树,二叉树,森林间的转换方法

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第7章-树和二叉树第2讲-二叉树的概念

第7章-树和二叉树第2讲-二叉树的概念
(root),其余结点可分为m (m≥0)个互不相交的有限子集 T1、T2、…、Tm,而每个子集本身又是一棵树,称为根结点 root的子树。 树中所有结点构成一种层次关系!
第一层
树的特 点?
第二层 第三层 第四层
复习:二、树的基本术语
1.结点A、D的度?树的度? 2;3;3; 2.根结点?分支结点?叶子结点? A;BCDE;GHIJF;
在二叉链中,空指针的个数?
b A
B∧
C
∧D
∧E∧
∧F∧
∧G∧
n个结点 2n个指针域 分支数为n-1 非空指针域有n-1个 空指针域个数 = 2n-(n-1) = n+1
n=7 空指针域个数=8
39/10
40/10
二叉树
当n=3,结果为ห้องสมุดไป่ตู้。
第n个Catalan数
41/23
有n个结点并且高度为n的不同形态的二叉树个数是多少? 该二叉树:有n层,每层一个结点,该结点可以
43/23
结点个数为n,树形可以唯一确定 叶子结点个数为n0,树形不能唯一确定 n为奇数时,n1=0; n为偶数时,n1=1。 n0=n2+1 高度h= log2(n+1),是n个结点高度最小的二叉树
44/23
含有60个叶子结点的二叉树的最小高度是多少?
在该二叉树中,n0=60,n2=n0-1=59,n=n0+n1+n2=119+n1。 当n1=0且为完全二叉树时高度最小。 此时高度h=log2(n+1)= log2120=7。
作为双亲结点的左孩子,也可以作为右孩子 这样的二叉树的个数=1×2×…×2=2n-1。
例如,当n=3时有22=4个这样的二叉树。

二叉树,树,森林遍历之间的对应关系

二叉树,树,森林遍历之间的对应关系

二叉树,树,森林遍历之间的对应关系一、引言在计算机科学中,数据结构是非常重要的知识点之一。

而树这一数据结构,作为基础的数据结构之一,在软件开发中有着广泛的应用。

本文将重点探讨二叉树、树和森林遍历之间的对应关系,帮助读者更加全面地理解这些概念。

二、二叉树1. 二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构,每个节点最多有两个子节点,分别称为左子节点和右子节点。

二叉树可以为空,也可以是一棵空树。

2. 二叉树的遍历在二叉树中,有三种常见的遍历方式,分别是前序遍历、中序遍历和后序遍历。

在前序遍历中,节点的访问顺序是根节点、左子树、右子树;在中序遍历中,节点的访问顺序是左子树、根节点、右子树;在后序遍历中,节点的访问顺序是左子树、右子树、根节点。

3. 二叉树的应用二叉树在计算机科学领域有着广泛的应用,例如用于构建文件系统、在数据库中存储有序数据、实现算法中的搜索和排序等。

掌握二叉树的遍历方式对于理解这些应用场景非常重要。

三、树1. 树的定义树是一种抽象数据类型,由n(n>0)个节点组成一个具有层次关系的集合。

树的特点是每个节点都有零个或多个子节点,而这些子节点又构成了一颗子树。

树中最顶层的节点称为根节点。

2. 树的遍历树的遍历方式有先根遍历、后根遍历和层次遍历。

在先根遍历中,节点的访问顺序是根节点、子树1、子树2...;在后根遍历中,节点的访问顺序是子树1、子树2...,根节点;在层次遍历中,节点的访问顺序是从上到下、从左到右依次访问每个节点。

3. 树的应用树广泛用于分层数据的表示和操作,例如在计算机网络中的路由算法、在操作系统中的文件系统、在程序设计中的树形结构等。

树的遍历方式对于处理这些应用来说至关重要。

四、森林1. 森林的定义森林是n(n>=0)棵互不相交的树的集合。

每棵树都是一颗独立的树,不存在交集。

2. 森林的遍历森林的遍历方式是树的遍历方式的超集,对森林进行遍历就是对每棵树进行遍历的集合。

3. 森林的应用森林在实际编程中经常用于解决多个独立树结构的问题,例如在数据库中对多个表进行操作、在图像处理中对多个图形进行处理等。

数据结构树的知识点总结

数据结构树的知识点总结

数据结构树的知识点总结一、树的基本概念。

1. 树的定义。

- 树是n(n ≥ 0)个结点的有限集。

当n = 0时,称为空树。

在任意一棵非空树中:- 有且仅有一个特定的称为根(root)的结点。

- 当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、…、Tm,其中每个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树(sub - tree)。

