竖式求算术平方根(七下数学第六单元补充内容)
人教版七年级数学下册 6.1 第1课时 算术平方根 课件(共20张PPT)
互为 x a
逆运算 a的算术平方根
平方根号 读作：根号a
被开方数 （a≥0）
1. 一个正数的算术平方根有几个？ 一个正数的算术平方根有1个.
2. 0的算术平方有几个？ 0的算术平方根有1个，是0.
3. −1有算术平方根吗？负数有算术平方根? 负数没有算术平方根.
考 点 1 求一个数的算术平方根
（3）0.0001． 解：（3）因为0.012 = 0.0001，
所以0.0001的算术平方根是0.01 ． 即 0.0001 0.01．
总结：从例题可以看出：被开方数越大，对应的算术 平方根也越大，这个结论对所有正数都成立.
知识点2：算术平方根的非负性 回忆正方形的面积公式： 边长(x) 面积(a)
求下列各数的算术平方根：
（1）100 ；
（2）6449 ；
（3）0.0001．
解：（1）因为 10²= 100 ，
所以100的算术平方根是10 ．
即 100=10 ．
（2） 49 ； 64
解：（2）因为（7）2 49 ， 8 64
所以 49 的算术平方根是 7 ．
64
8
即 49 7 ．
64 8
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即x²= a， 那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. a的算术平方根记 为 a ，读作“ 根号 a” .
规定：0的算术平方根是0，即 0 0.
(非负数 x )2 = a 非负数 x 是非负数 a 的算术平方根
用符号来表示一个数的算术平方根
x2 a
解：由于正方形的面积 = 边长×边长， 又因为 52 = 25 . 所以这个正方形画布的边长应取 5 dm.
填表：
人教版七年级下数学第6章实数6.1平方根 算术平方根 课件 (2)
(2)由于一个非负数的算术平方根的运算需借助于平方运算， 所以熟记一些简单的平方数对求一个非负数的算术平方根十 分有利． (3)对于所有的正数，被开方数越大．，对应的算术平方根越大．， 反之亦然．
定义：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那 么这个正数 x 叫做 a 的__算__术__平__方__根____． 表示方法：a 的算术平方根记为____a__，读作“__根__号__a__”， a 叫做__被__开__方__数____．
规定：0 的算术平方根是__0____，即 0＝0.
6.1 平方根
2．求 1196的值． 解： 1196＝134. 以上解答正确吗？若不正确，请找出错误原因，并给出正确 答案．
解：不正确．求带分数的算术平方根时，要先将带分 数化成假分数再求．正确解答如下：
1196＝ 2156＝54＝114.
随堂检测 反思教学
例3：求下列各式的值， （1）1 （2） 9 （3） 22
(2) a(a≥0)表示的意思是__a_的__算__术__平__方__根_____．
(3)32＝9，则 3 是 9 的___算__术__平__方__根_________． (4)0 的算术平方根是__0__，表示为______0_＝__0________．
6.1 平方根
新知梳理
知识点 算术平方根的概念
6.1 平方根
第1课时 算术平方根
6.1 平方根
探究新知
活动1、创设情境 引入新课
计 (－算23： )2＝22＝ ____49____4___；_； 02＝(－__2_)_02＝_____．_4___；(23)2＝
七年级数学下册 第6章 6.1 平方根、立方根讲解与例题 (新版)沪科版
6.1 平方根、立方根1．了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根．2．能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题． 3．知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根． 4．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．1．平方根(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根．换句话说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，例如22＝4，(－2)2＝4，则4的平方根是＋2和－2(也可合写为±2)，＋2和－2都是4的平方根．(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．(3)平方根的表示：正数a 有两个平方根，一个是a 的正的平方根，记作“a ”，读作“根号a ”，另一个是a 的负的平方根，记作“－a ”，读作“负根号a ”，这两个平方根合起来可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”，其中a 叫做被开方数．【例1－1】求下列各数的平方根：(1)0.64；(2)3625；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－322．分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根．解：(1)∵(±0.8)2＝0.64，∴0.64的平方根是±0.8．(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±652＝3625，∴3625的平方根是±65.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－322的平方根是±32.求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因为表达形式的改变而改变，如⎝ ⎛⎭⎪⎫－322是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它的平方根仅有－32.【例1－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． (1)2516；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3)2． 