2019年天津卷理数高考真题文档版(含答案)

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精品解析：2019年天津市高考数学试卷(理科)(解析版)

【分析】
建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解。
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则 B(2 3, 0) ， D(5 3 , 5) 。 22
因为 AD ∥ BC ， BAD 30 ，所以 CBE 30 ，因为 AE BE ，所以 BAE 30 ，
所以直线 BE 的斜率为 3 ，其方程为 y 3 (x 2 3) ，
【答案】D
【解析】【分析】
先求 A B ，再求 ( A C) B 。【详解】因为 A C {1, 2} ，所以 ( A C) B {1, 2,3, 4}.
故选 D。【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
棱锥底面的中心，圆柱的底面半径为
1 2
，故圆柱的体积为

1 2
2
1

4
。
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
8
x 2 2 cos ,
12.设
a

R
，直线
ax

y

2

0
和圆

y

1

2
sin

（为参数）相切，则 a 的值为____.
A. 2
B. 3
C. 2
D. 5
【答案】D
【解析】
4
【分析】
只需把 AB 4 OF 用 a, b, c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】抛物线 y2 4x 的准线 l 的方程为 x 1 ，

(精校版)2019年天津卷理数高考试题文档版(含答案)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …，则()A C B =A.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,42.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……则目标函数4z x y =-+的最大值为A.2B.3C.5D.6 3.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 A.5 B.8 C.24 D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为C.2 6.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭A.2-B. D.28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(天津卷)(含答案)

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保持平常心，顺其自然2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U . ·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R „，则()A C B =I UA.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,42.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……则目标函数4z x y =-+的最大值为A.2B.3C.5D.6 3.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 A.5 B.8 C.24 D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 23256.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.22 D.28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩„若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2019年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭ (D) ⎛- ⎝⎭∞ 2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10) 6x⎛ ⎝ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为6, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2019年天津市高考数学试卷(理科)-含答案