2. 结点的度、树的度。

- 结点的度:结点拥有的子树个数称为结点的度。

- 树的度:树内各结点的度的最大值称为树的度。

3. 叶子结点(终端结点)和分支结点(非终端结点)- 叶子结点:度为0的结点称为叶子结点或终端结点。

- 分支结点:度不为0的结点称为分支结点或非终端结点。

- 除根结点之外,分支结点也称为内部结点。

4. 树的深度(高度)- 树的层次从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推。

树中结点的最大层次称为树的深度(或高度)。

二、二叉树。

1. 二叉树的定义。

- 二叉树是n(n ≥ 0)个结点的有限集合:- 或者为空二叉树,即n = 0。

- 或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

2. 二叉树的特点。

- 每个结点最多有两棵子树,即二叉树不存在度大于2的结点。

- 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒。

3. 特殊的二叉树。

- 满二叉树。

- 一棵深度为k且有2^k - 1个结点的二叉树称为满二叉树。

满二叉树的特点是每一层上的结点数都是最大结点数。

- 完全二叉树。

- 深度为k的、有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时,称之为完全二叉树。

完全二叉树的叶子结点只可能在层次最大的两层上出现;对于最大层次中的叶子结点,都依次排列在该层最左边的位置上;如果有度为1的结点,只可能有一个,且该结点只有左孩子而无右孩子。

三、二叉树的存储结构。

1. 顺序存储结构。

- 二叉树的顺序存储结构就是用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素。

数据结构-第6章 树和二叉树---4. 树和森林(V1)

数据结构-第6章 树和二叉树---4. 树和森林(V1)
ElemType data ; struct CSnode *firstchild, *nextsibing ; }CSNode;
6.4.1 树的存储结构
R AB C D EG F
R⋀
A
⋀D
⋀B
⋀E ⋀
C⋀
⋀G
⋀F ⋀
6.4.2 树、森林和二叉树的转换
1. 树转换为二叉树 将树转换成二叉树在“孩子兄弟表示法”中已 给出,其详细步骤是: ⑴ 加线。在树的所有相邻兄弟结点之间加一 条连线。 ⑵ 去连线。除最左的第一个子结点外,父结点 与所有其它子结点的连线都去掉。 ⑶ 旋转。将树以根结点为轴心,顺时针旋转 450,使之层次分明。
B C
D
A E
L HK
M
技巧:无左孩子 者即为叶子结点
6.4.3 树和森林的遍历
1. 树的遍历 由树结构的定义可知,树的遍历有二种方法。 ⑴ 先序遍历:先访问根结点,然后依次先序 遍历完每棵子树等。价于对应二叉树的先序遍历
⑵ 后序遍历:先依次后序遍历完每棵子树,然 后访问根结点。等价于对应二叉树的中序遍历
0 R -1 1A 0 2B 0 3C 0
}Ptree ; R
4D 1 5E 1
AB C
6F 3
7G 6
DE
F
8H 6
9I 6
G H I 10~MAX_Size-1 ... ...
6.4.1 树的存储结构
2. 孩子表示法
每个结点的孩子结点构成一个单链表,即有n 个结点就有n个孩子链表;
n个孩子的数据和n个孩子链表的头指针组成一 个顺序表; 结点结构定义: 顺序表定义:
typedef struct PTNode { ElemType data ;

数据结构第七章 树和森林

数据结构第七章 树和森林

7.5 树的应用
➢判定树
在实际应用中,树可用于判定问题的描述和解决。
•设有八枚硬币,分别表示为a,b,c,d,e,f,g,h,其中有一枚且 仅有一枚硬币是伪造的,假硬币的重量与真硬币的重量不同,可能轻, 也可能重。现要求以天平为工具,用最少的比较次数挑选出假硬币, 并同时确定这枚硬币的重量比其它真硬币是轻还是重。
的第i棵子树。 ⑺Delete(t,x,i)在树t中删除结点x的第i棵子树。 ⑻Tranverse(t)是树的遍历操作,即按某种方式访问树t中的每个
结点,且使每个结点只被访问一次。
7.2.2 树的存储结构
顺序存储结构 链式存储结构 不管哪一种存储方式,都要求不但能存储结点本身的数据 信息,还要能够唯一的反映树中各结点之间的逻辑关系。 1.双亲表示法 2.孩子表示法 3.双亲孩子表示法 4.孩子兄弟表示法
21
将二叉树还原为树示意图
A BCD
EF
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
22
练习:将下图所示二叉树转化为树
1 2
4
5
3
6
2 4
1 53
6
23
7.3.2 森林转换为二叉树
由森林的概念可知,森林是若干棵树的集合,只要将森林中各棵树 的根视为兄弟,森林同样可以用二叉树表示。 森林转换为二叉树的方法如下:
⑴将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。 ⑵第一棵二叉树不动,从第二棵二叉树开始,依次把后一棵二叉树 的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子,当所有二叉树连起来 后,此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。
相交的集合T1,T2,…,Tm,其中每一个集合Ti(1≤i≤m)本身又是 一棵树。树T1,T2,…,Tm称为这个根结点的子树。 • 可以看出,在树的定义中用了递归概念,即用树来定义树。因此, 树结构的算法类同于二叉树结构的算法,也可以使用递归方法。

树和二叉树——精选推荐

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第6章 树和二叉树内容概要:本章主要介绍树,二叉树,最优二叉树的相关概念和操作,存储结构和相应的操作,并在综合应用设计中,给出了对应算法的C 语言实现。

