第六章 力法
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第六章节 力法
11
（4）解方程，求多余未知力
4 100 32 X X 3EI 1 EI 2 EI 0 4 8 40 X1 X2 0 3EI EI EI
X 1 8.57 X 2 2.14
（5）根据叠加原理，绘制内力图。
M M 1 X 1 M 2 X 2 MP
10KN/m B C 2m A 2m A B 10KN/m C
X2
X1
基本结构
解: （1）选择基本结构 （2）建立力法典型方程
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
（3）求解系数项和自由项
20.0 B
10KN/m C B 2.0 2.0
系数项 ij 是由单位力 X j 1 产生的沿 X i 方向的位移。 自由项 iP 是由真实荷载产生的沿 X i 方向的位移。 注意： 根据位移互等定理有 ij ji 主系数 ii 0，副系数 ij (i j可正、可负、也可为零。 )
（3）求解系数项和自由项 MiM j ds ij EI
M 1图
B
（4）解方程，求多余未知力
l ql 3 11 X 1 1P X1 0 3EI 24 EI
（5）根据叠加原理，绘制内力图。
ql 2 X1 8
M M 1 X 1 MP
1 2 ql 8
A
1 2 ql 16
B
=
A
1 2 ql 8
B
+
A
B
1
M图
M P图
M 1图
【例7.2】作图示结构的弯矩图。EI为常数
M M 1 X 1 MP
第六章力法结构力学
（变形协调条件）。
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
〓
RB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B 当ΔB=Δ1=0
X1 =><RB
〓
δ11
+
×X1 X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
l，EI
ql2/8
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
M1
l d = 11
4）刚架
5）组合结构
四.超静定结构的计算方法 1.力法----以多余约束力作为基本未知量。
2.位移法----以结点位移作为基本未知量. 3.混合法----以结点位移和多余约束力作为
基本未知量.
4.力矩分配法----近似计算方法. 5.矩阵位移法----结构矩阵分析法之一.
五、 超静定次数的确定
FNiFNp ds = EA
FNi FNpl EA
d ii =
M
2 i
ds
=
yc
EI
EI
刚架和梁 d ik =
M iM k ds = yc
EI
EI
D ip =
M iM p ds = yc
EI
EI
组合结构
dii =
FN2i ds EA
= X1=－Δ1P / δ11 3ql/8
ql2/8
=或 - E1I M 按 13 q= 2l 2M l： X 31 4l =M - 8P qEl 4I叠加M图↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
3ql/8
d d 二、iqi= 力法↓M ↓E ↓↓的i↓2 ↓↓d ↓典I 型s 0 ,方i程k =M ↓↓E ↓i↓M ↓↓↓k ↓ d IB = 0 0 0 s,D iP =M δE i1M 1 Pd I = δ210 0 0 s
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
〓
RB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B 当ΔB=Δ1=0
X1 =><RB
〓
δ11
+
×X1 X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
l，EI
ql2/8
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
M1
l d = 11
4）刚架
5）组合结构
四.超静定结构的计算方法 1.力法----以多余约束力作为基本未知量。
2.位移法----以结点位移作为基本未知量. 3.混合法----以结点位移和多余约束力作为
基本未知量.
4.力矩分配法----近似计算方法. 5.矩阵位移法----结构矩阵分析法之一.
五、 超静定次数的确定
FNiFNp ds = EA
FNi FNpl EA
d ii =
M
2 i
ds
=
yc
EI
EI
刚架和梁 d ik =
M iM k ds = yc
EI
EI
D ip =
M iM p ds = yc
EI
EI
组合结构
dii =
FN2i ds EA
= X1=－Δ1P / δ11 3ql/8
ql2/8
=或 - E1I M 按 13 q= 2l 2M l： X 31 4l =M - 8P qEl 4I叠加M图↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
3ql/8
d d 二、iqi= 力法↓M ↓E ↓↓的i↓2 ↓↓d ↓典I 型s 0 ,方i程k =M ↓↓E ↓i↓M ↓↓↓k ↓ d IB = 0 0 0 s,D iP =M δE i1M 1 Pd I = δ210 0 0 s
第六章 力法
2 P 2
+P/2
P 3 0 +0.414P
N03=0.707×0.172P -0.707Ｐ =－0.586P
FN
+0.172P 1
4
对称 2
P
力 法
§6-6
对称性的利用
用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高，计算工作 量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数项)和解算典型 方程。利用结构的对称性可使计算得到简化。简化的原则是使 尽可能多的副系数、自由项等于零。 对称结构：指结构的几何形状、约束、刚度关于结构本身对称轴 对称。 例如：
M 2图
将以上各系数代入方程(a) 并消去(a3/EI1)得
a
C 3/88×Pa
a
B
P
Pa 2
MP图 P
A
13/88×Pa
15/88×Pa
M图
最后内力图的绘制用叠加法 解联立方程得 例如 MAC= a 4P + a( 3P ) 88 11
.
