第2章地球椭球体基本要素和基本公式

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直线比例尺：系以1cm为一基本尺 段，呈直线图形的比例尺。 整个比例尺分主副尺两部分，主尺 包括若干尺段，从第一尺段分点处注0起， 向右计数； 副尺占一个尺段；细分10小格，从 0处向左计数，每小格为0.1基本尺段， 读数时可估读到0.01基本尺段。每一基 本尺段相当于实地的长度随某地图的比 例尺大小而定。
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一、地球的自然表面
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珠穆朗玛峰（8844.43m）与马里亚 纳海沟（-11034m）之间的高差达 近20km。
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通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量 等精密测量，发现：
地球不是一个正球体，而是一个极半 径略短、赤道半径略长，北极略突出、 南极略扁平，近于梨形的椭球体。
由于地球的自然表面凸凹不平，形态极为复杂，显然 不能作测量与制图的基准面。应该寻求一种与地球自然表 面非常接近的规则曲面，来代替这种不规则的曲面。
大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。
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在地图投影中，切点、切线和割线上是没 有任何变形的，这些地方的比例尺皆为主比例 尺。 切线或割线长度与球面上相应直线距离水 平投影长度的比值即为地面实际缩小的倍数。 因此，通常以切点、切线和割线缩小的倍数表 示地面缩小的程度；在各种地图上通常所标注 的都是此种比例尺，故又称普通比例尺。 主比例尺主要用于分析或确定地面实际缩 小的程度。
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地球表面
地 理 坐 标 系
地面点的高程 地球的经线和纬线
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平面坐标系统（笛卡儿坐标系统） 以平面为基础的平面坐标系。现实世界是以相对 于指定原点的 XY 坐标值来定位的，单位常用英尺或 米（通常为正值）。 将经纬度坐标转换成平面直角坐标，这样就可以 方便地进行距离、方位、面积的计算： F:(φ,λ)(x,y)， φ为经度， λ为纬度
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二、地图比例尺的表现形式
地图比例尺在地图上的表现形式
数字式 比例尺
如 1:10000
文字式比 例尺
如 百万分之一
图解式 特殊比例尺 比例尺
直线比例尺 复式比例尺 斜分比例尺
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变比例尺 无级别比例尺
（1）数字式比例尺：写成比的形式 Representative fraction (RF): a simple ratio 。 eg.1：10000，1/10000
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一、问题的提出：
地图的数学基础 是指使地图上各种地理要素与相应的地面景物 之间保持一定对应关系的数学基础。包括： 经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等。
两个矛 盾： 球面与平面之间的矛盾 大与小的矛盾
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将椭球面上的客观世界表现在有限的平 面上,首先要实现由球面到平面的转换。
如何转换?
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由于地图投影的原因，会造成地图上各处
的缩小比例的不同，地图投影时，应考虑地图 投影对地图比例尺的影响。
在传统地图上所标明的缩小比率，都是指长度缩小的比率。
地图上注记的比例尺称之为主比例尺。
由于投影后有变形，所以主比例尺仅能保留在投 影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例 尺大，就是比主比例尺小。
心经度同大地经度λ ，地心纬度是指参考椭球面 上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。
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在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。
在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。
在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将 椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。
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• 军事测绘部门对“1980西安坐标系”的椭球参数 进行变换和平移，建立了“新1954北京坐标系”， 并于1978—1988年利用国内外天文、大地、重力 和卫星观测资料，建立了我国的“地心坐标系”。 • 20世纪90年代以来，国家有关部门联合建立了 2000国家GPS大地控制网，2003年通过联合处理 建立了我国新一代与国际地球参考系接轨的高精 度地心坐标系—“2000中国大地坐标系”。 “2000中国大地坐标系”于2008年正式启用。
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地图投影的基本概念
地图投影 比例尺
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回顾 地理空间坐标系的建立
