介绍两种常见的角的动态问题解题思路。
3.1 角的变化规律有些角的动态问题会给出一系列图形，要求我们观察图形的变化，找出其中的规律。
解决这类问题，我们可以尝试以下步骤：1.仔细观察每个图形中角的位置和度量。
2.尝试通过比较不同图形中角的位置和度量的变化，寻找其中的规律。
3.运用所发现的规律，推测出题目所要求的结论。
例如，下图给出了一个角的变化示例：图1：角的变化示例在这个示例中，我们可以观察到，随着线段AB的旋转，角ABC的度量也在变化。
通过观察，我们可以发现，线段AB每旋转一度，角ABC的度量就增加一度。
因此，我们可以得出结论：当线段AB旋转x度时，角ABC的度量也是x度。
3.2 角的等量关系有些角的动态问题会给出几个角的等量关系，要求我们利用这些等量关系推导出角的度量。
解决这类问题，我们可以尝试以下步骤：1.根据题目给出的等量关系，列出方程。
【初中数学】人教版七年级上册思维特训（二十） 角的运动问题(练习题)
人教版七年级上册思维特训（二十）角的运动问题(270)1.将一副直角三角板如图所示摆放在直线AD上(直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90∘，∠BOC=45∘，∠MON=90∘，∠MNO=30∘)，保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10∘的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．(1)当t=时，OM平分∠AOC，如图②，此时∠NOC−∠AOM=；(2)继续旋转三角板MON，如图③，使得OM，ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系，并说明理由；(3)若在三角板MON开始旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒5∘的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止(自行画图分析)．①当t=时，OM平分∠AOC？②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．2.O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65∘，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．(1)如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=；(2)如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；(3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③的位置时，∠NOC=∠AOM，求∠NOB的度数．3.解答下列各题：(1)如图①，OC是∠AOB内的一条射线．将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF=25∘，求∠AOB的度数；(2)如图②，∠MON=20∘，OC是∠MON内部的一条射线，第一次操作分为两个步骤：第一步：将OC沿OM向∠MON外部翻折，得到OM1，第二步：将OC沿ON向∠MON 外部翻折，得到ON1；第二次操作也分为两个步骤：第一步：将OC沿OM1向∠MON 外部翻折，得到OM2；第二步：将OC沿ON1向∠MON外部翻折，得到ON2；…依此类推，在第次操作的第步恰好第一次形成一个周角，并求∠MOC的度数．4.如图，已知∠AOB=90∘，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4∘的速度按顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1∘的速度按逆时针方向旋转．当OC与OA成180∘角时，OC与OD同时停止旋转．(1)当OC旋转10秒时，∠COD=∘；(2)当OC与OD的夹角是30∘时，求旋转的时间；(3)当OB平分∠COD时，求旋转的时间．5.如图,已知∠AOB=20∘，∠AOE=100∘，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．(1)求∠COD的度数；(2)若以O为观察中心，OA为正东方向，则射线OD的方向角是；(3)若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5∘、每秒3∘的速度，同时绕点O逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过几秒，∠AOE=42∘？6.如图①，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150∘，∠COD=30∘，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC．(1)求∠MON的度数；(2)如图②，若∠AOC=15∘，将∠COD绕点O以每秒x∘的速度逆时针旋转10秒，此时∠BON，如图③所示，求x的值．∠AOM=711参考答案1(1)【答案】2.25；45∘【解析】:∵∠AOC=45∘，OM平分∠AOC，∴∠AOM=1∠AOC=22.5∘，2∴t=2.25.∵∠MON=90∘，∠MOC=22.5∘，∴∠NOC−∠AOM=∠MON−∠MOC−∠AOM=45∘.故答案为：2.25，45∘(2)【答案】解：∠NOC−∠AOM=45∘.理由：∵∠AON=90∘+(10t)∘，∴∠NOC=90∘+(10t)∘−45∘=45∘+(10t)∘.∵∠AOM=(10t)∘，∴∠NOC−∠AOM=45∘【解析】:解：∠NOC−∠AOM=45∘.理由：∵∠AON=90∘+(10t)∘，∴∠NOC=90∘+(10t)∘−45∘=45∘+(10t)∘.∵∠AOM=(10t)∘，∴∠NOC−∠AOM=45∘(3)【答案】解：①如图,∵∠AOB=(5t)∘，∴∠AOC=45∘+(5t)∘.∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=1∠AOC，2而∠AOM=(10t)∘,∴10t=1(45+5t)，2∴t=3.