必修五不等式专题复习题

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(完整版)必修五第三章不等式练习题(含答案),推荐文档

等式练习题第一部分1.下列不等式中成立的是(7.在R 上定义运算 :xy x(1 y)，若不等式(x a)(x a) 1对任意实数x 成立，贝U 实数a 的取值范围是().A. {a| 1 a 1}B .{a| 0 a 2}1 3 C {a| 1 a £} D.{a| 3 11-a -}2 28已知正实数x,y 满足x 2y4，则丄 4x 丄的最小值为y•9 .设x, y 为正实数，aJ x 22xy y ,bpjxy,c xy .试比较a 、c 的大小.A. b a C. D. a cB. b c a b ca c bA.若a 则ac 2 bc 2 .若 a b ，贝U a 2b 2 C.若aab b 21.若 a b 0，贝U -a2.已知a 1 3,b14,(A). c a3.已知a,b,c 满足c (B)3 5a b3 4，则a,b,c 的大小关系是()(C) b a c a 且ac 0，下列选项中不一定(D) c成立的是((A ) ab ac(B )(C) cb 2 ab 2(D) ac(a c) 04 .规定记号“O”表示一种运算，定义若1O k 2<3,则k 的取值范围为A . 1 k 1B aO b^/ab a (a , b 为正实数)，5 .若a,b,c 为实数, 则下列命题正确的是(A.若a 则ac 2bc 2B.若a ab b 2C.若aD.若a 1bab6.设a0.5. I,b log 3,c log 4 2，则(6.226函数y = 3x + x^+1的最小值是（）A.10 .已知不等式ax 2 5x 2 0的解集是M .（1）若2 M ，求a 的取值范围;(2)若 M x2x2，求不等式ax 2 5x a 2 10的解集.第二部分1.给出以下四个命题:1 12 2①若a>b ,则-<匚; ②若ac >bc ，则a>b ；a b ③若 a>|b|，则 a>b ； ④若 a>b ,则 a 2>b 2.其中正确的是（A.②④ B .②③ C .①② D ①③2.设 a , b € R, A. b -a>0 B若a -1 b|>0，贝U 下列不等式中正确的是（ .a 3+ b 2<0)C . b + a>0D . a — b <0 3.在下列函数中，最小值是 2的是（） A.x + 2 .y =尸(x >0)C. y = sin x + cscx , x € (0 ,ny )4. 已知log a （a 2+ 1）vlog a 2a<0，则a 的取值范围是（ A. (0,1) B ・（扌,1)C. (0, 2)5. f (x) = ax 2+ ax - 1 在 R 上满足 f (x)<0, 则a 的取值范围是（）A. (-X, 0]B. (-X,- 4)C. (-4,0)D. (-4,0]B.C.6.41 17.设a>0, b>0.若{3是3与3的等比中项，则o +b 的最小值为( )A. 8D-4&已知当x>0时，不等式x 2— m)+ 4>0恒成立，则实数m 的取值范围是 9.已知 A = {x|x 2— 3x + 2<0},{x|x 2— (a + 1)x + a <0}.⑴若A B,求a 的取值范围； ⑵若B? A 求a 的取值范围1 910.已知x>0, y>0,且x + y = 1,求X + y 的最小值.11.已知a , b , c 都是正数，且a +b + c = 1.求证：(1 — a)(1 — b)(1 — c) >8abc. 证明•/ a 、b 、c 都是正数，且a +b + c = 1,•-1 — a = b + c 寸 bc>0, 1—b=a+c >2ac>0, 1 — c = a + b 寸 ab>0.••• (1 — a)(1 — b)(1 — C) •^Oc •2ab= 8abc.212.不等式 kx — 2x + 6kv0(k 工0).(1) 若不等式的解集为｛x|x< — 3或x> — 2｝，求k 的值； (2) 若不等式的解集为R,求k 的取值范围.B. 4C. 11. D. 【解析】对于A ,若c 不成立；对于C,若a2. D 【解析】参考答案第一部分,显然ac 2b 0，则 a 2;故选Dbc 2不成立；对于B ,若b a 0，则a 2ab b 2b 2，所以C 错；对于D,若a b33 4 2 3. C 【解析】 1所以c 综上,所以答案为：D.Qa c, ac 0, 0,a (1) Qb c,a 0,ab ac;⑵ Q b a,0,0, c b 0 ；(3) Q c a,,Q ac 0, ac a0 ■⑷b a 且c 0, a 0, 0或b 0或b 0, cb 2和ab 2的大小不能确定，即C 选项不一定成立■故选C.4. A 【解析】根据题意1e k 2 1 k 2 3化简为k 2绝对值如下: 原不等式为 k 2k 2 0解得2 0时, 原不等式为 0成立，所以k k 2 0 ,对k 分情况去 k 1，所以0 k 原不等式为 k 2k 2 0，解得 1 k 2，所以1 综上， 5. B 【解析】对于所以选择 A. 当c 0时, 0，所以1a 所以a b，故D 错，所以选b a两边同时除以 A, ab 故A 错；对于C, 不等式不成立， 11，故C 错;对于D,因为a b 0 , b因为a 1bB .6. A【解析】••• a 20.5, b log 3 , c log42 , 1>2 0.51log 3 >1, Iog 42= -b >a >c .故选: 27. C8. 1 【解析】【解析】根据题意化简不等式为（X a ）（1 (X a)) 1,即 X 2 X(a 2 a 1) 0 对任意实数X 成立,所以根据二次恒成立 0,解得（当且仅当“X y 4”时，取“ ”），故最小值为1.39.a 2 X 22 2 2 22 2xy y 2, c 2X 22xy y 2c 2 a 2xy ；X 0, y0, xy 0，即 c a ;10. (1) a12 (2) X3 X 1【解析】（1）由2 M ，说明元素2满足不等式ax 2 5x 2 0，代入即可求出a的取值范围；（2）由M x2 X 2，2,2是方程ax 25x 20的两个根，由韦达定理即可求出a 2，代入原不等式解一元二次不等式即可；(1)v 2 M 2，二 a 2 5 2 20，••• a 2(2)v Mx1 X 2 ,••• 1,2是方程ax 2 5x 20的两个根，11 y X 8 yX y 1 4 5 25 21 / y X 4点 1 -1 8尸y4x A.由X 2y 4化为4x4 X 2 4x1 2x1 2xX 2y 4，因为o,y所以1 8所以 X + y = (x+ y)( 1+ 9) = y+ — + 10>2 ' 八 X y X y y 9x 1 9当且仅当x =—时，等号成立，又因为X +y = 1.所以当 x = 4, y = 12 时，(X + y) min = 16.•••由韦达定理得2 1/•不等式ax 2 5x a0即为：2x 2 5x 3 0其解集为X第二部分2.解析由 a —|b|>0? |b|va? — a<b<a? a + b>0,故选 C.3.解析X 2y=- + -的值域为(一X,— 2] U [2，+X);X + 2 --- 1y〒=也〒 + k >2(X >0)；1y = SinX + CSCX = SinX + 茹>2(0<Sin X <1)；y = 7x + 7—x>2（当且仅当x = 0时取等号）.7.解析 V s 是 3a 与 3b 的等比中项？ 3a •3b= 3a + b= 3? a + b = 1, v a>0,b>0, /^ab1 1 a + b 1 1 「a +萨石=Ob ^ 1=4.411.解析因为 x>0, y>0, X + 9= 1,9X-—+ 10= 16. y。