分析：数的序号 存在情况 原因 (1) 有2个因为是正数，所以有两个平方根(5) 有2个 (3) 无因为是负数，所以没有平方根(4) 无 (2) 有1个 0的平方根是它本身 解：(1)因为2516是正数，所以2516有两个平方根．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫±542＝2516，所以2516的平方根是±54.(2)0只有一个平方根，是它本身．(3)因为－4是负数，所以－4没有平方根．(4)因为－0.49是负数，所以－0.49没有平方根．(5)因为(－3)2＝9，所以(－3)2为正数，有两个平方根．由于9的平方根是±3，所以(－3)2的平方根是±3．2．算术平方根的概念正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x 2＝a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根．平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：①表示方法不同：正数a 的平方根表示为±a ；正数a 的算术平方根表示为a .②个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个．③性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数．平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和1．(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有．负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.【例2】求下列各数的算术平方根：(1)196；(2)179；(3)16.分析：根据算术平方根的定义，求正数a 的算术平方根，也就是求一个非负数x ，使x 2＝a ，则x 就是a 的算术平方根．(1)因为142＝196，所以196的算术平方根是14．(2)因为179＝169，⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169，所以169的算术平方根是43，即179的算术平方根是43.(3)因为要求的是16的算术平方根，所以要先算出16，再求算术平方根.16表示的是16的算术平方根，所以16＝4．由于22＝4，所以4的算术平方根是2，即16的算术平方根是2．解：(1)196＝14．(2)179＝169＝43.(3)因为16＝4,4的算术平方根是2，所以16的算术平方根是2．求正数a 的算术平方根，只需找出平方等于a 的正数．求一个分数的算术平方根或平方根，当这个分数是带分数时，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方根，不要出现11649＝147的错误．3．开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方．(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值．用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．例如，用计算器求529与44.81的算术平方根：①在计算器上依次键入529＝，显示结果为23，因此529的算术平方根为529＝23．②在计算器上依次键入44.81＝，显示结果为6.940 271 88，如果要求精确到0.01，那么44.81≈6.94．(1)平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程．(2)开平方是平方的逆运算．我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． (3)平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数m 和指数2，求幂，是平方运算，即m 2＝(？)；已知幂a 和指数2，求底数，是开平方，即(？)2＝a .(4)选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作．【例3】求下列各式中未知数的值：(1)x 2＝25；(2)(2a ＋3)2＝16．分析：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，它有一正一负两个值．(1)因为x 2＝25，所以x 就是25的平方根，有两个，是±5；(2)将2a ＋3看成一个整体，根据平方根的定义易知2a ＋3就是16的平方根，是±4，即2a ＋3＝±4，在此基础上，分两种情况分别求出a 的值即可．解：(1)因为(±5)2＝25， 所以x ＝±5．(2)因为(±4)2＝16， 所以2a ＋3＝±4．当2a ＋3＝4时，解得a ＝12.当2a ＋3＝－4时，解得a ＝－72.故所求a 的值是12或－72.利用开平方解方程的方法是：先把方程化为x 2＝m (m ≥0)的形式，然后根据开平方得到x ＝±m .特别地，要注意整体思想的应用．4．立方根(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根(也叫做三次方根)．也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．(2)立方根的表示方法：数a 的立方根记为“3a ”，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数，这里的根指数“3”不能省略．【例4】求下列各数的立方根：(1)27；(2)－27；(3)338；(4)－0.064；(5)0；(6)－5．分析：求一个数a 的立方根，关键是求出满足等式x 3＝a 中x 的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁．解：(1)因为33＝27，所以327＝3． (2)因为(－3)3＝－27，所以3－27＝－3．