第六章 力法

力 法
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第六章
§6—1 §6—2 §6—3 §6—4 §6—5 §5—6 §6—7 §6—8 §6—9 §6—10 §6—11 §6—12 §6—13
力
法
主 本 章 要 内 容
超静定结构概述 超静定次数的确定 力法的基本概念 力法的典型方程 力法的计算步骤和示例 对称性的利用 超静定结构的位移计算 最后内力图的校核 温度变化时超静定结构的计算 支座移动时超静定结构的计算 力法计算超静定拱 弹性中心法计算无铰拱 超静定结构的特性
这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中Xi为多余未 知力，ii为主系数，ij(i≠j)为副系数, △iP为常数项（又称自由项 ）。
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3 力法方程及系数的物理意义 （1）力法方程的物理意义为：基本结构在全部多余未知力和荷 载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向上的位移，应与 原结构相应的位移相等。 （2）系数及其物理意义： 下标相同的系数 ii 称为主系数(主位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿其自身方向上的位移，其值恒 为正。 系数 ij(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移，其值可能为正、为负 或为零。据位移互等定理，有 ij= ji △iP称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起的沿Xi方向 的位移。其值可能为正、为负或为零。 上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。
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§6—2 超静定次数的确定
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系或多余未知 力的数目。
1. 超静定次数：多余联系或多余未知力的个数。 2 .确定超静定次数的方法： 采用解除多余联系的方法。 解除多余联系的方式通 常有以 下几种：
（1）去掉或切断一根链杆，相当 于去掉一个联系。
（2）拆开一个单铰，相当于去掉 两个联系。
作基本结构各 和MP图 由于 3=0,故
X1 1
M1图
1 X2 1
M 2图
M 3图

P
Pab L
Pab L2
2
M图

X
13= 31= 23= 32= △3P=0 33X3=0
3
1 则典型方程第三式为
代入典型方程 (消去公因子)得 代入典型方程解得
MP图
Pa 2 b L2
33≠0(因X3的解唯一) 按式 故 X3=0 解得 作弯矩图。
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4 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算
典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在已知力 作用下的位移，可以用第七章的方法计算。对于平面结构，这 些位移的计算公式为
对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后，代入 典型方程即可解出各多余未知力。
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§6-5 力法的计算步骤和示例
例题 6-1求解图示结构 n=2(二次超静定) 选择基本体系如图示 力法典型方程为： 11X1 + 12X2 +△1P=0 21X1 + 22X2+△2P=0
A EI 原结构 L B
n=1
2 确定(选择)基本体系。 3 写出变形(位移)条件: (a)
根据叠加原理，式（a） 可写成
q
A
基本体系
↑X

B
1
↑
q
11
X1
(b)
1P
(b) 4 建立力法基本方程 将 ∆11=11x1 代入(b)得
(6-1) A EI
q
L
力 法
B
L
qL 2
qL 8
2
此方程便为一次超静定结 构的力法方程。 5 计算系数和常数项 = 1 L 2L EI 2 3
EI2 EI1
EI1 EI1 EI1
对称
对称
a
a
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1. 选取对称的基本结构 多余未知力X1、X2是正 对称，X3是反对称的。 基本结构的各单位弯 矩图(见图)。 、 是正对称， 则 是反对称。
EI2 EI1
X1
对 称 EI1 轴
X X
3
2
基本结构
← →
X1 1
X2 1
13= 31= 23= 32=0 11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0
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§6—1
概
述
1. 静定结构与超静定结构 （1）静力平衡方程方面： 全部反力和内力只用平衡条件便可确定的结构。 静定结构： P HA A B
VA RB
超静定结构： 仅用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构。

A HA
B
RB
P

C RC
VA
P 内力超静定问题
外力超静定问题
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（2）几何组成分析方面： 静定结构：无多余约束（联系）的几何不变体系。 超静定结构： 有多余约束（联系）的几何不变体系。 多余约束（联系）：这些联系仅就保持结构的几何不变性来说， 是不必要的。 多余未知力： 多余联系中产生的力称为多余未知力（也称为 赘余力或冗力）。
→ X1 ↑
X1 X 1 ← → ↑ → X2
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（3）在刚结处作一切口，或去掉一 个固定端，相当于去掉三个联系。
X1←
X2
→ X
↑ → X1
3
X2
（4）将刚结改为单铰联结，相当于去 掉一个联系。
X1
X1
应用上述解除多余联系(约束)的方法，不难确定任何超静 定结构的超静定次数。
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3. 例题:确定图示结构的超静定次数。 X2
C P B I1 I2=2I1 P C
B
a
2
a 2
原 a

A
X X
2
1
基
(a)
A
计算系数和常数项，为 此作 计算结果如下
3 1 a2 2a a = 2EI1 2 3 6EI1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X1 1

a
M 2图
M1图
a
X2 1

a
a
1 a2 a a3 = 2EI1 2 4EI1
a
M1图
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a