不等式必修5试题及答案

不等式必修5试题及答案一、选择题1. 若不等式$ax^2 + bx + c > 0$的解集为$(-1, 2)$，则a的值是：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：B2. 已知$x^2 - 5x + 6 < 0$，求x的取值范围。

A. $(-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$B. $(2, 3)$C. $(-\infty, 1) \cup (4, +\infty)$D. $(1, 4)$答案：B二、填空题1. 已知$\frac{1}{x} > 0$，则x的取值范围是________。

答案：$x > 0$ 或 $x < 0$（x不能为0）2. 若不等式$2x - 3 > 5$的解集为$(4, +\infty)$，则x的取值范围是________。

答案：$x > 4$三、解答题1. 解不等式$3x^2 - 5x - 2 < 0$。

答案：首先，找到方程$3x^2 - 5x - 2 = 0$的根，通过求解得到$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \frac{5 \pm 7}{6}$，即$x = 2$和$x = -\frac{1}{3}$。

因此，不等式的解集为$(-\frac{1}{3}, 2)$。

2. 已知$a > 0$，$b > 0$，且$a + b = 2$，求$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的最小值。

答案：利用基本不等式，我们有$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =\frac{1}{2}(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{1}{2}(2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b})$。

(完整word版)必修五不等式知识点典型例题,推荐文档

高中数学必修5第三章不等式复习一、不等式的主要性质：(1) 对称性： a b b a (2) 传达性： a b,bca c(3) 加法法例： a b a c b c ； a b,c d a c b d (4) 乘法法例： ab,c 0ac bc ； ab,cacbcab0, c d 0ac bd(5) 倒数法例： ab,ab1 1a b(6) 乘方法例： a b 0 a nb n (nN * 且 n 1)(7) 开方法例： abnanb (n N * 且 n1)二、一元二次不等式 ax 2bxc0 和 ax 2 bx c0( a0) 及其解法y ax 2bx cy ax 2 bxc2bx ca( x x 1 )( x x 2 )y axa( x x 1 )( x x 2 )二次函数y ax 2bx c（ a 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax 2bx cb 无实根a 0 的根 x 1 , x 2 ( x 1 x 2 )x 1 x 22aax 2bx c(a 0)的解集ax 2bx c 0(a 0)的解集１ . 一元二次不等式先化标准形式（ a 化正）２ . 常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式顺口溜：在二次项系数为正的前提下： “大鱼”吃两边， “小鱼”吃中间三、均值不等式1. 均值不等式：假如a,b 是正数，那么a b (当且仅当时取 " " 号).abab22、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等3、均匀不等式：（a、b为正数），即 a 2 b 2 a bab2（当 a = b 时取等）2211a b四、含有绝对值的不等式1．绝对值的几何意义：| x |是指数轴上点x 到原点的距离；| x1x2 |是指数轴上x1, x2两点间的距离a a0代数意义： | a | 0a0a a02、假如a0, 则不等式：| x | a x a或 x a| x | a x a或 x a | x | a a x a| x | a a x a4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号五、其余常有不等式形式总结：①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f ( x )0 f ( x) g( x ) 0 ；f ( x )0 f ( x )g( x ) 0g( x )g( x)0g( x )②指数不等式：转变为代数不等式a f ( x ) a g ( x ) ( a 1) f ( x ) g( x ) ； a f ( x ) a g ( x ) (0 a 1) f ( x ) g( x)③对数不等式：转变为代数不等式f ( x)0 f ( x )0 log a f ( x ) log a g( x)( a1)g( x )0log a f ( x ) log a g( x )(0 a 1)g( x )0f ( x)g( x ) f ( x )g( x )④高次不等式：数轴穿根法 :奇穿，偶不穿例题：不等式( x23x2)( x4) 20 的解为（）x3A．－ 1< ≤1 或x≥2B．<－ 3 或 1≤x≤ 2x xC．x=4 或－ 3<x≤ 1 或x≥2D．x=4 或x<－3 或 1≤x≤ 2六、不等式证明的常用方法做差法、做商法七、线性规划1、二元一次不等式（组）表示的平面地区直线 l : Ax By C 0 （或0 ）：直线定界，特别点定域。

数学必修五不等式基础测试(不包含线性规划)

《必修五》第三章不等式测试卷姓名：一、选择题（每题4分,共32分。

）（）1.若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是A ．c b c a +≥+B ．bc ac >C ．ba 11< D ．0)(2≥-cb a （）2.若41,21<<-<<b a ，则b a -的取值范围为A ．60<-<b aB ．02<-<-b aC ．20-<-<b aD ．33<-<-b a （）3.不等式0)3)(1(>--x x 的解集为A. }1|{<x xB. }3|{>x xC. }31|{><x x x 或D. }31|{<<x x （）4.不等式0322>-+x x 的解集是A ．}31|{<<-x xB ．}31|{>-<x x x 或C ．}13|{<<-x x D. }13|{>-<x x x 或（）5.二次不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是A.⎩⎨⎧>∆>00aB.⎩⎨⎧<∆>00aC.⎩⎨⎧>∆<00aD.⎩⎨⎧<∆<00a （）6．下列结论正确的是 A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且 B ．21,0≥+>x x x 时当 C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,42+<<时无最小值（）7．已知正数x 、y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．10（）8．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是（21-，31），则a b +的值是 A ．10 B ．10- C ．14 D ．14-二、填空题（每小题4分，共16分）9. 已知10<<x ，则函数)21(x x y -=的最大值是_____ __.10.已知2>x ，则y ＝21-+x x 的最小值是_____ __. 11.已知0<x ，则x x y 4+=得最大值是_____ __. 12.14、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是_____ __.三、解答题（6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

完整word版)高中数学必修五基本不等式练习题

完整word版)高中数学必修五基本不等式练习题基本不等式练题一、单项选择1.已知$x>0$，函数$y=\frac{4}{x}+x$的最小值是（）A．4.B．5.C．6.D．82.在下列函数中，最小值为2的是（）A $y=x+1$B $y=3x+3-x^2$C $y=\log_{10}x+\frac{11}{\pi}$D $y=\sin x+\log_{10}(x\sin^2x)$3.已知$\frac{5}{3}x+\frac{3}{5}y=1(x>0,y>0)$，则$xy$的最小值是（）A．15.B．6.C．60.D．14.已知$x>1,y>1$且$xy=16$，则$\log_2x\cdot\log_2y$（）A．有最大值2.B．等于4.C．有最小值3.D．有最大值465.若$a,b\in\mathbb{R}$，且$ab>0$，则下列不等式中恒成立的是（）A．$a^2+b^2>2ab$。

B．$a+b\geq2ab$。

C．$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{2}{a+b}$。

D．$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2$6.若正数$a$、$b$满足$ab=a+b+3$，则$a+b$的取值范围是（）A．$[9,+\infty)$。