多余未知力求得后其余反力、内 力的计算便是静定问题。
Pa 2
A EI 原结构 L B
n=1
2 确定(选择)基本体系。 3 写出变形(位移)条件: (a)
根据叠加原理，式（a） 可写成
q
A
基本体系
↑X
B
1
↑
q
11
X1
(b)
1P
(b) 4 建立力法基本方程 将 ∆11=11x1 代入(b)得
(6-1) A EI
q
L
力 法
B
L
qL 2
qL 8
2
此方程便为一次超静定结 构的力法方程。 5 计算系数和常数项 = 1 L 2L EI 2 3
05结构力学第六章力法
2
n
.......... .......... .......... ......
n1
n2
.......... .
nn
系数行列式之值>0
主系数 ii 0
0
副系数
ij
0
0
5)最后内力 M M 1 X 1 M 2 X 2 ..... ..M .. n X .n .M .P .
1PFPl3/2EI
X1=1 FPl
FP
X13FP/2()
MM 1X1M P
l M1
FPl
MP
3 2
FPl
M
力法基本思路小结
解除多余约束，转化为静定结构。多余约 束代以多余未知力——基本未知力。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法方程。
从力法方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。超静定结构静力分析通过转 化为静定结构获得了解决。
X1 3Fp/8()
MM 1X1M P
FP
EI
EI
l
5 8
F
pl
M
l
力法步骤:
1.确定基本体系
4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图; 6.叠加法作弯矩图
FP EI
EI
l
l
FP
解: 1 0
X1
11 X11P0
11l3/3EI
力法方程： 11 X11P?
11X11P
X1 2a EA
2. 组合结构
力法 PPT课件
F
6、叠加法内力并作内力图
M M 1 X1 M F FQ F Q1 X 1 FQ F
X 1 =1
M1
Fl 2
FN F N1 X1 FN F
11 16 F
MF
3 l 16 Fl M Fl 4
FQ 5 16 F
M AB FNAB A FQ AB
F B X1
作FQ、 FN图
杆端弯矩 作M图 M AB M 1AB X1 M FAB 5 Fl 3 Fl Fl （上拉） 16 2 16 M BA M 1BA X1 M FBA 0
3次超静定
6次超静定
4次超静定
15次超静定
10次超静定
7次超静定
§6-2 力法基本原理 一、力法基本思路 根据已掌握的静定结构的内力和位移计算知识，将静定结构转 化为静定结构来求解，先求出多余未知力。 二、力法基本原理
F A EI C l B
F
F
A
C
B X1
A
B X1
静定结构
原超定结构
基本体系（基本结构）
基本体系 （基本结构）
F
变形协调条件 X1
1 11 1F 0
11：X1引起X1方向的位移 1F：F引起X1方向的位移 11：X1 =1引起X1方向的位移
X 1 =1
M1
Fl 2
MF
l
3、典型方程
基本未知量
11 X1 1F 0
X1
1F
11＝11 X1
自由项
（4）超静定拱； （5）超静定组合结构等。
三、超静定次数 超静定次数＝多余约束的个数 超静定次数确定方法：解除约束法 解除超静定结构中的多余约束，使之成为静定结构。解除约束 的个数即为超静定的次数 截断一根连杆＝解除1个约束；（支座连杆） 解除一个单铰＝解除2个约束；（固定铰支座） 截断一受弯杆＝解除3个约束；（刚结点、固定端） 单刚变为单铰＝解除1个约束。
6、叠加法内力并作内力图
M M 1 X1 M F FQ F Q1 X 1 FQ F
X 1 =1
M1
Fl 2
FN F N1 X1 FN F
11 16 F
MF
3 l 16 Fl M Fl 4
FQ 5 16 F
M AB FNAB A FQ AB
F B X1
作FQ、 FN图
杆端弯矩 作M图 M AB M 1AB X1 M FAB 5 Fl 3 Fl Fl （上拉） 16 2 16 M BA M 1BA X1 M FBA 0
3次超静定
6次超静定
4次超静定
15次超静定
10次超静定
7次超静定
§6-2 力法基本原理 一、力法基本思路 根据已掌握的静定结构的内力和位移计算知识，将静定结构转 化为静定结构来求解，先求出多余未知力。 二、力法基本原理
F A EI C l B
F
F
A
C
B X1
A
B X1
静定结构
原超定结构
基本体系（基本结构）
基本体系 （基本结构）
F
变形协调条件 X1
1 11 1F 0
11：X1引起X1方向的位移 1F：F引起X1方向的位移 11：X1 =1引起X1方向的位移