(3)因为338＝278，而⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278，所以3338＝32.(4)因为(－0.4)3＝－0.064， 所以3－0.064＝－0.4． (5)因为03＝0，所以30＝0. (6)－5的立方根是3－5.开方开不尽的数，保留根号，如本题(6)，－5的立方根是3－5.5．开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方． ①开立方与立方互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根．②被开立方的数可以是正数、负数和0；③求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根． (2)用计算器求一个数的立方根及近似值．用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按2ndf 键，再按书写顺序按键即可．例如用计算器求31 845，在计算器上依次键入2ndf 31845＝，显示结果为12.264 940 82，若计算结果要求精确到0.01，则1 845的立方根为12.26，即31 845≈12.26．【例5】解方程：(1)125x 3－27＝0；(2)(5x －3)3＝343．分析：(1)把原方程变形为x 3＝27125后，可知x 是27125的立方根．(2)把5x －3看做整体，则易知它是343的立方根，其值可求，在此基础上可求x .解：因为125x 3－27＝0，所以x 3＝27125.故x ＝35.(2)因为(5x －3)3＝343，所以5x －3＝3343＝7， 即5x ＝10．故x ＝2．利用开立方解方程的方法：先把方程化为x 3＝m 的形式，然后根据开立方得到x ＝3m .特别地，要注意整体思想的应用．6．立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致； (2)一个数的立方根是唯一的； (3)3－a ＝－3a ，3a 3＝a ，(3a )3＝a . 【例6】下列语句正确的是( )． A ．64的立方根是2 B ．－3是27的立方根C ．125216的立方根是±56D ．(－1)2的立方根是－1解析：因为64＝8，而2的立方等于8，所以64的立方根是2，即A 正确，解答时不要把“求64的立方根”误解为“求64的立方根”；因为－3的立方是－27，所以－3是27的立方根是错误的；因为56的立方是125216，所以125216的立方根是56，因此C 是错误的；因为(－1)2＝1，它的立方根是1，而不是－1，所以D 是错误的．故本题选A ．答案：A(1)任何数都有立方根，而负数没有平方根；(2)任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根．7．用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型．(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零． (2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知，3－a ＝－3a ，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可．(3)当两个数相等时，这两个数的立方根相等．反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数．【例7－1】已知2x －1和x －11是一个数的平方根，求这个数．分析：因为2x －1和x －11是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1和x －11相等时，可列出方程2x －1＝x －11，当2x －1和x －11互为相反数时，可列出方程2x －1＋x －11＝0，从而求出x 的值，进一步可求出这个数．解：根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1＝x －11时，x ＝－10，所以2x －1＝－21，这时所求的数为(－21)2＝441；当2x －1＋x －11＝0时，x ＝4，所以2x －1＝7，这时所求的数为72＝49． 综上可知，所求的数为49或441．【例7－2】若32a －1＝－35a ＋8，求a 2 012的值．分析：根据立方根的唯一性和3－a ＝－3a ，可知2a －1与5a ＋8互为相反数，从而可构造出关于a 的一元一次方程2a －1＝－(5a ＋8)．进一步可求出a 2 012的值．解：因为32a －1＝－35a ＋8，所以32a －1＝3－5a ＋8，即2a －1＝－(5a ＋8)．解得a ＝－1．故a 2 012＝(－1)2 012＝1． 8．非负性的应用非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有： (1)绝对值|a |≥0；(2)平方a 2≥0；(3)算术平方根a 具有双重非负性： ①a 本身具有非负性，即a ≥0；②算术平方根a 的被开方数具有非负性，即a ≥0. 非负数有如下性质：若两个或多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋ ＝0〕，甚至同一道题目中出现这三个内容〔| |＋( )2＋ ＝0〕；二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例8－1】如果y ＝2x －1＋1－2x ＋2，则4x ＋y 的平方根是__________．解析：因为2x －1≥0且1－2x ≥0，所以2x －1＝1－2x ＝0，即x ＝12.于是y ＝2x －1＋1－2x ＋2＝2．因此4x ＋y ＝4×12＋2＝4．故4x ＋y 的平方根为±2．答案：±2【例8－2】如果y ＝x 2－4＋4－x 2x ＋2＋2 012成立，求x 2＋y －3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知x 2－4≥0,4－x 2≥0，因此，只有x 2－4＝0，即x ＝±2；又x ＋2≠0，即x ≠－2，所以x ＝2，y ＝2 012，于是得解．