B．$[6,+\infty)$。

C．$(0,9]$。

D．$(0,6)$7.已知正项等比数列$\{a_n\}$满足$a_7=a_6+2a_5$。

若存在两项$a_m$,$a_n$使得$a_ma_n=4a_1$，则$(19+\sqrt{17})$的最小值为（）A．3456.B．811.C．1417.D．198.设$0<b<a<1$，则下列不等式成立的是()A．$a+b>1$。

B．$a+b1$9.已知$a+2b=2(a,b>0)$，则$ab$的最大值为( )A。

必修5不等式练习题

必修5不等式练习题一、基础题1. 已知 $a > b$，求证：$a b > 0$。

2. 若 $x > 3$，则 $2x + 1$ 与 $3x 2$ 的大小关系是？3. 解不等式：$2(x 3) > 3(x + 1) 5$。

4. 若 $a$、$b$ 是实数，且 $a < b$，则 $a^2$ 与 $b^2$ 的大小关系是？5. 已知 $x$ 为正数，求证：$x + \frac{1}{x} \geq 2$。

二、中等题1. 解不等式组：$\begin{cases} 2x 3y > 6 \\ x + 4y \leq 8 \end{cases}$。

2. 若 $a$、$b$、$c$ 是实数，且 $a < b < c$，则 $a^3$、$b^3$、$c^3$ 的大小关系是？3. 已知 $x$、$y$ 为实数，且 $x^2 + y^2 = 1$，求证：$x + y \leq \sqrt{2}$。

4. 解不等式：$\frac{1}{x 2} > \frac{2}{x + 3}$。

5. 若 $a$、$b$ 是正数，且 $a \neq b$，求证：$\frac{a + b}{2} > \sqrt{ab}$。

三、提高题1. 已知 $x$、$y$、$z$ 为实数，且 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$，求证：$x + y + z \leq \sqrt{3}$。

2. 解不等式：$|2x 5| > 3$。

3. 若 $a$、$b$、$c$ 是等差数列，且 $a > 0$，$b > 0$，$c > 0$，求证：$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq\frac{9}{a + b + c}$。

4. 已知 $x$、$y$ 为实数，且 $x^2 + y^2 = 4$，求 $x +y$ 的取值范围。

高中数学必修5基本不等式精选题目（附答案）

高中数学必修5基本不等式精选题目（附答案）高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤? ????a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <="">D ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：? ????1a －1? ????1b －1? ??1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<="">x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bc< p="">C.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lg< p="">a＋b2＝R.所以P<q<r.< p="">3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得? ????2b a ＋a 2b ＋? ????3c a ＋a 3c ＋? ????3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴? ????2b a ＋a 2b －1＋? ????3c a ＋a 3c －1＋? ????3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得? ????1a －1? ????1b －1? ????1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·?2x ＋3y 22＝16·? ????622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·? ??1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6? 2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6? ????2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6? ?5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．练习：1.解析：选B A 中，当0<="">lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤?a ＋b 22≤? ??422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝? ????2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当 a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4? ??900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )? ????1x ＋3y ＝4＋? ????y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.</q<r.<></lg<></bc<>。

高中数学必修五不等式知识点+练习题含答案解析(非常详细 )

第一部分必修五不等式知识点整理第三章不等式1.不等式的性质:① c a c b b a >⇒>>,② ,,c b c a R c b a +>+⇒∈>推论:d b c a d c b a +>+⇒⎭⎬⎫>>③ 000;0;0>>⇒⎭⎬⎫>>>><⇒⎭⎬⎫<>>⇒⎭⎬⎫>>bd ac d c b a bc ac c b a bc ac c b a④ 00;00>>⇒>>>>⇒>>n n n n b a b a b a b a2.一元二次不等式及其解法:①.()c bx ax x f c bx ax c bx ax ++==++>++222,0,0注重三者之间的密切联系。

如：2ax bx c ++＞0的解为：α＜x ＜β, 则2ax bx c ++＝0的解为12,x x αβ==；函数()2f x ax bx c =++的图像开口向下，且与x 轴交于点(),0α，(),0β。

对于函数()c bx ax x f ++=2，一看开口方向,二看对称轴，从而确定其单调区间等。

②.注意二次函数根的分布及其应用.如：若方程2280x ax -+=的一个根在（0，1）上，另一个根在（4,5）上，则有(0)f ＞0且(1)f ＜0且(4)f ＜0且(5)f ＞03.不等式的应用： ①基本不等式：当a ＞0,b ＞0且ab 是定值时，a+b 有最小值；当a ＞0,b ＞0且a+b 为定值时，ab 有最大值。

②简单的线性规划:()00>>++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的右方区域.()00><++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的左方区域①.找出所有的线性约束条件。

②.确立目标函数。

必修五不等式练习题及参考答案

必修五不等式练习题及参考答案一、选择题。

1．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（）。

A. 10B. 10-C. 14D. 14-2．下列各函数中，最小值为2的是 ( D )A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈C．2y = D．1y x =3、一元二次不等式02>++n mx mx 的解集是{}12|<<-x x ，则m ，n 的值分别是（） A 、3,23=-=n m B 、3,23==n mC 、3,23-==n m D 、3,23-=-=n m4、不等式0322>-+x x 的解集是（）A.{x|-1＜x ＜3}B.{x|x ＞3或x ＜-1}C.{x|-3＜x ＜1}D.{x|x>1或x ＜-3}5、若对于任何实数，二次函数y=a x 2-x+c 的值恒为负，那么a 、c 应满足（）A 、a ＞0且a c ≤41B 、a ＜0且a c ＜41C 、a ＜0且a c ＞41D 、a ＜0且a c ＜06、在坐标平面上，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤020,3y x y x x 所表示的平面区域的面积为（）A ．28B ．16C ．439D ．1217、不等式6)23)(5(-≥-+x x 的解集是（）A 、}29,1|{≥-≤x x x 或B 、}291|{≤≤-x xC 、}1,29|{≥-≤x x x 或 D 、}129|{≤≤-x x8．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( ) A ．最小值21和最大值 1 B ．最大值1和最小值43 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值2而无最小值 9、不等式1213≥--xx 的解集是（） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243|x x C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432|x x x 或D ．{}2|<x x 10、关于x 的方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正的实根,则a 的取值范围是（）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－111、、对于任意实数x ，不等式04)2(2)2(2<----x a x a 恒成立，则实数a 取值范围是( )A 、()2,∞-B 、(]2,∞-C 、（－2,2）D 、(]2,2- 12、的取植范围是的两侧，则）在直线，）和（，点（a a y x 0236413=+--（） A ．24,7>-<a a 或 B. 24,7=-=a a 或C. 247<<-aD. 724<<-a二填空题。