地理空间中的要素要进行定位，必须要嵌入到 一个空间参照系中，即在进行位置描述时，需要有 一个参照。
球面坐标系统 根据地球椭球体模型建立的地理坐标系——经 纬度坐标及高程坐标可以作为所有空间要素的参照 系统。这个坐标系统是球面坐标系统：是以三维球 面为基础的。用经纬度量测，单位度、分、秒，又 称为大地坐标系。
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2.几何透视投影
利用透视关系，将地球表面上的点投影到投影面 上的一种投影方法。
假设地球按比例缩小成一个透明的地 球仪般球体，在其球心、球面或球外 安置光源，将透明球体上的经纬线、 地物和地貌投影到球外的一个平面上， 所形成的图形，即为地图。
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3. 数学解析法
在球面与投影平面之间建立点与点的函数 关系（数学投影公式），已知球面上点位的地 理坐标，根据坐标转换公式确定在平面上的对
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陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系” 大地坐标的 起算点——大地原点。
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四、地球的三级逼近 1．地球形体的一级逼近： 大地体即大地水准面对地球自然表面的逼近。大 地体对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少 的相当。 2．地球形体的二级逼近 在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体， 称为地球椭球体，简称椭球体。它是一个规则的数学 表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地 球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。 3．地球的三级逼近 对地球形状测定后，还必须确定大地水准面与椭 球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符 合最好的一个地球椭球体——参考椭球体。 16
②
③
大地经纬度
地心经纬度
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① 天文经纬度：以大地水准面为基准面，铅垂 线为基准线，以天文经纬度表示点位坐标的 系统。
天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。 在地球上定义为本初子午面与观测点 之间的两面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。
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② 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上
x f1 ( , ) y f 2 ( , )
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三、投影方式：
1.垂直投影
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通过测量的方法获得地形图，这一过程， 可以理解为将测图地区按一定比例缩小成一 个地形模型，然后将其上的一些特征点（测 量控制点、地形点、地物点）用垂直投影的 方法投影到图纸。 因为测量的可观测范围是个很小的区域， 此范围内的地表面可视为平面，所以投影没 有变形；但对于较大区域范围，甚至是半球、 全球，这种投影就不适合。
地球椭球体基本要素 地图投影基本概念
2015-6-2
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地球椭球体基本要素
三个表面 三级逼近 三个坐标系
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地球的形状和大小
古希腊学者毕达格拉斯和亚里斯多德提出的 ，他们在两千多年前就确信地球是圆的。后因宗 教迷信和封建统治，压制了对天体的自由研究。 公元前200年，古希腊学者埃拉托色尼具体量 算出地球的周长。 17世纪末，牛顿推断地球不是圆球而是呈椭 圆球，并为以后的经纬度测量所证实。
局部定位的地球椭球体，称 为参考椭球体，国际上有多种大Βιβλιοθήκη Baidu地测量原点和参考椭球。 测量与制图工作将以参考 椭球体表面作为几何参考面，将 大地体上进行的大地测量结果归 算到这一参考面上。
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中国1952年前采用海福特（Hayford）椭 球体 ； 1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体 （坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台） ； 1980年开始采用 GRS 1975（国际大地测 量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推荐）新 参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪 流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。
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（4）特殊比例尺
变比例尺：当制图的主区分散且间隔的距离较 远时，为了突出主区和节省图面，将主区以外部分 的距离按适当比例相应压缩，而主区仍按原规定的 比例表示。
应坐标的一种投影方法。
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四、地图比例尺 解决大与小 的矛盾.