2019年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈<„，则()(A C B =I U)A ．{2}B ．{2，3}C ．{1-，2，3}D ．{1，2，3，4}2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩„………则目标函数4z x y =-+的最大值为() A ．2B ．3C ．5D ．63．（5分）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A ．5B ．8C ．24D ．295．（5分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为()A B C ．2D6．（5分）已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a c b <，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x的最小正周期为2π，且()4g π，则3()(8f π= )A ．2-B ．CD ．28．（5分）已知a R ∈．设函数222,1,(),1x ax a x f x x alnx x ⎧-+=⎨->⎩g „若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，]eD ．[1，]e二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）i 是虚数单位，则5||1ii-+的值为． 10．（5分）831(2)8x x -的展开式中的常数项为．11．（5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．12．（5分）设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）相切，则a 的值为．13．（5分）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为．14．（5分）在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB =5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE =u u u r u u u rg ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin(2)6B π+的值．16．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．17．（13分）如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==．（Ⅰ）求证：//BF 平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．18．（13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为45．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||(ON OF O =为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．19．（14分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,k k n kk n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈． ()i 求数列22{(1)}n n a c -的通项公式； ()ii 求2*1()ni i i a c n N =∈∑．20．（14分）设函数()cos x f x e x =，()g x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[4x π∈，]2π时，证明()()()02f xg x x π+-…；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间(24n ππ+，2)2n ππ+内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n e n x x x πππ-+-<-．2019年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈<„，则()(A C B =I U)A ．{2}B ．{2，3}C ．{1-，2，3}D ．{1，2，3，4}【分析】根据集合的基本运算即可求A C I ，再求()A C B I U ；【解答】解：设集合{1A =-，1，2，3，5}，{|13}C x R x =∈<„，则{1A C =I ，2}， {2B =Q ，3，4}，(){1A C B ∴=I U ，2}{2⋃，3，4}{1=，2，3，4}；故选：D ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩„………则目标函数4z x y =-+的最大值为() A ．2B ．3C ．5D ．6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩„………作出可行域如图：联立120x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得(1,1)A -，化目标函数4z x y =-+为4y x z =+，由图可知，当直线4y x z =+过A 时，z 有最大值为5．故选：C ．【点评】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 3．（5分）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果【解答】解：250x x -<Q ，05x ∴<<， |1|1x -<Q ，02x ∴<<， 05x <<Q 推不出02x <<， 0205x x <<⇒<<，05x ∴<<是02x <<的必要不充分条件，即250x x -<是|1|1x -<的必要不充分条件．故选：B ．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题． 4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A ．5B ．8C ．24D ．29【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：1i =，0s =；第一次执行第一个判断语句后，1S =，2i =，不满足条件；第二次执行第一个判断语句后，1j =，5S =，3i =，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，8S =，4i =，满足退出循环的条件；故输出S 值为8，故选：B ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5．（5分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为()A B C ．2D【分析】推导出(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，2||bAB a=，||1OF =，从而2b a =，进而c =，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：Q 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ． (1,0)F ∴，准线l 的方程为1x =-，l Q 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点）， 2||b AB a ∴=，||1OF =，∴24b a=，2b a ∴=，c ∴==，∴双曲线的离心率为ce a=故选：D ．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．6．（5分）已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a c b <，a 、c 都小于1．再对a 、c 的表达式进行变形，判断a 、c 之间的大小．【解答】解：由题意，可知： 5log 21a =<，110.5122221log 0.25log 5log 425b log log --====>=． 0.20.51c =<，b ∴最大，a 、c 都小于1．521log 25a log ==Q，10.2510.5()2c ===而22log 5log 42>=>∴215log <． a c ∴<，a cb ∴<<．故选：A ．【点评】本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数1作为中间量来比较．本题属基础题．7．（5分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且()4g π，则3()(8f π= )A ．2-B．CD ．2【分析】根据条件求出ϕ和ω的值，结合函数变换关系求出()g x 的解析式，结合条件求出A 的值，利用代入法进行求解即可．【解答】解：()f x Q 是奇函数，0ϕ∴=，则()sin()f x A x ω=将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．即1()sin()2g x A x ω=()g x Q 的最小正周期为2π，∴2212ππω=，得2ω=，则()sin g x A x =，()sin 2f x A x =，若()4g π=，则()sin 44g A A ππ===2A =，则()2sin 2f x x =，则333()2sin(22sin 2884f πππ=⨯== 故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A ，ω和ϕ的值是解决本题的关键．8．（5分）已知a R ∈．设函数222,1,(),1x ax a x f x x alnx x ⎧-+=⎨->⎩g „若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，]eD ．[1，]e【分析】分2段代解析式后，分离参数a ，再构造函数求最值可得．【解答】解：当1x =时，f （1）12210a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a ax =-+⇔-厖恒成立，令2222(11)(1)2(1)11()(12)2)011111x x x x x g x x x x x x x -----+==-=-=-=--+--=-----„，2()0max a g x ∴=…，0a ∴>．当1x >时，()0xf x x alnx alnx=-⇔厔恒成立，令()x h x lnx=，则2211()()()lnx x lnx x h x lnx lnx --'==g，当x e >时，()0h x '>，()h x 递增，当1x e <<时，()0h x ''<，()h x 递减，x e ∴=时，()h x 取得最小值h （e ）e =， ()min a h x e ∴=…，综上a 的取值范围是[0，]e ．故选：C ．【点评】本题考查了函数恒成立，属中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）i 是虚数单位，则5||1ii-+【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．【解答】解：由题意，可知：225(5)(1)56231(1)(1)1i i i i i i i i i i -+---+===-++--，5|||23|1ii i-∴=-+【点评】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算．本题属基础题． 10．（5分）831(2)8x x-的展开式中的常数项为 28 ．【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x 的指数为0即可得到r 的值，代入r 的值即可算出常数项．【解答】解：由题意，可知：此二项式的展开式的通项为： 888188833111(2)()2()()(1)288r r r r rr r r r r r T C x C x C x x---+=-=-=-g g g g g 8484rr x --g ．∴当840r -=，即2r =时，1r T +为常数项．此时22218(1)2T C +=-g 84228-⨯=．故答案为：28．【点评】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项．本题属基础题．11．（5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为4π．【分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于12；由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，则该圆柱的体积为：21()124v sh ππ==⨯=；故答案为：4π 【点评】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题． 12．（5分）设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）相切，则a 的值为 34．【分析】推导出圆心(2,1)到直线20ax y -+=的距离：2d r ===，由此能求出a 的值．【解答】解：a R ∈Q ，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）相切， ∴圆心(2,1)到直线20ax y -+=的距离：2d r ==，解得34a =．故答案为：34．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与圆相切的性质、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．（5分）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为【分析】利用基本不等式求最值．【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，===；由基本不等式有：=时，即：3xy=，25x y+=时，即：31xy=⎧⎨=⎩或232xy=⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，的最小值为故答案为：【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．14．（5分）在四边形ABCD中，//AD BC，AB=5AD=，30A∠=︒，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE=，则BD AE=u u u r u u u rg1-．【分析】利用ADu u u r和ABu u u r作为基底表示向量BDu u u r和AEu u u r，然后计算数量积即可．