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。

高中必修5不等式练习题及答案

［基础训练A组］一、选择题1.若一2/+5兀一2>0,则丁4/-4・丫 + 1+2卜-2|等于（）A. 4x —5B. — 3C. 3D. 5 —4兀2.函数y=log丄（x+古+1）（x > 1）的最大值是（）A. —2B. 2C. —3D. 33人一13.不等式一的解集是（）2—x3 3 3A. {x|—WxW2}B. {x| —Wx V2}C・ {x|x>2 或x W —} D. {x|xV2}4 4 44.设a>l>b>-l,则下列不等式中恒成立的是（）A. — < —B. — > —C・ a>b* D・ £>2ba h a b5.如果实数x，y 满足x2 3+y J=l,则（1—xy）（1+xy）有（）1 3A.最小值一和最大值1B.最大值1和最小值二2 43C.最小值；而无最大值D.最大值1而无最小值46.二次方程/+ （a s+l）x+a-2=0,有一个根比1尢另一个根比一1小,则a的取值范围是（)A・一3 <a<l B. -2<a<0 C. -l<a<0 D. 0<a<2二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）x > -21.不等式组、r的负整数解是______________________O兀>一3■2.一个两位数的个位数字比十位数字大2,若这个两位数小于30,则这个两位数为__________ oV2 +13.不等式一<0的解集是 _______________________ o2-x4.当尤= ____________ 时，函数y =，（2-小）有最_______值，其值是___________ 。

5・若f（n） = V«2+l 一亿g（n）=舁一J宀1,0（〃）=丄⑺已N）,用不等号连结起来为______2n2 不等式---------- ----------- V0的解集为R,求实数m的取值范围。

高中数学必修五第3章不等式经典习题(含答案)

1、若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为_________.2、不等式0212<---x x 的解集为 .3、解不等式2024x x <--<.4、若不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解只有2-，问k 应取怎样的值？ 5、已知全集U R =，集合2{|20}A x x x =->，则U A ð等于（）（A ）{}|02x x ≤≤ （B ）{}|02x x << （C ）{}|02x x x <>或（D ）{}|02x x x ≤≥或6、（2010全国卷2文数）不等式32x x -+＜0的解集为（）（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或（D ）{}3x x > 7、不等式252(1)x x +≥-的解集是_________. 8、解关于x 的不等式：123x x +≥-. 9、（杭州质检）已知关于x 的不等式220(1)x x a x a+>-++. （1）当2a =时，求此不等式的解集；（2）当2a >-时，求次不等式的解集. 10、（四川内江模拟）已知函数2()x f x ax b=+(a b 、为常数）且方程()12f x x =0-+有两个实根123,4x x ==.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设1k >，解关于x 的不等式：(1)()2k x k f x x +-<-. 11、（2010全国卷1文数）不等式22032x x x ->++的解集是 . 12、记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q . （1）若3a =，求P ；（2）若Q P ⊆,求正数a 的取值范围.13、设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数23z x y =+的最小值为（）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）2314、（2010重庆文数）设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为（）（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）615、(2010浙江文数)若实数,x y 满足不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为（）（A ）9 （B ）157 （C ）1 （D ）71516、设,x y R ∈,且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值等于（）（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）9 17、若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23x y +的最小值是 .18、已知实数,x y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则目标函数2z x y =-的最小值是___________.19、（2010安徽文数）设,x y 满足约束条件260,260,0,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =+的最大值是（A ）3 （B ） 4 （C ） 6 （D ）820、（2010江苏卷）设实数,x y 满足2238,49x xy y ≤≤≤≤，则34x y 的最大值是 21、已知,x y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的最大值和最小值分别是（）（A ）13，1 （B ）13，2 （C ）13，45 （D5 21、函数1(0,1)x y aa a -=>≠的图象恒过顶点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>，则11m n+的最小值为_________. 22、已知：,a b 均为正数，142,a b+=则使a b c +≥恒成立的c 的取值范围是_______. 23、若0,0,,a b a b >>得等差中项是12，且11,a b a bαβ=+=+，则αβ+的最小值为__________.24（海口调研）若正实数,x y 满足条件ln()0x y +=，则11x y+的最小值是_______. 25、当1x >时，函数11y x x =+-的最小值为_________. 26、设0x >，则1322y x x =--+的最大值等于__________.。

