二次函数综合运用

：二次函数综合运用

例题1、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = -

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1-m x 2+45m

x +m 2-3m +2与x 轴的交点分别

为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。

（1）求点B 的坐标；

（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D ，使得ED =PE ，以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）；当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；

例题2、如图（1），抛物线42

y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .

（1）求点A 的坐标； （2)当b =0时（如图（2）），ABE V 与ACE V 的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关

b ；若

例题3、如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是（0，3），以点C 为顶点的抛物线

c bx ax y ++=2恰好经过x 轴上A 、B 两点．

（1）求A 、B 、C 三点的坐标；

（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位? 解：

例题4、已知：二次函数2

2y ax bx =+-的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中0a b >>且a 、b 为实数． （1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；

（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，求| x 1－x 2 |的范围．

例题5、如图9，已知抛物线2

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y x bx c x =++与轴交于点A （-4，0）和B （1，0）两点，与y 轴交于C 点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF ∥AC 交BC 于F ，连接CE ，当CEF V 的面积是BEF V 面积的2倍时，求E 点的坐标；

（3）若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P

图9 x

例题6、如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；

矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式；

（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速

平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.

① 当t=2

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时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；

② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．