(完整版)极坐标与参数方程知识点、题型总结(最新整理)

极坐标与参数方程知识点、题型总结

一、伸缩变换：点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

),(y x P 的作用下，点对应到点，称伸缩变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').

0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ),(y x P ),(y x P '''一、1、极坐标定义：M 是平面上一点，表示OM 的长度，是，则有序实数实

ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极角；一般地，，。，点P 的直角坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)

2、直角坐标极坐标 2、极坐标直角坐标⇒cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩⇒222tan (0)x y y x x

ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪

⎩3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：

ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0

二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的

坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确y x ,t ⎩

⎨⎧==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的y x ,t 方程叫做普通方程。

（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程

1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： （t 为参数）α

αsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|

(2)直线上对应的参数是。|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝

.

12,P P 12,t t t 1＋t 2 2－4t 1t 2

直线的一般参数方程：

（t 为参数）若，则上面（1）、（2）中00x x at y y bt

=+=+221a b +=的几何意义成立，否则，不成立。

（2）圆心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：

（为参数）θ

θsin cos 00r y y r x x +=+=θ（3）椭圆（或）：22221x y a b +=22

221y x a b

+=（为参数） （或 ）θθsin cos b y a x ==θθ

θsin cos a y b x ==（4）抛物线 ：（t 为参数，p ＞0）

2

2y px =pt y pt x 222

==题型归类：（1）极坐标与直角坐标的互相转化

（2） (3) 参数方程与普通方程互化{利用参数方程求值域

参数的几何意义

一、极坐标方程与直角方程的互化，求极坐标方程：方法：代公式

1．已知某圆的极坐标方程为0

6)4cos(242=+--π

θρρ（I ）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（II ）若点(,)P x y 在该圆上，求x y +的最大值和最小值．6,2

2极坐标方程表示的曲线是（ ） 抛物线

24sin 52θ

ρ⋅=3、直线的极坐标方程为 sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝

⎭4、极坐标方程转化成直角坐标方程为 2cos 0ρθρ-=201

y +==2x 或x 二、参数方程与普通方程的互化

1、参数方程普通方程：方法;消参, 普通方程参数方程：代公式

⇒⇒5、方程表示的曲线是（ ）2222

t t t t x t y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（为参数）

A. 双曲线

B.双曲线的上支

C.双曲线的下支

D.圆

6. 已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）.（Ⅰ）设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；1

（Ⅱ）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的2

1倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.

)12(4

6-7.

曲线C ：曲线D

：。cos (sin x

y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）

(x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（1）指出曲线C 、D 分别是什么曲线？并说明曲线C 与D 公共点人的个数。

（2）若把曲线C 、D 上各点的纵坐标压缩为原来的2

1倍，分别得到曲线C1、D1，请写出曲线C1、D1的参数方程，说明其公共点的个数和曲线C 、D 公共点是否相同？

2、普通方程化为参数方程

8.直线过点，倾斜角，（1）写出的参数方程；l (1,1)P 6πα=

l （2）直线与圆相交于A 、B 两点，求。l 2cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩

为参数）||||PA PB A 9.点为椭圆上一点，求（1）的范围；P(x,y)2

213

x y +=S x y =+（2）若垣成立，求a 的范围。

0x y a ++≥

题型三、利用参数方程求值域

10、在曲线：上求一点，使它到直线：1C ⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθ

θ(sin cos 12C 距离最小，并求出该点坐标和最小距离。1 P （

1-，-）12(112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）222211、曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线L 的参数方程是⎪⎩

⎪⎨⎧=

+-=,54253t y t x （t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；0222=-+y y x （Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求MN 的最大值

1

+题型四：直线参数方程中的参数的几何意义

12、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6π

α=，①写出直线l 的参数方程;

②设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B

，求点P 到,A B 两点的距离之积.2

13、求直线（）被曲线所截的弦长. 415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩

为参数t 4πρθ=+7

514直线被圆截得的弦长为12()2x t t y t

=

+⎧⎨=+⎩为参数229x y +=15曲线的参数方程为（为参数），将曲线上所有点的横坐标伸长为1C cos sin x y θθ

=⎧⎨=⎩θ1C 原来的2倍，得到曲线.以平面直角坐标系xOy 的原点

2C O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.（1）求曲线和直线的普通方程；（2）为曲线上任:(2sin )6l cos ρθθ-=2C l P 2C 意一点，求点P 到直线的距离的最值.

l