晶格的周期性

固体物理
固体物理学
§1.2 晶格的周期性
一、晶格与布拉伐格子
1. 晶格：晶体中原子（或离子）排列的具体形式 --周期性。
2. 布拉伐格子 (空间点阵） 主讲人： ?布拉伐格子：数学上的 抽象，是点在空间中周期性的 规则排列 ,也称空间点阵，或称晶格。
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?格点：空间点阵中周期排列的几何点。所有点在化 学、物理和几何环境上完全相同。
子晶格套构而成的。
一个原胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。
v ak
原基胞矢：???aavv12 ??av3
? ? ?
r ai v aj
v ak
sc
体积 V ? a 3
体积 V ? a 3
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bcc
晶胞：
基矢
?av ?v ?b ??cv
? ? ?
r ai v ajv ak
体积 V ? a 3
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原子个数 2
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原胞：
基矢
??av1 ? ??av2 ? ???av3
?基元：每一个格点所代表的物理实体。 布拉伐格子一共有 14 种。
sc
bcc
fcc
立方晶系的布拉伐格子
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实际晶格 = 布拉伐格子 + 基元
若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为 简单 晶格。
晶格中 所有原子在化学、物理和几何环境上都是完 全等同的。
若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离 子），那么晶格为 复式晶格。
金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含4个格点。
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1 2
3
1
1
4
41
2
1
32
4
4
1 2
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A类碳原子的共价键方向
B类碳原子的共价键方向
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金刚石结构每个固体物理学原胞包
含1个格点,基元由两个碳原子组成,位于
（000）和
?? 1 ?4
1 4
1 4
?? ?
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含1 个格点。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
Cl-的坐标为
?? ?
1 2
1 2
1 2
?? ?
，
Cs+的坐标为(000) 。
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(e)钙钛矿结构
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Ba O Ti
钙钛矿的氧 八面体结构
钡、钛和3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由5个简立方
例：二维三角晶格
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三、简单晶格的原胞
晶胞的三个棱边矢量用
a?
v ，b
v ，c
表示，称为轴矢
（或晶胞基矢），其长度a，b，c称为晶格常数。
下面对结晶学中属于立方晶系的布拉格原胞简立方、 体心立方和面心立方的固体物理原胞进行分析。
晶胞：
?av
?
r ai
?v 基矢?b
??cv
? ?
v aj
简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子 组成的晶格却不一定是简单晶格。如 金刚石和hcp晶格 都是复式晶格。
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复式晶格
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SC + 双原子基元
fcc + 双原子基元
由同种原子构成的金刚石晶格也是复式晶格。
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hcp、金刚石是复式晶格
嵌套 ？
复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简 单晶格相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌 套而成。
基元由一个Cl-和一个Na+组成。
Cl-的坐标为
?? ?
1 2
1 2
1 2
?? ?
，
Na+的坐标为 (000) 。
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(d)氯化铯结构
Cl ?
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Cs ?
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的长 度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉伐晶格为 简立方，氯化铯结构属简立方。
r ai v ajv ak
体积 V ? a 3
原子个数 4
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原胞：
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基矢 体积
??av1 ? ??av2 ? ???av3
? ? ?
a
r (i
?
2
a
(
v j?
2
a
v (k
?
2
v j) v k) r i)
V
?
v a1
?av2
?
v a3
?
a3 4
原子个数 1
由一个顶点向三个面心引基矢。
? ? ?
a
r (i
2
a (? 2
a
r (i
2
? r i
?
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v j
? v j
? v j
?
v k)
v ? k) v k)
体积
V
?
v a1
?av2
?
v a3
?
a3 2
原子个数 1
由一个顶点向三个体心引基矢。
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bcc原胞示意图
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fcc
晶胞：
基矢
?av ?v ?b ??cv
? ? ?
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二、基矢和原胞 ----描述周期性
a2 0 a1
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ur 1. 格矢: Rl
2. 基矢：
ur r r r 任一格矢 Rl ? l1 a1 ? l2 a 2 ? l3 a 3 ，
rr r 如果所有l1、l2和l3均为整数，则称这组坐标基 a1 、a2 和 a3
为基矢。对于一个空间点阵，基矢的选择不是唯一的，可 以有多种不同的选择方式。
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3. 原胞
? 空间点阵原胞
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? 空间点阵最小的重复单元 ? 每个空间点阵原胞中只含有一个格点 ? 对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法 （ Wigner-Seitz 原胞），但原胞的体积均相等
rr r 原胞体积： va ? a1 ?a2 ? a3 ? 晶格原胞 ＝ 空间点阵原胞＋基元
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a2 a1
a4 a3
a6
a5
a8 a7
固体物理学原胞
维格纳--塞茨单胞
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4. 晶胞
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除了周期性外，每 种晶体还有自己特殊的 对称性 。为了同时反映 晶格的对称性，往往会 取最小重复单元的一倍 或几倍的晶格单位作为 原胞。结晶学中常用这 种方法选取原胞，故称 为结晶学原胞，简称晶 胞（也称为单胞）。
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四、复式晶格的原胞
复式格子的原胞：即是相应简单 晶格的原胞，一个原胞中包含各 种等价原子各一个。
(a) 六角密堆积结构
一个原胞中包含A层和B层原子各 一个，共两个原子。
a1 ? a2
两者之间的夹角为1200
hcp
c ? 1.633a1
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(b)金刚石结构
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cc 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4 的长度套构而成,其布拉伐格子为面心立方。
处。
(c)氯化钠结构
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
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Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。
其布拉伐晶格为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。 氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的 选取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4 个格点。