X 1 =1
M1
Fl 2
MF
l
3、典型方程
基本未知量
11 X1 1F 0
X1
1F
11＝11 X1
自由项
（4）超静定拱； （5）超静定组合结构等。
三、超静定次数 超静定次数＝多余约束的个数 超静定次数确定方法：解除约束法 解除超静定结构中的多余约束，使之成为静定结构。解除约束 的个数即为超静定的次数 截断一根连杆＝解除1个约束；（支座连杆） 解除一个单铰＝解除2个约束；（固定铰支座） 截断一受弯杆＝解除3个约束；（刚结点、固定端） 单刚变为单铰＝解除1个约束。
【毕业论文】力法的基本原理
1第六章力法2一. 力法的基本未知量和基本体系力法计算的基本思路：把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题，即利用已经熟悉的静定结构的计算方法来达到计算超静定结构的目的。
6-1 力法的基本原理3力法思路基本结构待解的未知问题qEI EIqEIX 1基本体系基本未知量01=Δ基本方程41111=+=P ΔΔΔ11111X Δδ=01111=+⋅P ΔX δ力法方程力法方程P 1Δ其中δ11和Δ1P可图乘法获得；由此确定约束力X 1，通过叠加求内力；超静定问题变成静定问题。
q1X Δ11=X 11δqEIqEIX 11=Δ5)力法是将多余未知力作为基本未知量的分析方法。
)将全部多余约束去掉得到的静定结构称力法的基本结构。
)根据原结构的变形条件而建立的位移方程称力法基本方程。
在变形条件成立条件下，基本体系的内力和位移与原结构相同。
1111=+⋅P ΔX δ6基本结构X 1例：基本体系PV ΔB 1==原结构已知的X 1方向的位移原结构70V ΔB 1==基本结构在X 1和外荷载P 分别作用下的变形：X 111ΔPP1Δ原结构已知的X 1方向的位移基本结构在X 1方向的位移1P 11Δ+Δ1P 11Δ+Δ0=11111X Δδ=11=X 11δ01111=Δ+P X δ力法基本方程的物理意义：基本结构在X 1和外荷载P 共同作用下，在B 点的竖向位移之和＝原结构已知的在B 点的竖向位移（等于零）。
8一个超静定结构可选的力法基本结构往往不只一种。
X 1表示原结构支座B 截面的弯矩。
基本体系二基本体系二选取：原结构PPX 1基本结构Δ1=原结构在B 点左右两截面的相对转角等于零9基本结构:PX 11PΔ11ΔB11111X δ=Δ0ΔX δ=+1P 111基本体系在X 1 和外荷载P 共同作用下，在B 点左右两截面的相对转角之和＝原结构已知的在B 点左右两截面的相对转角（等于零）1P11Δ+Δ0=10（1）（2）（1）基本结构的图和图好绘。
结构力学——力法
X1 = 9ql / 20, X 2 = 3ql / 40
X1 X2
ql 2 / 40 M
∆1 = 0 ∆ 2 = 0 δ11 ⋅ X1 + δ12 ⋅ X2 + ∆1P = 0 δ21 ⋅ X1 +δ22 ⋅ X2 + ∆2P = 0
q
X1 = −3ql / 20, X 2 = −ql 2 / 40
将未知问题转化为 已知问题， 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。 基本方法之一。
二.力法的基本体系与基本未知量 力法的基本体系与基本未知量 超静定次数: 超静定次数: 多余约束个数.
若一个结构有N个多余约束,则称其为N次超静定结构. . 几次超静定结构? 几次超静定结构
X
= 3 ql / 8 ( ↑ )
⋅ X
+ M
P
ql
2
/ 2
l
MP
M1
力法步骤: 力法步骤: 1.确定基本体系 4.求出系数和自由项 确定基本体系 求出系数和自由项 2.写出位移条件 力法方程 写出位移条件,力法方程 5.解力法方程 写出位移条件 解力法方程 3.作单位弯矩图 荷载弯矩图 6.叠加法作弯矩图 作单位弯矩图,荷载弯矩图 作单位弯矩图 荷载弯矩图; 叠加法作弯矩图 练习 P EI l EI l 作弯矩图. 作弯矩图
M1
3 Pl 8 5 Pl 8
=0 δ 11 = 4l / 3EI ∆1P = − Pl 3 / 2 EI
X 1 = 3 P / 8(↑)
M = M1 ⋅ X 1 + M P
P
MP
X1 X2
ql 2 / 40 M
∆1 = 0 ∆ 2 = 0 δ11 ⋅ X1 + δ12 ⋅ X2 + ∆1P = 0 δ21 ⋅ X1 +δ22 ⋅ X2 + ∆2P = 0
q
X1 = −3ql / 20, X 2 = −ql 2 / 40
将未知问题转化为 已知问题， 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。 基本方法之一。
二.力法的基本体系与基本未知量 力法的基本体系与基本未知量 超静定次数: 超静定次数: 多余约束个数.