②∠NOC−1∠AOM=45∘.2理由：∵∠AOB=(5t)∘，∠AOM=(10t)∘，∠MON=90∘，∠BOC=45∘，∴∠AON=90∘+∠AOM=90∘+(10t)∘，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45∘+(5t)∘，∴∠NOC=∠AON−∠AOC=90∘+(10t)∘−45∘−(5t)∘=45∘+(5t)∘，∴∠NOC−1∠AOM=45∘2【解析】:解：①如图,∵∠AOB=(5t)∘，∴∠AOC=45∘+(5t)∘.∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=1∠AOC，2而∠AOM=(10t)∘,∴10t=1(45+5t)，2∴t=3.②∠NOC−1∠AOM=45∘.2理由：∵∠AOB=(5t)∘，∠AOM=(10t)∘，∠MON=90∘，∠BOC=45∘，∴∠AON=90∘+∠AOM=90∘+(10t)∘，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45∘+(5t)∘，∴∠NOC=∠AON−∠AOC=90∘+(10t)∘−45∘−(5t)∘=45∘+(5t)∘，∴∠NOC−1∠AOM=45∘22(1)【答案】25∘【解析】:∵∠MON=90∘，∠BOC=65∘，∴∠MOC=∠MON−∠BOC=90∘−65∘=25∘(2)【答案】解：∵∠BOC=65∘，OC是∠MOB的平分线，∴∠MOB=2∠BOC=130∘.∴∠BON=∠MOB−∠MON=130∘−90∘=40∘.∴∠CON=∠BOC−∠BON=65∘−40∘=25∘【解析】:解：∵∠BOC=65∘，OC是∠MOB的平分线，∴∠MOB=2∠BOC=130∘.∴∠BON=∠MOB−∠MON=130∘−90∘=40∘.∴∠CON=∠BOC−∠BON=65∘−40∘=25∘(3)【答案】解：∵∠BOC=65∘，∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=180∘−65∘=115∘.∵∠MON=90∘，∴∠AOM+∠NOC=∠AOC−∠MON=115∘−90∘=25∘.又∵∠NOC=∠AOM,∴2∠NOC=25∘.∴∠NOC=12.5∘.∴∠NOB=∠NOC+∠BOC=77.5∘【解析】:解：∵∠BOC=65∘，∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=180∘−65∘=115∘.∵∠MON=90∘，∴∠AOM+∠NOC=∠AOC−∠MON=115∘−90∘=25∘.又∵∠NOC=∠AOM,∴2∠NOC=25∘.∴∠NOC=12.5∘.∴∠NOB=∠NOC+∠BOC=77.5∘3(1)【答案】解：∵将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF=25∘，∴∠AOB=2∠COE+2∠COF=2(∠EOC+∠COF)=50∘【解析】:解：∵将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF=25∘，∴∠AOB=2∠COE+2∠COF=2(∠EOC+∠COF)=50∘.(2)【答案】五；一【解析】:在第五次操作的第一步恰好第一次形成一个周角．设∠MOC=x∘，则16×20∘+16x∘=360∘，解得x=2.5，所以∠MOC=2.5∘4(1)【答案】40【解析】:∵射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4∘的速度按顺时针方向旋转，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1∘的速度按逆时针方向旋转，∴当OC旋转10秒时，∠COD=90∘−4∘×10−1∘×10=40∘，故答案为：40(2)【答案】解：设旋转t秒时，OC与OD的夹角是30∘.如图①，则4t+t=90−30，解得t=12；如图②，则4t+t=90+30，t=24.∴旋转的时间是12秒或24秒．【解析】:解：设旋转t秒时，OC与OD的夹角是30∘.如图①，则4t+t=90−30，解得t=12；如图②，则4t+t=90+30，t=24.∴旋转的时间是12秒或24秒．(3)【答案】解：如图③，设旋转m秒时，OB平分∠COD，则4m−90=m，解得m=30，∴旋转的时间是30秒．【解析】:解：如图③，设旋转m秒时，OB平分∠COD，则4m−90=m，解得m=30，∴旋转的时间是30秒．5(1)【答案】解：∵∠AOB=20∘，∠AOE=100∘，∴∠EOB=∠AOE−∠AOB=80∘.又∵OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，∴∠AOC=2∠AOB=40∘，∠AOD=1∠AOE=50∘，2∴∠COD=∠AOD−∠AOC=50∘−40∘=10∘【解析】:解：∵∠AOB=20∘，∠AOE=100∘，∴∠EOB=∠AOE−∠AOB=80∘.又∵OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，∴∠AOC=2∠AOB=40∘，∠AOD=12∠AOE=50∘，∴∠COD=∠AOD−∠AOC=50∘−40∘=10∘(2)【答案】北偏东40∘【解析】:由(1)知∠AOD=50∘，∴射线OD的方向角为北偏东40∘(3)【答案】解：设经过x秒，∠AOE=42∘，则3x−5x+100=42或5x−(3x+100)=42，解得x=29或x=71.即经过29秒或71秒，∠AOE=42∘【解析】:解：设经过x秒，∠AOE=42∘，则3x−5x+100=42或5x−(3x+100)=42，解得x=29或x=71.即经过29秒或71秒，∠AOE=42∘6(1)【答案】解：因为∠AOB=150∘，∠COD=30∘，OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC，所以∠MON=∠MOD+∠NOC−∠COD=12(∠AOD+∠BOC)−∠COD=12(∠AOB+∠COD)−∠COD=60∘【解析】:解：因为∠AOB=150∘，∠COD=30∘，OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC，所以∠MON=∠MOD+∠NOC−∠COD=12(∠AOD+∠BOC)−∠COD=12(∠AOB+∠COD)−∠COD=60∘(2)【答案】解：由题意，得∠BOD=105∘−10x∘，∠AOC=15∘+10x∘，所以∠BOC=135∘−10x∘，∠AOD=45∘+10x∘.又因为∠AOM=711∠BON，且OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC，所以∠AOD=711∠BOC，即45∘+10x∘=7(135∘−10x∘)，11解得x=2.5【解析】:解：由题意，得∠BOD=105∘−10x∘，∠AOC=15∘+10x∘，所以∠BOC=135∘−10x∘，∠AOD=45∘+10x∘.又因为∠AOM=7∠BON，且OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC，11所以∠AOD=7∠BOC，11即45∘+10x∘=7(135∘−10x∘)，11解得x=2.5。
