微积分 斯托克斯公式与散度
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Q P R Q P ( )i ( )j ( )k y z z x x y R
斯托克斯公式的旋度表示：
rot F d S
F dr
环流量： 沿定向闭曲线 F
的积分
F dr
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上 的曲线积分之间的联系。 （3） 斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
)
( 是 xoy 面上的平面区域时
例1、计算曲线积分
zdx
xdy ydz , 其中 是平面 三角形的 .
x y z 1 被三个坐标面所截成的
整个边界 . 从 z 轴正向看去 , 取逆时针方向
( F e ) ds .
斯托克斯公式的物理解释：
向量场 F 沿有向闭曲线 向量场 F 的旋度场通过
的环流量等于 所张的曲面的
)
通量 .( 的正向与 的侧符合右手法则
作业 习题8-7：3
. 从 x 轴正向看去 ,
取逆时针方向
z
.
n
x y 3 2
o
D xy
y
x y
1 2
x
例3、计算曲线积分
x zdx xy dy z dz , 其中
2 2 2 2
是抛物面 z 1 x
y 位于第一卦限部分
2
的边界曲线 . 从 z 轴正向看去 , 取逆时针向 .
P y
)dxdy
Pdx
Qdy Rdz .
斯托克斯公式：
( y
R
Q z
)dydz
( z
P
R x
)dzdx
( x
Q
P y
)dxdy
Pdx
Qdy Rdz .
dydz x P cos x P
z
y
x
2
y
2
1
o
y
o
x
x
二、旋度 定义：C
(1 )
向量场 F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j Q ( x , y , z ) k
在点 ( x , y , z ) 处的旋度 i j k rot F x y z P Q R
第七节
一、斯托克斯公式
斯托克斯公式与散度
: 的正向边界曲线
.
规定如下 :
当人位于 指定侧的边界 行走时 , 若邻近处的 始终位于人的左侧 即为
, 则此
.
与 的侧的指向符合右手法
则.
设 定理： 是一张光滑或分片光滑
的定向曲面 , 的 曲线 .
z
1
y
n
1
0
1
x
D xy
y
1
o
D xy
x
1
例2、计算曲线积分
( y z ) dx ( z x ) dy ( x
2 2 2 2
2
y ) dz ,
2
其中 是平面 x y z
3 2
截立方体
: 0 x 1,
0 y 1 , 0 z 1的表面所得截痕
dzdx y Q cos y Q
dxdy z R cos z R
关键：
求出 cos , cos , cos , 先化为第一类曲线积分 再化为二重积分计算
dS
, .
（1）斯托克斯公式的证明思路： 曲面积分
1来自百度文库
二重积分
2
曲线积分
（2）斯托克斯公式的实质：
(1 )
正向边界 为光滑或分段光滑的闭
如果函数 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) C 则有
( ),
( y
R
Q z
)dydz
( z
P
R x
)dzdx
( x
Q
斯托克斯公式的旋度表示：
rot F d S
F dr
环流量： 沿定向闭曲线 F
的积分
F dr
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上 的曲线积分之间的联系。 （3） 斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
)
( 是 xoy 面上的平面区域时
例1、计算曲线积分
zdx
xdy ydz , 其中 是平面 三角形的 .
x y z 1 被三个坐标面所截成的
整个边界 . 从 z 轴正向看去 , 取逆时针方向
( F e ) ds .
斯托克斯公式的物理解释：
向量场 F 沿有向闭曲线 向量场 F 的旋度场通过
的环流量等于 所张的曲面的
)
通量 .( 的正向与 的侧符合右手法则
作业 习题8-7：3
. 从 x 轴正向看去 ,
取逆时针方向
z
.
n
x y 3 2
o
D xy
y
x y
1 2
x
例3、计算曲线积分
x zdx xy dy z dz , 其中
2 2 2 2
是抛物面 z 1 x
y 位于第一卦限部分
2
的边界曲线 . 从 z 轴正向看去 , 取逆时针向 .
P y
)dxdy
Pdx
Qdy Rdz .
斯托克斯公式：
( y
R
Q z
)dydz
( z
P
R x
)dzdx
( x
Q
P y
)dxdy
Pdx
Qdy Rdz .
dydz x P cos x P
z
y
x
2
y
2
1
o
y
o
x
x
二、旋度 定义：C
(1 )
向量场 F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j Q ( x , y , z ) k
在点 ( x , y , z ) 处的旋度 i j k rot F x y z P Q R
第七节
一、斯托克斯公式
斯托克斯公式与散度
: 的正向边界曲线
.
规定如下 :
当人位于 指定侧的边界 行走时 , 若邻近处的 始终位于人的左侧 即为
, 则此
.
与 的侧的指向符合右手法
则.
设 定理： 是一张光滑或分片光滑
的定向曲面 , 的 曲线 .
z
1
y
n
1
0
1
x
D xy
y
1
o
D xy
x
1
例2、计算曲线积分
( y z ) dx ( z x ) dy ( x
2 2 2 2
2
y ) dz ,
2
其中 是平面 x y z
3 2
截立方体
: 0 x 1,
0 y 1 , 0 z 1的表面所得截痕
dzdx y Q cos y Q
dxdy z R cos z R
关键：
求出 cos , cos , cos , 先化为第一类曲线积分 再化为二重积分计算
dS
, .
（1）斯托克斯公式的证明思路： 曲面积分
1来自百度文库
二重积分
2
曲线积分
（2）斯托克斯公式的实质：
(1 )
正向边界 为光滑或分段光滑的闭
如果函数 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) C 则有
( ),
( y
R
Q z
)dydz
( z
P
R x
)dzdx
( x
Q