若一个结构有N个多余约束,则称其为N次超静定结构. . 几次超静定结构? 几次超静定结构
X
= 3 ql / 8 ( ↑ )
⋅ X
+ M
P
ql
2
/ 2
l
MP
M1
力法步骤: 力法步骤: 1.确定基本体系 4.求出系数和自由项 确定基本体系 求出系数和自由项 2.写出位移条件 力法方程 写出位移条件,力法方程 5.解力法方程 写出位移条件 解力法方程 3.作单位弯矩图 荷载弯矩图 6.叠加法作弯矩图 作单位弯矩图,荷载弯矩图 作单位弯矩图 荷载弯矩图; 叠加法作弯矩图 练习 P EI l EI l 作弯矩图. 作弯矩图
M1
3 Pl 8 5 Pl 8
=0 δ 11 = 4l / 3EI ∆1P = − Pl 3 / 2 EI
X 1 = 3 P / 8(↑)
M = M1 ⋅ X 1 + M P
P
MP
结构力学第六章力法
弯矩图可按悬臂梁画出
M X1 M 1 M P
§6-4 力法计算超静定桁架和组合结构
一 超静定桁架
F Ni l ii EA F N i F N jl ij EA F N i FN P l iP EA
2
桁架各杆只产生轴力,系数
典型方程: 11 X 1 1P 0
9 17 FP , X 2 FP 80 40
叠加原理求弯矩： M X 1 M 1 X 2 M 2 M P
3FPL/40 3FPL/40
FP 9FP/80
23FP/40 FNDC
FQDC 3FPL/80 FQBD
FQCD FNDA
FQBD=-9FP/80
FNBD=-23FP/40
FQDC=3FP/40+FP/2=23FP/40
2 P 3P 0
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 0 X X 0 33 3 32 2
11 X 1 1P 0 X 2 X 3 0
反对称荷载作用下, 沿对称轴截面上正对称内力为0 例: FP FP/2 FP/2 FP/2
1）一般任意荷载作用下
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 33 3 3P 31 1 32 2
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X 0 33 3 3P 32 2
M FN
超静定结构的内力分布与梁式杆和二力杆的相对刚度有关。 链杆EA大，M图接近与连续梁，链杆EA小，M图接近与简支梁。 例: 中间支杆的刚度系数为k,求结点B的竖向位移？EI=C
结构力学第六章-1(力法)
遵循材料力学中同时考虑“变形、本构、平衡” 分析超静定问题的思想，可有不同的出发点：
以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的 基础上进行分析，这时主要应解决变形协调问题， 这种分析方法称为力法（force method）。 以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调 条件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问 题 ， 这 种 分 析 方 法 称 为 位 移 法 （ displacement method）。 如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的 未知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑 力的平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixture method）。 返
ij
图乘来求
(5) 求基本结构的广义荷载位移
注意：用图乘法求
ij
iP
和 iP 时应注意图乘条件
(6) 解方程求未知力 X i
(7)根据叠加原理作超静定结构的内力图
M M i X i M P FN FN i X i FN P i i FQ FQ i X i FQP
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系
FPa
M1 图
M2 图
FP
MP图
单位荷载和荷载弯矩图
由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图
FP FP
FPa
11 12 12 00 X X2 1 1p 1 11 1P X 00 2 21 22 2 p X 21 1 22 2 2P