解：由题意可知x 2－4≥0且4－x 2≥0，因此x 2－4＝0，即x ＝±2． 又∵x ＋2≠0，即x ≠－2， ∴x ＝2，y ＝2 012．故x 2＋y －3＝22＋2 012－3＝2 013．【例8－3】已知a －1＋(b ＋2)2＝0，求(a ＋b )2 012的值．分析：a －1表示a －1的算术平方根，所以a －1为非负数．因为(b ＋2)2为偶次幂，所以(b ＋2)2为非负数．由于两个正数相加不能为0，所以这两项都为0，因此解方程求值即可．解：因为a －1≥0，(b ＋2)2≥0，且a －1＋(b ＋2)2＝0，所以a －1＝0，(b ＋2)2＝0， 解得a ＝1，b ＝－2．故(a ＋b )2 012＝(1－2)2 012＝1．9．利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律．规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)100倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍….(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)100倍….(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索． 【例9】(1)观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…，请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________．(2)借助计算器可以求出42＋32，442＋332，4442＋3332，…，观察上述各式特点，猜想：22444333n n +L L 14243123个个＝__________. 解析：(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1，被开方数13与左边被开方数的13相同且3比2大1；第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1，被开方数14与左边被开方数14相同且4比3大1，…，故有n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1)． (2)借助计算器，可以分别求得42＋32＝5，442＋332＝55，4442＋3332＝555，…，由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的，且5的个数为相应式子的左边4或3的个数决定，故猜想22444333=5555n n n +L L L 1424312314243个个个.答案：(1)n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1) (2)5555n L 14243个10．平方根与立方根的实际应用解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题．与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可．注意求出的结果要符合实际问题的实际意义．【例10－1】计划用100块地板砖来铺设面积为16 m 2的客厅，求需要的正方形地板砖的边长．解：设地板砖的边长为x m ，根据题意，得100x 2＝16，即x 2＝0.16，所以x ＝±0.16＝±0.4．由于长度不能为负数，所以x ＝0.4(m)． 故地板砖的边长为0.4 m.【例10－2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，(每个面由9个小正方体面组成)体积为216 cm 3，求组成它的每个小正方体的棱长．解：设小正方体的棱长为a cm ，则玩具的棱长为3a cm ，由题意得(3a )3＝216．于是27a3＝216，a 3＝8，a ＝2(cm)．故每个小正方体的棱长为2 cm.。
新人教版七的级数学下册第六章6.1平方根课件
目前户外活动中刺激度排行 榜名列榜首是“蹦极”。 “蹦极”就是跳跃者站在约 ４０米以上（相当于１０层 楼高）高度的桥梁、 塔顶、 高楼、吊车甚至热气球上， 把一端固定的一根长长的橡 皮条绑在踝关节处 然后两 臂伸开，双腿并拢，头朝下 跳下去。绑在跳跃者踝部的 橡皮条很长，足以使跳跃者 在空中享受几秒钟的“自由 落体”。
二.课堂小练 （1） 求 22，（ 3）2，52，（ 6）2，72，
02的 值 ， 对 于 任 意 数a，a2 ？
（2）求（ 4）2，（ 9）2，（ 25）2，（ 49）2， （ 0）2的值，对于任意非负数a，（ a）2 ？
练习：1. （m 1）2 3，则m 4或 -2 。
２.若 （a 2）2 2 a，则a的取值范围是 a≤ 2 。
三.讲授新课
练习.求下列各数的算术平方根，并用“ < ” 分别 把被开方数和算术平方根连接起来 1，4，9，16，25
解：1 1 4 2 9 3 16 4 25 5 比较结果：1 < 4 < 9 < 16 < 25
1 4 9 16 25
结论：被开方数大的数算术平方根也大
若a b 0则 a b 0
(2)依次按键
3136 = (或 3136
)
显示:56
所以 3136 56
三.例题讲解
例2：宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度v要大于第一宇宙速度v（1 米 / 秒） 而小于第二宇宙速度v（2 米 / 秒）
v v 其中 2 gR， 2 2gR，g 9.8米 / 秒2 ,
1
2
R是地球半径，R 6400000米
2.若已知 7.45 2.729，y 272.9； 那么y 745 00 。
七年级数学下册第六章实数6.1算术平方根用计算器求一个正数的算术平方根课件(新版)新人教版
且 a 11 b, 则a+b= .
4.试比较下列各组数的大小
（１）4与 15 （２） 140 与12
（ 3 ）2
7与6
（ 4 ） 5 1与0.5 2
活动4
初步应用 巩固新知
5.已知：a为
17的整数部分，
b 1是121的算术平方根，
求：a b.