人教版七年级数学上册期末压轴题动点类和角度的旋转专题含答案
人教版七年级数学上册期末压轴题专项突破数轴动点类和角度的旋转数轴动点：1．点A，B为数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，a3＝﹣8．（1）求A，B两点之间的距离；（2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数记为x，试猜想当x满足什么条件时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小．请写出你的猜想，并说明理由；（3）若P，Q为数轴上的两个动点（Q点在P点右侧），P，Q两点之间的距离为m，当点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4时，m的值为．2．已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．（1）填空：abc0，a+b0：（填“＞”，“＝”或“＜”）（2）若a＝﹣2且点B到点A，C的距离相等，①当b2＝16时，求c的值；②P是数轴上B，C两点之间的一个动点，设点P表示的数为x，当P点在运动过程中，bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|的值保持不变，则b的值为．3．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B 的“好点”．（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；（2）①若点P运动到原点O时，此时点P关于A→B的“好点”（填是或者不是）；②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间；（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．4．如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A 出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C 出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q 到点B的距离相等；（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值．5．如图所示，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度．（1）点B表示的数是，并在数轴上将点B表示出来．（2）动点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度？（3）在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P 到点A的距离的2倍？6．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示是﹣3，已知A、B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．（1）如果点A表示的数﹣3，将点A向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是．A、B两点间的距离是．（2）如果点A表示的数3，将点A向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，那么终点B表示的数是．A、B两点间的距离是．（3）如果点A表示的数x，将点A向右移动p个单位长度，再向左移动n个单位长度，那么请你猜想终点B表示的数是．A、B两点间的距离是．7．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．8．阅读下面的材料：如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．（1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：（2）点C到点A的距离CA＝cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为；（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为；（用代数式表示）（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm 的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．角度的旋转：9．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE（图中所说的角都是小于平角的角）．（1）如图1，若∠COF＝58°，求∠BOE的度数；（2）将∠COE绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置时，若∠COF＝m°，求∠BOE的度数（用含字母m的代数式表示）．10．如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD．（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数．（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数．（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由．11．