2011—2012年江汉大学普通专升本考试高数题型及部分真题

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专升本考试资料数学测试题及答案(6套)

D
（3） ydxdy ，其中 D ： x2 y2 2x 与 x 轴围成的上半圆
D
习题 4
1、解下列微分方程
（1） (x2 1) y 2xy cos x 0
（2） xy y y3
（3） y
1 y2 1 x2
（5） ( y 1)2 dy x3 0 dx
Байду номын сангаас
（7） xy y x2 3x 2 ；
（1） 1ln(1 x 2 )dx ； 0
3
（2） arctan xdx ； 1
（3）
1
1e
2 x1 dx
2
（4） x2 cos 2xdx
8、求下列图形的面积
（1）曲线 y x2 与直线 y x, y 2x 所围成的图形。
（2）曲线 4 y x2 与 4x y 2 所围成的图形
1、求下列函数的定义域
（1） z y 2 4x ln(x y) ；
习题 3
（2） z ln(xy) ；
x y （3） z ln(x2 y 2 1) ；
2、求下列函数的一阶偏导数
（1） z ln(x ln y) ；
（4） z arcsin( xy) （2） z x2 y 2 ；
11、证明方程 x5 3x 1在区间 (1,2) 中至少有一个根。
12、设 f (x)
ex,
ax b,
13、求下列函数的导数
x 1在 x 1可导，试求 a 与 b x 1
（1） x x ；
（2） y ( x 1)( 1 1) ； x
（3） y ex ln x ；（5） y sin x x ；
数学测试习题六套
习题 1
1、求函数 f (x) 2、求函数 f (x)

2012年高数专升本真题及其参考答案.

Passage four Animals seem to have the sense to eat when they are hungry and they do not eat more than their bodies need. It has been demonstrated that rats will, when given a choice over a period of time, prefer water with vitamins to water without vitamins even though there is no difference in taste or smell between the two water bottles. When a fragrant flavor was added to the vitamin-enriched fluid, the rats did seem to develop a taste for it and kept drinking it ,even after the vitamins were switched to the clear water. In time, however ,they broke the habit and went back to where the necessary vitamins were.In a classic experiment, babies of 6 to 12 months old were placed in a cafeteria feeding arrangement, with a wide selection of baby food before them. They were given whatever food they pointed to or appeared interested in. We are told that at first they showed some unusual eating patterns, but that over a period of time they managed to select well-balanced diet.So, in selecting food, rats and babies do seem to know and act on what's best for them. Apparently, there is a kind of "body wisdom,＂which humans soon lose. Most of us do not eat as wisely as we could. Many of our food preferences are culturally determined and influenced by long-established habits. Some people eat fox, dog and blackbirds ,while we eat cows and pigs. So what people eat and how much they eat seems to be greatly influenced by what is going on around them.76. In the experiment on rats, a fragrant flavor was added to the rat's drinking water to___.A. encourage rats to drink vitamin-enriched water B. find out rats preference in flavor C. test whether rats know which drink is good for them D. demonstrate that vitamins are tasteless 77. The expression "the habit" (para.1, sentence 4 refers to drinking water which_________. A. has no smell B. is tasteless C. has vitamins D. is flavored 78. According to the passage ,adults eating habits differ from those of babies because_____.A. adults know better than babies what kind of food are good for their healthB. adults usually cannot resist the temptation of various delicious foodsC. adults' eating habits areclosely related to the social and cultural customs D. adults have more choices of food than babies in eating patterns 79. The author implied in the passage that most ofus_________. A. eat a balanced dietB. choose the food that is of nutritionC. have the habits influenced by the surroundingsD. like to eat the food with a fragrant flavor80. As far as their eating habits are concerned, babies and rats are similar inthat______. A. both have the wisdom to choose a balanced diet B. both prefer flavored food and drinkC. both have the same eating patternsD. both develop a taste for the same kinds of flavors Part IV. Translation . ( 30pointSection A: Directions: There are 10 sentences in this section. Please translate sentences 81-85 from Chinese into English, and translate sentences 86-90 from English into Chinese. Write your answer on the Answer Sheet.81 我们向李先生学习，因为他有丰富的工作经验。

2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案

2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案第一篇：2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

参考答案：A参考答案：C参考答案：D参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：C参考答案：B参考答案：A参考答案：B二、填空题：本大题共10小题。

每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。

第11题参考答案：0 第12题设y=sin(x+2)，则Y'=_________ 参考答案：cos(x+2)第13题设y=ex-3，则dy=_________．第14题参考答案：5sinx+C 第15题第16题曲线Y=x2-x在点(1，0)处的切线斜率为_________．参考答案：1 第17题设y=x3+2，则y''=__________．参考答案：6x 第18题设z=x2-y，则dz=_________．参考答案：2xdx-dy 第19题过点M(1，2，3)且与平面2x—Y+z=0平行的平面方程为_________．参考答案：2x—y+z=3 第20题参考答案：3π三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。

解答应写出推理，演算步骤。

第21题参考答案：第22题参考答案：第23题设函数f(x)=x-1nx，求f(x)的单调增区间．参考答案：第24题参考答案：第25题参考答案：第26题参考答案：第27题设L是曲线y=x2+3在点(1,4)处的切线。

求由该曲线，切线L及y轴围成的平面图形的面积S．参考答案：第28题参考答案：第二篇：2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

参考答案：C参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：B参考答案：A参考答案：D参考答案：B参考答案：C参考答案：A二、填空题：本大题共10小题。

2011年江苏专转本高等数学试卷及答案

江苏省2011年普通高校专转本统一考试试卷高等数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题卷的指定位置上）1、当x→0时，函数f(x)=e-x-1是函数g(x)=x的。

A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶无穷小D、等价无穷小评析：本题是考查无穷小阶的比较，两个无穷小之间的关系通过作“商的极限”可以得出相x2x2x 2与函数g(x)为同阶无穷小，因此选C。

这种题型还是比较常见的，关键是掌握无穷小阶的比较的概念，即有三种关系：高阶、同阶（包括等价）、低阶。

h→0hA、-4B、-2C、2D、4评析：本题是一道经典的关于导数定义的考查题型，即通过导数的定义来构造极限。

h→0h h→0-2hf'(x0)=-2，因此选B。

3、若点(1,-2)是曲线y=ax-bx的拐点，则。

A、a=1,b=3B、a=-3,b=-1C、a=-1,b=-3D、a=4,b=6评析：本题间接地考查了导数的应用，即利用已知极值点或拐点的有关信息反求函数中的参数。

对于多项式函数y=ax-bx，显然满足二阶可导的，因此点(1,-2)一定是使得二阶导数等于零的点，因为y''=6ax-2b，所以y''(1)=6a-2b=0，又点(1,-2)本身也是曲线y=ax-bx2上的点，所以y(1)=a-b=-2，结合两个关于a,b的方程解得a=1,b=3，因此选A。

4、设z=f(x,y)为由方程z1 1 3-3yz+3x=8所确定的函数，则∂z∂y|x=0y=0=。

A、-2 B、2C、-2D、2x2 x xe-x-1e-1x 1应的关系，因为lim=lim=lim=（常数），所以当x→0时函数f(x)2f(x-h)-f(x+h)002、设函数f(x)在点x处可导，且lim=4，则f(x)=。

f(x-h)-f(x+h)f(x-h)-f(x+h)'32323评析：本题考查二元隐函数求偏导，利用的是构造三元函数F (x ,y ,z )=z2y3-3yz+3x-8，则F y =-3z，F z =3z -3y ，于是∂y=- z=- 3z 2 -3y=3z 2 -3y；把x=0,y=0代入到原方程中得z =2，所以 ∂z ∂y | x =0 y =0 = 3⋅2 3⋅2-3⋅0 = 12，因此选B 。