活动4
初步应用 用计算器，探究规律
巩固新知
活动3 问题探究 学习新知
2 有多大？
2
=1.414213562373
095048801688724
无 限
209698078569671 不
875376948073176 循
679737990732478
环 小
46210703885…… 数
3, 5, 7,
归纳总结
你对正数a的算术平方根 怎样的认识呢？
活动5
归纳小结 深化新知
本节课你有哪些收获？
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： （1）利用逼近法来求算术平方根的近似值的依据是什么？ （2）利用计算器可以求出任意正数的算术平方根或近似值吗？ （3）被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律是？ （4）怎样的数是无限不循环小数？
利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你 发现了什么规律？
…
0.0625
0.625 6.25 62.5 625 6250
…
（精确0.001）
（精确0.01）
（精确0.1）
…
…
活动4 初步应用
用计算器，探究规律
巩固新知
0.0625 0.25
6.25 2.5
625 25
人教版七年级下册第六章怎样用笔算开平方
怎样用笔算开平方 先一起来研究一下，怎样求1156，这里1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3.于是问题的关键在于：怎样求出它的个位数a ?为此，我们从a 所满足的关系式来进行分析. 根据两数和的平方公式，可以得到：22230230)30(1156a a a +⨯+=+=，所以 22302301156a a +⨯=-，即 a a )203(256+⨯=，这就是说，a 是这样一个正整数，它与320⨯的和，再乘以它本身，等于256. 为便于求得a ，可用下面的竖式来进行计算：根号上面的数3是平方根的十位数.将256试除以320⨯，得4.由于4与320⨯的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a .竖式中的余数是0，表示开方正好开尽.于是得到2341156=，或341156=.上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的5611'），分成几段，表示所求平方根是几位数；2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（320⨯除256，所得的最大整数是4，即试商是4）；5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商.如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中2564)4320(=⨯+⨯，说明试商4就是平方根的第二位数）；6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数. 按照上面步骤求26458'，可得到下面左边的竖式：于是得到 29226458='.如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值.例如求5.12的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到：54.35.12=笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值.。
人教版数学七年级(下册)6.1平方根
探究
你能比较下列两个数的大小吗？
7与 3 3 9
且 7 9
72与 1 7 2.646 7 2 0.646
7 3 化根号法
7 21) 140 与 12 (2) 5 1 与 0.5
2
小丽想用一块面积为 400cm2 正方形纸片,沿着边的方向裁出一块 面积为300cm2的长方形纸片用来绘 画，使它的长宽之比为3:2， 不知能否裁出来,正在发愁。小明见了 说“别发愁，一定能用一块面积大的 纸片裁出一块面积小的纸片”，你同 意小明的说法吗？ 小丽能用这块纸片 裁出符合要求的纸片吗？
记 得
做
a
*被开方数a是非负数，即
a0
笔 记
哦
**也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。！
负数不存在算术平方根，即当
a时，0
无意义 a
02.581
1
04
试一试：你能根据等式122=144，说出 144的算术平方根是多少吗？并用等式 表示出来。
练习：下列各式中哪些有意义？哪些无意义？
为什么？
5;3; 3; 32; 10 3
（3） 是算术平方根的运算符号
学以致用
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100
解：（1）因为 10
2
=（1002，）所6449 以100（的算3）术平0.方00根0为110，
即 100 =10。
2
2
（2）因为 7 = 49 ，所以 49 的算术平方根是
8 64
64
7
8 ，即
49 64
=7
8
（3）因为 0.012 =0.0001,所以0.0001的算术平方
根为0.01,即 0.0001 =0.01。
七年级数学人教版下册 6.1平方根
162 256 172 289 182 324 192 361 202 400
252 625
6.1 平方根(2)
做一做:同学们,你能将两个面积为1的小正方形，
剪一剪，拼一拼，拼成一个面积为2的大正方形吗？
大正方形的边长是多少呢？
解:设大正方形的边长为x,
则
x2=2
由算术平方根的意义可知 x= 2
6.1 平方根(1)
问题：学校要举行美术作品比赛， 小欧很高兴。他想裁出面积为25dm2 的画布，画上自己的参赛作品， 这块正方形的画布的边长应取多少？
正方形的
面积
1
9
4
16 36
25
正方形的
边长
1
34
2
6
5
一般地，如果一个正数x的平方等于a，
那么这个正数x叫做a的算术平方根
a 表示：
被开方数 规定：0的算术 平方根是0
0.0001
1、如果一个正数x的两个平方根分 别是 2a+1 和 a-3，求a和x的值
2、已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1 的平方根是±4，求 a+2b的平方根。
3、已知（x 1)2 y 2 z 3 0 求x y z的平方根
求满足下列各式的x的值
（1）x2 = 36 （2）X2 - 37 =12 （3）4X2 = 24
…… 2 = 1.4142135623730950 …
无限不循环小数
判断下列各数在哪两个相邻整数之间?
(1) 15 (2) 55 (3) 90 (4) 115
比较下列两数的大小
(1) 17与 19 (2) 17与4 (3) 17 1 与2
2
例3:小丽想用400cm2 的正方形纸片, 沿着边的方向裁出一块面积为300cm2 的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2, 不知能否裁出,怎样裁,正在发愁. 小明见了说“别发愁,一定能用一块面积 大的纸片裁出一块面积小的纸片”
人教版数学七年级下册 6.1 平方根 课件
因为任何数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根.
3
，⋯
5
.
【例题1】下列说法正确的是（）A
①-2是-4的一个平方根；② −2 2 的平方根是−2；
③2是4的平方根；④4的平方根是2.
A.1个B.两个C.3个D.4个
分析： ① 不正确
−4没有平方根.
