通信习题答案第二章

2．2设一个随机过程()X t 可以表示成：()2cos(2)X t t t πθ=+-∞<<∞，判断它是

功率信号还是能量信号？并求出功率谱密度或能量谱密度。（θ是一个随机变量，且在02π:内均匀分布）

解：这是一个周期信号，时间取值无限，所以是一个功率信号，有功率谱密度。 要求随机过程的功率谱密度，可以由自相关函数的傅立叶变换而求得，但首先得证明这是一个广义平稳的随机过程。

20

20

[()][2cos(2)]

12cos(2)

21

sin(2)0

E X t E t t d t π

π

πθπθθπ

πθπ

=+=+=

+=⎰

121212122121

(,)[()()]

[2cos(2)2cos(2)]

2[cos(222)]cos(22)]2cos(2)

X R t t E X t X t E t t E t t t t t t πθπθππθπππττ==++=+++-==-

由上可得这是一个平稳的随机过程。 由自相关函数可求得功率谱密度

()[()]

2[(2)(2)]

X X P f f R w w τπδπδπ==++-

2．4 设12()cos 2sin 2X t x t x t ππ=-是一个随机过程，其中1x 和2x 是互相统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2

σ。试求： （1）[()]E X t ，2

[()]E X t ； （2）()X t 的概率分布密度； （3）12(,)X R t t 。 解:(1)

1212[()][cos 2sin 2]

cos 2[]sin 2[]0

E x t E x t x t t E x t E x ππππ=-=⋅-⋅= 2222212122222122

[()][cos 2sin 22sin 2cos 2]

cos 2[]sin 2[]E x t E x t x t x x t t t E x t E x ππππππσ=+-=⋅+⋅=

(2)

高斯随机变量的线性变换仍然是高斯随机变量，所以要求概率密度即求其均值和方

差，由(1)得，其均值为0，方差为2

σ。所以概率密度为：

2

2

2

()

x

f xσ-

=

(3)

1211211222

22

112212

2

12

(,)[(cos2sin2)(cos2sin2)]

[cos2cos2sin2sin2]

cos2()

X

R t t E x t x t x t x t

E x t t x t t

t t

ππππ

ππππ

σπ

=--

=+

=-

2．6 试求()cos

X t A tω

=的自相关函数，并根据自相关函数求出其功率。

解：

首先求自相关函数：

2

2

2

()[()()]

[cos cos()]

1

[cos cos(2)]

2

1

cos

2

x

R E x t x t

E A t t

A E t

A

ττ

ωωτ

ωτωτ

ωτ

=+

=+

=++

=

要求功率只需求自相关函数的零点值：

2

(0)

2

A

P R

==

2．8 设有一随机过程()()cos

X t m t tω

=，其中()

m t是一广义平稳随机过程，且其自相关为：

110

()101

m

R

ττ

τττ

+-<<

⎧⎫

⎪⎪

=-≤<

⎨⎬

⎪⎪

⎩⎭

其他

（1）试画出自相关函数()

X

Rτ的曲线；

（2）试求出()

X t的功率谱密度()

X

P f和功率P。

解：（1）求随机过程()

X t的自相关函数：

000

000

()[()()]

[()cos()()cos()]

11

()[cos(22)cos]

22

1

()cos

2

X

m

m

R E x t x t

E m t w t m t w t w

R E w t w w

R w

ττ

θττθ

ττθτ

ττ

=+

=+⋅+++

=⋅+++

=

图略

（2）()

X t的功率谱密度()

X

P f为自相关函数()

X

Rτ的傅立叶变换：

2200()()1

[()()]422

jw X X P w R e d w w w w Sa Sa τττ

+∞

--∞

=

+-=+⎰

功率为自相关函数的零点值：1

(0)2

X P R ==

2．10 已知一噪声()n t 的自相关函数为：()2

k n k R e k ττ-==常数

（1）试求其功率谱密度()n P f 和功率P ； （2）试画出()n R τ和()n P f 的曲线。

解：（1）功率谱密度()n P f 为自相关函数的傅立叶变换：

2

2

2

()()2[]211[]2jw n n k jw k jw k jw P w R e d k e e d k

e e d e

e d k k jw k jw k k w τττ

τττ

τττ

τττ+∞

--∞

+∞

---∞

+∞

----∞

=

=

=+=+-+=+⎰

⎰⎰⎰

功率P 为自相关函数的零点值：(0)2

n k P R ==

（2）图略。

2．13 设输入信号为：/0()00t e t x t t τ

-⎧⎫

≥=⎨

⎬<⎩⎭

，它加到由一个电阻R 和一个电容C 组成的高通滤波器上，RC τ=。试求其输出信号()y t 的能量谱密度。 解：首先求传输函数：

()111R jwRC j w

H w jwRC j w

R jwC

ττ=

=

=+++

已知输入信号()x t ，可求其傅立叶变换：