[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]江苏省专升本高等数学真题2011年

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[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]江苏省专升本高等数学真题 2011 年
[解析] 根据题意：
则，代入 x=1，得
问题:5. 定积分的值为______ 答案:[考点] 定积分——定积分计算技巧．
[解析] 根据题意得：
因为 x3 是有函数，所以，
即答案为问题:6. 幂级数的收敛域为______ 答案:[-1，1)[考点] 无穷级数——幂级数．
f(x)=y'+2y =(x+2)ex+2·(x+1)ex =(3x+4)ex，则 y"+3y'+2y=(3x+4)ex．求上式特征方程 r2+3r+2=0，得 r1=-1，r2=-2，所以，y"+3y'+2y=(3x+4)ex 的通解为 Y=C1e-x+C2e-2x，因为 λ=1 不是特征根，所以原方程的一个特解为 y=(Ax+B)ex，即 y'=(Ax+A+B)ex y"=(Ax+2A+B)ex，上述二式代入 y"+3y'+2y=(3x+4)ex 得 (Ax+2A+B)ex+3(Ax+A+B)ex+2(Ax+B)ex=(3x+4)ex，化解为 6Ax+5A+6B=3x+4，解得．
解上式得 a=1，易知曲线与横轴交点为 x=2，则 f(x)=-x2+2x．[考点] 定积分——定积分运用． 5. 求平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 Vx；答案:解：根据上述计算，因为 f(x)=-x2+x，

[专升本类试卷]2012年浙江专升本(高等数学)真题试卷.doc

15平面2x+y一z一1=0到平面2x+y一z＋3=0的距离为___________．
三、解答题
解答时应写出推理、演算步骤。
16设f(x)= 在x=0处的连续，求a的值．
17设f(x)= ，求f′(x)
18设曲线，求其拐点及凹凸区间；
19求方程x2=xsinx+cosx根的个数；
20求不定积分∫x2lnxdx
（A）e－x(acosx+bsinx)
（B）ae－xcosx+bxe－xsinx
（C）xe－x(acosx+bsinx)
（D）axe－xcosx＋be－xsinx
二、填空题
6 －(x+1)]=___________．
7函数y=sin 的连续区间为___________．
8已知f′(3)=2，则 =___________．
9若函数y=y(x)由方程y=1+xey所确定．则y′=___________．
10 dx=___________．
11极限表示的定积分为___________．
12级数的收敛区间为___________．
13一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解为___________．
14在xOy平面上与向量a=(4，一3，7)垂直的单位向量是___________．
（C）高阶无穷小
（D）低阶无穷小
3设函数f(x)满足f(0)=1，f(2)=3，f′(2)=5，f″(x)连续，则 xf″(x)dx ( )
（A）10
（B）9
（C）8
（D）7
4由y= ，y=1，x=4围成的图形的面积为( )
（A）
（B）

2011年普通专升本高等数学真题汇总

2011年普通专升本高等数学真题一一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.函数()()x x x f cos 12+=是（）.()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数2.设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（）.()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导()C 连续且可导 ()D 连续但不可导3.设函数()x f 在[]1,0上,022>dxfd ，则成立（）. ()A ()()0101f f dxdf dxdf x x ->>== ()B ()()0110==>->x x dx df f f dxdf()C ()()0101==>->x x dxdf f f dxdf()D ()()101==>>-x x dxdf dxdf f f4.方程22y x z +=表示的二次曲面是（）.()A 椭球面 ()B 柱面()C 圆锥面 ()D 抛物面5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（）.()A 至少有一条 ()B 仅有一条().C 不一定存在 ().D 不存在二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)考学校：______________________报考专业：______________________姓名：准考证号： ----------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2.设函数()x f 在1=x 可导, 且()10==x dx x df ,则()().__________121lim=-+→xf x f x .3.设函数(),ln 2x x f =则().________________________=dxx df4.曲线x x x y --=233的拐点坐标._____________________5.设x arctan 为()x f 的一个原函数,则()=x f ._____________________6.()._________________________2=⎰xdt t f dx d7.定积分().________________________2=+⎰-ππdx x x8.设函数()22cos y x z +=,则._________________________=∂∂x z9. 交换二次积分次序().__________________________,010=⎰⎰xdy y x f dx10. 设平面∏过点()1,0,1-且与平面0824=-+-z y x 平行，则平面∏的方程为._____________________三.计算题:(每小题6分,共60分)1.计算xe x x 1lim 0-→.2.设函数()()x x g e x f xcos ,==,且⎪⎭⎫⎝⎛=dx dg f y ,求dx dy .3.计算不定积分()⎰+.1x x dx4.计算广义积分⎰+∞-0dx xe x .5.设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ,求()⎰-12dx x f . 6. 设()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰+=12dt t f e x f x，求()x f .7.求微分方程xe dx dy dxy d =+22的通解. 8.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.9.设函数()yx yx y x f +-=,,求函数()y x f ,在2,0==y x 的全微分. 10.计算二重积分,()⎰⎰+Ddxdy y x22，其中1:22≤+y x D .四.综合题:(本题共30分,其中第1题12分，第2题12分，第3题6分) 1.设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所围成,()1求此平面图形的面积;()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积.2.求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.3.求证:当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.__报考专业：______________________姓名：准考证号------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2011年普通专升本高等数学真题二一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.当0→x 时,1sec -x 是22x 的（）..A 高阶无穷小 .B 低阶无穷小 .C 同阶但不是等阶无穷小 D .等阶无穷小2.下列四个命题中成立的是（）..A 可积函数必是连续函数 .B 单调函数必是连续函数 .C 可导函数必是连续函数 D .连续函数必是可导函数 3.设()x f 为连续函数,则()⎰dx x f dx d等于( ). .A ()C x f + .B ()x f.C ()dx x dfD .()C dxx df + 4.函数()x x x f sin 3=是（）..A 偶函数 .B 奇函数.C 周期函数 D .有界函数5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（）.()A 不存在 ()B 仅有一条 ().C 不一定存在 ().D 至少有一条二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)__________=a .2.()()().___________________311sin lim221=+--→x x x x3..___________________________1lim 2=++--∞→xx x x x 4.设函数()x f 在点1=x 处可导，且()11==x dx x df ，则()()._______121lim=-+→xf x f x5设函数()x x f ln 2=，则().____________________=dxx df6.设xe 为()xf 的一个原函数，则().___________________=x f 7.()._________________________2=⎰x dt t f dxd 8.._________________________0=⎰∞+-dx e x9.().________________________2=+⎰-ππdx x x10.幂级数()∑∞=-022n nnx 的收敛半径为.________________三.计算题:(每小题6分,共60分) 1.求极限()()()()()x b x a x b x a x ---+++∞→lim.2.求极限()nnnn n n 75732lim+-++∞→.3.设()b ax ey +=sin ，求dy .4.设函数xxe y =，求22=x dx yd .5.设y 是由方程()11sin =--xy xy 所确定的函数,求(1).0=x y ; (2).=x dx dy .6.计算不定积分⎰+dx x x132.7.设函数()⎩⎨⎧≤<≤≤=21,210,2x x x x x f ，求定积分()⎰20dx x f .8.计算()xdte ex t tx cos 12lim--+⎰-→.9.求微分方程022=+dxdydx y d 的通解. 10.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.四．综合题：（每小题10分，共30分）1. 设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所围成, (1)求此平面图形的面积;(2)求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积. 2.求过曲线xxey -=上极大值点和拐点的中点并垂直于0=x 的直线方程。