【解答】解：AE BE=Q，//AD BC，30A∠=︒，∴在等腰三角形ABE中，120BEA∠=︒，又AB=2AE∴=，∴25BE AD=-u u u r u u u r，Q AE AB BE=+u u u r u u u r u u u r，∴25AE AB AD=-u u u r u u u r u u u r又BD BA AD AB AD=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2()()5BD AE AB AD AB AD=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g227255AB AB AD AD=-+-u u u r u u u r u u u r u u u rg2272||||cos55AB AB AD A AD=-+-u u u r u u u u u r u u u u u r u u u rg721252555=-+⨯⨯-⨯1=-故答案为：1-．【点评】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2b c a+=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin(2)6B π+的值．【分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得43a b =，23a c =，由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-g g ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B，从而sin 22sin cos B B B ==， 227cos2cos sin 8B B B =-=-，故71sin(2)sin 2cos cos2sin 66682B B B πππ+=+=-⨯=．【点评】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．属中档题． 16．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【分析】()I 甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23，故2~()3X B ，可求分布列及期望；()II 设乙同学上学期间的三天中7:30到校的天数为Y ，则2~(3,)3Y B ，且{3M X ==，1}{2Y X ==⋃，0}Y =，由题意知{3X =，1}Y =与{2X =，0}Y =互斥，且{3}X =与{1}Y =，{2}X =与{0}Y =相互独立，利用相互对立事件的个概率公式可求【解答】解：()I 甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()()()33k k k P x k C -==，0k =，1，2，3．2()323E X =⨯=； ()II 设乙同学上学期间的三天中7:30到校的天数为Y ，则2~(3,)3Y B ，且{3M X ==，1}{2Y X ==⋃，0}Y =，由题意知{3X =，1}Y =与{2X =，0}Y =互斥，且{3}X =与{1}Y =，{2}X =与{0}Y =相互独立，由()I 知，()({3P M P X ==，1}{2Y X ==⋃，0}({3Y P X ===，1}{2Y P X =+=，0}Y = 824120(3)(1)(2)(0)279927243P X P Y P X P Y ===+===⨯+⨯=【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件与相互独立事件的概率计算公式，考查运算概率公式解决实际问题的能力．17．（13分）如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==．（Ⅰ）求证：//BF 平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．【分析】（Ⅰ）以A 为坐标原点，分别以AB u u u r ，AD u u u r ，AE u u u r所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得A ，B ，C ，D ，E 的坐标，设(0)CF h h =>，得(1F ，2，)h ．可得(1,0,0)AB =u u u r是平面ADE 的法向量，再求出(0,2,)BF h =u u u r ，由0BF AB =u u u r u u u rg ，且直线BF ⊂/平面ADE ，得//BF 平面ADE ；（Ⅱ）求出(1,2,2)CE =--u u u r，再求出平面BDE 的法向量，利用数量积求夹角公式得直线CE与平面BDE 所成角的余弦值，进一步得到直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）求出平面BDF 的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为13列式求线段CF 的长．【解答】（Ⅰ）证明：以A为坐标原点，分别以AB u u u r ，AD u u u r ，AE u u u r所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，可得(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(1C ，2，0)，(0D ，1，0)，(0E ，0，2)．设(0)CF h h =>，则(1F ，2，)h ．则(1,0,0)AB =u u u r 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =u u u r ，可得0BF AB =u u u r u u u rg ．又Q 直线BF ⊂/平面ADE ，//BF ∴平面ADE ；（Ⅱ）解：依题意，(1,1,0)BD =-u u u r ，(1,0,2)BE =-u u u r ，(1,2,2)CE =--u u u r．设(,,)n x y z =r为平面BDE 的法向量，则020n BD x y n BE x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，令1z =，得(2,2,1)n =r ．4cos ,9||||CE n CE n CE n ∴<>==-u u u r r u u u r g r u u u r r g ． ∴直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49；（Ⅲ）解：设(,,)m x y z =r为平面BDF 的法向量，则020m BD x y m BF y hz ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，取1y =，可得2(1,1,)m h =-r ，由题意，22|4|||1|cos ,|||||3432m n h m n m n h -<>===⨯+r rg r rr r g ，解得87h =．经检验，符合题意． ∴线段CF 的长为87．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角与二面角的大小，是中档题．18．（13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||(ON OF O =为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【分析】（Ⅰ）由题意可得2b =，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，c ，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）(0,2)B ，设PB 的方程为2y kx =+，联立椭圆方程，求得P 的坐标，M 的坐标，由OP MN ⊥，运用斜率之积为1-，解方程即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得24b =，即2b =，c e a ==222a b c -=，解得a ，1c =，可得椭圆方程为22154x y +=；（Ⅱ）(0,2)B ，设PB 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程224520x y +=，可得22(45)200k x kx ++=，解得22045kx k =-+或0x =，即有220(45kP k -+，22810)45k k -+，2y kx =+，令0y =，可得2(M k-，0)，又(0,1)N -，OP MN ⊥，可得281011220k k k-=---g，解得k = 可得PB的斜率为【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题．19．（14分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,k k n kk n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈． ()i 求数列22{(1)}n n a c -的通项公式； ()ii 求2*1()ni i i a c n N =∈∑．【分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，利用等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，能求出{}n a 和{}n b 的通项公式．（Ⅱ）()i 由222(1)(1)n n n n a c a b -=-，能求出数列22{(1)}n n a c -的通项公式． (Tex translation failed)，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依题意有：26626124q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩，4(1)331n a n n ∴=+-⨯=+，16232n n n b -=⨯=⨯．（Ⅱ）()i Q 数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,k k n kk n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈． 222(1)(1)(321)(321)941n n n n n n n a c a b ∴-=-=⨯+⨯-=⨯-，∴数列22{(1)}n n a c -的通项公式为：22(1)941n n n a c -=⨯-．(Tex translation failed)12(21)(243)(941)2n n nni i =-=⨯+⨯+⨯-∑2114(14)(3252)914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--2112725212n n n +-=⨯+⨯--．*()n N ∈．【点评】本题考查等差数列、等比数列通项公式及前n 项和等基础知识，考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．20．（14分）设函数()cos x f x e x =，()g x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[4x π∈，]2π时，证明()()()02f xg x x π+-…；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间(24n ππ+，2)2n ππ+内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n e n x x x πππ-+-<-．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得当(24x k ππ∈+，52)()4k k Z ππ+∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当3(24x k ππ∈-，2)()4k k Z ππ+∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；（Ⅱ）记()()()()2h x f x g x x π=+-，依题意及（Ⅰ），得到()(cos sin )x g x e x x =-，由()0h x '<，得()h x 在区间[4π，]2π上单调递减，有()()()022h x h f ππ==…，从而得到当[4x π∈，]2π时，()()()02f xg x x π+-…；（Ⅲ）依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos 1n x n e x =，记2n n y x n π=-，则(,)42n y ππ∈，且2()()n n f y e x N π-=∈．由20()1()n n f y e f y π-==„及（Ⅰ），得0n y y …，由（Ⅱ）知，当(4x π∈，)2π时，()g x 在[4π，]2π上为减函数，有0()()()04n g y g y g π<=„，又由（Ⅱ）知，()()()02n n n f y g y y π+-…，得0222200000()2()()()sin cos (sin cos )n n n n n n y n n f y e e e e y g y g y g y x x e y y πππππ-----=-=<--剟，从而证得20022sin cos n n e n x x x πππ-+-<-．【解答】（Ⅰ）解：由已知，()(cos sin )x f x e x x '=-，因此，当(24x k ππ∈+，52)()4k k Z ππ+∈时，有sin cos x x >，得()0f x '<，()f x 单调递减；当3(24x k ππ∈-，2)()4k k Z ππ+∈时，有sin cos x x <，得()0f x '>，()f x 单调递增． ()f x ∴的单调增区间为3[24k ππ-，2]()4k k Z ππ+∈，单调减区间为[，52]()4k k Z ππ+∈；（Ⅱ）证明：记()()()()2h x f x g x x π=+-，依题意及（Ⅰ），有()(cos sin )x g x e x x =-，从而()()()()()(1)()()022h x f x g x x g x g x x ππ'='+'-+-='-<g g ．因此，()h x 在区间[4π，]2π上单调递减，有()()()022h x h f ππ==…．∴当[4x π∈，]2π时，()()()02f xg x x π+-…；（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos 1n x n e x =．记2n n y x n π=-，则(,)42n y ππ∈，且22()cos cos(2)()n n y x n n n n n f y e y e x n e x N πππ--==-=∈．由20()1()n n f y e f y π-==„及（Ⅰ），得0n y y …，由（Ⅱ）知，当(4x π∈，)2π时，()0g x '<，()g x ∴在[4π，]2π上为减函数，因此，0()()()04n g y g y g π<=„，又由（Ⅱ）知，()()()02n n n f y g y y π+-…，故0222200000()2()()()sin cos (sin cos )n n n n n n y n n f y e e e e y g y g y g y x x e y y πππππ-----=-=<--剟． 20022sin cos n n e n x x x πππ-∴+-<-．【点评】本题主要考查导数的运算，不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归与转化思想，考查抽象概括能力、综合分析问题与解决问题的能力，属难题．。