已知∠AOB＝90°，OC是一条可以绕点O转动的射线，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC．（1）当射线OC转动到∠AOB的内部时，如图1，求∠MON的度数．（2）当射线OC转动到∠AOB的外时（90°＜∠BOC＜∠180°），如图2，∠MON的大小是否发生变化？变或者不变均说明理由．12．如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM 与OC都在直线AB的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．求t的值；并判断此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由．13．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝120°，∠BOC＝∠AOD．（1）求∠AOD的度数；（2）若射线OB绕点O以每秒旋转20°的速度顺时针旋转，同时射线OC以每秒旋转15°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0＜t＜6），试求当∠BOC＝20°时t的值；（3）若∠AOB绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时∠COD绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0＜t＜18），OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，在旋转的过程中，∠MON的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变，说明理由．14．已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则①∠AOC+∠BOD＝；②∠BOC﹣∠AOD＝．（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．15．已知直角三角板ABC和直角三角板DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝60°，∠DEF＝45°．（1）如图1．将顶点C和顶点D重合．保持三角板ABC不动，将三角板DEF 绕点C旋转，当CF平分∠ACB时，求∠ACE的度数；（2）在（1）的条件下，继续旋转三角板DEF，猜想∠ACE与∠BCF有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；（3）如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF 绕点C旋转．当CA落在∠DCF内部时，直接写出∠ACD与∠BCF之间的数量关系．16．已知：O为直线AB上的一点，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON 表示正东方向（即AB⊥MN），射线OC，射线OE的方向如各图所示．（1）如图1所示，当∠COE＝90°时：①若∠AOE＝20°，则射线OE的方向是．②∠AOE与∠CON的关系为．③∠AOC与∠EON的关系为．（2）若将射线OC，射线OE绕点O旋转至图2的位置，另一条射线OF恰好平分∠COM，旋转中始终保持∠COE＝90°．①若∠AOF＝24°，则∠EOF＝度．②若∠AOF＝β，则∠CON＝（用含β的代数式表示）．（3）若将射线OC，射线OE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠COM，旋转中始终保持∠COE＝90°，则∠CON与∠AOF之间存在怎样的数量关系，并说明理由．参考答案数轴动点1．解：（1）∵a3＝﹣8．∴a＝﹣2，∴AB＝|3﹣（﹣2）|＝5；（2）点C到A的距离为|x+2|，点C到B的距离为|x﹣3|，∴点C到A点的距离与点C到B点的距离之和为|x+2|+|x﹣3|，当距离之和|x+2|+|x﹣3|的值最小，﹣2＜x＜3，此时的最小值为3﹣（﹣2）＝5，∴当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5；（3）设点P所表示的数为x，∵PQ＝m，Q点在P点右侧，∴点Q所表示的数为x+m，∴PA＝|x+2|，QB＝|x+m﹣3|∴点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和为：PA+QB＝|x+2|+|x+m﹣3| 当x在﹣2与3﹣m之间时，|x+2|+|x+m﹣3|最小，最小值为|﹣2﹣（3﹣m）|＝4，①﹣2﹣（3﹣m）＝4，解得，m＝9，②（3﹣m）﹣（﹣2）＝4时，解得，m＝1，故答案为：1或9．2．解：（1）由a，b，c．在数轴上的位置可知，a＜0，0＜b＜c，∴abc＜0，a+b＞0，故答案为：＜＞，（2）①b2＝16，b＞0，∴b＝4，∵a＝﹣2，BC＝AB，∴c﹣4＝4﹣（﹣2），∴c＝10；②设点P表示的数为x，点P在BC上，因此b＜x＜c，∴bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|＝bx+cx+c﹣x﹣10x﹣10a＝（b+c﹣10﹣1）x+c﹣10a，∵结果与x无关，∴b+c＝11，又∵c﹣b＝b+2，即，c＝2b+2，∴b＝3，故答案为：3．3．解：（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，∴AB＝4﹣（﹣8）＝12，∵点P到点A、点B的距离相等，∴P为AB的中点，∴BP＝PA＝AB＝6，∴点P表示的数是﹣2；（2）①当点P运动到原点O时，PA＝8，PB＝4，∵PA≠3PB，∴点P不是关于A→B的“好点”；故答案为：不是；②根据题意可知：设点P运动的时间为t秒，PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，∴t+8＝3|4﹣t|，解得t＝1或t＝10，所以点P的运动时间为1秒或10秒；（3）根据题意可知：设点P表示的数为n，PA＝n+8或﹣n﹣8，PB＝4﹣n，AB＝12，分五种情况进行讨论：①当点A是关于P→B的“好点”时，|PA|＝3|AB|，即﹣n﹣8＝36，解得n＝﹣44；②当点A是关于B→P的“好点”时，|AB|＝3|AP|，即3（﹣n﹣8）＝12，解得n＝﹣12；或3（n+8）＝12，解得n＝﹣4；③当点P是关于A→B的“好点”时，|PA|＝3|PB|，即﹣n﹣8＝3（4﹣n）或n+8＝3（4﹣n），解得n＝10或1（不符合题意，舍去）；④当点P是关于B→A的“好点”时，|PB|＝3|AP|，即4﹣n＝3（n+8），解得n＝﹣5；或4﹣n＝3（﹣n﹣8），解得n＝﹣14；⑤当点B是关于P→A的“好点”时，|PB|＝3|AB|，即4﹣n＝36，解得n＝﹣32．