② 不正确
C.负数没有平方根D.平方根等于本身的数是0
3.若a是b(b﹥0)的一个平方根，则b的平方根是（ ）
A.a
B.-a
C.±a
D.a2
4.已知2m+3和4m+9是一个正数的两个不同的平方根，求m的值和这个正数.
解： ∵正数的平方根有两个，它们互为相反数，
∴2 + 3 + 4m + 9 = 0，
∴ = −2.
∴2 + 1 + 5 − 3 = 0，
∴ = 6,
∴2 + 1 = 13，5 − 3 = −13.
而 ±13
2
= 169.
∴的值是13，这个正数是169.
【例题4】已知2m+2的平方根是±4,3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.
解： ∵ 2m+2的平方根是±4,3m+n+1的平方根是±5,
再见
即2 + 1 = 11或2 + 1 = −11.
∴ = 5或 = −6.
2
= 121.
1.下列说法正确的是（ ）
A.任何数的平方根都有两个
B.一个正数的平方根的平方就是这个数
C.负数也有平方根
平方根的竖式计算法
平方根的竖式计算法平方根的竖式计算法是一种用于求一个数的平方根的计算方法。
它适用于任意大小的数，无论是整数还是小数。
在这篇文章中，我们将详细介绍平方根的竖式计算法，并提供一些示例来帮助读者更好地理解这个方法。
在开始之前，让我们先回顾一下平方根的定义。
平方根是指一个数的平方等于该数的正平方根。
即，如果一个数x的平方为y，则y是x的平方根。
用数学符号表示为√y=x。
例如，4的平方根是2，因为2²=4当我们需要求一个数的平方根时，可以使用竖式计算法。
该方法的基本思想是将这个数从左到右分成若干个一位数，然后从左到右逐位计算平方根。
下面，我们将一步一步地介绍这个计算方法。
步骤1：将数按位数分组，并将最左边的一组两位数或一位数视为第一组。
例如，对于数225，我们可以将其分成22和5两组。
步骤2：找到一个数，使其平方根的最大整数部分与第一组中的数字相乘后不大于该组的值。
将这个数作为第一个数字，记为a。
然后，用两组的减法，得到两组的差。
步骤3：带出两组的差，并带出两个a，并将其相邻的两个数字组合起来，得到一个两位数或一位数的数。
然后，找到一个数b，令2a*10b+b的平方不大于这个两位数或一位数的数。
将这个数作为下一个数字，记为b。
然后，用2a*10b+b乘以b，并用结果减去上一个两位数或一位数的数，得到一个新的差。
步骤4：重复步骤3，直到所有的位数都被处理完毕。
步骤5：最后，得到的所有数字按照从左到右的顺序排列在一起，即为所求的数的平方根。
为了更好地理解这个方法，让我们通过一个例子来具体说明。
假设我们要计算225的平方根。
步骤1：将225分成两组，即22和5步骤2：找到一个数a，使得a*a不大于22、这里，a的值为4，因为4*4=16，不大于22、然后22-16=6步骤3：带出6，并带出上一步计算的数字4，组合起来得到64、然后，找到一个数b，使得（2*4）*10b+b的平方不大于64、这里，b的值为1，因为82不大于64、然后，82-64=18步骤4：重复步骤3，带出18，并带出上一步计算的数字1，得到181、然后，找到一个数c，使得（2*41）*10c+c的平方不大于181、这里，c的值为5，因为835不大于181、然后，835-181=654步骤5：将a、b和c按照从左到右的顺序排列在一起，即为所求的数的平方根。
七年级数学人教版下册第六章用计算器求一个数的算术平方根课件
5．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 4，有 些数则不能直接求得，如 5，但可以通过计算器求得，还可 以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下 表：
(1)表中所给的信息中，你能发现被开方数的小数点向左或向右移 动 2n 位，算术平方根的小数点就向左或向右移动___n_____ 位．
A．0.30
B．0.31
C．0.32
D．0.33
归纳新知
1 知识小结
1. 利用计算器求一个正数的算术平方根，有时它的 算术平方根是准确数，有时它的算术平方根是近 似数．
2. 采用算术平方根比较法比较大小时，被开方数大 的算术平方根就大；即若a≥b≥0时， a ≥ b ≥0； 反之亦成立．
2 易错小结
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2 dm2的大 正方形. 你知道这个大正方形的边长是多少吗？ 设大正方形的边长为x dm，则x2 = 2. 由算术平方根的意义可知x= 2 ， 所以大正方形的边长是 dm.