2011年江苏专转本高等数学真题答案

2011年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1、C2、B3、A4、B5、D6、D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7、－１ 8、2ln 22+ 9、32 10、dx 41 11、2π 12、[)11，- 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、原式=4lim 22))((2lim )(lim 00220=-=+-=--→--→-→x e e x e e e e x e e xx x x x x x x x x x 14、)12)(1(21212++=++==t e t t e t dtdx dt dydx dy y y 15、原式=⎰⎰⎰+-=+=+x xd x dx x x x dx xx x x x sin cos 2)cos sin 2(cos sin 22 =C x x x ++-sin cos16、令t x =+1，则原式=⎰⎰=-=+-21221235)22(211 dt t t tdt t t 17、设所求平面方程为0=+++D Cz By Ax .因为该平面经过x 轴，所以0==D A ；又该平面经过已知直线，所以法向量互相垂直，即03=+C B .综上，所求平面方程为03=-Bz By ，即03=-z y .18、'-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅'+-⋅'⋅+⋅=∂∂12210)(1f x y f f x y f x f x z "-"-'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅"+⋅"⋅+'⋅⋅-⋅'+⋅'=∂∂∂12112212111212)11(11)11(f x y f x y f f x f y f x f x f y x z 19、原式=⎰⎰=20243232sin dr r d θθππ 20、由已知可得x x x x e x e x e x e x f )13()1(2)1()(+=++++=，特征方程：0232=++r r ，齐次方程的通解为x x e C e C Y 221--+=.令特解为x e B Ax y )(+=*，代入原方程得：43656+=++x B A Ax ，有待定系数法得：⎩⎨⎧=+=46536B A A ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121B A ，所以通解为x x x e x e C e C Y )4121(221+++=--. 四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21、令012)1ln()(,2)1ln()(2222>+++='-+=x x x x f x x x f 则，所以)(x f 单调递增. 又025ln 2)2(,02)0(>-=<-=f f ，所以由零点定理可知命题得证.22、设20112011)(,20112010)(20102011-='-+=x x f x x x f 则，令0)(='x f 得驻点1=x ，又020102011)1(20102011)(2009>⋅=''⋅=''f x x f ，所以，因此由判定极值的第二充分条件可知0)1(=f 为极小值，并由单峰原理可知0)1(=f 也为函数)(x f 的最小值，即0)(≥x f ，也即原不等式成立.五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）23、2222lim 1lim arctan 1lim 22022020-=-=---=------→→→a e a x ax x e x x ax x e ax x ax x ax x 22lim 21lim 2sin 1lim 000a ae x e x e ax x ax x ax x ==-=--++→→→ （1）依题意有2222a a =-，解得21=-=a a 或，又1)0(=f ，所以2=a . （2）左右极限必须相等，且不能等于函数值，所以1-=a .（3）依题意有2222a a ≠-，解得21≠-≠a a 且. 24、（1）将原方程化为一阶线性微分方程得)1()(2)(+-=-'a x f xx f ，所以 x a Cx C x a x C dx e a e x f dx x dx x )1()1()1()(2222++=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰+-⎰=⎰--- 代入x a ax x f a C f )1()(1)1(2++-=-==，即，得由此作出平面图形D ，并求出其面积[]3263)1(102=+=++-=⎰a dx x a ax S 解得1=a ，则此时函数的表达式为x x x f 2)(2+-=（2）ππ158)2(2102=+-=⎰dx x x V x （3）πππ65)11(112102=---⋅⋅=⎰dy y V y 。

2011江苏专转本数学试题真题及参考答案

19．（1）先化简，再求值：，其中
(2)已知一次函数的图像经过两点和，求这个函数的解析式．
20．如图,等腰△中，,等腰△中，,
连结、.求证：= .
21.铜仁市某住宅小区如图所示，小区东西两端的楼、之间的距离为24千米，某开发商准备在位于楼的北偏东方向，而且在楼的北偏西方向上的处盖一个大楼，如果施工期间，产生的噪音会影响到周围0.8千米处，请你通过计算说明住宅小区是否会有住户受到噪音影响？（参考数据，）
22．今年3月5日，铜仁市某中学九年级一班全体同学分为3部分参加“服务社会”的活动。一部分学生打扫街道，一部分学生去敬老院服务，一部分学生到社区文艺演出。数学老师做了如下条形统计图和扇形统计图．请根据所作的两个图形，
解答：
（1）九年级一班共有名学生。
（2）参加社区文艺演出有名学生。
（3）去敬老院服务有名学生。
C．这组数据的合计为150 D．这组数据的平均数是20
10．如图中，有三个矩形，其中相似的是（）
A、甲和乙B、甲和丙C、乙和丙D、没有相似的矩形
卷II
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，第18题每空2分,共32分）
11．|-2|=_________.
12．计算：= _________.
13．已知菱形的两条对角线长分别为3cm，4cm，则它的面积是____________cm2.
3．已知圆锥的底面周长为58cm，母线长为30cm，求得圆锥的侧面积为（）
A、908cm2 B、870cm2 C、1125cm2 D、1740cm2
4．每一个内角都相等的多边形，它的外角等于内角的三分之二，则这个多边形是（）
A、四边形B、五边形
C、六边形D、七边形
5．下列命题中，真命题是（）

2011—2012年江汉大学普通专升本考试电路理论题型及部分真题

湖北专升本网更多试题、资料请到专升本论坛下载：湖北专升本网（）信息最齐全和最实用的升本门户网站2011—2012年江汉大学普通专升本考试电路题型及部分真题2012年江汉大学普通专升本考试电路题型及部分真题电路分析基础：考得比较基础，要注重概念，对于我这种只复习了一个月的来说就吃大亏了，我平时练习只注重解题，忽略了概念，好几个题都不会，但如果好好看书的话，那绝对基础! 所以，你们懂得……选择 20 概念为主，即使计算也是儿科题填空 30 概念为主，即使计算也是儿科题（仅有一题涉及到理想变压器，也是概念型的）判断题 10 概念为主以上三大题非常注重基础概念，可以这么说将近三十分的概念题，把我做的是泪崩啊！概念主要涉及第一至四章，然后就是三相电路，谐振，最大功率的条件……大题 40第一题：含受控源，建议用节点法，检查时我用的网孔法很麻烦（这就要求你们复习时要注重多用几种方法解同一道题，从中挑出最简便的方法，不要怕烦！）第二题：关于功率的叠加问题。

（就是一个封闭的网络，告诉你断开这边电流源，那边的的电压功率，再断开那边告诉你这边电流源断开，那边的电压功率，让你求两电流源都工作时，封闭网络的功率！当然了，这一题不能简单的叠加，因为我们知道叠加定律不能用于非线性电路和功率的计算！）第三题：关于零状态的问题，不过含有两个电源，一个电流，一个电压，还有电阻若干，电容一个，然后让你求一条支路的电流！（方法就是三要素法，KVL ，当然了也可以不用三要素，但我觉得三要素法是万能的，解这一类题只要有三要素上天入地都不难）第四题：关于如何使电流最大，大意是这样的，一个电容和一电阻并联，然后要求串一多大的电感才能使电流最大！这就涉及到电容电感，2011年江汉大学普通专升本考试电路题型及部分真题电路10个选择题10个填空题5个大题第一个网孔电流法第二个求端口网络的阻抗和导纳（有电容电感）第三个求流过电压源的电流，电流源两端的电压，但是要用用叠加定理第四个已知RL 串联电路，电阻的电压，求电感电压，和电源电压（和三要素相关）第五个电流和电压同相的条件（有电容电感）电路也考的很基础，对知识点要理解和熟悉。

2011—2012年江汉大学普通专升本考试高数题型及部分真题(1)

湖北专升本网更多试题、资料请到专升本论坛下载：湖北专升本网（）信息最齐全和最实用的升本门户网站2011—2012年江汉大学普通专升本考试高数题型及部分真题2012年江汉大学普通专升本考试高数题型及部分真题高数：延续了江大的一贯传统，没选择，没填空，没判断正误，只有大题。

4 个求极限（中等难度，不偏，完全符合常规思路，主要涉及无穷小乘以任何数都为无穷小，洛必达法则，两个重要极限，X 的X 次方型）；4个求导数，（很基础，就是复合函数求导，也不繁琐，不过第二题稍稍带点技巧，算起来会很方便）4 个求积分，（包含定积分，不定积分，感觉挺简单，但要因人而异咯）二阶方程（y’’+by’+c=0 型）一个麦克劳林公式展开，当然也可以套用公式 [ In （X+1）型 ]一个复合偏导数。