综上所述：所有符合条件的点P表示的数是：﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．4．解：（1）根据题意得2t+t＝28，解得t＝，∴AM＝＞10，∴M在O的右侧，且OM＝﹣10＝，∴当t＝时，P、Q两点相遇，相遇点M所对应的数是；（2）由题意得，t的值大于0且小于7．若点P在点O的左边，则10﹣2t＝7﹣t，解得t＝3．若点P在点O的右边，则2t﹣10＝7﹣t，解得t＝．综上所述，t的值为3或时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；（3）∵N是AP的中点，∴AN＝PN＝AP＝t，∴CN＝AC﹣AN＝28﹣t，PC＝28﹣AP＝28﹣2t，2CN﹣PC＝2（28﹣t）﹣（28﹣2t）＝28．5．解：（1）10﹣4＝6，∵点B位于点A的左侧，∴点B表示的数是﹣6，故答案为：﹣6．在数轴上将点B表示如图所示：（2）设经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度，∴2t+2＝10或2t﹣2＝10∴t＝4或t＝6∴经过4秒或6秒点P与点A的距离是2个单位长度；（3）设经过t秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，∴2（10﹣2t）＝10﹣t或2（2t﹣10）＝10﹣t∴t＝或t＝6∴经过秒或6秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍．6．解：（1）∵﹣3+5＝2，∴B表示的数为2，A、B两点间的距离为2﹣（﹣3）＝5，故答案为：2，5；（2）∵3﹣3+6＝6，∴B表示的数为6，A、B两点间的距离为6﹣3＝3，故答案为：6，3；（3）根据题意，点B表示的数为x+p﹣n，A、B两点间的距离为|x+p﹣n﹣x|＝|p﹣n|，故答案为：x+p﹣n，|p﹣n|．7．解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝10÷2+10÷1+8÷2＝19（秒），（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x．则10÷2+x÷1＝8÷1+（10﹣x）÷2，解得x＝．故相遇点M所对应的数是．（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2．②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8﹣t＝（t﹣5）×1，解得：t＝6.5．③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t﹣8）＝（t﹣5）×1，解得：t＝11．④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t﹣15）＝t﹣13+10，解得：t＝17．综上所述：t的值为2、6.5、11或17．8．解：（1）如图所示：（2）CA＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5（cm）；设D表示的数为a，∵AD＝4，∴|﹣1﹣a|＝4，解得：a＝﹣5或3，∴点D表示的数为﹣5或3；故答案为：5，﹣5或3；（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；故答案为：﹣1+x；（4）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：根据题意得：CA＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AB＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝2+3t，∴CA﹣AB＝（5+3t）﹣（2+3t）＝3，∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化．角度的旋转9．解：（1）∵∠COE是直角，∠COF＝58°，∴∠EOF＝90°﹣58°＝32°．∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝64°，∴∠BOE＝180°﹣64°＝116°．答：∠BOE的度数为116°；（2）∵∠COF＝m°，∴∠EOF＝m°﹣90°．又∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝2m°﹣180°，∴∠BOE＝180°﹣（2m°﹣180°）＝360°﹣2m°．答：∠BOE的度数为360°﹣2m°．10．解：（1）∵∠AOC＝90°，∠BOD＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°；（2）设∠COD＝x°，则∠BOC＝100°﹣x°，∵∠AOC＝110°，∴∠AOB＝110°﹣（100°﹣x°）＝x°+10°，∵∠AOD＝∠BOC+70°，∴100°+10°+x°＝100°﹣x°+70°，解得：x＝30即，∠COD＝30°；（3）当α＝45°时，∠AOD与∠BOC互余；理由是：要使∠AOD与∠BOC互余，即∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC＝90°，即∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠AOC＝∠BOD＝α，∴∠AOC＝∠BOD＝45°，即α＝45°，∴当α＝45°时，∠AOD与∠BOC互余．11．解：（1）如图1所示：∵ON平分∠AOC，∴∠CON＝，又∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝，又∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠MON＝∠CON+∠COM＝＝＝45°；（2）∠MON的大小不变，如图2所示，理由如下：∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝，又∵ON平分∠AOC，∴∠AON＝，又∵∠MON＝∠AON+∠AOM，∴∠MON＝＝＝＝45°．