结论：对计算结果除需进行力的校核外， 还必需进行位移的校核。
FP
（×Fpa）
返 章 首
Ax
1 a2 2 3 1 1 3 2a 2 FP a [ FP a EI 1 2 3 88 2 EI 1 2 88 3
结构力学第6章力法
结构力学第6章力法力法（也叫统一力法）是一种简化结构分析和计算的方法，通过将结构的内力和力的作用点集中在一些特定的位置，从而简化结构计算的复杂性。
力法在结构力学中有很广泛的应用，特别是在求解复杂结构的内力分布和变形方程时非常有用。
力法的基本原理是将结构的内力分布看作是由一系列基本力的叠加形成的。
这些基本力包括拉力、压力、剪力和弯矩等。
通过对这些基本力的作用点和大小进行合理的选取，可以将结构的内力分布近似为一个简单的形式，从而方便地进行计算。
力法的具体步骤如下：1.选择合适的基本力系统：根据结构的受力情况，选择适合的基本力系统，一般包括平行力、共点力、算术力和等效力等。
2.确定基本力的作用点和大小：通过结构的受力平衡条件和变形方程，确定基本力的作用点和大小，一般可以通过静力平衡方程或者变形方程进行计算。
3.将基本力作用在结构上：将确定的基本力作用在结构上，这些基本力可以是集中力也可以是分布力，根据具体情况进行选择。
4.分析结构的受力和变形：应用力学的基本原理和公式，分析结构的受力和变形情况，求解结构的内力和位移等参数。
5.进行计算和分析：根据步骤4中得到的结果，进行计算和分析，比较计算结果与实际情况的差异，进行调整和修正。
力法的优点是计算简单、直观，尤其适用于计算结构的内力和变形情况；缺点是只能得到局部的内力情况，无法得到整体的受力情况。
在结构力学中，力法的应用非常广泛。
例如，可以利用力法求解悬臂梁的内力分布和变形情况，以及桁架和刚架的受力情况等。
同时，力法还可以用于计算复杂结构的等效荷载，简化结构的计算过程。
总结起来，力法是一种通过将结构的内力和力的作用点集中在一些特定的位置，从而简化结构计算的方法。
通过选择合适的基本力系统，确定基本力的作用点和大小，将基本力作用在结构上，进行受力和变形分析，最终得到结构的内力和变形情况。
力法在结构力学中有很广泛的应用，对于求解复杂结构的内力分布和变形方程非常有用。
朱慈勉结构力学第六章 力法1
变量。 ⑶ 力法的基本方程 ①如果X1 过大，则梁的B 端往上翘； ②如果X1 过小，则梁的B 端往下垂。 ③只有当B 端的竖向位移等于零时，基本体系中的变力X1 才与超静定结构中的常力X1 相等，这时基本体系才真正 转化为原来的超静定结构。 1 0 转化条件：
⒈ 撤除支座处的一根支杆或切断一根链杆, 相当于去除一个约束。
§6-2 超静定次数与力法基本结构
超静定结构是有多余约束的几何不变图系。一个超静定结构有多少 个多余约束, 相应地便有多少个多余约束力, 也就需要建立同样数目的变 形协调方程, 才能把多余约束力解算出来。因此, 用力法计算超静定结构 时, 首先必须确定多余约束的数目, 这一数目就称为结构的超静定次数。
FyA
A
EI
MP 图
y
B
q
l
X1
l
X1 1
绘制弯矩图：
ql 2 8 A
B 3ql 计算各控制截面的弯矩： X1 8 ql 2 3ql l
MA
B
8
l ql
2
8
(上拉)
ql 2 16
2 ql 3ql l l l (下拉) M AB中 q 8 2 2 4 16
⒈ 撤除支座处的一根支杆或切断一根链杆, 相当于去除一个约束。
2次
X1 X2
4次
X3 X4
X1
X2
⒉ 撤除一个铰支座或撤除一个单铰, 相当于撤除两个约束。
X1
X2 X2 X2
X1
2次
X1
2次
⒊ 撤除一个固定支座或切断一根刚架杆件, 相当于撤除三个约束。
X1 X3 X2 X4 X6 X5 X2 X4 X5 X1
第6章力法详解
超静定结构与静定结构 在计算方面的主要区别
静定结构的内力只要根据静力平衡条件即 可求出，而不必考虑其它条件，即：内力是 静定的。
超静定结构的内力则不能单由静力平衡条
件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即：
内力是超静定的。
求解超静定结构的计算方法
从方法上讲基本有两种：力法和位移法。 从历史上讲分传统方法和现代方法。 传统方法： 精确法：
力法的基本体系不是唯一的
√
√
×
!!瞬变体系不能作为 力法的基本体系
§6-2 力法的基本概念
n 次超静定结构
11 X1 12 X2 21 X1 22 X2
n1 X1 n2 X2
1n Xn 1P 0
2n Xn
2 P
0
nn Xn nP 0
力法的典型方程