探究2 2 有多大？ 因为 12 = 1，22=4，所以1< 2 <2; 因为 1. 42 = 1. 96，1. 52=2. 25，所以 1.4< 2 <1.5; 因为 1.412 = 1.988 1，1.422 = 2.016 4， 所以 1.41< 2 <1.42； 因为 1. 4142 = 1. 999 396，1. 4152=2. 002 225， 所以 1.414< 2 <1.415；
因为 4 0 0 =20，所以正方形纸片的边长只有20 cm. 这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长. 答：不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方
七下数学6.1平方根ppt课件
132 122 ==5 169-144= 25 =5
精选ppt课件2021
20
4.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间 面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长 是多少？
解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得
24x02 60,x2 1. 4
x 1 1 0.5 42
故每块地板砖的边长是0.5 m.
所以正数 t 42 (秒). 即铁球到达地面需要2秒.
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17
当堂练习
1.填空：（看谁算得又对又快） (1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 9 . (2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数 是_a_2_；和这个自然数相邻的下一个自然数是 a2+1 .
(3) 81 的算术平方根为 3 . 81 9 (4) 2的算术平方根为___2 _.
2 1 .4 1 42 1 35 6 23 7 3 ......
小数位数无限,且 小数部分不循环
小数位数无限,且小数部分不循环的小数称为 无限不循环小数.
2 是一个无限不循环的小数
精选ppt课件2021
31
2
精选ppt课件2021
32
典例精析 例1：估算 19 -2的值 ( B ) A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间
出它们的算术平方根.
2 5
-36 , 0.09 , 1 2 1
, 0,
2,
3
2
.
-只36有没非有负算术数平才方有根算. 术平方根,算术平方根是非负的.
0.09 0.3
25 5 121 11
00
2
3 3
3.你知道 2 有多大吗? 2的算术平方根是 2 .
平方根的竖式计算法
平方根的竖式计算法
平方根的竖式计算法是一种方便又简单的计算平方根的方法。
其基本原理是将平方根数值分解成一个个整数和小数的和，然后采用类似竖式除法的方式进行计算。
具体步骤如下：
1. 将要计算平方根的数值写成一个整数和一个小数的和的形式，如√123.45=√123+0.45。
2. 从左往右，将整数部分的数值分成一组一组的两个数字，如
果最左侧的数字不足两个，可以在其前面补0。
对于每一组数字，先找出一个较大的整数，使得这个整数的平方小于这一组数字。
然后，将这一组数字减去这个整数的平方并将余数带到下一组数字中，如下图所示。
1|2|3
---|---|---
1| 1 |2
|1 2|
3. 对于小数部分，先将小数点后的数字乘以100并加上余数(小数点后第一位的余数为整数部分的余数乘以100)，然后按照上述方
法进行计算，直到计算得到所需精度的平方根为止。
4. 将整数部分的所有较大整数按从左到右的顺序排列起来，就
是所求的平方根的整数部分。
将小数部分的所有较大整数按从左到右
的顺序排列起来，就是所求的平方根的小数部分。
通过这种方法，我们可以快速准确地计算出任意数值的平方根，大大提高了数学计算的效率。
人教版七年级数学下册第六章《平方根--算术平方根》公开课课件
身边小事
为了趣味接力比赛,要在运动 场上圈出一个面积为100平 方米的正方形场地,这个正方
形场地的边长为多少? 10米
因为 10 2=100
§6.1 平方根
身边小事
学校要举行美术作品比赛，小欧很 高兴，他想裁出一块面积为25dm2 的正 方形画布，画上自己的得意之作参比 赛，这块正方形画布的边长应取多少？
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/202021/7/202021/7/207/20/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/202021/7/20July 20, 2021
5 dm
因为 5 2=25
§6.1 平方根 (第一课时) 算术平方根
正方形 的面积
边长
1
9
学 科网
1
3
16 36
0.25
4
6 0.5
已知一个正数的平方, 求这个正数的问题.
概念引入
象5 2=25, 那么5叫做25的算术平方根;
10 =2100, 那么10叫做100的算术平方根;
x a x a 一般地,如果一个正数 的平方等于 , 即 =2 = , x a 那么这个正数 叫做 的 算术平方根.
≥0 ≥0
算术平方根的非负双重性.
试一试
2.你知道下列式子表示什么意思吗? 你能求出它们 的值吗?