F( x , y), x=?/? ,y=?/? ,求dx ，dy ，df ；一个二重积分求面积。

貌似要先积y 吧，这个有点记不清楚了！一个关于积分的综合题（大体意思这样的讲一个二元函数与一条直线相交，直线斜率在0到1之间，还有一根x=1的直线，要求斜率为多少时，面积为极值，方法为两个未知数求导的那种，在高数二上有，具体方法叫什么一时想不起来了）证明题是一个一元三次方程，求它在某个范围内有且唯一只有一个实根。

（这就不用我说了，先求导，证明单调函数，然后零点定理在两范围内一正一负两根，综上所诉，存在F （x ）有且仅有唯一的实根）2011年江汉大学普通专升本考试高数题型及部分真题高数：5个大题1 求极限有5个小题2 求导数有5个小题3 微分方程（y"+2y'+1=0）定积分（分部积分）二重积分（就是给个表达式，要换积分顺序，不然就求不出来）4 两个证明题，一个是关于复合偏导数，还一个是想不起来呢5 麦克劳林公式高数考的很基础，难度和课本例题差不多，级数，曲线积分，曲面积分没考，要注重书本。

高数1(2)12级B卷+答案

高数1(2)12级B 卷+答案制卷份数专业 2012级工科,本科 B 班级编号江汉大学 2012——2013 学年第 2 学期考试试卷）2（Ⅰ 学数等高课程名称：课程编号：分钟120 考试时间：卷卷一、选择题（本大题共5小题,每题3分,共15分）1. 过点(1,3)且切线斜率为2x 的曲线方程y=y(x)应满足的关系式是 ( A ) A. 'y =2x, y(1)=3 ; B. 'y =2x ; C. "y =2x ; D. "y =2x, y(1)=3. 2. 设f(x+y,x y )=x 2—y 2,则f(x,y)= ( A ) A. y y x +-1)1(2 ; B. y y x -+1)1(2 ;C. x x y +-1)1(2 ;D. xx y -+1)1(2 .3.⎰⎰≤+122),(y x dxdy y x f =4⎰⎰-1102),(x dy y x f dx 在下列情况下成立的是 ( D )A. f(-x,y)=-f(x,y) ;B. f(-x,y)=f(x,y) ;C. f(-x,-y)=f(x,y) ;D.. f(-x,y)=f(x,y)且f(x,-y)=f(x,y) .4. 设L 为圆周222a y x =+在第一象限部分,则第一类曲线积分⎰+Ly x ds e22= ( B )A.a ae π41; B.aae π21; C.a π21 ; D. a π41. 5. 下列级数中绝对收敛的有 ( C )A. ∑∞=-+-121)5()1(n n n n ; B; ∑∞=-1!2)1(2n nn n ; C. ∑∞=--1312)1(n nn n ; D. ∑∞=-+-113)1(n n n n .二、填空题（本大题共7小题,每题3分,共21分） 1. 微分方程-dx dy x2y=x 的通解为y= cx 2+x 2lnx . 2. 过点(1,1,2)且与平面x —2y+5z —1=0平行的平面方程为 x —2y+5z —9=0 .3. 设z x =y z ln ,则dz= zx z+dx -)(2z x y z +dy .4. 函数yxe z 2=在点P(1, 0)处沿从点P(1, 0)到点Q(2, —1)方向的方向导数 22-. 5. I=⎰⎰ex dy y x f dx 1ln 0),(,交换积分次序得I=⎰⎰10),(eey dx y x f dy .6. 设∑为锥面)(322y x z +=被z=0和平面z=3所截得的部分,则对面积的曲面积分⎰⎰∑+ds y x )(22= π9 . 7. 函数f(x)=ln(1+x)展开成x-2的幂级数为f(x)= ln3+∑∞=---11)32(1)1(n nn x n .三、计算题（本大题共6小题,每题8分,共48分）1. 求微分方程x y y 2sin "=+的通解.解:特征方程012=+r 解为i r i r -==21,,对应齐次方程的通解为 x c x c Y sin cos 21+=x x f 2s i n)(=,由观察法可设x a y 2sin *=,代人原方程得31-=a , 特解x y 2sin 31*-=,故所求通解为*y Y y +==x c x c sin cos 21+x 2sin 31-.2. 求过点（－3,2,5）且与两平面54=-z x 和752=--z y x 的交线平行的直线方程.解:)34(51240121k j i kj in n s ++-=---=⨯=故所求直线方程为 153243-=-=+z y x .3. 设u=f(x,y x ),其中f 具有二阶连续导数,求x u ∂∂,22x u∂∂.解: xu ∂∂=1'f +y 12'f 22x u ∂∂=)(1'f x∂∂+)1('2f y x ∂∂=……=11"f +12''2f y +22"21f y . 4. 计算I=⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω由锥面z=22y x +与z=1所围成的闭区域. 解: 用柱面坐标计算I=⎰⎰⎰πθ20101rzdz rdr d =……=41π .5. 计算曲线积分⎰-+Ly ydx dy e x 2)(sin ,其中L 是从A(1,0)沿y=221x -上到点B(－1,0)的上半椭圆.解: 由于y P ∂∂=―2,xQ ∂∂=1, 故可补线路BA 用格林公式计算. ⎰L=⎰+BAL ―⎰BA=⎰⎰--Ddxdy )]2(1[―⎰-+BAy ydx dy e x )(sin=3⎰⎰Ddxdy +0=3⨯21(21⋅⋅π)=3π .6. 求级数∑∞=1n nnx 在收敛域内的和函数并求∑∞=12n n n . 解:∑∞=1n nnx =x ∑∞=-11n n nx ,nn n a a 1lim+∞→=1收敛域为)1,1(-,令S(x)=∑∞=-11n n nx,积分得⎰xdx x S 0)(=∑∞=1n n x =x x -1=―1+x-11,求导得 ∑∞=1n n nx =2)1(x x -,―1<x<1, ∑∞=12n nn =2)211(212=-.四、应用题（6分）求原点到曲面21)(22=--z y x 上的最短距离. 解:目标函数:d 2=x 2+y 2+z 2,约束条件为: ),,(z y x ϕ=(x ―y)2―z 2―21=0 作L(x,y,z,λ)= x 2+y 2+z 2+λ[(x ―y)2―z 2―21] ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---==-==--==-+=021)(0220)(220)(2222z y x L z z L y x y L y x x L z yx λλλλ 解得 (42,―42,0)或(―42,4221,0), 故d 2=41,即d=21五、证明题（本大题共2小题,每题5分,共10分） 1. 设)(22y x xf z +=,f 为可导函数,证明：z x y x z y y z x =∂∂-∂∂. 证明：xz ∂∂= '2222)(f x y x f ++,y z ∂∂='2xyf ,代人左=z xy y x yf x z y y z x=+=∂∂-∂∂)(22=右 .六.综合题（5分）验证在区域{}0),(22>+=y x y x D ,2222222)()2()2(y x dyy xy x dx x xy y +-+--+为某函数),(y x u 的全微分,并求),(y x u .解:计算得xQ y P ∂∂=∂∂ ),(y x u ⎰+=),()0,1(y x QdyPdx =⎰⎰+yxdyy x Q dx x P 01),()]0,(=⎰-xdx x x 142+⎰+-+-ydy y x y xy x 022222)()2(=⎰⎰+-++--y y y x d y x dy y x x 0220221)(111…=122---y x y x （或),(y x u =c yx yx +--22）注：将试题答案或解答过程写在答题纸上常用公式：1.)('"x f qy py y =++:)()(x P e x f m x λ=,可令特解xm k e x Q x y λ)(*=k=0,1,2；]sin )(cos )([)()2()1(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=,可令特解]sin )(cos )([)2()1(*x x R x x R e x y m m x k ωωλ+=, k=0,1,{}n l m ,m ax =2. 拉格朗日乘数法：目标函数：),,(z y x f u =,条件：0),,(=z y x ϕ, 求可能的极值点时,可作拉格朗日函数),,(),,(),,,(z y x z y x f z y x L λϕλ+=3. 第一类曲线积分：))((),(),(βαωψϕ≤≤===t t z t y t x ,则dt t t t t t t f ds z y x f ⎰⎰Γ++=βαωψϕωψϕ)()()()](),(),([),,(2'2'2'第一类曲面积分：dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f y x D xy),(),(1)],(,,[),,(''++=⎰⎰⎰⎰∑4. 格林公式：⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )(5.)11(,110<<-=-∑∞=x x x n n,)11(,)1()1ln(11≤<--=+∑∞=-x x n x n n n高等数学 Ⅰ（2）B 卷答题纸一、选择题（本大题共5小题,每题3分,共15分）1. （）2. （）3. （）4. （）5. （）二、填空题（本大题共7小题,每题3分,共21分）1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. .三、计算题（本大题共6小题,每题8分,共48分）1.2.3.4.5.6.四、应用题（6分）五、证明题（5分）六、综合题（5分）。