教学目标1.理解各种树和森林与二叉树的相应操作。

2.熟练掌握二叉树的各种遍历算法,并能灵活运用遍历算法实现二叉树的其他操作。

3.熟练掌握二叉树和树的各种存储结构及其建立的算法。

4.掌握哈夫曼编码的方法。

5.通过综合应用设计,掌握各种算法的C 语言实现过程。

基本知识点:树和二叉树的定义、二叉树的存储表示、二叉树的遍历以及其它操作的实现、树和森林的存储表示、树和森林的遍历以及其它操作的实现、最优树和赫夫曼编码重点:二叉树的性质、二叉树的遍历及其应用,构造哈夫曼树。

难点:编写实现二叉树和树的各种操作的递归算法。

本章知识体系结构:课时安排:6个课时树的定义 树树的性质 树的逻辑表示法 树形表示法 树的存储结构 双亲存储结构 文氏表示法凹入表示法 括号表示法 孩子存储结构 孩子双亲存储结构二叉树二叉树的定义 二叉树的性质二叉树的逻辑表示法(采用树的逻辑表示法)二叉树的存储结构二叉树的顺序存储结构先序遍历 中序遍历 后序遍历二叉树的遍历 二叉树的链式存储结构(二叉链) 由先序序列和中序序列构造二叉树 由中序序列和后序序列构造二叉树二叉树的构造 二叉树的线索化 哈夫曼树二叉树和树之间的差别 二叉树与树、森林之间的转换二叉树和树课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授(PPT)教学目标掌握树、二叉树的基本概念和术语,二叉树的性质教学重点二叉树的定义、二叉树的性质、链式存储结构教学难点二叉树的性质、链式存储二叉树的基本操作组织教学一、树的定义二、树的基本概念三、二叉树的定义、性质四、二叉树的顺序存储结构和链式存储结构五、小结作业复习本讲内容并预习下一讲内容课堂情况及课后分析课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授(PPT)教学目标掌握二叉树遍历的三种方法及二叉树的基本操作教学重点二叉树的遍历算法教学难点中序与后序遍历的非递归算法组织教学一、复习二叉树的定义二、遍历二叉树的三种方法三、递归法遍历二叉树四、二叉树的基本操作五、总结作业复习本讲内容并预习下一讲内容课堂情况及课后分析课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授(PPT)教学目标理解树与森林的转换,掌握哈夫曼树教学重点哈夫曼树教学难点树与森林的转换组织教学一、导入二、树与森林三、哈夫曼树四、小结作业习题6课堂情况及课后分析前面几章讨论的数据结构都属于线性结构,线性结构的特点是逻辑结构简单,易于进行查找、插入和删除等操作,可用于描述客观世界中具有单一前驱和后继的数据关系。

数据结构习题及答案与实验指导(树和森林)7

数据结构习题及答案与实验指导(树和森林)7

第7章树和森林树形结构是一类重要的非线性结构。

树形结构的特点是结点之间具有层次关系。

本章介绍树的定义、存储结构、树的遍历方法、树和森林与二叉树之间的转换以及树的应用等内容。

重点提示:●树的存储结构●树的遍历●树和森林与二叉树之间的转换7-1 重点难点指导7-1-1 相关术语1.树的定义:树是n(n>=0)个结点的有限集T,T为空时称为空树,否则它满足如下两个条件:①有且仅有一个特定的称为根的结点;②其余的结点可分为m(m>=0)个互不相交的子集T1,T2,…,T m,其中每个子集本身又是一棵树,并称为根的子树。

要点:树是一种递归的数据结构。

2.结点的度:一个结点拥有的子树数称为该结点的度。

3.树的度:一棵树的度指该树中结点的最大度数。

如图7-1所示的树为3度树。

4.分支结点:度大于0的结点为分支结点或非终端结点。

如结点a、b、c、d。

5.叶子结点:度为0的结点为叶子结点或终端结点。

如e、f、g、h、i。

6.结点的层数:树是一种层次结构,根结点为第一层,根结点的孩子结点为第二层,…依次类推,可得到每一结点的层次。

7.兄弟结点:具有同一父亲的结点为兄弟结点。

如b、c、d;e、f;h、i。

8.树的深度:树中结点的最大层数称为树的深度或高度。

9.有序树:若将树中每个结点的子树看成从左到右有次序的(即不能互换),则称该树为有序树,否则称为无序树。

10.森林:是m棵互不相交的树的集合。

7-1-2 树的存储结构1.双亲链表表示法以图7-1所示的树为例。

(1)存储思想:因为树中每个元素的双亲是惟一的,因此对每个元素,将其值和一个指向双亲的指针parent构成一个元素的结点,再将这些结点存储在向量中。

(2)存储示意图:-1 data:parent:(3)注意: Parrent域存储其双亲结点的存储下标,而不是存放结点值。

下面的存储是不正确的:-1 data:parent:2.孩子链表表示法(1)存储思想:将每个数据元素的孩子拉成一个链表,链表的头指针与该元素的值存储为一个结点,树中各结点顺序存储起来,一般根结点的存储号为0。