2019年天津市高考数学试卷(理科)以及答案解析

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4} 2．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（）A．2B．3C．5D．63．（5分）设x∈R，则“x2﹣5x＜0”是“|x﹣1|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．5B．8C．24D．295．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线﹣＝1（a＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．6．（5分）已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（）＝，则f（）＝（）A．﹣2B．﹣C．D．28．（5分）已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1]B．[0，2]C．[0，e]D．[1，e]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）i是虚数单位，则||的值为．10．（5分）（2x﹣）8的展开式中的常数项为．11．（5分）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．12．（5分）设a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，则a的值为．13．（5分）设x＞0，y＞0，x+2y＝5，则的最小值为．14．（5分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则•＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3c sin B ＝4a sin C．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．16．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．17．（13分）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC ＝2．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长．18．（13分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．19．（14分）设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2﹣2，b3＝2a3+4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c1＝1，c n＝其中k∈N*．（i）求数列{a（c﹣1）}的通项公式；（ii）求a i c i（n∈N*）．20．（14分）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）设x n为函数u（x）＝f（x）﹣1在区间（2nπ+，2nπ+）内的零点，其中n∈N，证明2nπ+﹣x n＜．2019年天津市高考数学（理科）答案解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B；【解答】解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则A∩C＝{1，2}，∵B＝{2，3，4}，∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1），化目标函数z＝﹣4x+y为y＝4x+z，由图可知，当直线y＝4x+z过A时，z有最大值为5．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．3．【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果【解答】解：∵x2﹣5x＜0，∴0＜x＜5，∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件，即x2﹣5x＜0是|x﹣1|＜1的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．4．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：i＝1，s＝0；第一次执行第一个判断语句后，S＝1，i＝2，不满足条件；第二次执行第一个判断语句后，j＝1，S＝5，i＝3，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，S＝8，i＝4，满足退出循环的条件；故输出S值为8，故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5．【分析】推导出F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，|AB|＝，|OF|＝1，从而b＝2a，进而c＝＝，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．∴F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，∵l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），∴|AB|＝，|OF|＝1，∴，∴b＝2a，∴c＝＝，∴双曲线的离心率为e＝．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．6．【分析】本题先将a、b、c的大小与1作个比较，发现b＞1，a、c都小于1．再对a、c 的表达式进行变形，判断a、c之间的大小．【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2＝＝＝log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52＝，c＝0.50.2＝＝＝．而log25＞log24＝2＞，∴＜．∴a＜c，∴a＜c＜b．故选：A．【点评】本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数1作为中间量来比较．本题属基础题．7．【分析】根据条件求出φ和ω的值，结合函数变换关系求出g（x）的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，则f（x）＝A sin（ωx）将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．即g（x）＝A sin（ωx）∵g（x）的最小正周期为2π，∴＝2π，得ω＝2，则g（x）＝A sin x，f（x）＝A sin2x，若g（）＝，则g（）＝A sin＝A＝，即A＝2，则f（x）＝2sin2x，则f（）＝2sin（2×＝2sin＝2×＝，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．8．【分析】分2段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得．【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a≥恒成立，令g（x）＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣（1﹣x+﹣2）≤﹣（2﹣2）＝0，∴2a≥g（x）max＝0，∴a＞0．当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a≤恒成立，令h（x）＝，则h′（x）＝＝，当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，当1＜x＜e时，h′（x）＜0，h（x）递减，∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，∴a≤h（x）＝e，综上a的取值范围是[0，e]．故选：C．【点评】本题考查了函数恒成立，属中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．【解答】解：由题意，可知：＝＝＝2﹣3i，∴||＝|2﹣3i|＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算．本题属基础题．10．【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x的指数为0即可得到r 的值，代入r的值即可算出常数项．【解答】解：由题意，可知：此二项式的展开式的通项为：T r+1＝（2x）8﹣r＝•28﹣r•（﹣）r•x8﹣r•（）r＝•（﹣1）r28﹣4r•x8﹣4r．∴当8﹣4r＝0，即r＝2时，T r+1为常数项．此时T2+1＝•（﹣1）228﹣4×2＝28．故答案为：28．【点评】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项．本题属基础题．11．【分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，则该圆柱的体积为：v＝sh＝π（）2×1＝；故答案为：【点评】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题．12．【分析】推导出圆心（2，1）到直线ax﹣y+2＝0的距离：d＝＝2＝r，由此能求出a的值．【解答】解：∵a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，∴圆心（2，1）到直线ax﹣y+2＝0的距离：d＝＝2＝r，解得a＝．