2011高数真题解析(2012所有考点)

绝密★启用前2011年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。

一、选择题：1～10小题，每题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。

1.解析：此题是极限的运算法则题型一：将极限值代入方程如果分母不得零，就将极限值直接带入方程求解。

（直接代入法）题型二：将极限值代入方程如果分母得零，就不能用题型一的方法！先将方程因式分解或分子有理化等方法将式子中的零因子去除再将极限值代入求解。

例：a.00型因式分解去零因子 b. 00型分子有理化去零因子c.∞∞型式子中如果有高次幂就用最高次幂除分子分母d.∞-∞型一般处理方法是通分e.切记一定是00或∞∞可以用洛必达法则上下求导和无穷小量等价代换进行求解【特殊角的三角函数值】（1）sin 00= （2）1sin62π=（3）sin 32π= （4）sin 12π=）（5）sin 0π= （1）cos 01= （2）cos 6π= （3）1cos 32π= （4）cos 02π=）（5）cos 1π=-（1）tan 00= （2）tan 63π= （3）tan 3π=（4）tan 2π不存在（5）tan 0π=（1）cot 0不存在（2）cot 6π= （3）cot 33π=（4）cot 02π=（5）cot π不存在重要公式（1）0sin lim 1x xx →= （2）()10lim 1xx x e →+= （2.1）e xxx =+∞→)11(lim （3）)1n a o >= （4）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞=（6）lim tan 2x arc x π→-∞=-（7）lim arc cot 0x x →∞= （8）lim arc cot x x π→-∞= （9）lim 0xx e →-∞=（10）lim x x e →+∞=∞ （11）0lim 1xx x +→=A.B. C.D.2.设，则解析：本题考导数此题和填空14题解析相同A.B.C.D.3.设，则解析：本题考微分求导后一定要加dx 微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln xad dx x a= ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B.C.D.4.设，则解析：本题考高阶求导，高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦ （4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑A.B.C.D.5.解析：本题考不定积分，解析和填空16题解析相同A.B.C.D.6.解析：本题考定积分用不定积分的方法积分后将上下值代入求解A.B.C.D.7.设，则解析：本题考偏导数,题型一：分母是y就对y求导把x看做常数求导。

2011年江苏“专转本”高等数学试题及参考答案

x
微分方程 y 3 y 2 y f ( x) 的通解。
四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21、证明：方程 x ln(1 x ) 2 有且仅有一个小于 2 的正实根。
2
22、证明：当 x 0 时， x
2011
2010 2011x 。
1
7、已知 lim (
x
x 2 kx ) e 2 ，则 k _________。 x
8、设函数 ( x)

x2
0
ln(1 t )dt ，则 (1) ____________。

9、若 a 1 b 4 a b 2 ，则 a b ____________。 10、设函数 y arctan x ，则 dy 11、定积分
x y z 的平面方程。 2 3 1
y 2z 18、设 z xf ( y ) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求。 x xy
19、计算二重积分的平面闭区域。
ydxdy ，其中 D 是由曲线 y
D
2 x 2 ，直线 y x 及 y 轴所围成
20、已知函数 y ( x 1)e 是一阶线性微分方程 y 2 y f ( x) 的解，求二阶常系数线性
（1） x 0 是函数 f ( x ) 的连续点？（2） x 0 是函数 f ( x ) 的可去间断点？（3）
x 0 是函数 f ( x) 的跳跃间断点？
24、设函数 f ( x ) 满足微分方程 xf ( x) 2 f ( x) ( a 1) x （其中 a 为正常数），且
3
C. a 1, b 3
4、设 z f ( x, y ) 为由方程 z 3 yz 3 x 8 所确定的函数，则 A.

陕西统招专升本高等数学真题10年真题(2011-2019)