ij —— 柔度系数， j方向的单位力引起的i方向的位移； ii 0 ij ji 位移互等定理
2n
nn
X2
XN
2 P nP
0
0
[δ]{X} + {⊿P } = {0}
[δ]——系数矩阵、柔度矩阵
对称阵
力法方程主系数（柔度矩阵对角线上的系数）： δii≠0,恒为正 . 因为δii是Xi=1作用在自身方向上，所产生的位移系数，所以不为
零，恒为正。 不在对角线上的系数为副系数，可为正，负或零。
M图
M M1 X1 MP
§6-2 力法的基本概念
求出多余约束力后，就 可以按静定结构计算剪 力了
FQ图
§6-2 力法的基本概念
2 多次超静定结构的计算
解 基本体系B点的水平 位移和竖向位移等 于零，即
11 X1 12 X2 1P 0 21 X1 22 X2 2P 0
结构力学第六章力法
a/2
X1
qa2/8
X1=1
§6-6 支座移动和温度改变时的计算
一 支座移动时的计算 例6-8 图示梁当B发生位移Δ时，计算并作弯矩图
ＥＩ
Ａ
Ｂ Δ
l
解：1 选取力法基本体系
2.6
9.35 2
6.75 6.75 (2 9.35
2
3
1 3
2.6)
=
73.2
d12
= d 21
=
- 1 6.75 6.75 8.1 2
( 2 9.35 3
1 2.6) 3
=
-19.97
d 22
=
2.13 31
1 2.1 4.65 2.83
2.1 6.75 2
4.65 4.65 2
( 2 6.75 3
1 2.1) 3
6.75 3 3 8.1
= 50.88
2.6m
X1=1
2.6m 2.1m
X2=1
M1
9.35m
9.35m 6.75m
M2
6.75m
17.6kN.m 43.2kN.m
43.2kN.m H 17.6kN.m
MP
D1P
=
1 2.6 9.35 6.75 (17.6 43.2)
X2=1 X2=1
X3=1 X3=1
X1=1 X1=1
M1
M2
M3
(1) 对称荷载作用
FP
FP
FP X3
X3 FP
X1X2 X2 X1
D2P=0 xX22==10 X2=1
FP X2 X2 FP
X1
X1
X3=1 X3=1
X1=1 X1=1
6力法(结构力学第六版)
δ11 C δ21 C B δ12 δ22 C X 2＝ 1 Δ1P A q B Δ2P
B X 1＝ 1
X1＝1作用
A A
X2＝1作用
荷载作用
（4）求系数、自由项
C
B X 1＝ 1 C
qL2/2 L
B
X 2＝ 1
qL2/2
q
B
C
L
A
L M1
A
L M2
A
qL2/2
M 2 M 2ds EI
MP
11
M 1 MP 1 2 5120 D1P ds 8 160 6 = EI EI1 3 EI1
（4）求基本未知量
576 5120 X1 0 EI1 EI1
X1 = 80 kN 9
（5）作内力图 1）作弯矩图 53.33 53.33 C 160 106.7
M M 1 X1 MP
6 6 6 6
53.33 D 53.33
160
2）作剪力图 以杆件为隔离体，利用已知的杆端弯矩，由平衡条件求出 杆端剪力。 53.33 C D 53.33
FQCD
FQDC
MC 0
FQDC 8 20 8 4 53.33 53.33 FQDC 80 KN
（4）基本体系的选取不是唯一的。
青岛工学院 力法的基本体系不是唯一的!
C q
第6章 力法
B
L
原结构
A
L
× √
!! 瞬 变 体 系 不 能 作为力法的基本 体系
√
青岛工学院
第6章 力法
§6-3 超静定刚架和排架
■计算刚架和排架位移时，为了简化，通常忽略轴力 和剪力的影响；
B X 1＝ 1
X1＝1作用
A A
X2＝1作用
荷载作用
（4）求系数、自由项
C
B X 1＝ 1 C
qL2/2 L
B
X 2＝ 1
qL2/2
q
B
C
L
A
L M1
A
L M2
A
qL2/2
M 2 M 2ds EI
MP
11
M 1 MP 1 2 5120 D1P ds 8 160 6 = EI EI1 3 EI1
（4）求基本未知量
576 5120 X1 0 EI1 EI1
X1 = 80 kN 9
（5）作内力图 1）作弯矩图 53.33 53.33 C 160 106.7
M M 1 X1 MP
6 6 6 6
53.33 D 53.33
160
2）作剪力图 以杆件为隔离体，利用已知的杆端弯矩，由平衡条件求出 杆端剪力。 53.33 C D 53.33
FQCD
FQDC
MC 0
FQDC 8 20 8 4 53.33 53.33 FQDC 80 KN
（4）基本体系的选取不是唯一的。
青岛工学院 力法的基本体系不是唯一的!
