东北师范大学概率论与数理统计离线作业试题及答案

东北师范大学概率论与数理统计离线作业试题及答案

（满分100分）

一、判断正误，在括号内打√或×（本题共10小题，每小题2分，共20分）

（×）1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2

σμN 的样本，则∑==

n

i i

X

n

X 1

1

服从)1,0(N 分布；

（×）2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是),(lim y x F y +∞

→；

（√）3．设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； （×）4．若0)(=AB P ，则AB 一定是空集； （×）5．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ； （×）6．设C B A 、、表示3个事件，则C B A 表示“C B A 、、中不多于一个发生”； （√）7．B A 、为两个事件，则A B A AB = ； （√）8．已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(,8)(==Y D X D ，则4)(=-Y X D ；

（√）9．设总体)1,(~μN X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则3216

3

6161ˆX X X ++=μ

是μ的无偏估计量；

（√）10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关

关系。

二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1．设C B A 、、是3个随机事件，则“三个事件都不发生”用C B A 、、表示为 C B A ； 2．若事件C B A 、、相互独立，则

)(C B A P =

；

3．设离散型随机变量X 的概率分布为

除了要求每个≥k p 0之外，这些k p 还应满足 1p + 2p + …k p =1 ；

4．若随机变量X 服从区间[]π2,0上的均匀分布，则=)(X E π ； 5．设随机变量X 的概率分布列为)0,2,1,0(!

)(>==

=-λλλ

； k e k k X

P k ，则=)

(X D λ ；

6．),(Y X 为二维随机向量，其协方差),cov(Y X 与相互系数XY ρ的关系为

)

()()

,cov(Y D X D Y X XY =

ρ；

7．已知3)(=X E ，5)(=X D ，则=+2)2(X E 30 ； 8．设离散型随机变量X 的概率分布为

其分布函数为)(x F ，则=)3(F 1 ；

9．设n X X X ,,,21 为总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本，若方差2σ未知，则μ的)1(α-

的置信区间为

。

10．设样本1X ，2X ，…，n X 来自),(2σμN ，且69.12=σ，则对检验：0H ：35=μ，采用统计

量是 。

三、计算题(每题5分,共35分)

1．设)4,3(~2-N X ，试求X 的概率密度为)(x f 。

解：因为随机变量X 服从正态分布，所以它的概率密度具有如下形式：

进而，将

代入上述表达式可得所求的概率密度为：

2．随机变量ξ的密度函数为⎩⎨

⎧∈=其他

,0)

,0(,

2)(A x x x p ，其中A 为正的常数，试求A 。

解： 依题意可得：

则：

因为A ＞0 所以 A=1

3．设随机变量ξ服从二项分布，即),(~p n B ξ，且3=ξE ，7

1

=

p ，试求n 。 解：n 可以如下求解：()E np ξ==3,3/n p ==21

4．已知一元线性回归直线方程为x a y

4ˆˆ+=，且3=x ，6=y ，试求a ˆ。 解：由题意得

ˆ4b

= 故 ˆˆ6y bx

α

=-=-

5．设随机变量X 与Y 相互独立，且4)(,3)(==Y D X D ，求)4(Y X D -。 解：因为随机变量X 与Y 相互独立，则：

D(X-4Y)=D(X)-D(4Y)=D(X)-16D(Y)=3-16×4=-61

6．设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=,0,

10,)1();(其它，x x x f θθθ 式中θ>－1是未知参数，

n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，用最大似然估计法求θ的估计量。 解：似然函数为

似然方程为

解得

.

即为θ最大似然估计值。

7．设n

X X X ,,,21 是取自正态总体),0(2σN 的一个样本，其中0>σ未知。已知估计量

∑==n

i i

X k 12

2

ˆσ

是2σ的无偏估计量，试求常数k 。

解：

2

2

2

2

2

11

1ˆˆn

n

i i

i i k X E k EX kn k n σ

σσ===⇒==⇒=∑∑

四、证明题(共15分)

1．若事件A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立。(8分)

2．若事件B A ⊂，则)()(B P A P ≤。(7分)

证明：()()()()P B P AB AB P AB P AB =⋃=+，

由于事件B A ⊂，

所以()()P AB P A =，()()()P B P A P AB =+。 从而)()(B P A P ≤