2011年陕西省普通高等教育专升本招生考试一、单项选择题：（本大题共5小题,每小题5分,共25分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1、下列极限存在的是（）A 、11lim0-→x x e B 、xx 1sinlim 0→C 、xx x 1sinlim 0→D 、跳跃间断点2、设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标是（）A 、()0,2-B 、()0,1C 、()20-，D 、()4,2x()()=x 11（）()ex 10+）C 、∞=1n )+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1321nn 的值为（）C 、22eπ5⎰21=y 32=-z y _______9、设函数()233,xy x y x f +=，则函数()y x f ,在点()1,1处的梯度为_______10、已知函数()x f 在[]1,0上有连续的二阶导数，且()()()31,21,10='==f f f ，则定积分()_______1=''⎰dx x f x 三、计算题（本大题共10小题,每小题8分,共80分.计算题要有计算过程）11、求极限()xdt t x x 40sin 1ln lim2⎰+→12、设参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==+t e y ex tt cos 212确定了函数()x y y =，求22dx y d13、设函数()3129223-+-=x x x x f ，求()x f 的单调区间和极值14、设函数()y x x f z ln ,=，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求xy z∂∂∂215、计算不定积分()⎰+xx dx 116、设函数()x f 在()+∞∞-,内具有二阶导数，且()()000='=f f ，试求函数()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,x x x xf xg 的导数.dxdy y -+122(){,2+x y x (⎰+=LxI 2L 的和()[⎰-Lxx f exoy ()x f 29+22、设函数()x f 在[]3,1上连续，在()3,1内可导，并且()()⎰=321dx x xf f ，证明：在()3,1内至少存在一点c ，使得()()c f c c f '-=2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试一、单项选择题：（本大题共5小题,每小题5分,共25分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1、0=x 是函数()2cos 1x xx f -=的（）B 、可去间断点B 、连续点C 、无穷间断点D 、跳跃间断点2、设()C e dx x f x +=⎰，则不定积分()⎰=dx e x f x （）B 、Ce x+2B 、C e x+21C 、C e x+221D 、Ce x+223、函数()⎨⎧<≥=11,22x x x f 在点1=x 处（）C 、不连续D 、不能判断是否可导，则级数()∑∞=++11n n nu u收敛于（）1u S +D 、12u S -）Ce x=-C 、Ce ex y=+-D 、Ce ex y=--5分,共25分）<≥0,0,x x 在0=x 处连续，则____=a 7、设函数x f 在点0x 处可导，且()20='x f ，则()()___lim000=∆∆--∆+→∆xx x f x x f x 8、设函数()222,,z y x z y x f ++=，则函数()z y x f ,,在点()1,1,1-处的梯度()1,1,1-gradf 为_____9、设方程⎰⎰=+-y t xxy dt e tdt 0sin 确定函数()x y y =，则____=dxdy10、曲面1222-+=y x z 在点()2,1,1处的切平面方程为_____三、计算题（本大题共10小题,每小题8分,共80分.计算题要有计算过程）11、求极限()xexx x x sin 1sin lim2--→12、设参数方程()⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰-tt du u y e x 02123确定函数()x y y =，求0=t dx dy 13、求函数()()322x x x f -=的单调区间和极值14、设函数,(y x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2,15、计算不定积分⎰+exx dx 1ln 116、计算二重积分+=dxdy y x I 22sin ，其中D 是由圆4222π=+y x 与直线x y =及y()1-xz1，求函数f 42=+y x2221、设曲线方程21xy -=（1）求该曲线及其在点()0,1和点()0,1-处的法线所围成的平面图形的面积（2）求上述平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体体积22、设函数()x f 在点[]1,0上连续，且()⎰=100dx x f ，证明：在()1,0内至少存在一点ξ，使得()()⎰=+ξξξ0dx x f f2013年陕西省普通高等教育专升本招生考试一、单项选择题：（本大题共5小题,每小题5分,共25分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1、0=x 是函数()21xe xf x -=的（）A 、可去间断点B 、振荡间断点C 、无穷间断点D 、跳跃间断点2、不定积分⎰=dx x xsin （）A 、Cx +-cos2B 、C x +cos C 、Cx +cos 2D 、Cx +-cos)3,2-B 、2x D 、2x 0=ydy B 、x +22ln ln C y =ln D C）B 、∑∞=131n nD 、n 56、设函数xx f +=1，则()()=x f f 7、设函数()x f 满足()()20,00='=f f ，则极限()____lim 0=→xx f x 8、函数xxey -=的极大值为_______9、交换积分次序()⎰⎰=11______,xdy y x f dx 10、设L 为连接点()0,1和点()1,0的直线段，则对弧长的曲线积分为()⎰=+Lds y x _____三、计算题（本大题共10小题,每小题8分,共80分.计算题要有计算过程）11、求极限()xx x e x x 220sin cos 11lim2---→12、已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos 确定了函数()x y y =，求22dx yd dx dy ，13、求不定积分⎰+dxe x 1114、计算定积分⎰-=π42sin sin dxx x I 15、设函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y x xyf z ，其中()u f 可导，求yzy x zx ∂∂+∂∂16、求函数()xyz z xy z y x f -+=32,,在点()2,1,10-P 处沿方向{}1,1,1--=l 的方向导数17、计算二重积分()⎰⎰+++=Dy x dxdy exy I 221，其中积分区域(){}1,22≤+=y xy x D(⎰+=Ly x I 其中L 是曲线x y sin =上由142+xe2分.应用题的计算要有计算过程,上连续，在(,0()⎰=1210dx x f ，证明：在()1,0()()=-'ξξf f （1）求该曲线在点()1,1处的切线方程（2）求该曲线和该切线及直线0=y 所围成的平面图形的面积（3）求上述平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积2013年陕西省普通高等教育专升本招生考试试题解析1、因为()∞===-=→→→→x x x x e x f x x x x x 1lim lim 1lim lim 020200，则为无穷间断点，故选C.2、原式⎰+-==C x x d x cos 2sin2，故选A.3、令()()()()1|,2|,22|,2,,3,2,13,2,13,2,122-=-====-+=---z y x F y F x F z y x z y x F ，则法向量{}1,2,2--=n ，通过点法式得平面方程为()()()032212=--+--z y x ，即0322=---z y x ，故选D.