角平分线的性质例题

经典例题透析
类型一：角平分线性质的应用
1、如图，△ABC中
∠C=90°，AD平分∠BAC，
点D在BC上，且BC=24，
CD:DB=3:5
求：D到AB的距离。

思路点拨:点到直线的距离是经过该点做直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度。

解析：过D作DE⊥AB于E。

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=CD
∵BC=24，CD:DB=3:5
∴CD=24×=9＝DE
即点D到AB的距离是9。

总结升华：角平分线上的点到角两边的距离相等。

举一反三：
【变式】如图，∠ACB=90°,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F.
求证：AE=CF
【答案】∵BD平分∠ABC，DE⊥AB,DC⊥BF
∴DE=DC
在△ADE和△FCD中
∴△ADE△FCD(ASA)
∴AE=CF
类型二：角平分线的判定
2、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。

求证：AF为∠BAC的平分线。

思路点拨：由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。

解析：∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）
∴∠CDF=∠BEF=90°
∵∠DFC=∠BFE(对顶角相等)
BF=CF(已知)
∴△DFC≌△EFB(AAS)
∴DF=EF(全等三角形对应边相等)
∵FE⊥AB,FD⊥AC（已知）
∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
即AF为∠BAC的平分线
总结升华：应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了“垂直”的条件。

如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性。

举一反三：
【变式】如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O
(1) 若DB⊥AC,CE⊥AB,D,E为垂足，试判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并
证明你的结论。

(2) 若D，E不是垂足，是否有着同样的结论？并证明你的结论。

【答案】
（1）∵AB=AC,AD=AE
∴BE=CD
∵DB⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BEO=∠CDO=90°
在△BEO和△CDO中
∴△BEO△CDO
∴EO=DO
∵EO⊥AB,DO⊥AC
∴点O在∠A的平分线上
（2）点D,E不是垂足时，（1）的结论仍然成立，连接AO
在△ABD和△ACE中
∴△ABD△ACE
∴∠B=∠C
∵AB=AC,AD=AE
∴EB=CD
在△BEO和△CDO中
∴△BEO△CDO
∴EO=DO
在△AEO和△ADO中
∴△AEO△ADO
∴∠EAO=∠DAO
∴O点在∠A的角平分线上
类型三、角平分线的综合应用
3、已知：BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE求证：∠BAD=∠DAC+∠C
思路点拨:证明一个角等于另外两个角的和的问题，一般有两种途径：1.将两个角转化为一个角，再证等角。

2.在和角中做一个角，使它与这两个角中的一个相等，再整余下的部分等于另一个角。

解析：过C做CF⊥BE，交BE的延长线于F
∵AD⊥BE，CF⊥BE
∴AD//CF
∴∠DAC=∠FCA
即∠FCB=∠ACB+∠DAC
在Rt△BCF中∠FCB=90°-∠EBC
在Rt△ABD中∠BAD=90°-∠ABE
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
∴∠FCB=∠BAD=∠DAC+∠C
总结升华：添加辅助线时，要能充分利用已知条件。

举一反三：
【变式】在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC。

求证：∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０°
【答案】过Ｄ做AB、BC所在直线的垂线，垂足分别是E、F
∵BD平分∠ABC
∴DE=DF
又∵AD=CD
∴△AED△CDF（HL）
∴∠C=∠DAE
又∵∠BAD+∠DAE=180°
∴∠C+∠BAD=180°。