12．解：（1）旋转前∠MOC＝90°﹣∠AOC＝60°，当OM平分∠BOC时，，3t＝75°﹣60°，t＝5s，结论：ON平分∠AOC，理由：∵∠CON＝90°﹣∠MOC，∠AOC＝180°﹣∠BOC＝2（90°﹣∠MOC），∴∠AOC＝2∠CON，∴ON平分∠AOC（2）∠MOC＝∠AOM﹣∠AOC＝（3t+90°）﹣（30°+6t）＝60°﹣3t若OC平分∠MON则，∴60°﹣3t＝45°，∴t＝5．13．解：如图所示：（1）设∠AOD＝5x°，∵∠BOC＝∠AOD∴∠BOC＝•5x°＝3x°又∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠DOC+∠BOC，∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠DOC，∴∠AOC+∠BOD＝∠AOD+∠BOC，又∵∠AOC＝∠BOD＝120°，∴5x+3x＝240解得：x＝30°∴∠AOD＝150°；（2）∵∠AOD＝150°，∠BOC＝∠AOD，∴∠BOC＝90°，①若线段OB、OC重合前相差20°，则有：20t+15t+20＝90，解得：t＝2，②若线段OB、OC重合后相差20°，则有：20t+15t﹣90＝20解得：，又∵0＜t＜6，∴t＝2或t＝；（3）∠MON的度数不会发生改变，∠MON＝30°，理由如下：∵旋转t秒后，∠AOD＝150°﹣5t°，∠AOC＝120°﹣5t°，∠BOD＝120°﹣5t°∵OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD∴∠AOM＝∠AOC＝，∠DON＝＝∴∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON＝150°﹣5t°﹣﹣＝30°．14．解：（1）①∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠AOD+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝60°+90°＝150°；②∠BOC﹣∠AOD＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°；故答案为：150°、30°；（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，①0＜n°≤150°时，如图4，射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧，∵∠BOF＝[90°﹣（n﹣60°）]＝（150﹣n）°，∠BOE＝（90﹣n）°＝（180﹣n）°，∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°；②150°＜n°≤180°时，如图5，射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧，∵°，∠BOE＝（90﹣n）°＝（180﹣n）°，∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝15°；③180°＜n°≤330°时，如图6，射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧，∵°，°，∴∠EOF＝∠DOF+∠COD+∠COE＝165°；④330°＜n°≤360°时，如图7，射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧，∵∠DOF＝[360﹣（n﹣150）]°＝（510﹣n）°，°，∴∠EOF＝∠DOF﹣∠COD﹣∠COE＝15°；综上，∠EOF＝15°或165°．15．解：（1）∵CF平分∠ACB，∴∠BCF＝∠ACF＝∠ACB＝×90°＝45°，∴∠ACE＝∠ECF﹣∠ACF＝90°﹣45°＝45°；（2）∠ACE＝∠BCF，∵∠BCF+∠ACF＝90°＝∠ACE+ACF，∴∠ACE＝∠BCF；（3）∠BCF﹣∠ACD＝45°，∵∠ACF+∠BCF＝90°，∠ACD+∠ACF＝∠DCF＝45°，∴（∠ACF+∠BCF）﹣（∠ACD+∠ACF）＝90°﹣45°，即：∠BCF﹣∠ACD＝45°．16．解：（1）如图1①由方位角的表示方法得，射线OE的方向是北偏东20°，故答案为：北偏东20°；②∵∠AOE+∠EON＝∠CON+∠EON＝90°，∴∠AOE＝∠CON；故答案为：∠AOE＝∠CON；③∵∠AOE+∠EON＝∠CON+∠BOC，∴∠EON＝∠BOC，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC+∠EON＝180°，故答案为：∠AOC+∠EON＝180°，（2）如图2，①∵∠COE＝90°．∴∠AOC+∠AOE＝90°＝∠AOE+∠EOM，∴∠AOC＝∠EOM，∵OF恰好平分∠COM，∴∠MOF＝∠OCF，即：∠MOE+∠EOF＝∠AOC+∠AOF，∴∠EOF＝∠AOF＝24°故答案为：24°②∵∠CON+∠AOC＝90°＝∠AOC+∠AOE，∴∠CON＝∠AOE，∵∠EOF＝∠AOF＝β，∴∠CON＝2∠AOF＝2β；故答案为：2β．（3）如图3，由同角的余角相等可得∠COM＝∠BOE，∴∠CON＝∠AOE，∵OF平分∠COM，∴∠COF＝∠MOF，∴∠CON＝∠AOE＝2∠COF+2∠AOC＝2∠AOF，∴∠CON＝2∠AOF．。
初一上 动角解题技巧 提高版