树与二叉树的关系

树与二叉树的关系
右的次序顺序编号,即把树看作为有序树。
将一棵树转换为二叉树的方法: ⑴ 树中所有相邻兄弟之间加一条连线。 ⑵ 对树中的每个结点,只保留其与第一个 孩子结点之间的连线,删去其与其它孩子结 点之间的连线。 ⑶ 以树的根结点为轴心,将整棵树顺时针 旋转一定的角度,使之结构层次分明。
树转换为二叉树示意图
A
A
B
E
CF G
DH
I
A
B
E
CF G
DH
I
J
J
A
BC D EG FH I J
用递归的方法描述其转换
若B是一棵二叉树,T是B的根结点,L是B的 左子树,R为B的右子树,设B对应的森林F(B) 中含有的n棵树为T1,T2, …,Tn,则有: (1)B为空,则:F(B)为空的森林(n=0)。
(2)B非空,则:

森林
二叉树
先根遍历 先序遍历 先序遍历
后根遍历 中序遍历 中序遍历
3、森林的后序遍历*
若森林非空,则遍历方法为:
(1)后序遍历森林中第一棵树的根结点的子 树森林。 (2)后序遍历除去第一棵树之后剩余的树构 成的森林。 (3)访问第一棵树的根结点。
6.5 哈夫曼树及其应用
6.5.1 哈夫曼树
哈夫曼树最典型、最广泛的应用是在 编码技术上,利用哈夫曼树,可以得到 平均长度最短的编码。这在通讯领域是 极其有价值的。
权值 双亲序号 左孩子序号 右孩子序号
静态三叉链表结构定义
#define N 20 #define M 2*N-1 typedef struct { int weight ;
int parent,Lchild,Rchild ; }HTNode, HuffmanTree[M+1];

例题6.1已知一棵度为m的树有n1个度为1的结点,n2个度

例题6.1已知一棵度为m的树有n1个度为1的结点,n2个度
i
bห้องสมุดไป่ตู้
a c
h
j
例题6.3 若一棵二叉树,左右子树均有三个结点,其左子树的前(先) 序序列与中序序列相同,右子树的中序序列与后序序列相同,试构 造该树。 【解】据题意,左子树的前序序列与中序序列相同,即有: 前序: 根 左 右 中序: 左 根 右 也即,以左子树为根的树无左孩子。此处,右子树的中序序列与后序 序列相同,即有: 中序: 左 根 右 后序: 左 右 根 也即,以右子树为根的树无右孩子。由此构造该树如下图所示。
森林转换成二叉树 将各棵树分别转换成二叉树(根结点均无右孩子); 将各二叉树的根结点依次用分支线连起来; 以第一棵树根结点为二叉树的根,再以根结点为轴心,顺时针旋转,构 成二叉树型结构。 森林转化成二叉树的过程: A B C D E F H G I J A B C D J F
例题6.2 写出如图6.2所示的二叉树的前(先)序﹑中序和后序遍历序列. 解: ⑴前序为“根左右”,从左到右收集的前序序列为:fdbacegihj; ⑵中序为“左根右”,从左到右收集的中序序列为:abcdefghij; ⑶后序为“左右根”,从左到右收集的后序序列为:acbedhjigf。
f
d
g e
例题4 一棵非空的二叉树其先序序列和后序序列正好相反,画出这棵二 叉树的形状。 解:先序遍历为“根左右”,后序遍历为“左右根”。 根结点在两个序列中的位置分别在最前和最后,正好相反;因此,若要 两个序列正好相反,则左右子树必有一个不存在。其先序序列和后序序 列正好相反的二叉树必为单支树。即这棵二叉树的形状如下图所示 。
a
b d g e h i c
b ^ d c ^
f
e ^ g
^
^
^

数据结构第6章树和二叉树3树和森林ppt课件

数据结构第6章树和二叉树3树和森林ppt课件

§6.4 树和森林 ❖树的存储结构——孩子兄弟表示法
这种存储结构便于实现各种树的操作。首先易于 实现找结点孩子等的操作。如果为每个结点增设一个 (parent)域,则同样能方便地实现Parent(T, x)操作。
§6.4 树和森林
❖森林和二叉树的转换
1. 树和二叉树的对应关系 由于二叉树和树都可用二叉链表作为存储结构,
R AB C
DE
F
GHK
R^
A
^D
^B
^E ^
C^
F^
^G
^H
^K ^
§6.4 树和森林
❖树的二叉链表(孩子 - 兄弟)存储表示
typedef struct CSNode { Elem data; struct CSNode *firstchild , *nextsibling;
} CSNode, *CSTree;
A BC D E F GH
A BC D
E F GH A
BC D
1)在兄弟之间加一条连线; 2)对每个结点,除了左孩子外,去除其与其余孩子之间的联系; 3)以根结点为轴心,将整个树顺时针转45°。
Ia
A B
Ib
E F
d
C D
G H I
c E F G H I
§6.4 树和森林
❖森林和二叉树的转换
2. 森林和二叉树的对应关系 从树的二叉链表表示的定义可知,任何一棵
§6.4 树和森林
3
6^
5^
0
1
7
8
2^ 9^
R AB C
DE
F
GHK
§6.4 树和森林 ❖树的存储结构——孩子兄弟表示法
或称二叉树表示法,或称二叉链表表示法。即以 二叉链表作树的存储结构。链表中结点的两个链域分 别指向该结点的第一个孩子结点和下一个兄弟结点。