C q
第6章 力法
B
L
原结构
A
L
× √
!! 瞬 变 体 系 不 能 作为力法的基本 体系
√
青岛工学院
第6章 力法
§6-3 超静定刚架和排架
■计算刚架和排架位移时，为了简化，通常忽略轴力 和剪力的影响；
第六章 力法
FQ FQ1 X 1 FQ 2 X 2 FQn X n FQP
FN FN 1 X 1 FN 2 X 2 FNn X n FNP
作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN。
35
五、力法求解超静定结构的步骤 1、确定基本未知量(选取基本体系)； 2、列力法方程：
现在提出的问题是：如何求出11和1P。
1P—属静定结构的位移计算问题，可简单求出。
11 —由X1引起，可利用叠加原理求解。
18
设X1=1时在B点产生的位移为11，则：11=11 X1， 代入上述变形条件有：
11 X1 + 1P =0 式中：11－系数；1P－自由项。
此为线性变形条件下一次超静定结构的力法方程。 4、求解 X1
q
C FP A D C
q
D
ΔBH=0
ΔBV=0 θB=0 原结构 B
=
FP
A 基本体系
X3
B
X2
X1
30
q
C = FP A D
C
D
+
Δ3P B Δ2P Δ1P
A
δ31 δ21
X1
B
X1=1
δ11
C D
C + A
X2=1
D
X2 + δ32
B δ12 δ22
X3
A
δ33 δ23
X3=1
B δ13
作弯矩图
M M1 X1 M 2 X 2 M 3 X 3 M P
34
四、n次超静定结构的力法典型方程
i1 X 1 i 2 X 2 in X n iP 0(i 1、、 、n) 2
FN FN 1 X 1 FN 2 X 2 FNn X n FNP
作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN。
35
五、力法求解超静定结构的步骤 1、确定基本未知量(选取基本体系)； 2、列力法方程：
现在提出的问题是：如何求出11和1P。
1P—属静定结构的位移计算问题，可简单求出。
11 —由X1引起，可利用叠加原理求解。
18
设X1=1时在B点产生的位移为11，则：11=11 X1， 代入上述变形条件有：
11 X1 + 1P =0 式中：11－系数；1P－自由项。
此为线性变形条件下一次超静定结构的力法方程。 4、求解 X1
q
C FP A D C
q
D
ΔBH=0
ΔBV=0 θB=0 原结构 B
=
FP
A 基本体系
X3
B
X2
X1
30
q
C = FP A D
C
D
+
Δ3P B Δ2P Δ1P
A
δ31 δ21
X1
B
X1=1
δ11
C D
C + A
X2=1
D
X2 + δ32
B δ12 δ22
X3
A
δ33 δ23
X3=1
B δ13
作弯矩图
M M1 X1 M 2 X 2 M 3 X 3 M P
34
四、n次超静定结构的力法典型方程
i1 X 1 i 2 X 2 in X n iP 0(i 1、、 、n) 2
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↑ ← ↓→ →X← X ↑ X ← → ↓ X
X1
3
X1
↑ ← ↓→ →X←
3
X2
4
5
6
n=6
X4
X← 6
X5
n=3×7=21
对于具有较多框格的结构，可 按 框格的数目确定，因为一个封 闭框格，其超静定次数等于三。 当结构的框格数目为f ,则 n=3f 。
力 法
§6-3 力法的基本概念
首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概念。讨论如何 在计算静定结构的基础上，进一步寻求计算超静定结构的方法。 1 判断超静定次数： q
EI2 EI1
EI1 EI1 EI1
对称
对称
a
a
力 法
1. 选取对称的基本结构 多余未知力X1、X2是正 对称，X3是反对称的。 基本结构的各单位弯 矩图(见图)。 、 是正对称， 则 是反对称。
EI2 EI1
X1
对 称 EI1 轴
X X
3
2
基本结构
← →
X1 1
X2 1
13= 31= 23= 32=0 11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0
力 法
§6—2 超静定次数的确定
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系或多余未知 力的数目。
1. 超静定次数：多余联系或多余未知力的个数。 2 .确定超静定次数的方法： 采用解除多余联系的方法。 解除多余联系的方式通 常有以 下几种：
（1）去掉或切断一根链杆，相当 于去掉一个联系。
（2）拆开一个单铰，相当于去掉 两个联系。
力 法
力 法
第六章
§6—1 §6—2 §6—3 §6—4 §6—5 §5—6 §6—7 §6—8 §6—9 §6—10 §6—11 §6—12 §6—13
力
法
主 本 章 要 内 容
超静定结构概述 超静定次数的确定 力法的基本概念 力法的典型方程 力法的计算步骤和示例 对称性的利用 超静定结构的位移计算 最后内力图的校核 温度变化时超静定结构的计算 支座移动时超静定结构的计算 力法计算超静定拱 弹性中心法计算无铰拱 超静定结构的特性
C P B I1 I2=2I1 P C
B
a
2
a 2
原 a
A
X X
2
1
基
(a)
A
计算系数和常数项，为 此作 计算结果如下
3 1 a2 2a a = 2EI1 2 3 6EI1
X1 1
a
M 2图
M1图
a
X2 1
a
a
1 a2 a a3 = 2EI1 2 4EI1
a
M1图
力 法
a
力 法
2 力法的计算步骤
（1）确定原结构的超静定次数。 （2）选择静定的基本结构(去掉多余联系，以多余未知力代替)。 （3）写出力法典型方程。 （4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力图，据此计算典型方
程中的系数和自由项。
（5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按叠加法作内力图。
力 法
例题 6-2 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。EI=常数。 解： n=3 a P b 选取简支梁为基本结构 A B L 典型方程为