初一上动角问题解题技巧提高版模块一动角问题旋转三要素：旋转中心、旋转速度、旋转方向.例1.如图1，已知∠AOC=2∠BOC，∠BOC=40°，∠AOC=80°.（1）经过点O作射线OD，使得∠AOC =4∠AOD，求∠BOD的度数；（2）若∠AOB=120°，在∠AOB的内部作∠EOF=40°，OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，当∠EOF绕点O在∠AOB的内部转动时，求∠MON的度数.EDC BAO1.如图，∠AOB =20︒，∠AOE =110︒，OB 平分∠AOC ，OD 平分∠AOE . （1）求∠COD 的度数；（2）若∠AOE 的两边OA ，OE 分别以每秒5︒和每秒3︒的速度，同时绕点O 按逆时针方向旋转，当OA 回到原处时，OA ，OE 停止运动，则经过多少时间，∠AOE =30︒？例2.如图1, 己知∠AOC =m °，∠BOC =n °，且满足等式()234202400m n -+-=，射线OP 从OB 除绕O 以4度/秒的速度逆时针旋转，与OA 重合时，停止运动. （1）试求∠AOB 的度数；（2）如图1，当射线OP 从OB 处绕点O 开始逆时针旋转，同时射线OQ 从OA 处以1度/秒的速度绕点O 顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得∠POQ =10°？（3）如图2,若射线OD 为∠AOC 的平分线，当射线OP 从OB 处绕点O 开始逆时针旋转，同时射线OT 从射线OD 处以x 度/秒的速度绕点O 顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线OE 处（OE 在∠DOC 的内部）时，4=5COE DOE BOC +∠∠∠，试求x 的值.1.已知：160AOD ∠=︒，OB 、OM 、ON ，是AOD ∠内的射线.（1）如图1，若OM 平分AOB ∠，ON 平分BOD ∠.当射线OB 绕点O 在AOD ∠内旋转时，MON ∠=________度.（2）OC 也是AOD ∠内的射线，如图2，若20BOC ∠=︒，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，当射线OB 绕点O 在AOC ∠内旋转时，求MON ∠的大小.（3）在（2）的条件下，当射线OB 从边OA 开始绕O 点以每秒2︒的速度逆时针旋转t 秒，如图3，若:2:3AOM DON ∠∠=，求t 的值.图1 图2 图3BM NDOAB MNDOACB M NDOAC例3.如图1，O 为直线AB 上的一点，过点O 作射线OC ，∠AOC =30°，将一直角三角板（30M ∠=︒）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方. （1）将图1的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.如图2，经过t 秒后OM 恰好平分∠BOC ，则t = .（直接写结果）（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后OC 平分∠MON ？请说明理由. （3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒∠MOC =36°？请说明理由.图3图2图1OBAN C MAC MBONCB MON ABE MA N FO1.如图，直线EF 与MN 相交于点O ，∠MOE =15∠NOE ，将一直角三角尺的直角顶点与O 重合，直角边OA 与MN 重合，OB 在∠NOE 内部. （1）求∠MOE 、∠NOE 的大小;（2）将三角尺绕点O 以每秒3︒的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为t （s ）.当t 为何值时，直角边OB 恰好平分∠NOE ？2.点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠BOC =65︒,将一直角三角板的直角顶点放在点O 处.MCBNOACMNO BAM CNBOA（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=______________；（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC=14∠AOM，求∠NOB的度数.图1图2图3BDCAO1.如图，∠AOC =15︒，∠AOD =55︒，OD 平分∠AOB . （1）求∠AOB 、∠BOC 的度数；（2）若将射线OC 以每秒3︒的速度绕着点O 逆时针旋转，当OC 到达OB 时停止运动，则经过多少秒时，∠COD =20︒？2.已知，如图1，∠AOC =∠BOD =80︒.设∠AOC 和∠BOD 的公共角∠BOC 度数是m ︒（0<m <80）.DCBAODN MCBADC QBPAO（1）若∠AOD=4∠BOC，求m的值.（2）如图2，当OM、ON分别是∠AOD、∠COD的角平分线时，∠MON的度数是否变化？若不变，求出∠MON的度数；若变化，请说明理由.（3）若射线OP以每秒10︒的速度从OA位置绕点O逆时针运动，同时，射线OQ以每秒5︒的速度从OC 位置绕点O顺时针运动，当OP在∠AOB内，OQ在∠BOC内时，如图3，在任何某一时刻，总有∠POB=2∠QOB，求m的值.图1图2图3BDCA3.如图，∠AOC =15︒，∠AOC =17∠BOC ，OD 平分∠AOB . （1）求∠BOC 、∠AOB 的度数；（2）若将射线OC 以每秒5︒的速度绕着点O 逆时针旋转，当OC 到达OB 时停止运动，则经过多少秒时，∠COD =30︒？D BCA4.如图，AOB∠=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD 从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t （015t≤≤）.（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；（2）当t为何值时，射线OC OD⊥；（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由.F E东西南北BO A C B F E O A C 5.已知O 为直线AB 上的一点，射线OA 表示北方向，射线OC 在北偏东m ︒的方向，射线OE 在南偏东n ︒的方向，射线OF 平分AOE ∠，且22180m n +=.（1）如图，COE ∠=_______°，COF ∠和BOE ∠之间的数量关系为_______（2）若将COE ∠绕点O 旋转至图2的位置，射线OF 仍然平分AOE ∠时，试问(1)中BOE ∠和COF ∠之间的数量关系是否发生变化?请说明理由.（3）若将COE ∠绕点O 旋转至图3的位置，射线OF 仍然平分AOE ∠时，则BOE ∠和COF ∠之间的数量关系发生变化吗?如不变化，说明理由，如变化，写出新的数量关系并说明理由.FEOA C。
七年级上角的旋转问题