数据结构(C++)--森林

数据结构(C++)--森林

11
二、森林和二叉树的转换
二叉树与树都可用二叉链表存储,以二叉链表 二叉树与树都可用二叉链表存储, 作中介,可导出树与二叉树之间的转换。 作中介,可导出树与二叉树之间的转换。 树与二叉树转换方法: 树与二叉树转换方法: 树 根 结点 X 的第一个孩子 结点 X 紧邻的右兄弟 二叉树 根 结点 X 的左孩子 结点 X 的右孩子
分数 0-59 6060-69 0.15 7070-79 0.40 8080-89 0.30 9090-100 0.10 比例数 0.05
按图的判定过程: 按图的判定过程 转换一个分数所需的比较次数=从根到对应结点的路径长度 转换一个分数所需的比较次数 从根到对应结点的路径长度 转换10000个分数所需的总比较次数 个分数所需的总比较次数= 转换 个分数所需的总比较次数 10000 × (0.05 × 1+0.15 × 2+0.4 × 3+0.3 × 4+0.1 × 4) ) =31500
27
三、哈夫曼树
( huffman )
y y
a < 60 a < 70
a < 80
n
a < 90
三、哈夫曼树
( huffman )
c 2 a b c d d
4
7 5 2 4 WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
a
b
5 7 WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46 7
a
5
b c d
要使二叉树WPL小 要使二叉树WPL小,就须在构造 WPL 树时, 将权值大的结点靠近根. 树时, 将权值大的结点靠近根.
(3)孩子兄弟表示法 ) 用二叉链表作为树的存储结构。 用二叉链表作为树的存储结构。链表的两个指针域 分别指向该结点的第一个孩子结点和下一个兄弟结点。 分别指向该结点的第一个孩子结点和下一个兄弟结点。 struct ChildSiblingTreeNode { ElemType data; ChildSiblingTreeNode *firstChild, ChildSiblingTreeNode * rightSibling; };

二叉树,树,森林互相转化的题

二叉树,树,森林互相转化的题

二叉树,树,森林互相转化的题
二叉树、树和森林是数据结构中常见的概念,它们之间可以相互转化。

首先我们来看一下它们的定义和特点。

二叉树是一种特殊的树结构,每个节点最多有两个子节点,分别为左子节点和右子节点。

树是由n(n>=1)个节点组成的有限集合,它们之间存在唯一的父子关系。

而森林是由若干棵互不相交的树组成。

现在我们来看一下它们之间的转化关系:
1. 二叉树转化为树,将二叉树的左子节点作为树的子节点,右子节点作为兄弟节点,这样就可以将二叉树转化为树。

2. 树转化为二叉树,将树的每个节点的第一个子节点作为二叉树的左子节点,其余的子节点作为左子节点的右子节点,这样就可以将树转化为二叉树。

3. 树转化为森林,如果一个树有多个子节点,可以将它的子节点拆分成多棵树,这样就可以将树转化为森林。

4. 森林转化为树,将森林中的每棵树的根节点作为新树的子节点,这样就可以将森林转化为树。

通过以上转化方法,我们可以实现二叉树、树和森林之间的互相转化。

这些转化方法在实际的数据结构操作中有着重要的应用,能够帮助我们更好地理解和利用这些数据结构。

在实际编程中,我们可以根据具体的需求选择合适的数据结构,并通过转化实现各种操作和算法。

希望这些信息能够对你有所帮助。

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3
40],[34,58],[20,90],[18,98]}
e.快速排序,被认为是在所有同数量级 O(nlogn)
的排序方法中,其平均性能是最好的。f. 堆排
序,g.基数排序
排序方法
比较次数
移动次数
最好 最差 最好
最差
稳 附加存储

最好
பைடு நூலகம்最差
直接插入排序 n
n2
0
n2

1
折半插入排序 冒泡排序 快速排序 简单选择排序 锦标赛排序 堆排序 归并排序
信息学奥赛数据结构知识点归纳
数据结构知识点归纳 数据结构的定义:数据在计算机中的组织。包 括逻辑结构( 数据之间的逻辑关系),存储结 构(数据之间关系的计算机表示),数据运算。 注意逻辑结构与具体的计算机无关。 算法基本特性:1.有穷性(有限时间)2.确定 性(算法确切)3.可行性(存在基本操作)4.有输 入(0++)5.有输出(1++) 一、顺序表: 线性表(a1,a2…,an)有唯一的第一个和最后一 个元素(n≥0)。其余的有唯一的前驱和后继。 在顺序表的第 i 个位置前插入一个数据元素, 需要向后移动 n - i +1 个元素,删除第 i 个 位置的元素需要向前移动 n- i 个元素。双链 表:例如在 q 所指结点的后面插入一个值为 x 的 新 结 点 方 法 (1) p->rlink=q->rlink; (2) p->llink=q; (3) q->rlink->llink=p; (4) q->rlink=p; 例 如 删 除 q 所 指 结 点 后 的 结 点 方 法 (1) q->llink->rlink=q->rlink;(2) q->rlink->llink=q->llink; 二、栈和队列 1、栈:允许在表的一端插入和删除的线性表。 栈底,不允许操作,栈顶,允许操作。原则: LIFO 后进先出。【例】设进栈顺序是(a,b,c,d), 不可能的出栈序列是:( C ) A. (a,b,c,d) B.(a,c,b,d) C. (a,d,b,c) D. (d,c,b,a) 2、队列:允许在表的一端插入,另一端删除 的线性表,队尾:插入端 队首:删除端;原 则:FIFO 先进先出,顺序队列空: front= rear, 队满:rear=MAX,循环队列空:rear=front, 队满为:(rear + 1)%MAX = front 三、数组: 四、树和二叉树 1.树的定义和术语 定义:是由 n (n≥0)个结点构成的有限集合,n=0 的树称为空树;当 n≠0 时,树中的结点应该满 足以下两个条件:(1) 有且仅有一个特定的结 点称之为根;(2) 其余结点分成 m(m≥0)个互不 相交的有限集合 T1, T2,……Tm,其中每一个集合 又都是一棵树,称 T1, T2,……Tm 为根结点的子 树。 结点:数据元素 + 若干指向子树的分支 结点的度:分支的个数