25 =5
1 4
=
1 2
0.81 =0.9
0 =0
试一试
2020-2021学年人教版数学七年级下册 第六章 6.1.1 算术平方根 课件
16．已知 a－2 的算术平方根是 0，3a＋b－1 的算术平方根是 5， 求 b－a2 的算术平方根．
解：由题意得 a－2＝0，3a＋b－1＝25，解得 a＝2，b＝20. 所以 b－a2＝ 16＝4.
17．若|3x－3|和 2x＋y－4互为相反数，求 x＋4y 的算术平方根． 解：因为|3x－3|和 2x＋y－4互为相反数， 所以|3x－3|＋ 2x＋y－4＝0. 所以 3x－3＝0，且 2x＋y－4＝0. 解得 x＝1，y＝2， 则 x＋4y＝9. 所以 x＋4y 的算术平方根为 3.
18．已知 a，b 为有理数，且 a－5＋2 5－a＝b＋4，求 a，b 的 值．
合作探究 知识点 3 算术平方根的非负性
问题1: (1)因为__8___2=64，所以64的算术平方根是 ___8___，即 64 ＝__8____.
(2)因为__0_.5__2=0.25，所以0.25的算术平方根是__0_.5___， 即 0.25 ＝__0_.5___.
(3)因为__0___2=0，所以0的算术平方根是__0____， 即 0 ＝___0___.
为非负数． 2.对于所有的算术平方根，被开方数越大，对
应的算术平方根也越大；反之亦然．
2 易错小结
求 18 的算术平方根． 解：因为 18 ＝9， 9 ＝3, 所以的算术平方根是3.
注意本题是求 18 的算术平方根，而不是求81 的算术平方根．
易错点：误将求 a 的算术平方根求成a的算术平方根造 成错误.
2．下列各数没．有．算术平方根的是( C )
A．0
B．(－2)2
C．－32
1 D. 6
3．下列说法： ①－1 的算术平方根是 1； ②－1 的平方是±1； ③ 1 的算术平方根是 1； ④ 0 的算术平方根是 0. 其中正确的有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个
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(3)不用计算器，求111的算术平方根．
1 0 .5 3 5 6 … 1
1
1×2=2 0 11 0
2 0×2=20 5
11 00 10 25
20 5×2=210 3
75 00 63 09
210 3×2=2106 5 2106 6×2=21072 6
11 91 00 10 53 25
1 37 75 00
练习：不用计算器，求3的算术平方根．
(2)不用计算器，求10的算术平方根．
3 .1 6 2 2 … 3
9
3×2=6 1 1 00 61
6 1×2=62 6
39 00 37 56
62 6×2=632 2
1 44 00 1 26 44
632 2×2=6324 2
17 56 00 12 64 84
练习：不用计算器，求11的算术平方根．
练习：不用计算器，求123的算术平方根．
(4)不用计算器，求11.1的算术平方根．
3 . 3 3 1 6… 3
9
3×2=6 3 2 10 1 89
6 3×2=66 3
21 00 19 89
66 3×2=666 1
1 11 00 66 61
666 1×2=6662 6
44 39 00 39 97 56
(6)不用计算器，求12.34567的算术平方根．
3 .5 1 3 6… 3
9
3×2=6 5 3 34 3 25
6 5×2=70 1
9 56 7 01
70 1×2=702 3 702 3×2=7026 6
2 55 70 2 10 69
45 01 00 42 15 96
练习：不用计算器，求76.54321的算术平方根．
6拓展知识分享
用竖式求算术平方根。
教师：黄春荣
探究：(1)不用计算器，求2的算术平方根．
1 .4 1 4 2 … 1
1
1×2=2 4 1 00 96
2 4×2=28 1
4 00 2 81
28 1×2=282 4
1 19 00 1 12 96
282 4×2=2828 2
6 04 00 5 65 64
(7)不用计算器，求100 000的算术平方根．
3 1 6 .2 2… 3
9
3×2=6 1 1 00 61
6 1×2=62 6
39 00 37 56
62 6×2=632 2 632 2×2=6324 2
1 44 00 1 26 44
17 56 00 12 64 84
归纳小结 请归纳出竖式求算术平方根的一般规律.
【布置作业】
不用计算器，求下列各数的算术平方根。 (1)5；(2)13；(3)131；(4)13.1；(5)246.642
练习：不用计算器，求12.3的算术平方根．
(5)不用计算器，求1.234567的算术平方根．
1 .1 1 1 1… 1
1
1×2=2 12321 Nhomakorabea2 1×2=22 1
2 45 2 21
22 1×2=222 1
24 67 22 21
222 1×2=2222 1
2 46 00 2 22 21
练习：不用计算器，求7.654321的算术平方根．