=为Dx9、由题可知⎩⎨⎧≤≤≤≤110y x x ，通过图形可知⎩⎨⎧≤≤≤≤y x y 010，故原式为()⎰⎰y dxy x f dy 010,10、L的直线方程为()1,01∈+-=x x y ，，则曲线积分为()()⎰⎰=='++-10122211dx dx y x x 11、解：原式1lim 1lim 222lim 211lim 22020*******22==-=-=--=→→→→x x x e x x xe xx x e x x x x x x x 12、解：，t b dtdxt a dt dy cos ,sin =-=则ta b t a t a b dtdx dx dy dt d dx y d t a b dt dx dt dy dx dy 32222sin 1sin 1csc 1,cot -=-⋅=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=-==13、解：原式()⎰⎰⎰⎰++-=++-=+-=+-+=C e x e d e x dx e e dx dx ee e xx x x x x x x 1ln 11111114、解：原式=()⎰⎰⎰⎰-=-==-ππππππ02022022222|sin 21cos sin cos sin cossinsin1sinx xdxx xdxx dxx x dxx x⎪⎪⎭⎫⎝⎛'y x f ⎝⎛y x xf ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'y x xyf y x f 2,31=)xy -=2,00=p )30131+⎭⎝17、解：令,sin ,cos θθr y r x ==而⎩⎨⎧≤≤≤≤πθ2010r ，则()ee e dr re d rdrd e I r r Dr -=⋅===+++⎰⎰⎰⎰2101101201|212222ππθθπ18、解：()()1,,1,+-=-+=y x y x Q y x y x P ，1,1=∂∂=∂∂y Px Q ，由格林公式知，积分与路径无关，则()()⎰⎰+=+-+-=2010221811ππdy y dx x I19、解：11lim 1lim lim11<+=+==∞→+∞→+∞→x n n nx n x u u R n n n n nn n ，则收敛半径为1=R 当1-=R 时，原函数为()∑∞=-111n nn收敛；当1=R 时，原函数为∑∞=11n n 发散；故收敛域为[)1,1-，令()∑∞==11n n x n X S ，则()[)1,1,11 (11)211-∈-=+++++=='-∞=-∑x x x x x x X S n n n ，则(--=x 1ln 22121 ⎝⎛=∞S n n 0=λ，y =2*1==B A ，解为*=y ，故微分为412-+x xe ⎰212()c f =令()()x f ex F x-=，又因为()x F 在[]c ，0上连续，在()c ，0内可导，且()()c F F =0,由罗尔定理得至少存在一点()()1,00⊂∈c ，ξ，使得()0='ξF ，即()()0=-'ξξf f .22、解：（1）因为切线斜率2|1='==x y k ，则切线方程为()121-=-x y ，即12-=x y （2）⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=1010232121|32214121y y y dy y y A （3）()()ππ30112210121244=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎰⎰dx x x dx x V x2014年陕西省普通高等教育专升本招生考试一、单项选择题：（本大题共5小题,每小题5分,共25分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1、当0=x 时，是()()xx x f +=1ln 的（）A 、可去间断点B 、跳跃间断点C 、无穷间断点D 、振荡间断点2、若()20='x f ，则极限()()=--+→hh x f h x f h 000lim （）A 、2-B 、2C 、4-D 、43、若不定积分()⎰+=C x dx x f 1，则()='x f （）x 121x32x 42=)+ds 1∞=n B 、∞=1n )138、不定积分_____)ln 1(2013=+⎰dx xx 9、过点()3,2,1且与直线11232+==-z y x 垂直的平面方程是_________10、微分方程yx ey +='的通解是_________三、计算题（本大题共10小题,每小题8分,共80分.计算题要有计算过程）11、求极限)1(sin lim224-⎰→x x x e x tdtt 12、设函数()x y y =由参数方程()⎩⎨⎧+==21ln arctan ty t x 所确定，求22,dx yd dx dy13、求不定积分⎰-dxx x 21ln 14、计算定积分求函数dx x x I ⎰+-=2212的全微分15、设函数()2,y x xy f z +=，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2,16、求函数z xy u 2=在点()1,1,1-P 处的梯度，并求该函数在P 点处沿梯度方向的方向导17、交换二次积分⎰⎰10122y x dx edy 的次序，并计算其值18、计算曲线积分()⎰++=Lxdy dx y I 22，其中L 为从点()0,1A 沿上半圆周122=+y x到xey 22-=的通解2小题,每小题10分,共20分.应用题的计算要有计算过程,()()010<⋅f f ，证明在()1,0内至少存在一点ξ，使得)1≤上一点处的切线，使该切线与直线1,0==x y 和曲线2xy =2015年陕西省普通高等教育专升本招生考试一、单项选择题：（本大题共5小题,每小题5分,共25分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1、点0=x 是函数()xx x f =的（）A 、连续点B 、可去间断点C 、跳跃间断点D 、无穷间断点3、设极限()()()12lim 2000-=--→x x x f x f x x ，则点0x x =是函数()x f 的（）B 、极大值点B 、极小值点C 、驻点，但非极值点D 、非驻点）0C C y =+>a 的取值有关0→h 7、已知当0→x 时，⎰22cos x dt t 与a x 是等价无穷小，则____=a 8、设方程e xy e y=+2确定了隐函数()x y y =，则___==x dxdy9、不定积分⎰=+____2sin 12cos dx x x10、设曲线4:222π=+y x L ，则对弧长的曲线积分()⎰=++L ds y x x ____sin 22三、计算题（本大题共10小题,每小题8分,共80分.计算题要有计算过程）11、求极限()xx x x e x x 30sin 1sin lim +-→12、设函数()x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=tey tx 331所确定，求22,dx y d dx dy 13、求不定积分dxex⎰14、计算定积分()⎰--+=442cos arctan ππdxx x I 15、设函数()xy y x f z ,2+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求y x zx z ∂∂∂∂∂2,)z xy +2()1,1,1=l的方向导数)+22dy y x+++dy y x x )sin 1122，其中L 是从点)0≥到点B xxey -=122分.应用题的计算要有计算过程,21、设曲线C 的方程xe y =，（1）在曲线C 上求切点P ，使P 点处曲线C 的切线过坐标原点（2）求P 点处法线L 的方程（3）求由曲线C 、法线L 及y 轴所围成图形的面积A22、设函数()x f 在闭区间[]π,0上连续，在开区间()π,0内可导，证明在开区间()π,0内至少存在一点ξ，使得()()ξξξξcos sin f f -='2016年陕西省普通高等教育专升本招生考试一、单项选择题：（本大题共5小题,每小题5分,共25分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1、点0=x 是函数21()x e f x x-=的（）A、连续点B、可去间断点C、跳跃间断点D、无穷间断点2、设在闭区间[]b a ,上,()0f x >,()()0,0<''>'x f x f ，令1()baS f x dx =⎰,2()()S f a b a =-,3[()()]2b aS f a f b -=+,则必有（）312S S S <<C、213S S S <<D、132S S S <<)0,1,1(处的切平面方程为（）B、4480x y z ++-=D、4480x y z +++=）CC 、Cy x =- D.Cy x =+22在2=x 处发散,则该幂级数在1-=x 处（）C、发散D、敛散性不确定5分,共25分）6、极限0sin 2limln(1arcsin )x xx →+=7、已知当0x →时,sin 20xt dt ⎰与a x 是同阶无穷小,则常数=a8、定积分33(cos x x dx -+⎰=9、二元函数yz x =()0,1x x >≠的全微分=dz 10、设曲线L 为圆周122=+y x ,则弧长的曲线积分⎰=+Lds y x 22_______三、计算题（本大题共10小题,每小题8分,共80分.计算题要有计算过程）11、已知函数⎩⎨⎧<≥+=0,0,)(x e x b ax x f x,在0=x 处可导,试确定常数a 和b12、设函数()y y x =由参数方程2,21t x y t⎧=⎪⎨⎪=-⎩所确定,求dy dx ,22d y dx 13、求函数3()31f x x x =-+的极值点及其图形的拐点14、求不定积分arctan xdx⎰),其中f z x ∂∂,22zx ∂∂)1,1,1(2dy xy ,并计算积分值++dx y()2)0,0(O 经过点)0,1(A 到点e x y )1(+=220分.应用题的计算要有计算21、设0a b >>,1n >,证明：11()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-22、求曲线2y x =和y =所围成平面图形的面积S ,并求次图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积V2017年陕西省普通高等教育专升本招生考试一、单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