森林、树、二叉树的性质与关系

森林、树、二叉树的性质与关系

森林、树、⼆叉树的性质与关系森林、树、⼆叉树的性质与关系这篇博客写的太累了。

本⽂中对于这部分的讲解没有提到的部分:对于⼆叉树的遍历:重点讲了⾮递归遍历的实现⽅式和代码(递归⽅法使⽤的相对较多,请直接参考博客代码)对于哈夫曼编码和线索⼆叉树的代码实现没有列出。

树我们对于树和⼆叉树这⼀部分的内容主要研究树的逻辑结构和存储结构,由于计算机的特殊性存储结构及⼆叉树的简单性,我们更主要讨论⼆叉树的逻辑结构和存储结构并对其进⾏实现(其中包含⼆叉树的⼀些重要性质),另外我们在研究这⼀类问题时,⾸先要考虑到树与森林之间的转换,以及树与⼆叉树之间的转换。

从⽽简化为最简单的⼆叉树问题。

知识体系结构图:树的定义:(采⽤递归⽅法去定义树)树:n(n≥0)个结点的有限集合。

当n=0时,称为空树;任意⼀棵⾮空树满⾜以下条件:(1)有且仅有⼀个特定的称为根的结点;(2)当n>1时,除根结点之外的其余结点被分成m(m>0)个互不相交的有限集合T1,T2,… ,Tm,其中每个集合⼜是⼀棵树,并称为这个根结点的⼦树。

(⽤图的定义法去描述树:连通⽽不含回路的⽆向图称为⽆向树,简称树,常⽤T表⽰树)树的基本术语:结点的度:结点所拥有的⼦树的个数。

树的度:树中各结点度的最⼤值。

叶⼦结点:度为0的结点,也称为终端结点。

分⽀结点:度不为0的结点,也称为⾮终端结点。

孩⼦、双亲:树中某结点⼦树的根结点称为这个结点的孩⼦结点,这个结点称为它孩⼦结点的双亲结点;兄弟:具有同⼀个双亲的孩⼦结点互称为兄弟。

祖先、⼦孙:在树中,如果有⼀条路径从结点x到结点y,那么x就称为y的祖先,⽽y称为x的⼦孙。

路径:如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系:结点ni是ni+1的双亲(1<=i<k),则把n1, n2, …, nk称为⼀条由n1⾄nk的路径;路径上经过的边的个数称为路径长度。

结点所在层数:根结点的层数为1;对其余任何结点,若某结点在第k层,则其孩⼦结点在第k+1层。

树的详细介绍

树的详细介绍
是从根到该结点所经分支上的所有结点,反之,以某结 点为根的子树中的任一结点称为该结点的子孙,如K结 点的祖先结点有A、B、E,B结点的子孙结点有E 、F、 K、L。
(9)结点的层次(layer):从根开始,树的根结点的层次
(也称层数)定义为1,其余结点的层数等于它的双亲结点 的层数加1,如A结点的层数为1,K结点的层数为4。
(10)树的深度(depth):树中所有结点的最大层数
称为树的深度(也称高度),如树T的高度为4。
(11)有序树和无序树:树T中,如果各子树Ti之间是
有先后次序的,则称为有序树,否则称为无序树。
(12)森林:m (m>0)棵互不相交的树的集合。
一棵树删除根结点所剩子树的集合即为森林。
5.1.3树的基本操作
图5.2树的示例T
树的表示常见的有树状表示法和逻辑表示法 两种,图5.2给出了树状表示法的一个实例。树的 逻辑表示法则给出树中的结点的集合及这个集 合上的关系。如图5.2中的树可描述为T=(N,R)。
其中结点集合N={A,B,C,D,E,F,G,HJ,J,K,L}
N上的关系 R={<A,B>,<A,C>,<A,D>,<B,E>,<B ,F>,<C,G>,
叉树,则返回空值Null。 • (5)Parent(BT,X):返回结点x的双亲结点。当结点x为
根时,返回空值Null。 • (6)LeftChild(BT,x):返回结点x的左孩子.当结点x为
叶子结点或无左孩子时,返回空值Null。 • (7)RightChild(BT,x):返回结点x的右孩子。当结点x
为叶子结点或无右孩子时,返回空值Null。 • (8)TraverseTree(BT):遍历二叉树BT。按某种次序