人教版高中数学必修5不等式练习题及答案

第三章不等式一、选择题1．假设a ＝2，b ＝log π3，c ＝log πsin 52π，则( )． A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a2．设a ，b 是非零实数，且a ＜b ，则以下不等式成立的是( )． A ．a 2＜b 2B ．ab 2＜a 2bC ．21ab＜b a 21 D ．a b ＜ba3．假设对任意实数x ∈R ，不等式｜x ｜≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ＜－1B ．｜a ｜≤1C ．｜a ｜＜1D ．a ≥14．不等式x 3－x ≥0的解集为( )． A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[0，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，0]∪[1，＋∞)5．已知f (x )在R 上是减函数，则满足f (11-x )＞f (1)的实数取值范围是( )． A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1，2)6．已知不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中( )．A B C D7．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧yx y x y x 2＋＋－则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．设变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧5－－31＋－3－＋y x y x y x 设y ＝kx ，则k 的取值范围是( )．A ．[21，34] B ．[34，2] C ．[21，2] D ．[21，＋∞) ≥0 ≤1≥1 ≥0≥1 ≤1 (第6题)9．已知a ，b ∈R ，则使｜a ｜＋｜b ｜≥1成立的一个充分不必要条件是( )． A ．｜a ＋b ｜＜1 B ．a ≤1，且b ≤1 C ．a ＜1，且b ＜1D ．a 2＋b 2≥110．假设lg x ＋lg y ＝2，则x1＋y 1的最小值为( )． A ．201B ．51 C ．21 D ．2二、填空题11．以下四个不等式：①a ＜0＜b ，②b ＜a ＜0，③b ＜0＜a ，④0＜b ＜a ，其中使a 1＜b1成立的充分条件是．12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧-11 则不等式xf (x )＋x ≤4的解集是____________．13．假设不等式(－1)na ＜2＋nn 1)1(+-对任意正整数n 恒成立，则a 的取值范围是．14．关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a1＜0(a ＞0)的解集为__________________． 15．假设不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是空集，则a 的取值范围是．三、解答题16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2194)(x －，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，求f (x )的最小值．(x ＞0)，(x ＜0)．17．甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，假设m≠n，问甲乙两人谁先到达指定地点?18＊．已知关于x的不等式(ax－5)(x2－a)＜0的解集为M．(1)当a＝4时，求集合M；(2)当3∈M，且5∈M时，求实数a的取值范围．第三章不等式参考答案一、选择题 1．A解析：三个以上的实数比较大小，可以先估算，进行分类(与0比较或与1比较)，再应用不等式性质或作差法．因为π＞1，0＜sin52π＜1，所以c ＝log π sin 52π＜0．又因为3＞1，所以b ＝log π3＞0，而a ＝2＞0，故c 最小，只需再比较a 与b 的大小．由指数函数的性质知，2＞1而且0＜log π 3＜log π π＝1，所以a ＞b ，即a ＞b ＞c ． 2．C解析：比较两个实数的大小，可采用作差法，也可用特殊值排除法，以下用作差法． ∵a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，当a ＜b ，且a ，b 均为负数时，(a ＋b )( a －b )＞0，a 2 ＞b 2，排除A ． ∵ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，由于b －a ＞0，当a ，b 同号时(比方a ＝1，b ＝2)，ab (b －a )＞0，ab 2＞a 2b ，排除B ．∵21ab －b a 21＝22－b a b a ＜0，即21ab ＜b a 21．同样可以用作差法判断a b ＜ba是错误的． 3．B解析：由于不等号两边的函数比较熟悉，可以尝试数形结合法．令f (x )＝｜x ｜，g (x )＝ax ，画出图象如右图，由图可以看出｜a ｜≤1． 4．D解析：用数轴标根法求解． x 3－x ≥0可化为 x (x －1)(x ＋1)≥0，如图，原不等式的解集为{x ｜－1≤x ≤0，或x ≥1}． 5．C解析：关键是利用单调性去掉“f ”，转化为不含“f ”的不等式求解．(第3题)(第4题)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (11-x )＞f (1)⇔11-x ＜1⇔12--x x ＞0⇔x ＜1或x ＞2． 6．B解析：首先根据方程ax 2－x －c ＝0的根确定a ，c ，再求出f (－x )．由已知，方程ax 2－x －c ＝0的两个实根为－2和1，则(－2)＋1＝a 1，(－2)×1＝ac -，解得a ＝－1，c ＝－2，则f (x )＝－x 2－x ＋2，f (－x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －21)2＋49，由开口方向和对称轴位置判断为B ．7．D解：先画可行域如图．作直线l 0:5x ＋y ＝0，平行移动直线l 0至直线l ，从图形中可以发现，当直线l 经过平面区域内的点A 时，直线在y 轴的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧1＝＋1＝2＋y x y x ，解得⎩⎨⎧0＝1＝y x ，即A (1，0)， ∴z ＝5×1＋0＝5．(第7题)8．C解析：k 的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率．解: 先画出题中不等式组所表示的区域(如图)，可以看出k OA 最小，k OB 最大．由⎩⎨⎧⇔⎩⎨⎧1＝2＝0＝3－＋0＝5－－3y x y x y x 得A (2，1)， k OA ＝－20－1＝21；由⎩⎨⎧⇔⎩⎨⎧2＝1＝0＝3－＋0＝1＋－y x y x y x 得B (1，2)， k OB ＝0－10－2＝2．∴21≤k ≤2，即k ∈[21，2]．9．D分析:如果①：某选项能推出|a |＋|b |≥1，则充分性成立；还需要②：|a |＋|b |≥1不能推出该选项，①和②满足，该选项就是充分不必要条件．解：假设a 2＋b 2≥1，则(|a |＋|b |)2＝a 2＋2|ab |＋b 2≥a 2＋b 2≥1，|a |＋|b |≥1，充分性成立．但|a |＋|b |≥1时，未必有a 2＋b 2≥1，例如21＋21＝1，然而221⎪⎭⎫ ⎝⎛＋221⎪⎭⎫⎝⎛＜1．10．B解：∵lg x ＋lg y ＝2，∴xy ＝100，且x ＞0，y ＞0， ∴x 1＋y 1≥2y x 11⋅＝xy2，即x 1＋y 1≥51，当且仅当⎩⎨⎧100＝＝xy yx x ＝10，y ＝10时取等号．二、填空题 11．①②④．解：a ＜0＜b ⇒a 1＜0＜b1，充分性成立； b ＜a ＜0⇒ab ＞0，b －a ＜0⇒aba b －＜0，即a 1＜b 1，充分性成立；b ＜0＜a ⇒b 1＜0，a1＞0⇒a 1＞b 1，充分性不成立； (第8题)0＜b ＜a ⇒ab ＞0，b －a ＜0⇒a 1＜b1，充分性成立． 12．{x ｜0＜x ≤2，或x ＜0}．解析：由于f (x )是分段函数，所以要分别对每一段(分别在x ＞0，x ＜0条件下)解不等式．由⎩⎨⎧ ⇔⎩⎨⎧ ⇔0＜x ≤2，由⎩⎨⎧ ⇔⎩⎨⎧ ⇔x ＜0， ∴0＜x ≤2或x ＜0． 13．［－2，23)．解析：首先处理(－1)n ，需要对n 的奇偶性进行讨论．假设n 为奇数，原不等式⇔－a ＜2＋n 1⇔ a ＞－(2＋n 1)，即a ＞－(2＋n1)对任意正奇数n 恒成立，因为－(2＋n 1)＝－2－n1＜－2，所以只需a ≥－2．假设n 为偶数，原不等式⇔a ＜2－n 1，即a ＜2－n1对任意正偶数n 恒成立，只需a ＜(2－n 1)最小值＝2－21＝23，即a ＜23．所以假设对任意正整数n 不等式恒成立，以上应同时满足，故－2≤a ＜23． 14．{x ｜1＜x ＜a ＋a1}．解析：首先判断方程x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a1＝0(a ＞0)是否有实数根，实数根大小是否确定．x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a 1＜0可化为(x －1)[x －(a ＋a1)]＜0， ∵a ＞0，a ＋a 1≥2＞1，∴1＜x ＜a ＋a1． 15．{x ｜－1＜a ＜3}．解析：把问题等价转化为“恒成立”问题． x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是空集， ⇔ x 2－2x ＋3＞a 2－2a －1在R 上恒成立，x ＞0 xf (x )＋x ≤4 x ＞0x ·1＋x ≤4 x ＜0 xf (x )＋x ≤4 x ＜0x ·(－1)＋x ≤4⇔ x 2－2x －a 2＋2a ＋4＞0在R 上恒成立．因为抛物线y ＝x 2－2x －a 2＋2a ＋4开口向上，故只需△＝4－4(－a 2＋2a ＋4)＜0，即x 2－2x ＋3＜0⇔－1＜a ＜3．三、解答题16．解析：f (x )＝(x －1)2＋2194)(x －－1≥294－1＝31．当x －1＝2194)(x －时，即x ＝1±36时，f (x )取到最小值31． 17．分析：行走时间短者先到达指定地点，问题的实质是比较两个实数(式子)的大小，用作差法．解：设从出发地到指定地点的路程是s ，甲乙两人走完这段路程所用的时间分别为t 1，t 2，则s n t m t ＝2＋211，2＝2＋2t n s m s ，所以t 1＝n m s ＋2，t 2＝mnsn m 2＋)(． t 1－t 2＝mns n m n m s 2＋－＋2)(=)(］)([n m mn s n m mn ＋2＋－42)()(n m mn s n m ＋2－＝－2，因为s ，m ，n 均为正数且m ≠n ，所以t 1－t 2＜0，即t 1＜t 2，所以甲比乙先到达指定地点．18＊．解：(1)当a ＝4时，(ax －5)(x 2－a )＜0⇔(x －45)(x －2)(x ＋2)＜0，由数轴标根法得x ＜－2，或45＜x ＜2．故M ＝{x ｜x ＜－2，或45＜x ＜2}． (2)3∈M ，且5∈M⎪⎩⎪⎨⎧⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧⇔))(())((25－1－9－35－a a a a ⎪⎩⎪⎨⎧⇔ ⇔1≤a ＜35，或9＜a ≤25．故实数a 的取值范围是{x ｜1≤a ＜35，或9＜a ≤25}． (3a －5)(9－a )＜0(5a －5)(25－a )≥0 ≤0 a ＜35，或a ＞9 1≤a ≤25＞0 (第18题)。