2 P 2
P0 3 1
P
4
2
NP
0
对称
+P/2
a
2
2
例题 6-3 用力法计算图示桁架内力， 设各杆EA相同。
P 3
P
4
代入典型方程，解得
2 2
3

1
X1=1
力 法
4
=0.172P
各杆内力按式
FN 1
0
2 2
对称
-1/2
P 3
2

0
1
4
P 对称 2
叠加求得。
例如
FNP
0

1
11 12 13 1P
§6—4 力法的典型方程
力 法
11X1+12X2+13X3+△1P=0 21X1+22X2+23X3+△2P=0 31X1+32X2+33X3+△3P=0
（6-2）
2 n次超静定问题的力法典型(正则)方程 对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有n个位移条 件，可写出n个方程
X1 1
P 基本结构
X
Lb 3L
3
X2
11 X X +1 +12 X X +2 +13 △ X =0 △1P=0 11 1 12 2 1P 3+ 21 X X +1 +22 X X +2 +23 △ X =0 △2P=0 21 1 22 2 2P 3+ 31X由图乘法求得 1+ 32X2+ 33X3+△3P=0
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用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方 程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。 P P 1 三次超静定问题的力法方程 → → 首先选取基本体系（见图b） 基本体系的位移条件为： 原结构 基本体系 △1=0 △2=0 A B X1 A X2 △3=0 → （b） B ↑ （a） X 3 设当 和荷载P 分别作用在结构上时， 沿X 方向： 、 、 和△ ； 沿X2方向：21、22、23和△2P ； 沿X3方向： 31、32、33和△3P 。 据叠加原理，上述位移条件可写成 △1= 11X1 +12X2 +13X3 +△1P=0 △2 =21X1+22X2+23X3+△2P=0 （6-2） △3 =31X1+32X2+33X3+△3P=0 A点的位移
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0
1
n=1(一次超静定)。 选择基本体系如图示。 写出力法典型方程
解：
2a
P X1 3 0
2a
P 4
2
11X1+△1P=0 计算系数和自由项
1
基本体系
为此，求出基本体系的
计算得：
和NP值
2 2 3 4 FN 1 0 2 2 1 对称
X1=1
-1/2
EA11=(3+ ) a EA△1P=－Pa
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2. 超静定结构的类型 （1）超静定梁
（2）超静定桁架 （3）超静定拱
（4）超静定刚架
（5）超静定组合结构
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3.超静定结构的解法 求解任何超静定问题，必须综合考虑以下三个方面的条件: （1）平衡条件 结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程。 （2）几何条件 结构的变形和位移必须符合支承约束条件和各部分之间的变 形连续条件。 （3）物理条件 变形或位移与力之间的物理关系。 具体求解时，根据计算途径的不同，有两种不同的基本方法 ，即力法（又称柔度法）和位移法（又称刚度法）。 二者的主要区别在于基本未知量的选择不同。力法是以多 余未知力作为基本未知量；位移法则是以结点位移作为基本未 知量。
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2 力法的计算步骤
（1）确定原结构的超静定次数。 （2）选择静定的基本结构(去掉多余联系，以多余未知力代替)。 （3）写出力法典型方程。 （4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力图，据此计算典型方
程中的系数和自由项。
（5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按叠加法作内力图。
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例题 6-2 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。EI=常数。 解： n=3 a P b 选取简支梁为基本结构 A B L 典型方程为
M 2图
将以上各系数代入方程(a) 并消去(a3/EI1)得
a
C 3/88×Pa
a
B
P

Pa 2
MP图 P

A
13/88×Pa
15/88×Pa
M图
最后内力图的绘制用叠加法 解联立方程得 例如 MAC= a 4P + a( 3P ) 88 11
.
多余未知力求得后其余反力、内 力的计算便是静定问题。
Pa 2
↑ ← ↓→ →X← X ↑ X ← → ↓ X
X1
3
X1
↑ ← ↓→ →X←
3
X2
4
5
6
n=6
X4
X← 6
X5
n=3×7=21
对于具有较多框格的结构，可 按 框格的数目确定，因为一个封 闭框格，其超静定次数等于三。 当结构的框格数目为f ,则 n=3f 。
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§6-3 力法的基本概念
首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概念。讨论如何 在计算静定结构的基础上，进一步寻求计算超静定结构的方法。 1 判断超静定次数： q
2
↑
q
qL2 8
M1图
X1 1
MP图
2
M图
2 qL = _ 1 ( 1 L) 3L EI 3 2 4 6 将11、 ∆11代入力法方程式(7-1)，可求得 多余未知力x1求出后，其余反力、内 力的计算都是静定问题。利用已绘出 的 M1图和MP图按叠加法绘M图。
力 法
结
论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而得到静定的基本 结构，以多余未知力作为基本未知量，根据基本结构应与原结 构变形相同而建立的位移条件，首先求出多余未知力，然后再 由平衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。 力法整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的， 这就把超静定结构的计算问题，转化为已经熟悉的静定结 构的内力和位移的计算问题。
11X1+ 12X2+ … + 1iXi+ … + 1nXn+△1P=0
i 1X1+ i 2X2+ … + i iXi+ … + i nXn+△iP=0
……………………………………………………………
（6-3）
……………………………………………………………
n1X1+ n2X2+ … + niXi+ … + nnXn+△nP=0
2 P 2
+P/2
P 3 0 +0.414P
N03=0.707×0.172P -0.707Ｐ =－0.586P
FN

+0.172P 1
4
对称 2
P
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§6-6
对称性的利用
用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高，计算工作 量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数项)和解算典型 方程。利用结构的对称性可使计算得到简化。简化的原则是使 尽可能多的副系数、自由项等于零。 对称结构：指结构的几何形状、约束、刚度关于结构本身对称轴 对称。 例如：
力 法
A
B
P
X1
C

X1 ↙ X 2 ↙
↗
↗
此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。
P 此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。
注意： （1）在超静定结构中，多余约束没有唯一的规定。只要某 个约束除去以后，对结构的几何不变性无影响，则该约束就 可以认为是多余约束。 （2）在超静定结构中，当确定某些约束为多余约束后，其 余约束为“必要约束”。“多余约束”与“必要约束”对结 构而言是相对的，不是绝对的。