第六章 树与二叉树

第六章 树与二叉树
44
森林的遍历
(4) 广度优先遍历(层次序 遍历) :
数据结构
若森林F为空,返回; 否则 依次遍历各棵树的根 结点; 依次遍历各棵树根结 点的所有子女; 依次遍历这些子女结 森林的二叉树表示 点的子女结点。
45
二叉树的计数 由二叉树的前序序列和中序序列可唯 一地确定一棵二叉树。例, 前序序列 { ABHFDECKG } 和中序序列 { HBDFAEKCG }, 构造二叉树过程如 下:
三个结点构成的不同的二叉树
8
用二 叉 树 表达实际问题
例2 双人比赛的所有可能的结局
开始

开局连赢两局 或五局三胜


甲 甲 乙

乙 甲 乙 甲 甲 乙

乙 甲



乙甲


乙 甲 乙
二叉树的性质
数据结构
性质1 若二叉树的层次从1开始, 则在二叉树的 第 i 层最多有 2i -1个结点。(i 1) [证明用数学归纳法] 性质2 高度为k的二叉树最多有 2k-1个结点。 (k 0) [证明用求等比级数前k项和的公式]
前序遍历二叉树算法的框架是 若二叉树为空,则空操作; 否则 – 访问根结点 (V); – 前序遍历左子树 (L); – 前序遍历右子树 (R)。
遍历结果 -+a*b-cd/ef
27
数据结构
后序遍历 (Postorder Traversal)
后序遍历二叉树算法的框架是 若二叉树为空,则空操作; 否则 – 后序遍历左子树 (L); – 后序遍历右子树 (R); – 访问根结点 (V)。
数据结构
36
左子女-右兄弟表示法 第一种解决方案

树,二叉树,森林

树,二叉树,森林

二叉树
二叉树性质(续) ② 高度为k的二叉树最多有2k-1个结点(k≥1) 证明:
高度为k的二叉树只有在每一层都达到最大结点数时,整个二叉树的结点数 才能达到最大。即当每层的结点数目都达到该层的最大结点数2i-1时(性质 2),对应的二叉树的结点数目取得最大值(等比数列求和) a1(1-qn)/(1-q)
因此如果把完全二叉树的各个结点按编号顺序依次存放到一个一维数组, 对于完全二叉树中任意结点i的双亲结点序号、左孩子结点序号和右孩子 结点序号都可由公式计算得到,具体做法是将n个结点存放到一维数组 a[n+1]中。这便是完全二叉树的顺序存储。
二叉树
带有结点编号的完全二叉树
二叉树
对于非完全二叉树是构造虚结点完成顺序存储
树的基本概念
A B E K L F C G H M D I J
back
树的基本概念
3、树的表示方法 (4种)
树形表示 文氏图表示 凹入表示
嵌套括号表示
A(B,C(D,E))
二叉树
二叉树是树型结构的一个重要类型,许多实际问题抽象 出来的数据结构都是二叉树的形式,此外一般的树也可以 简单的转换为二叉树,因此二叉树是特别重要的一种树结 构。 1、二叉树的定义: 二叉树(Binary Tree)是n(n≥0)个有限结点构成、 每个结点最多有两个孩子且有左右区分的有序树合。 n=0的树称为空二叉树;n>0的二叉树由一个根结点 和两个互不相交的、分别称作左子树和右子树的子二叉树 构成。
树、森林和二叉树的关系
树、森林和二叉树的关系
孩子兄弟表示法(二叉链表表示法): 链表中每个结点设有两个链域,分别指向该结点的第一个孩 子结点和下一个兄弟(右兄弟)结点。
树、森林和二叉树的关系

森林与二叉树之间的转换

森林与二叉树之间的转换

树、森林与二叉树的转换1、树转换为二叉树由于二叉树是有序的,为了避免混淆,对于无序树,我们约定树中的每个结点的孩子结点按从左到右的顺序进行编号。

将树转换成二叉树的步骤是:(1)加线。

就是在所有兄弟结点之间加一条连线;(2)抹线。

就是对树中的每个结点,只保留他与第一个孩子结点之间的连线,删除它与其它孩子结点之间的连线;(3)旋转。

就是以树的根结点为轴心,将整棵树顺时针旋转一定角度,使之结构层次分明。

树转换为二叉树的过程示意图2、森林转换为二叉树森林是由若干棵树组成,可以将森林中的每棵树的根结点看作是兄弟,由于每棵树都可以转换为二叉树,所以森林也可以转换为二叉树。

将森林转换为二叉树的步骤是:(1)先把每棵树转换为二叉树;(2)第一棵二叉树不动,从第二棵二叉树开始,依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树的根结点的右孩子结点,用线连接起来。

当所有的二叉树连接起来后得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。

森林转换为二叉树的转换过程示意图3、二叉树转换为树二叉树转换为树是树转换为二叉树的逆过程,其步骤是:(1)若某结点的左孩子结点存在,将左孩子结点的右孩子结点、右孩子结点的右孩子结点……都作为该结点的孩子结点,将该结点与这些右孩子结点用线连接起来;(2)删除原二叉树中所有结点与其右孩子结点的连线;(3)整理(1)和(2)两步得到的树,使之结构层次分明。