力 法
4 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算
典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在已知力 作用下的位移，可以用第七章的方法计算。对于平面结构，这 些位移的计算公式为
对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后，代入 典型方程即可解出各多余未知力。
力 法
§6-5 力法的计算步骤和示例
例题 6-1求解图示结构 n=2(二次超静定) 选择基本体系如图示 力法典型方程为： 11X1 + 12X2 +△1P=0 21X1 + 22X2+△2P=0
力 法
0
1
n=1(一次超静定)。 选择基本体系如图示。 写出力法典型方程
解：
2a
P X1 3 0
2a
P 4
2
11X1+△1P=0 计算系数和自由项
1
基本体系
为此，求出基本体系的
计算得：
和NP值
2 2 3 4 FN 1 0 2 2 1 对称
X1=1
-1/2
EA11=(3+ ) a EA△1P=－Pa
1
11 12 13 1P
§6—4 力法的典型方程
力 法
11X1+12X2+13X3+△1P=0 21X1+22X2+23X3+△2P=0 31X1+32X2+33X3+△3P=0
（6-2）
2 n次超静定问题的力法典型(正则)方程 对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有n个位移条 件，可写出n个方程
2
↑
q
qL2 8
M1图
X1 1
MP图
2
M图
2 qL = _ 1 ( 1 L) 3L EI 3 2 4 6 将11、 ∆11代入力法方程式(7-1)，可求得 多余未知力x1求出后，其余反力、内 力的计算都是静定问题。利用已绘出 的 M1图和MP图按叠加法绘M图。
力 法
结
论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而得到静定的基本 结构，以多余未知力作为基本未知量，根据基本结构应与原结 构变形相同而建立的位移条件，首先求出多余未知力，然后再 由平衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。 力法整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的， 这就把超静定结构的计算问题，转化为已经熟悉的静定结 构的内力和位移的计算问题。
力 法
2. 超静定结构的类型 （1）超静定梁
（2）超静定桁架 （3）超静定拱
（4）超静定刚架
（5）超静定组合结构
力 法
3.超静定结构的解法 求解任何超静定问题，必须综合考虑以下三个方面的条件: （1）平衡条件 结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程。 （2）几何条件 结构的变形和位移必须符合支承约束条件和各部分之间的变 形连续条件。 （3）物理条件 变形或位移与力之间的物理关系。 具体求解时，根据计算途径的不同，有两种不同的基本方法 ，即力法（又称柔度法）和位移法（又称刚度法）。 二者的主要区别在于基本未知量的选择不同。力法是以多 余未知力作为基本未知量；位移法则是以结点位移作为基本未 知量。
→ X1 ↑
X1 X 1 ← → ↑ → X2
力 法
（3）在刚结处作一切口，或去掉一 个固定端，相当于去掉三个联系。
X1←
X2
→ X
↑ → X1
3
X2
（4）将刚结改为单铰联结，相当于去 掉一个联系。
X1
X1
应用上述解除多余联系(约束)的方法，不难确定任何超静 定结构的超静定次数。
力 法
3. 例题:确定图示结构的超静定次数。 X2
2 P 2
P0 3 1
P
4
2
NP
0
对称
+P/2
a
2
2
例题 6-3 用力法计算图示桁架内力， 设各杆EA相同。
P 3
P
4
代入典型方程，解得
2 2
3
1
X1=1
力 法
4
=0.172P
各杆内力按式
FN 1
0
2 2
对称
-1/2
P 3
2
0
1
4
P 对称 2
叠加求得。
例如
FNP
0
2 P 2
+P/2
P 3 0 +0.414P
N03=0.707×0.172P -0.707Ｐ =－0.586P
FN
+0.172P 1
4
对称 2
P
力 法
§6-6
对称性的利用
用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高，计算工作 量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数项)和解算典型 方程。利用结构的对称性可使计算得到简化。简化的原则是使 尽可能多的副系数、自由项等于零。 对称结构：指结构的几何形状、约束、刚度关于结构本身对称轴 对称。 例如：
力 法
用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方 程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。 P P 1 三次超静定问题的力法方程 → → 首先选取基本体系（见图b） 基本体系的位移条件为： 原结构 基本体系 △1=0 △2=0 A B X1 A X2 △3=0 → （b） B ↑ （a） X 3 设当 和荷载P 分别作用在结构上时， 沿X 方向： 、 、 和△ ； 沿X2方向：21、22、23和△2P ； 沿X3方向： 31、32、33和△3P 。 据叠加原理，上述位移条件可写成 △1= 11X1 +12X2 +13X3 +△1P=0 △2 =21X1+22X2+23X3+△2P=0 （6-2） △3 =31X1+32X2+33X3+△3P=0 A点的位移
力 法
§6—1
概
述
1. 静定结构与超静定结构 （1）静力平衡方程方面： 全部反力和内力只用平衡条件便可确定的结构。 静定结构： P HA A B
VA RB
超静定结构： 仅用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构。
A HA
B
RB
P
C RC
VA
P 内力超静定问题