必修五第三章不等式知识点+例题+练习+答案

不等式知识点复习及例题+练习+答案一、不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式例题：题型一：不等式的性质1.对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是____题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式） 2.设0x y <<，比较22()()x y x y +-与22()()x y x y -+的大小；3.比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小题型三：求范围4.已知31<+<-b a ，42<-<b a ，求b a 32+的取值范围。

必修五解不等式练习题

必修五解不等式练习题一、一元一次不等式1. 解不等式：3x 5 > 2x + 12. 解不等式：4 2(x 3) ≤ 5x + 73. 解不等式：5 3(x + 2) > 2x 44. 解不等式：2(3x 1) 4(x + 3) < 7 x5. 解不等式：7 4(x 2) ≥ 3x + 1二、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 02. 解不等式：2x^2 3x 2 < 03. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 04. 解不等式：x^2 + 6x + 9 > 05. 解不等式：x^2 + 5x 6 < 0三、分式不等式1. 解不等式：$\frac{1}{x2} > \frac{3}{x+1}$2. 解不等式：$\frac{2}{x+3} ≤ \frac{1}{x4}$3. 解不等式：$\frac{3}{x5} + \frac{2}{x+2} < 0$4. 解不等式：$\frac{4}{x+4} \frac{1}{x3} > 0$5. 解不等式：$\frac{5}{x1} = \frac{2}{x+5}$四、含绝对值的不等式1. 解不等式：|2x 3| > 52. 解不等式：|3x + 4| < 73. 解不等式：|4 x| ≥ 24. 解不等式：|5x 2| ≤ 35. 解不等式：|x + 6| = 8五、综合练习1. 解不等式组：$\begin{cases} 2x 3 > 0 \\ x + 4 < 7\end{cases}$2. 解不等式组：$\begin{cases} x^2 5x + 6 ≤ 0 \\ 3x +2 > 0 \end{cases}$3. 解不等式组：$\begin{cases} |x 2| < 3 \\\frac{1}{x+1} > 0 \end{cases}$4. 解不等式组：$\begin{cases} 4x 7 < 0 \\ |2x + 5| ≥ 3 \end{cases}$5. 解不等式组：$\begin{cases} x^2 4x + 3 > 0 \\\frac{2}{x1} ≤ 1 \end{cases}$六、不等式的应用1. 某企业的年利润为x万元，若年利润增加1万元，则需增加投资20万元。

高中数学必修5不等式训练(含详细答案)

