微分几何习题含答案解析

所以曲线在任意点的密切平面的方程为 x a cos t y a sin t z bt
a sin t a cos t b = 0 ，即(b sin t )x-(b cos t )y+az-abt=0 .
a cos t a sin t 0
2. 求曲线 r = { t sin t ,t cos t ,t et } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切
-a sin t ,a cos t ,b}，s =
t
|
r '|dt
a 2 b 2 t ，所以 t
s
，
0
a2 b2
代入原方程得
r ={a cos
s , a sin
s,
bs
}
a2 b2
a2 b2
a2 b2
§4 空间曲线
1．求圆柱螺线 x =a cos t ， y =a sin t ， z = b t 在任意点的密切平面的方程。 解 r' ={ -a sin t ,a cos t ,b}, r'' ={-a cos t ,- a sin t ,0 }
即 e(t) 为常向量，（因为 e(t) 的长度固定）。
证 对于向量函数 r(t) ，设 e(t) 为其单位向量，则 r(t) = (t) e(t) ，若 r(t) 具有固
定方向，则
e (t )
为常向量，那么
r'
(t)
=
'
(t)
e ，所以
r
×
r'
=
'
（
e
×e
）= 0
。
反之，若 r × r ' = 0
线、主法线、副法线。
27
微分几何主要习题解答
解 原点对应 t=0 ,
r ' (0)={
sin t +t cos t , cos t - t sin t , et +t et }t0 ={0,1,1}，
r'
'
(0)
{2
cos
t
+
t cos t , cos t - t sin t ,2 et +t et }t0
n
及
n
与
r'
，
r'
'
的关系。
证
若
r(t)
平行于一固定平面π，设
n
是平面π的一个单位法向量，则
n
为常向
量，且
r (t
)
·
n
= 0 。两次求微商得 r' · n
=0
， r'' · n
=0
，即向量
r
，
r'
，
r'
'
垂直
于同一非零向量
n
，因而共面，即（
r
r'
r'
'
）=0
。
反之,
若（ r
r'
r
×
r'
求微商并将①式代入得
n
'
=r
×
r'
'
=
（
r
×
r'
）=
n
，于是
n
×
n'
=
0
，由上题知
n
有固定方向，而
r (t)
⊥
n ，即 r (t) 平行于固定平面。
§3 曲线的概念
3. 证明圆柱螺线 r ={
a
cos ,a sin , b } ( )的切线和 z 轴作固
+
cos } 对于新曲线 r' ={-cos sint+ sin cost ，cos cost+ sin sint，sin }={sin( -t),
具有固定长，
e · e' = 0） ，所以
e'
=
0
，即
e
为常向量。所以，
r (t
)
具有固定方向。
6．向量函数 r(t) 平行于固定平面的充要条件是（ r
r'
r' ' ）=0
。
分析：向量函数 r(t) 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量 n(t) ，使
r (t) · n
=0
，所以我们要寻求这个向量
r'
'
）=0，则有
r
×
r'
=
0
或 r × r'
0
。若
r
×
r'
=
0
，由上题知
r (t)
具有固定方向，自然平行于一固定平面，若
r
×
r'
0 ，则存在数量函数 (t) 、
(t)
，使
r'
'
=
r
+
r'
①
26
微分几何主要习题解答
令
n
=
r
×
r'
，则
n
0
，且
r (t)
⊥
n(t
)
。对
n
=
={2,0,2} ，
所以切线方程是 x y z ，法面方程是 y + z = 0 ； 011
xyz
密切平面方程是 0 1 1 =0 ，即 x+y-z=0 ，
202
x y z 0
主法线的方程是
y z 0
即x y z ； 2 1 1
从切面方程是 2x-y+z=0 ,副法线方程式 x y z 。 1 1 1
微分几何主要习题解答
第一章 曲线论
§2 向量函数
5.
向量函数 r (t) 具有固定方向的充要条件是 r (t)
×
r ' (t) =
0。
分析：一个向量函数 r(t) 一般可以写成 r(t) = (t) e(t) 的形式，其中 e(t) 为单位向
量函数， (t) 为数量函数，那么 r(t) 具有固定方向的充要条件是 e(t) 具有固定方向，
，对
r (t
)
=
(t)
e (t
)
求微商得
r'
=
'
e +
e
'
，于是
r
×
r'
=
2
（
e
×
e'
）=
0
，则有
=0
或
e
×
e
'
=
0
。当
(t)
=
0
时，
r (t)
=
0
可与任意方
向平行；当
0
时，有
e
×
e'
=
0
，而（
e
×
e'
)
2
=
e
2
e'
2
-(
e
·
e
'
)
2
＝
e'
2
，（因为
e
r
'
=
{-cos
sint,
cos
cost,
sin
},
r'
'
={
-cos
cost,-
cos
sint
,
0
}
|
r'r' ' r'r' '
|
{sin
sint
,-
sin
cost
,
cos
}
新曲线的方程为
r
={
cos
cost
+
sin sint
，cos sint-
sin cost
，tsin
3．证明圆柱螺线 x =a cos t ， y =a sin t ， z = b t 的主法线和 z 轴垂直相交。
证
r'
={
-a sin
t
,a
cos t
,b},
r'' ={-a cos t ,-
a sin t
,0
}
，由
r'
⊥
r'
'
知
r'
'
为主
法线的方向向量，而
r'
'
k
0
所以主法线与 z 轴垂直；主法线方程是
定角。
证明
r'设切线与 z 轴夹角为 ,则 cos
=
r'k
b
为常数，故 为定角（其中 k 为 z 轴的单位向量）。
| r || e | a 2 b 2
10. 将圆柱螺线 r ={a cos t ，a sin t ，b t }化为自然参数表示。
解
r'= {
x a cos t y a sin t z bt
cos t
sin t
0
与 z 轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和 z 轴垂直相交。
4.在曲线 x = cos cost ,y = cos sint , z = tsin 的副法线的正向取单位长，
求其端点组成的新曲线的密切平面。
解