故答案为：．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与圆相切的性质、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．【分析】利用基本不等式求最值．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y＝5，则＝＝＝2+；由基本不等式有：2+≥2＝4；当且仅当2＝时，即：xy＝3，x+2y＝5时，即：或时；等号成立，故的最小值为4；故答案为：4【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．14．【分析】利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即可．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝＝＝＝﹣12+×5×2×﹣＝﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC中，由正弦定理＝，得b sin C＝c sin B，又由3c sin B＝4a sin C，得3b sin C＝4a sin C，即3b＝4a．又因为b+c＝2a，得b＝，c＝，由余弦定理可得cos B＝＝＝﹣．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B＝＝，从而sin2B＝2sin B cos B＝﹣，cos2B＝cos2B﹣sin2B＝﹣，故sin（2B+）＝sin2B cos+cos2B sin＝﹣×﹣×＝﹣．【点评】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．属中档题．16．【分析】（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B（），可求分布列及期望；（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），且M＝{X ＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，利用相互对立事件的个概率公式可求【解答】解：（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B（3，），从而P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3．所以，随机变量X的分布列为：X0123P随机变量X的期望E（X）＝3×＝2．（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y ＝0}＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0）＝＝【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件与相互独立事件的概率计算公式，考查运算概率公式解决实际问题的能力．17．【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得A，B，C，D，E的坐标，设CF＝h（h＞0），得F（1，2，h）．可得是平面ADE的法向量，再求出，由，且直线BF⊄平面ADE，得BF∥平面ADE；（Ⅱ）求出，再求出平面BDE的法向量，利用数量积求夹角公式得直线CE与平面BDE所成角的余弦值，进一步得到直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求出平面BDF的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为列式求线段CF的长．【解答】（Ⅰ）证明：以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）．设CF＝h（h＞0），则F（1，2，h）．则是平面ADE的法向量，又，可得．又∵直线BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE；（Ⅱ）解：依题意，，，．设为平面BDE的法向量，则，令z＝1，得．∴cos＜＞＝．∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：设为平面BDF的法向量，则，取y＝1，可得，由题意，|cos＜＞|＝，解得h＝．经检验，符合题意．∴线段CF的长为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角与二面角的大小，是中档题．18．【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝2，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，c，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）B（0，2），设PB的方程为y＝kx+2，联立椭圆方程，求得P的坐标，M的坐标，由OP⊥MN，运用斜率之积为﹣1，解方程即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2b＝4，即b＝2，e＝＝，a2﹣b2＝c2，解得a＝，c＝1，可得椭圆方程为+＝1；（Ⅱ）B（0，2），设PB的方程为y＝kx+2，代入椭圆方程4x2+5y2＝20，可得（4+5k2）x2+20kx＝0，解得x＝﹣或x＝0，即有P（﹣，），y＝kx+2，令y＝0，可得M（﹣，0），又N（0，﹣1），OP⊥MN，可得•＝﹣1，解得k＝±，可得PB的斜率为±．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题．19．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，利用等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，能求出{a n}和{b n}的通项公式．（Ⅱ）（i）由a（c﹣1）＝（b n﹣1），能求出数列{a（c﹣1）}的通项公式．（ii）a i c i＝[a i+a i（c i﹣1）]＝+＝（×3）+，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，依题意有：，解得，∴a n＝4+（n﹣1）×3＝3n+1，b n＝6×2n﹣1＝3×2n．（Ⅱ）（i）∵数列{c n}满足c1＝1，c n＝其中k∈N*．∴a（c﹣1）＝（b n﹣1）＝（3×2n+1）（3×2n﹣1）＝9×4n﹣1，∴数列{a（c﹣1）}的通项公式为：a（c﹣1）＝9×4n﹣1．（ii）a i c i＝[a i+a i（c i﹣1）]＝+＝（×3）+＝（3×22n﹣1+5×2n﹣1）+9×﹣n＝27×22n+1+5×2n﹣1﹣n﹣12．（n∈N*）．【点评】本题考查等差数列、等比数列通项公式及前n项和等基础知识，考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．20．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得当x∈（，）（k∈Z）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，）（k∈Z）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）记h（x）＝f（x）+g（x）（），依题意及（Ⅰ），得到g（x）＝e x（cos x﹣sin x），由h′（x）＜0，得h（x）在区间[，]上单调递减，有h（x）≥h（）＝f（）＝0，从而得到当x∈[，]时，f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）依题意，u（x n）＝f（x n）﹣1＝0，即，记y n＝x n﹣2nπ，则y n∈（），且f（y n）＝e﹣2nπ（x∈N）．由f（y n）＝e﹣2nπ≤1＝f（y0）及（Ⅰ），得y n≥y0，由（Ⅱ）知，当x∈（，）时，g（x）在[，]上为减函数，有g（y n）≤g（y0）＜g（）＝0，又由（Ⅱ）知，，得＝＜，从而证得2nπ+﹣x n＜．【解答】（Ⅰ）解：由已知，f′（x）＝e x（cos x﹣sin x），因此，当x∈（，）（k∈Z）时，有sin x＞cos x，得f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，）（k∈Z）时，有sin x＜cos x，得f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（x）的单调增区间为[，]（k∈Z），单调减区间为[，]（k∈Z）；（Ⅱ）证明：记h（x）＝f（x）+g（x）（），依题意及（Ⅰ），有g（x）＝e x（cos x﹣sin x），从而h′（x）＝f′（x）+g′（x）•（）+g（x）•（﹣1）＝g′（x）（）＜0．因此，h（x）在区间[，]上单调递减，有h（x）≥h（）＝f（）＝0．∴当x∈[，]时，f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）证明：依题意，u（x n）＝f（x n）﹣1＝0，即．记y n＝x n﹣2nπ，则y n∈（），且f（y n）＝＝e﹣2nπ（x∈N）．由f（y n）＝e﹣2nπ≤1＝f（y0）及（Ⅰ），得y n≥y0，由（Ⅱ）知，当x∈（，）时，g′（x）＜0，∴g（x）在[，]上为减函数，因此，g（y n）≤g（y0）＜g（）＝0，又由（Ⅱ）知，，故＝＜．∴2nπ+﹣x n＜．【点评】本题主要考查导数的运算，不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归与转化思想，考查抽象概括能力、综合分析问题与解决问题的能力，属难题．。