高中数学必修5不等式训练(含详细答案)第三章不等式一、选择题.1. 若 a ∈R ，则下列不等式恒成立的是( )．A. a 2 + 1＞aB.112+a ＜1C. a 2 + 9＞6aD. lg (a 2 +1)＞lg|2a |2. 下列函数中，最小值为 2 是( )．A. y =xx 55+，x ∈R ，且 x ≠0 B. y = lg x+x lg 1，1＜x ＜10C. y = 3x + 3-x ，x ∈RD. y = sin x+x sin 1，2π0＜＜x3. 不等式组表示的平面区域的面积等于( )．A. 28B. 16C.439 D. 1214. 不等式 lg x 2＜lg 2x 的解集是( )．x ≤3 x + y ≥0 x - y + 2≥0A. ⎪⎭⎫⎝⎛11001， B. (100，＋∞)C.⎪⎭⎫⎝⎛11001，∪(100，＋∞)D. (0，1)∪(100，＋∞)5. 不等式(x 4 - 4)-(x 2 - 2)≥0 的解集是( )．A. x ≥2，或 x ≤-2B. -2≤x ≤2C. x ＜-3，或 x ＞3D. -2＜x ＜2 6. 若 x ，y ∈R ，且 x + y = 5，则 3x + 3y 的最小值是( )．A. 10B.C.D. 7. 若 x ＞0，y ＞0，且 281x y+=，则 xy 有( )．A. 最大值 64B. 最小值164C. 最小值12D. 最小值648. 若，则目标函数 z = 2x + y 的x ≤2 y ≤2x + y ≥1取值范围是( )．A. [0，6] B . [2，4] C. [3，6] D. [0，5] 9. 若不等式 ax 2 + bx + c ＞0 的解是 0＜α＜x ＜β，则不等式 cx 2 - bx + a ＞0 的解为( )．A. α1＜x ＜β1B. -β1＜x ＜-α1C. -α1＜x ＜-β1D. β1＜x ＜α110. 若 a ＞0，b ＞0 ，且1a b +=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a 的最小值是( )．A. 9B. 8C.7D. 6二、填空题. 1. 函数y 的定义域是．2. 若 x ，y 满足，则x y 的最大值为____________________，最小值x + 2y - 5≤0x ≥1y ≥0 x + 2y - 3≥0为_________________．3. 函数y=的最大值为．4. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是．5. 若集合A = {(x，y)| |x| + |y|≤1}，B = {(x，y)|(y-x)(y+x)≤0}，M = A∩B，则M的面积为___________．6. 若不等式2x - 1＞m(x2 - 1)对满足-2≤m≤2 的所有m都成立，则x的取值范围是．三、解答题．1. 若奇函数f(x)在其定义域(-2，2)上是减函数，且f(1 - a)+ f(1 - a2)＜0，求实数a的取值范围．2. 已知 a ＞b ＞0，求216()a b a b +-的最小值．3. 设实数 x ，y 满足不等式组．（1）作出点(x ，y )所在的平面区域；（2）设 a ＞-1，在（1）所求的区域内，求f (x ，y )= y – ax 的最大值和最小值．1≤x + y ≤4y + 2≥|2x - 3|4. 某工厂拟建一座平面图形为矩形，且面积为200 m2 的三级污水处理池（平面图如右）. 如果池外圈周壁建造单价为每米400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米248 元，池底建造单价为每平方米80 元，池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．参考答案一、选择题． 1. A【解析】A ：a 2 - a + 1 = a 2- a +4341+=221⎪⎭⎫ ⎝⎛-a +43＞0. a 2 + 1＞a 恒成立．B ：当 a = 0 时，左 = 右．C ：当 a = 3 时，左 = 右．D ：当 a = ±1 时，左 = 右． 2. C【解析】A ：y 没有最小值． B ：∵ 1＜x ＜10， ∴ 0＜lg x ＜1． ∴ y ≥2．lg x =1，即x =10时，y min = 2．此时不符合1＜x ＜10． C ：∵ 3x ＞0， ∴ y = 3x +x31≥2．x = 0时，y min = 2． D ：∵ 0＜x ＜2π， ∴ sin x ＞0． ∴ y ≥2．当 sin x =xsin 1时，此时 sin x = 1，x =2π，不符合 0＜x ＜2π． 3. B【解析】由不等式组，画出符合条件的平面区域（下图阴影部分）.解两两直线方程组成的方程组，可得 A (3，5)，B (3，-3)， C (-1，1)．∴ S 阴 =21· |AB | · |x A - x c | = 21×8×4 = 16． 4. D 【解析】∵∴ x ＞0． ∵ lg x 2＜lg 2x ， ∴ lg 2x - 2lg x ＞0． ∴ lg x ＞2 ，或 lg x ＜0， ∴ x ＞100 ，或 0＜x ＜1． 5. A【解析】∵（x 4 - 4）-（x 2 - 2）≥ 0，∴ x 4 - x 2 - 2≥0，∴（x 2 - 2）（x 2 + 1）≥0.x 2＞0，x ＞0，∴ x 2≥2．∴ x ≥2，或 x ≤-2． 6. D【解析】 3x + 3y ≥2yx33⋅= 2yx +3，∴ 3x + 3y ≥2×9×3= 183，当 x = y =25时，等号成立．7. D 【解析】 yx 82+≥2yx 82⋅= 8xy 1，当yx 82=，即时，8xy1取最大值，即 xy取最小值 64． 8. A【解析】据不等式组画出可行域．易知 A (-1，2)，B (2，2)．将 y = -2x 进行平移，当直线过 A 点时，z min = 0，当直线过 B 点时，z max = 6． 9. Cx = 4， y = 16【解析】由题知，且 a ＜0.∴ b = -a (α + β )， c = a (αβ )．∴ 所求不等式可代为 a (αβ )x 2 + a (α + β )x + a ＞0．∴(αβ )x 2 +(α + β )x + 1＜0． ∴(αx + 1)(βx + 1)＜0． ∵ 0＜α＜β，∴ -α1＜-β1． ∴ -α1＜x ＜-β1． 10. A 【解析】⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a =22221b a b a --+ 1 =22222)(b a b a b a --++ 1=ab 2+1≥222⎪⎭⎫⎝⎛+b a + 1 = 9．∴ 当 a = b=21时，原式取最小值 9．二、填空题． 1. （-8，8）．【解析】∵ 64 - x 2＞0 ∴ x 2＜64，-8＜xα + β = ab- α β = ac＜8，即(-8，8)．2. 2，0.【解析】据不等式组画出可行域．由图可知，2max=⎪⎭⎫⎝⎛xy ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛m inxy 0．3. 21．【解析】设 x = cos ， ∈[0，π]． ∴ y = cos sin =21sin 2 ． ∵ ∈[0，π]，∴ 2 ∈[0，2π]，∴ y max =21，此时 =4π，x = cos 4π=22． 4. 21-．【解析】如图，r =21-+b a =212-+b a ≤21222-+b a =2122-=212-. 当且仅当 a = b =22时， r max =212-．5. 1．【解析】如图，M 为阴影部分. M 的面积为()2221⨯= 1．6. 271+-＜x ＜231+．【解析】令 f (m )= m (x 2 - 1)-(2x - 1)(x ≠±1)，把它看作关于 m 的一次函数．由于 -2≤m ≤2 时，f (m )＜0 恒成立，x 2 - 1＞0 x 2 - 1＜0 ∴ 或f （2）＜0 f （-2）＜0解得 1＜x ＜231+，或271+-＜x ＜1，又x = 1 时，亦符合题意．∴ 271+-＜x ＜231+．三、解答题．1. 由f (1 - a )+ f (1 - a 2)＜0，得 f (1 - a )＜- f (1 - a 2). 又因为函数f （x ）为奇函数，所以- f (1 - a 2) = f (a 2 - 1)．∴ f (1 - a )＜ f (a 2 - 1). 又∵ 函数 f (x ) 在其定义域(-2，2)上是减函数，1 - a ＞a2 – 1 -2＜a ＜1 ∴ -2＜1 - a ＜2 解得 -1＜a ＜3-2＜a 2 - 1＜2 -3＜a ＜3∴ a ∈（-1，1）．2. 由 a ＞b ＞0 知，a - b ＞0，∴ b （a - b ）≤4222a b a b =⎪⎭⎫⎝⎛-+．∴ a 2 +)(16b a b -≥a 2 +264a ≥22264a a ⋅= 16．当且仅当 a 2 =264a，b = a - b ，即当 a = 22，b =2时，a 2 +)(16b a b -取得最小值 16．3. （1）（-3，7）【解析】（2）最大值为7+3a ，最小值为4. 【解】设污水池总造价为 y 元，污水池长为 x m. 则宽为x200m ，水池外圈周壁长2x + 2 · x 200（m ），中间隔墙长2 · x200（m ），池底面积200（m 2）．∴ y = 400⎪⎭⎫⎝⎛+⋅x x 20022+ 248 · x 200 · 2 + 80×200 = 800⎪⎭⎫⎝⎛+x x 324+ 16 000- 1- 2a , -1＜a ≤2 1 - 3a , a ＞2≥1 600xx 324+ 16 000 = 44 800．当且仅当 x =x324，即 x = 18，x 200=9100时，y min = 44 800．答：当污水池长为 18 m ，宽为9100m 时，总造价最低，最低为 44 800元．。