二叉树转换为树的过程示意图4、二叉树转换为森林二叉树转换为森林比较简单,其步骤如下:(1)先把每个结点与右孩子结点的连线删除,得到分离的二叉树;(2)把分离后的每棵二叉树转换为树;(3)整理第(2)步得到的树,使之规范,这样得到森林。

根据树与二叉树的转换关系以及二叉树的遍历定义可以推知,树的先序遍历与其转换的相应的二叉树的先序遍历的结果序列相同;树的后序遍历与其转换的二叉树的中序遍历的结果序列相同;树的层序遍历与其转换的二叉树的后序遍历的结果序列相同。

由森林与二叉树的转换关系以及森林与二叉树的遍历定义可知,森林的先序遍历和中序遍历与所转换得到的二叉树的先序遍历和中序遍历的结果序列相同。

数据结构 第六章-树

数据结构 第六章-树

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A B C D
E
F
G H
I J
A
E F H
G
B C
D A
I J
A
B C F
E H
G
B C D F
E G H I J
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I
D
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5. 二叉树转换成树和森林
二叉树转换成树 1. 加线:若p结点是双亲结点的左孩子,则将p的右孩 子,右孩子的右孩子,……沿分支找到的所有右孩 子,都与p的双亲用线连起来 2. 抹线:抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线 3. 调整:将结点按层次排列,形成树结构7Fra bibliotek6.3.2
树和森林的存储结构
树的存储结构有很多,既可以采用顺序存储结构, 也可以采用链式存储结构。但无论采用哪种存储方式, 都要求存储结构不仅能存储各结点本身的数据信息,还 要能惟一地反映树中各结点之间的逻辑关系。 双亲表示法 孩子链表表示法 孩子兄弟表示法
8
1.双亲表示法 除根外,树中的每个结点都有惟一的一个双亲结点,所以可以用一 组连续的存储空间存储树中的各结点。一个元素表示树中一个结点, 包含树结点本身的信息及结点的双亲结点的位臵。 A B E F C G H D I
}CTBox;
//树结构 typedef struct {CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n, r; }Ctree
12
3. 孩子-兄弟表示法(树的二叉链表)
孩子兄弟表示法用二叉链表作为树的存储结构。将树中的多支关系用 二叉链表的双支关系体现。 ※ 结点的左指针指向它的第一个孩子结点
//孩子结点结构 typedef struct CTNode
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树,二叉树,森林间的转换方法
<1>将树转换为二叉树
树中每个结点最多只有一个最左边的孩子(长子)和一个右邻的兄弟。

按照这种关系很自然地就能将树转换成相应的二叉树。

将一般树转化为二叉树的思路,主要根据树的孩子-兄弟存储方式而来,步骤是:
①加线:在各兄弟结点之间用虚线相连。

可理解为每个结点的兄弟指针指向它的一个兄弟。

②抹线:对每个结点仅保留它与其最左一个孩子的连线,抹去该结点与其他孩子之间的连线。

可理解为每个结点仅有一个孩子指针,让它指向自己的长子。

③旋转:把虚线改为实线从水平方向向下旋转45℃,成右斜下方向。

原树中实线成左斜下方向。

这样就树的形状成呈现出一棵二叉树。

如下图:
<2>二叉树转换为一般树
此时的二叉树必须是由某一树(一般树)转换而来的没有右子树的二叉树。

并非随便一棵二叉树都能还原成一般树。

其还原过程也分为三步:
①加线:若某结点i是双亲结点的左孩子,则将该结点i的右孩子以及当且仅当连续地沿着右孩子的右链不断搜索到所有右孩子,都分别与结点i的双亲结点用虚线连接。

②抹线:把原二叉树中所有双亲结点与其右孩子的连线抹去。

这里的右孩子实质上是原一般树中结点的兄弟,抹去的连线是兄弟间的关系。

③进行整理:把虚线改为实线,把结点按层次排列。

如图:
<3>二叉树转换为森林
将一棵二叉树转化成森林,可按如下步骤进行:
①抹线:将二叉树根结点与其右孩子之间的连线,以及沿着此右孩子的右链连续不继搜索到的右孩子间的连线抹掉。

这样就得到了若干棵根结点没有右子树的二叉树。

②将得到的这些二叉树用前述方法分别转化成一般树。

<4>森林转换为二叉树
森林是树的有限集合,如图3-55a所示。

由上节可知,一棵树可以转换为二叉树(没有右子树),一个森林就可以转换为二叉树(没有右子树)的森林。

将森林转换为二叉树的一般步骤为:
①将森林中每棵子树转换成相应的二叉树。

形成有若干二叉树的森林,如图3-55b所示。

②按森林图形中树的先后次序,依次将后边一棵二叉树作为前边一棵二叉树根结点的右子树,这样整个森林就生成了一棵二叉树,实际上第一棵树的根结点便是生成后的二叉树的根结点。

下图将一个森林转化为一棵二叉树的示例:。

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