2019年高考真题理科数学(天津卷含答案)

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U . ·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R „，则()A C B =I UA.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,42.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……则目标函数4z x y =-+的最大值为A.2B.3C.5D.63.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 A.5 B.8 C.24 D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 23256.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b << 7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫=⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.D.28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩„若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2019年天津市高考理科数学试卷及答案解析【word版】

绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734i i（）（A ）1i （B ）1i （C ）17312525i （D ）172577i （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945FED CBA （4）函数212log 4f x x 的单调递增区间是（）（A ）0, （B ）,0（C ）2,（D ）,2（5）已知双曲线22221x y a b 0,0ab 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）（A ）221520x y （B ）221205x y （C ）2233125100x y （D ）2233110025x yD ，交（6）如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CEBE DE ；④AF BD AB BF .则所有正确结论的序号是（）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a bR ，则|“a b ”是“a a b b ”的（）（A ）充要不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充要也不必要条件（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，DFDC .若1AE AF ，23CE CF，则（）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2019高考天津卷数学(理)试卷及答案(word版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学第Ⅰ卷参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ，则()A C B =（） A.{}2 B.{}2,3 C.{}1,2,3- D.{}1,2,3,4则目标函数4z x y =-+的最大值为（）2.设变量,x y 满足约束条件A.2B.3C.5D.6 3.设∈x R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（）A.5B.8C.24D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（）C.2 6.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（） A.a c b << B.a b c << C.b c a <<D.c a b << 7.已知函数()sin()(0,0,||π)ωϕωϕ=+>><f x A x A 是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且π4⎛⎫=⎪⎝⎭g 3π8⎛⎫= ⎪⎝⎭f （）A.2-B. D.28.已知∈a R ，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（）A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.i 是虚数单位，则5i1i-+的值为 . 10.83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为 .11.的正方形，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .12.设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为 . 13.设0,0,25x y x y >>+=的最小值为 .14.在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= .三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =. （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16.（本小题满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.17.（本小题满分13分）如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为5. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.19.（本小题满分14分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式；（ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .20.（本小题满分14分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当ππ,42⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，证明π()()02⎛⎫+- ⎪⎝⎭f xg x x ；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间ππ2,2π42⎛⎫++ ⎪⎝⎭m m 内的零点，其中∈n N ，证明2π00e π2π2sin cos -+-<-n n n x x x .【参考答案】一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.1.D2.C3.B4.B5.D6.A7.A 8.C二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.9. 10.28 11.π4 12.3413. 14.1- 三.解答题15.（Ⅰ）解：在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =.由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B a a +-+-===-⋅⋅.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故πππ717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216+⎛⎫+=+=-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭B B B ， 16.（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而3321(),0,1,2,333k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()323E X =⨯=. （Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====.由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{}3X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立，从而由（Ⅰ）知()({3,1}{2,0})(3,1)(2,0)P M P X Y X Y P X Y P X Y ========+==824120(3)(1)(2)(0)279927243P X P Y P X P Y ===+===⨯+⨯=. 17. （Ⅰ）证明：依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE ，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E .设(0)CF h h =>，则()1,2,F h .依题意，(1,0,0)AB =是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =，可得0BF AB ⋅=，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE . （Ⅱ）解：依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--.设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量，则0,0,n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =，可得(2,2,1)n =.因此有4cos ,9||||CE n CE n CE n ⋅==-.所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. （Ⅲ）解：设(,,)m x y z =为平面BDF 的法向量，则0,0,m BD m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =，可得21,1,m h ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 由题意，有||1cos ,||||3m n m n m n ⋅〈〉===，解得87h =.经检验，符合题意.所以，线段CF 的长为87.18.（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,c b a ==又222a b c =+，可得a =，2,b =1c =.所以，椭圆的方程为22154x y +=. （Ⅱ）解：由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，.设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P kx k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k -=-.在2y kx =+中，令0y =，得2M x k =-.由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k-.由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而5k =±所以，直线PB或. 19.（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意得2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,2,d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n nn n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯. 所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯.（Ⅱ）（i ）解：()()()()22211321321941n n x n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-. 所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n n a c -=⨯-. （ii ）解：()()22221111211n n niini iiiiii i i i a c a a c a a c====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑()()12212439412n n n ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑ ()()2124143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N .20.（Ⅰ）解：由已知，有'()(cos sin )xf x e x x =-.因此，当π5π2π,2π44⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭x k k ()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减；当3ππ2π,2π44⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭x k k ()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增. 所以，()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k f x Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦k k k Z . （Ⅱ）证明：记π()()()2⎛⎫=+-⎪⎝⎭h x f x g x x .依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )=-xg x x x ，从而'()2e sin =-xg x x .当ππ,42⎛⎫∈⎪⎝⎭x 时，()'0g x <，故ππ'()'()'()()(1)'()022⎛⎫⎛⎫=+-+-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭h x f x g x x g x g x x . 因此，()h x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而ππ()022⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭h x h f .所以，当ππ,42⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，π()()02⎛⎫+- ⎪⎝⎭f xg x x .（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos 1n xn e x =.记2π=-n n y x n ，则ππ,42⎛⎫∈⎪⎝⎭n y ，且()()()2π2πe cos e cos 2πe --==∈=-n n y x n n n n n f y x n n y N .第 11 页共 11 页由()()e 20e 1-==n n f y f y 及（Ⅰ），得0n y y .由（Ⅱ）知，当ππ,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()'0g x <，所以()g x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()0π04⎛⎫<= ⎪⎝⎭n g y g y g .又由（Ⅱ）知，()()π02⎛⎫+- ⎪⎝⎭n n n f y g y y ，故()()()()()02π2π2π2π0000π2sin cos sin c e e e e e os ------=-=<--n n n n n n y n n f y y g y g y g y x x y y . 所以，2π00e π2π2sin cos -+-<-n n n x x x .。