高中数学必修5不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5不等式精选题目（附答案）一、一元二次不等式(1)确定ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)在判别式Δ>0时解集的结构是关键．在未确定a 的取值情况下，应先分a ＝0和a ≠0两种情况进行讨论．(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a 的符号和方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a ，b ，c 之间的关系．(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．1. (1)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －1<x <12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－1或x >12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}(2)解关于x 的不等式ax 2－2ax ＋a ＋3＞0.1.[解析] (1)由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.解得－1<x <12.[答案] A(2)解：当a ＝0时，解集为R ；当a ＞0时，Δ＝－12a ＜0，∴解集为R ；当a ＜0时，Δ＝－12a ＞0，方程ax 2－2ax ＋a ＋3＝0的两根分别为a ＋－3a a ，a －－3a a ，∴此时不等式的解集为x a ＋－3a a ＜x ＜a －－3a a. 综上所述，当a ≥0时，不等式的解集为R ；a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ a ＋－3a a ＜x ＜a －－3a a . 注：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．2．函数f (x )＝1ln (－x 2＋4x －3)的定义域是( ) A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3) 解析：选D 由题意知⎩⎨⎧ －x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎨⎧ 1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．3．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：24．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b >1且a >0.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2. (2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.所以，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.二、简单的线性规划问题1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．2．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．5.(1)设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎨⎧ x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝y ＋1x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元5.[解析] (1)不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC ，目标函数的几何意义是区域内的点与点P (0，－1)连线的斜率，显然图中AP 的斜率最小．由⎩⎨⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3解得点A 的坐标为(2,1)，故目标函数z ＝y ＋1x 的最小值为1＋12＝1.(2)设对项目甲投资x 万元，对项目乙投资y 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5.目标函数z ＝0.4x ＋0.6y .作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A 点取最大值，代入得z max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.[答案] (1)A (2)B注：(1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时也可以根据可行域的顶点直接进行检验．6．不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( ) A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析：选B 不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.7．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧ x ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a ＝________. 解析：依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1.答案：18．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．解析：设第一种机器购买x 台，第二种机器购买y 台，总的年利润为z 万日元，则⎩⎨⎧ 3x ＋5y ≤135，50x ＋20y ≤1 800，x ，y ∈N ，目标函数为z＝9x ＋6y . 不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．当直线z ＝9x ＋6y 经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫63019，13519，即到达l 1位置时，z 取得最大值，但题目要求x ，y 均为自然数，故进行调整，调整到与M 邻近的整数点(33,7)，此时z ＝9x ＋6y 取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．答案：33 7三、基本不等式基本不等式的常用变形(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(2)a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时，等号成立； (3)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(4)a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a ≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．9.(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6(2)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )A.43B.53 C ．2 D.54[解析] (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.(2)由x >0，y >0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.[答案] (1)C (2)C注：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．10．已知2x ＋2y ＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4 x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝y x ，即x ＝y ＝4时取等号．11．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．答案：912．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有[8－(t －25)×0.2]t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x>25时，a≥150x＋16x＋15有解．∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．巩固练习：1．若1a＜1b＜0，则下列不等式不正确的是()A．a＋b＜ab B.ba＋ab＞0C．ab＜b2D．a2＞b2解析：选D由1a＜1b＜0，可得b＜a＜0，故选D.2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3 B．1C．－1 D．3解析：选A由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.3．函数y＝x2＋2x－1(x＞1)的最小值是()A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2解析：选A∵x＞1，∴x－1＞0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2(x－1)＋3x－1＝(x－1)2＋2(x－1)＋3x－1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时等号成立． 4．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞) 解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎨⎧ x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋y 的取值范围是[4，＋∞)．5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧ x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析：选C 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C.6．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1C.94 D ．3 解析：选B 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4y x ≥4，即xy z ≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2.∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x 的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影部分所示， ∵y x 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时y x 最大．由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴y x 的最大值为3.答案：38．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ________log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1，又a >0，所以a >1，因为t >0，所以t ＋12≥ t ，所以log a t ＋12≥log a t ＝12log a t .答案：≤9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1,1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－110．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min ，生产一个骑兵需7 min ，生产一个伞兵需4 min ，已知总生产时间不超过10 h ．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)．(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为：⎩⎨⎧ 5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，整理得⎩⎨⎧ x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎨⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．11．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和．(注：f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获利？(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；问哪种方案最合算？为什么？解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，∴f (n )＝－2n 2＋40n －72.(1)获利就是要求f (n )>0，所以－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利．(2)①年平均利润＝f (n )n ＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16. 当且仅当n ＝6时取等号．故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6.②f (n )＝－2(n －10)2＋128.当n ＝10时，f (n )max ＝128.故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)，故比较两种方案，获利都是144万美元．但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案最合算．12．已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．解：设f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意f (x )在[0,1]和[1,2]上各有一个零点，∴⎩⎨⎧ f (0)≥0，f (1)≤0，f (2)≥0，即⎩⎨⎧ b ≥0，a＋2b ＋1≤0，a ＋b ＋2≥0，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图．由⎩⎨⎧ a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝1，即C (－3,1)．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．又B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32.故b －3a －1的最大值是32，最小值是12.。

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《不等式》专题复习知识回顾一．不等式的主要性质：(1)对称性： (2)传递性：(3)加法法则： (同向可加) (4)乘法法则：(同向同正可乘)(5)倒数法则： (6)乘方法则： (7)开方法则：2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式二．解不等式1.一元二次不等式()00或022≠<++>++a c bx ax c bx ax 的解集：2、简单的一元高次不等式的解法：（穿根法）其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶不过；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法（转化为常规不等式）()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ 注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理 4、不等式的恒成立问题：应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <三、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法3、线性规划的有关概念：①线性约束条件 ②线性目标函数③线性规划问题 ④可行解、可行域和最优解： 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解四．均值不等式1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： ① a+b ≥ab 2；②ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a , 当且仅当a=b 时取等号.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 3.常用不等式有：（12222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。

典例剖析题型一：不等式的性质1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2. 设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小4. 若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .题型三：解不等式5. 解不等式6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

7. 解不等式25123xx x -<---8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______9. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集为______10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<题型四：恒成立问题11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.13. 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

三．基本不等式题型五：求最值14. （直接用注正数）求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x15. （配凑项）（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。

16. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

注意：在应用均值不等式求最值时，若等号取不到，应结合函数()af x x x=+的单调性。

17. 求函数2y =的值域。

18. （条件不等式）（1）若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .（2）已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

（3）已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.（4）已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式19、已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 219. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc16．（12分）设a >0, b >0，且a + b = 1，求证：225)1()1(22≥+++b b a a ．题型七：均值定理实际应用问题：20. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

四.线性规划题型八：目标函数求最值21. 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，求目标函数y x k +=3的最大值22、已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且102x <<,22x >．则1ba -的取值范围是23、已知,x y 满足约束条件：03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩ ,则222x y x ++的最小值是24、已知变量230,330.10x y x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩满足约束条件若目标函数z ax y =+（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a 的取值范围为。

25、已知实数x y ，满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（）题型九：实际应用22. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。

现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？易错点剖析1、抓住两边结构进行合理转化抓住两边结构进行转化是不等式应用的重要一环，根据结论与条件，要想促使结论与条件的“沟通”，必须仔细分析结构特点，选用恰当的不等式或变式；例1、正数a 、b 满足 b a +=1， )1)(1(++b a 的最大值。

分析（1）本题是求“积”的最大值，常规是向“和”或“平方和”转化，并根据“和”或“平方和”是否是定值，做出选择。

（2）要利用b a +=1，就必须去掉根号，因此要向“平方和”转化，那么应用变式①也就顺理成章了。

解：∵232)1()1()1)(1(=+++≤++b a b a ，当且仅当 ⎩⎨⎧=++=+1)1()1(b a b a 即21==b a 时取得“=”。

∴ )1)(1(++b a 的最大值是 23例2、已知正数a 、b 满足 b a +=1，求 22)1()1(+++b a 最小值；分析：将条件与结论放在一起，可以看出，要想从条件式推出结论式，必须完成从“和”向“平方和”的转化；若从结论入手转化，再利用条件，就必须完成从“平方和”向“和”的转化。

显然，不管是由条件推出结论还是由结论转化再利用条件，都离不开变式④。

解：∵)(222b a b a +≤+，∴ ])1()1[(2)1()1(22+++≤+++b a b a≤⇒3])1()1[(222+++b a 29)1()1(22≥+++⇒b a ，当且仅当21==b a 时取得“=’。

∴ 22)1()1(+++b a 最小值是29。

注：转化中必要的“技术处理” 对均值不等式的应用，除了要会从结构入手分析外，必要的“技术处理”还必须掌握如： “配系数”（将“x ”写成“x 221⨯”或“x 212⨯”）；“拆项”（将“1332+++x x x ”写成“111)1(++++x x ”）；“加、减凑项”（将“x ”写成“ 1)1(-+x ” ）；“升降幂” （2)(,0a a a =>）等都是常用的“技术处理”方法。

例3、已知 0,0>>b a ，求证：b a ab b a +≥+ 分析：从结构特点和字母的次数看与变式⑤吻合，可从此式入手。

解：∵ 若b>0,则b a b a -≥22， ∴ b a ba -≥2……①a b ab -≥2……②∴由 ① + ② ⇒b a a bb a +≥+。