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一、地图比例尺的定义
在制图之前必须明确制定制图区域缩小的比 例，在制成的图上也应明确表示出缩小的比例。
制图区域较小时，景物缩小比率也较小，图 面上各处长度缩小的比例可以看成是相等的。此 时，地图比例尺是指图上某线段的长度L与其相应 的实地长度D之比。 1/M=L/D 其中，M是地图比例尺的分母；L是地图上线段的 长度；D为相应线段在实地的长度。
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North Pole
地球椭球体三要素： 长轴a （赤道半径） 短轴b （极半径） 椭球扁率：（a－b）/a
Polar Axis
b a
Equatorial Axis
Equator
South Pole
旋转椭球体（地球椭球体）——地球形体的二级 逼近，用于测量计算的基准面。
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地球椭球体定位：在天文大地测量中首先选取一个对一个国家 比较适中的大地测量原点，并从此点出发通过事先布设的三角 网点进行几何测量和大地经纬度测量，逐一求出各网点的垂线 偏差，再以上述的测量结果将事先设置的地球椭球面位置调整 到最理想的位置上。
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§3.2 地理坐标系
地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学 研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就 是球面坐标系统的建立。
确定地面点或空间目标的位置所采用 的参考系称为坐标系。 坐标系的种类有很多，与地图测绘密 切相关的有地理坐标系和平面坐标系。
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一、
地理坐标 —— 用经纬度表示地面点位的球面坐标。 ① 天文经纬度
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斜分比例尺（微分比例尺）：
根据相似三角形原理制成。可以量取比例尺基本长 度单位的百分之一。
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复式比例尺
由主比例尺的尺线与若干条局部比例尺的尺 线构成，分经线比例尺和纬线比例尺两种。 以经线长度比计算基本尺段相应实地长度所 作出的复式比例尺，称经线比例尺，用于量测沿 经线或近似经线方向某线段的长度； 以纬线长度比计算基本尺段相应实地长度所 作出的复式比例尺，称纬线比例尺，用于量测沿 纬线或近似纬线方向某线段的长度。
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大地水准面的意义 1. 地球形体的一级逼近： 对地球形状的很好近似，其面上高出与面 下缺少的相当。 2. 起伏波动在制图学中可忽略： 对大地测量和地球物理学有研究价值，但 在制图中，均把地球当作正球体。 3. 重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水 准面的高度）。
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三、地球体的数学表面——地球椭球面 为了便于测绘成果的计算，我们选择一 个大小和形状同它极为接近的旋转椭球面来 代替，即以椭圆的短轴(地轴)为轴旋转面成 的椭球面，称之为地球椭球面。 它是一个纯数学表面，可以用简单的数 学公式表达。
（2）文字式比例尺（Verbal statement）： “一万分之一”，“图上1厘米等于实地1公里” （3）图解比例尺(Graphical or bar scale (scale bar))： 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺
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直线比例尺： 以直线线段形式标明图上线段长度对所 对应的地面距离。
地球椭球面是不可展开的面.无论如何 展开都会产生褶皱,拉伸或断裂等无规律变形, 无法绘制科学、准确的地图.因此解决 球面与平面之间的矛盾—— 地图投影
将地球椭球面上的点转换成平面上的点。
大与小的矛盾—— 比例尺
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（格陵兰）
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二、地图投影实质： 建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标 表示）和地球表面上的点（用纬度和经度表 示）之间的函数关系，用数学式表达这种关 系，就是：
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二、地球体的物理表面——大地水准面
大地水准面——将一个与静止海水面相 重合的水准面延伸至大陆，所形成的封闭曲 面。大地水准面所包围的球体称为大地体。 大地水准面作为测量的基准面，铅垂线 作为测量的基准线。
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地球自然表面
平均海水 面
地 球椭球 面
但是由于地球内部物质分布的不均匀性，它实际是一个 起伏不平的重力等位面——地球物理表面。 因此，大地水准面也是一个不规则的曲面，它也不能作 为测量计算和制图的基准面。
的位置，用大地经度λ、大地纬度 和大地 高 H 表示。
大地经度l ：指参考椭球面上某点的大地子 午面与本初子午面间的两面角。东经为正， 西经为负。 大地纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线 （法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南 纬为负。
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本 初 子 午
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③ 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地