2019年天津市高考理科数学试卷及答案解析【word版】

高考数学精品复习资料2019.5绝密 ★ 启用前普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.E D CBA （1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945（4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（）（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥（D ）(),2-?（5）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= （6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CE BE DE ??；④AF BDAB BF ??.则所有正确结论的序号是（）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（）（A ）充要不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充要也不必要条件（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF?，23CE CF?-，则l m +=（）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2019年天津卷理数高考试题文档版有答案【备战高考】

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ． ·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =I U A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,42．设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为A ．2B ．3C ．5D ．63．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A ．5B ．8C ．24D ．295．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 A 2B 3C ．2D 56．已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b <><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．2-C 2D ．28．已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,e D ．[]1,e第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2019年高考理科数学天津卷(附参考答案和详解)

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概率
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三解答题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
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2019年高考真题——理科数学(天津卷)附答案解析

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题。

参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+. ·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高.·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈<… ，则()A C B =A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}【答案】D 【解析】【分析】先求A B ⋂，再求()A C B 。

【详解】因为{1,2}A C =，所以(){1,2,3,4}AC B =.故选D 。

【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2.设变量,x y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+，，，，1-y 1-x 02y -x 02-y x ，则目标函数4z x y =-+的最大值为A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】D 【解析】【分析】画出可行域，用截距模型求最值。

【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。

目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距，故目标函数在点A 处取得最大值。

由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，所以max 4(1)15z =-⨯-+=。

故选C 。

2019年高考理科数学天津卷(附参考答案及详解)(可编辑修改word版)

⎨x ≥ -1, 绝密★启用前 6 月 7 日 15:00-17:002019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）总分：150 分考试时间：120 分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。

用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。

第 I 卷（共 40 分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合 A = {-1,1, 2, 3, 5} ， B = {2, 3, 4} ， C = {x ∈ R |1 ≤ x < 3} ，则( A C ) B = （）A. {2}B. {2, 3}⎧x + y - 2 ≤ 0, ⎪x - y + 2 ≥ 0,C. {-1, 2, 3}D. {1, 2, 3, 4}2. 设变量 x ⋅ y 满足约束条件⎪⎪ ⎪⎩ y ≥ -1,则目标函数 z = -4x + y 的最大值为（）A. 2B. 3C. 5D. 63.设 x ∈ R ，则“ x 2 - 5x < 0 ”是“∣x -∣1 < 1 ”的（）A.充分而不必要条件 C.充要条件B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件4. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为（）2324 ⎪ 8 ⎪A. 52B. 8C. 24x 2y 2D. 295. 已知抛物线 y = 4x 的焦点为 F ，准线为l ．若l 与双曲线a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且∣AB ∣= 4∣OF ∣（ O 为原点），则双曲线的离心率为（） A. B. C. 2D.6.已知 a = log 52 ， b = log 0.5 0.2 ， c = 0.50.2 ，则 a ， b ， c 的大小关系为（）A. a < c < bB. a 0,> 0∣∣<, π) 是奇函数，将 y = f ( x ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g ( x ) ．若 g ( x ) 的最小正周期为 2π，且 g ⎛ π ⎫ = ⎝ ⎭ A. -2，则 f ⎛ 3π ⎫= （） ⎝ ⎭ B. - ⎧⎪x 2 - 2ax + 2a ,x ≤ 1C. D. 28. 已知 a ∈ R ，设函数 f ( x ) = ⎨ ⎪⎩x - a ln x , x > 1 若关于 x 的不等式 f ( x ) ≥ 0 在 R 上恒成立，则 a的取值范围为（） A. [0,1]B. [0, 2]C. [0, e ]D. [1, e ]第Ⅱ卷二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分。