七年级拔高专题2：旋转问题1、如图1，射线OC、OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC，（1）求∠MON的大小，并说明理由；（2）如图2，若∠AOC=15°，将∠COD绕点O以每秒x°的速度逆时针旋转10秒钟，此时∠AOM︰∠BON=7︰11，如图3所示，求x的值．2、已知O为AB直线上的一点,是直角,OD平分.(1)如图1,若,求的度数;(2)根据(1),若,则此时与的数量关系是(直接写出结论即可).(3)当绕O顶点按逆时针方向旋转到如图2所示的位置时,(2)中与的数量关系这个关系是否仍然成立?请直接写出成立或不成立即可,不需要说明.3、如图1,点O为直线AB上一点,过O点作射线OC,使,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置,使得ON落在射线OB上,此时三角板旋转的角度为度；(2)继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置,使得ON在的内部.试探究与之间满足什么等量关系,并说明理由;(3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中,若三角板绕点O按每秒的速度旋转,当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分时,求此时三角板绕点O的运动时间t的值.4、如图1,已知,,OM平分,ON平分(1)将图1中绕O点逆时针旋转,使射线OC与射线OA重合与OA重合,如图2),其他条件不变,请直接写出的度数；(2)将图2中的绕O点逆时针旋转度,其他条件不变.(1)当,请完成图3,并求的度数;(2)当,请完成图4,并求的度数.5、已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AO D内旋转时，求∠MON的大小；（2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC 绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．6、已知,O是直线AB上的一点,是直角,OE平分.(1)如图1,若,求的度数;(2)在图1中,若,直接写出的度数(用含a的代数式表示);(3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置.(1)探究和的度数之间的关系,写出你的结论,并说明理由;(2)在的内部有一条射线OF,满足:,试确定与的度数之间的关系,说明理由.7、如图1，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC．（1）若∠AOC=60°，试通过计算比较∠NPD和∠MOC的大小；（2）如图2，若将图1中∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转．①旋转过程中∠MON的大小始终不变．求∠MON的值；②如图3，若旋转后OC恰好为∠MOA的角平分线，试探究∠NOD与∠MO C的数量关系．。
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七年级拔高专题2：旋转问题
1、如图1，射线OC、OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC，
（1）求∠MON的大小，并说明理由；
（2）如图2，若∠AOC=15°，将∠COD绕点O以每秒x°的速度逆时针旋转10秒钟，此时∠AOM︰∠BON=7︰11，如图3所示，求x的值．
2、已知O为AB直线上的一点,是直角,OD平分.
(1)如图1,若,求的度数;
(2)根据(1),若,则
此时与的数量关系是(直接写出结论即可).
(3)当绕O顶点按逆时针方向旋转到如图2所示的位置时,(2)中与的数量关系这个关系是否仍然成立?请直接写出成立或不成立即可,不需要说明.
3、如图1,点O为直线AB上一点,过O点作射线OC,使
,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置,使得ON落在射线OB上,此时三角板旋转的角度为
度；
(2)继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置,使得ON在的内部.试探究与之间满足什么等量关系,并说明理由;
(3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中,若三角板绕点O按每秒的速度旋转,当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分时,求此时三角板绕点O的运动时间t的值.
4、如图1,已知,,OM平分,ON平分
(1)将图1中绕O点逆时针旋转,使射线OC与射线OA重合
与OA重合,如图2),其他条件不变,请直接写出的度数
；
(2)将图2中的绕O点逆时针旋转度,其他条件不变.
(1)当,请完成图3,并求的度数;
(2)当,请完成图4,并求的度数.
5、已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O 在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；
（2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．
6、已知,O是直线AB上的一点,是直角,OE平分.
(1)如图1,若,求的度数;
(2)在图1中,若,直接写出的度数(用含a的代数式表示);
(3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置.
(1)探究和的度数之间的关系,写出你的结论,并说明理由;
(2)在的内部有一条射线OF,满足:
,
试确定与的度数之间的关系,说明理由.
7、如图1，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，
∠COD=30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC．
（1）若∠AOC=60°，试通过计算比较∠NPD和∠MOC的大小；（2）如图2，若将图1中∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转．
①旋转过程中∠MON的大小始终不变．求∠MON的值；
②如图3，若旋转后OC恰好为∠MOA的角平分线，试探究∠NOD 与∠MOC的数量关系．。