天津市2019年高考[理数]考试真题与答案解析

天津市2019年高考[理科数学]考试真题与答案解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ()A C B = A ．B ．C ．D ．{}2{}2,3{}1,2,3-{}1,2,3,42．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为,x y 20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩4z x y =-+A ．2B ．3C ．5D ．63．设，则“”是“”的x ∈R 250x x -<|1|1x -<A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为S A ．5B ．8C ．24D ．295．已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐24y x =F l l 22221(0,0)x y a b a b-=>>近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为A B ||4||AB OF =OA B C ．D 26．已知，，，则的大小关系为5log 2a =0.5og 2.l 0b =0.20.5c =,,a b c A ．B ．C ．D ．a c b<<a b c<><π()y f x =横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周()g x ()g x期为，且，则2π4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．CD ．2-28．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，a ∈R 222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩x ()0f x ≥R 则的取值范围为a A ．B ．C ．D ．[]0,1[]0,2[]0,e []1,e 二．填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．是虚数单位，则的值为_____________．i 5ii1-+10．的展开式中的常数项为_____________．83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．12．设，直线和圆（为参数）相切，则的值为a ∈R 20ax y -+=22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩θa _____________．13．设_____________．0,0,25x y x y >>+=14．在四边形中，，点在线段的延长ABCD ,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥E CB 线上，且，则_____________．AE BE =BD AE ⋅=三．解答题本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在中，内角所对的边分别为．已知，．ABC △,,A B C ,,a b c 2b c a +=3sin 4sin c B a C =（Ⅰ）求的值；cos B （Ⅱ）求的值．sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭16．（本小题满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校23情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和X X 数学期望；（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30M 之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．M 17．如图，平面，，．AE ⊥ABCD ,CF AE AD BC ∥∥,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====（Ⅰ）求证：平面；BF ∥ADE （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；CE BDE （Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．E BDF --13CF18．设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率22221(0)x y a b a b+=>>F B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在P M PB x N y 轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．||||ON OF =O OP MN ⊥PB 19．设是等差数列，是等比数列．已知．{}n a {}n b 1122334,622,24a b b a b a ===-=+，（Ⅰ）求和的通项公式；{}n a {}n b （Ⅱ）设数列满足其中．{}n c 111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩*k ∈N （i ）求数列的通项公式；(){}221n n a c -（ii ）求．()2*1ni ii a c n =∈∑N 20．设函数为的导函数．()e cos ,()x f x x g x =()f x （Ⅰ）求的单调区间；()f x （Ⅱ）当时，证明；,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明n x ()()1u x f x =-2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭n ∈N ．20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-答案解析一．选择题1．D2．C3．B4．B5．D6．A7．C8．C二．填空题910．11．28π412．13．14．341-三．解答题15．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力，满分13分．（Ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，又由ABC △sin sin b cB C=sin sin b C c B =，得，即．又因为，得到，3sin 4sin c B a C =3sin 4sin b C a C =34b a =2b c a +=43b a =．由余弦定理可得．23c a =222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得从而sin B ==sin 22sin cos B B B ==，故227cos 2cossin 8B B B =-=-．71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭16．本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．232~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭3321()C ,0,1,2,333kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，随机变量的分布列为X X 0123P1272949827随机变量的数学期望．X 2()323E X =⨯=（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且Y 2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭．由题意知事件与互斥，且事件{3,1}{2,0}M X Y X Y ===== {3,1}X Y =={2,0}X Y ==与，事件与均相互独立，从而由（Ⅰ）知{}3X ={}1Y ={}2X ={}0Y =()({3,1}{2,0})(3,1)(2,0)P M P X Y X Y P X Y P X Y ========+== ．824120(3)(1)(2)(0)279927243P X P Y P X P Y ===+===⨯+⨯=17．本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间A AB AD AE，，x y z 直角坐标系（如图），可得，．设(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D (0,0,2)E ，则．(0)CF h h =>>()1,2,F h （Ⅰ）证明：依题意，是平面的法向量，又，可得，(1,0,0)AB = ADE (0,2,)BF h = 0BF AB ⋅= 又因为直线平面，所以平面．BF ⊄ADE BF ∥ADE （Ⅱ）解：依题意，．(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--设为平面的法向量，则即不妨令，(,,)x y z =n BDE 0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩1z =可得．因此有．(2,2,1)=n 4cos ,9||||CE CE CE ⋅==-n n n 所以，直线与平面所成角的正弦值为．CE BDE 49（Ⅲ）解：设为平面的法向量，则即(,,)x y z =m BDF 0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令，可得．1y =21,1,h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭m 由题意，有，解得．经检验，符合题意．||1cos ,||||3⋅〈〉===m n m n m n 87h =所以，线段的长为．CF 8718．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，c 24,c b a ==222a b c =+a =2,b =．1c =所以，椭圆的方程为．22154x y +=（Ⅱ）解：由题意，设．设直线的斜率为，又()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，PB ()0k k ≠，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得()0,2B PB 2y kx =+222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得，代入得，进而直线的斜()2245200k x kx ++=22045P kx k =-+2y kx =+2281045P k y k -=+OP 率．在中，令，得．由题意得，所以直线的24510P p y k x k -=-2y kx =+0y =2M x k=-()0,1N -MN斜率为．由，得，化简得，从而2k-OP MN ⊥2451102k kk -⎛⎫⋅-=-⎪-⎝⎭2245k =k =所以，直线或．PB 19．本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识．考查化归n 与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．满分14分．（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解{}n a d {}n b q 2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩得故．3,2,d q =⎧⎨=⎩14(1)331,6232n n n n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯所以，的通项公式为的通项公式为．{}n a {}31,n n a n b =+32n n b =⨯（Ⅱ）（i ）解：．()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-所以，数列的通项公式为．(){}221n n a c -()221941n n n a c -=⨯-（ii ）解：()()22221111211n n ni i ni i i i i i i i i i a c a a c a a c ====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑()()12212439412n nn ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑()()2114143252914n n n n---=⨯+⨯+⨯--．()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N 20．本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：由已知，有．因此，当时，有()e (cos sin )x f 'x x x =-52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z ，得，则单调递减；当时，有sin cos x x >()0f 'x <()f x 32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z ，得，则单调递增．sin cos x x <()0f 'x >()f x所以，的单调递增区间为的单调递减区间为()f x 32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ．52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z （Ⅱ）证明：记．依题意及（Ⅰ），有，从而()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()e (cos sin )x g x x x =-．当时，，故()2e sin x g'x x =-,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0()g'x <．()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此，在区间上单调递减，进而．()h x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，当时，．,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭（Ⅲ）证明：依题意，，即．记，则()()10n n u x f x =-=cos e 1n x n x =2n n y x n =-π，且．,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N 由及（Ⅰ），得．由（Ⅱ）知，当时，，()()20e 1n n f y f y -π==≤0n y y ≥,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g'x <所以在上为减函数，因此．又由（Ⅱ）知，()g x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭，故()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．()()()()()022********sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤=--≤<所以，．20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-。