近十年江苏省专转本高等数学试题分类整理

江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学专转本高数试卷结构知识分类与历年真题●函数、极限和连续●一元函数微分学●一元函数积分学●向量代数与空间解析几何●多元函数微积分●无穷级数●常微分方程时间排序与参考答案◆2004年高等数学真题参考答案◆2005年高等数学真题参考答案◆2006年高等数学真题参考答案◆2007年高等数学真题参考答案◆2008年高等数学真题参考答案◆2009年高等数学真题参考答案◆2010年高等数学真题参考答案◆2011年高等数学真题参考答案◆2012年高等数学真题参考答案◆2013年高等数学真题参考答案江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学试卷结构全卷满分150分一、单选题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）知识分类与历年真题一、函数、极限和连续（一）函数（0401）[](]333,0()0,2x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩是（） A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数（0801）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是（）A.()y f x =-B.)(43x f x y = C.()y f x =-- D.)()(x f x f y -+= （二）极限（0402）当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的（）A.高阶无穷小B.同阶无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小（0407）设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛++=32)(，则=∞→)(lim x f x ．（0601）若012lim2x x f x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=，则0lim 3x xx f →=⎛⎫ ⎪⎝⎭（） A.21 B.2C.3D.31 （0607）已知0→x 时，(1cos )a x ⋅-与x x sin 是等价无穷小，则=a ．（0613)计算311lim1x x x →--．（0701）若0(2)lim2x f x x→=，则1lim 2x xf x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A.41B.21 C.2D.4（0702）已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小，而x nsin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=n （） A.1B.2C.3D.4（0813）求极限：32lim xx x x →∞-⎛⎫⎪⎝⎭．（0901）已知22lim32x x ax bx →++=-，则常数b a ,的取值分别为（） A.2,1-=-=b a B.0,2=-=b aC.0,1=-=b aD.1,2-=-=b a（0907）已知lim 2xx x x C →∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数=C ．（1001）设当0x →时，()sin f x x x =-与()ng x ax =是等价无穷小，则常数,a n 的值为 ( ) A.1,36a n == B.1,33a n == C.1,412a n == D.1,46a n == （1007） 1lim 1xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭．（1101）当0→x 时，函数1)(--=x e x f x是函数2)(x x g =的( ) A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1107）已知22lim kxx x e x →∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则=k _________．（1201）极限1sin 3lim 2sinx x x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.0 B.2 C.3D.5（1301）当0x →时，函数()ln(1)f x x x =+-是函数2()g x x =的（） A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1310）设10lim xx a x e a x →+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则常数a = ．（三）连续（0413）求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型．（0501）0=x 是xx x f 1sin )(=的（） A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点（0513）设()2sin 0()0f x xx F x xa x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在R 内连续，并满足0)0(=f ，(0)6f '=，求a ．（0602）函数21sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（） A.连续但不可导B.连续且可导C.不连续也不可导D.可导但不连续（0608）若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续．（0707）设函数1(1)0()20x kx x f x x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩，在点0=x 处连续，则常数=k ．（0807）设函数21()(1)x f x x x -=-，则其第一类间断点为．（0808）设函数0()tan 30a x x f x x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪⎩在点0=x 处连续，则a ＝．（0902）已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.震荡间断点（1123）设210arctan ()1010sin 2ax axe x ax x x xf x x e x x ⎧---<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩，问常数为何值时：（1）0=x 是函数)(x f 的连续点？（2）0=x 是函数)(x f 的可去间断点？（3）0=x 是函数)(x f 的跳跃间断点？（1202）设()2(2)sin ()4x xf x x x -⋅=⋅-，则函数)(x f 的第一类间断点的个数为（） A.0 B.1C.2D.3（1207）要使函数()1()12xf x x =-在点0=x 处连续，则需补充定义(0)f =_________．（1303）设sin 20()011xx x f x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪+-⎩，这点0x =是函数()f x 的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.连续点（1307）设1sin0()0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处连续，则常数a = ．二、一元函数微分学（一）导数与微分（0403）直线L 与x 轴平行且与曲线xe x y -=相切，则切点的坐标是（） A.()1,1B.()1,1-C.()0,1-D.()0,1（0409）设()(1)(2)()f x x x x x n =+++，N n ∈，则=)0('f ．（0415）设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定，求22d d x yx=的值．（0502）若2=x 是函数1ln 2y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的可导极值点，则常数=a （） A.1-B.21C.21- D.1 （0514）设函数)(x y y =由方程cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0614）若函数)(x y y =是由参数方程2ln (1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0708）若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线，则常数=m ．（0714）设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定，求d d x yx=、22d d x y x =．（0802）设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是（） A.0(0)()lim(0)x f f x f x →-'=- B.000(2)()lim ()x f x x f x f x x→+-'=C.0000()()lim ()x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆D.0000()()lim 2()x f x x f x x f x x∆→-∆-+∆'=∆ （0814）设函数)(x y y =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩（2t n π≠，n Z ∈）所决定，求d d y x 、22d d y x ．（0903）设函数00()1sin 0x f x x x x α≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（） A.10<<αB.10≤<αC.1>αD.1≥α（0914）设函数)(x y y =由参数方程2ln (1)23x t y t t =+⎧⎨=+-⎩所确定，d d y x 、22d d yx ．（0923）已知函数0()10x e x f x x x -⎧<=⎨+≥⎩，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导．（1008）.若(0)1f '=，则0()()limx f x f x x→--= ．（1014）设函数()y y x =由方程2x yy ex ++=所确定，求d d y x 、22d d yx ．（1022）设()0()1x x f x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中函数()x ϕ在0x =处具有二阶连续导数，且(0)0ϕ=，(0)1ϕ'=，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导．（1102）设函数)(x f 在点0x 处可导，且4)()(lim 000=+--→hh x f h x f h ，则=')(0x f ( )A.4-B.2-C.2D.4（1110）设函数x y arctan=，则1d x y==_____________．（1114）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=22ty e tt x y 所确定，求d d y x ．（1208）设函数()22221x y x x x e =⋅+++，则=)0()7(y________．（1209）设xy x =（0x >），则函数y 的微分=dy ___________．（1214）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=tt y tt x ln 212所确定，求d d y x 、22d d y x ．（1304）设1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶导数，则22d d y x =（）A.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1306）已知函数()f x 在点1x =处连续，且21()1lim 12x f x x →=-，则曲线()f x 在点()1,()f x 处切线方程为（） A.1y x =-B.22y x =-C.33y x =-D.44y x =-（1309）设函数由参数方程2211x t y t ⎧=+⎨=-⎩所确定，则221d d t yx == ．（二）中值定理及导数的应用（0423）甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元．问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？（0507）02limsin x x x e e xx x-→--=- ．（0508）函数x x f ln )(=在区间[]1,e 上满足拉格郎日中值定理的=ξ ．（0521）证明方程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根．（0603）下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（） A.xe y =B.1y x =+C.21x y -=D.xy 11-= （0621）证明：当2x ≤时，332x x -≤．（0703）设函数()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则方程()0f x '=的实根个数为（） A.1B.2C.3D.4（0713）求极限01lim tan x x e x x x→--．（0722）设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质：（1）在点1-=x 的左侧临近单调减少；（2）在点1-=x 的右侧临近单调增加；（3）其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变．试确定a ，b ，c 的值．（0724）求证：当0>x 时，22(1)ln (1)x x x -⋅≥-．（0809）已知曲线543223++-=x x x y ，则其拐点为．（0821）求曲线1y x=（0x >）的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值．（0823）设函数)(x f 在闭区间[]0,2a （0a >）上连续，且)()2()0(a f a f f ≠=，证明：在开区间(0,)a 上至少存在一点ξ，使得()()f f a ξξ=+．（0824）对任意实数x ，证明不等式：(1)1xx e -⋅≤．（0904）曲线221(1)x y x +=-的渐近线的条数为（）A.1B.2C.3D.4（0913）求极限30lim sin x x x x→-．（0921）已知函数13)(3+-=x x x f ，试求：（1）函数)(x f 的单调区间与极值；（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间[2,3]-上的最大值与最小值．（0924）证明：当12x <<时，24ln 23x x x x >+-．（1002）曲线223456x x y x x -+=-+的渐近线共有 ( )A.1条B.2条C.3条D.4条（1006）设3()3f x x x =-，则在区间(0,1)内 ( ) A.函数()f x 单调增加且其图形是凹的 B.函数()f x 单调增加且其图形是凸的 C.函数()f x 单调减少且其图形是凹的 D.函数()f x 单调减少且其图形是凸的（1013）求极限2|011lim tan x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭．（1021）证明：当1x >时，121122x e x ->+．（1103）若点(1,2)-是曲线23bx ax y -=的拐点，则（） A.3,1==b aB.1,3-=-=b aC.3,1-=-=b aD.6,4==b a（1113）求极限()()22limln 1xx x eex -→-+．（1121）证明：方程()2ln 12x x ⋅+=有且仅有一个小于2的正实根．（1122）证明：当0>x 时，x x201120102011≥+．（1203）设232152)(x x x f -=，则函数)(x f ( ) A.只有一个最大值 B.只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值D.没有极值（1213）求极限()2302cos 2lim ln 1x x x x x →+-+．（1223）证明：当10<<x 时，361arcsin x x x +>．（1302）曲线22232x xy x x +=-+的渐近线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条（1313）求极限01lim ln (1)x x e x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．（1323）证明：当1x >时，2(1ln )21x x +<-．三、一元函数积分学（一）不定积分（0410）求不定积分32arcsin d 1x x x=-⎰．（0416）设)(x f 的一个原函数为xe x，计算(2)d x f x x '⎰．（0503）若()d ()f x x F x C =+⎰，则sin (cos )d x f x x =⎰（）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C F +(cos)D.C x F +-)(cos（0515）计算3tan sec d x x x ⎰．（0522）设函数)(x f y =的图形上有一拐点(2,4)P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数6y x a ''=+，求)(x f ．（0604）已知2()d x f x x e C =+⎰，则()d f x x '-=⎰（）A.C ex+-22B.C e x +-221 C.C e x +--22 D.C e x +--221（0615）计算1ln d xx x+⎰．（0622）已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线方程．（0704）设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则(2)d f x x '=⎰（）A.C x +4cosB.C x +4cos 21C.C x +4cos 2D.C x +4sin（0715）求不定积分2d x x e x -⎰．（0810）设函数)(x f 的导数为x cos ，且21)0(=f ，则不定积分()d f x x =⎰ ．（0815）求不定积分3d 1x x x +⎰．（0905）设()ln (31)F x x =+是函数)(x f 的一个原函数，则(21)d f x x '+=⎰（）A.C x ++461B.C x ++463C.C x ++8121D.C x ++8123（0915）求不定积分sin21d x x +⎰．（1015）求不定积分arctan d x x x ⎰．（1115）设)(x f 的一个原函数为x x sin 2，求不定积分()d f x x x⎰．（1215）求不定积分sin 2d x x x ⎰．（1315）求不定积分sin 2d x x x ⎰．（二）定积分（0404）2228R y x =+设所围的面积为S ，则222208d R R x x -⎰的值为（）A.SB.4S C.2S D.S 2（0421）证明：0(sin )d (sin )d 2x f x x f x x πππ=⎰⎰，并利用此式求20sin d 1cos xxx xπ+⎰．（0509）1211d 1x x x π-+=+⎰．（0516）计算10arctan d x x ⎰．（0609）设)(x f 在[]0,1上有连续的导数且(1)2f =，10()d 3f x x =⎰，则1()d x f x x '=⎰ ．（0616）计算22cos d x x x π⎰．（0709）定积分()223241cos d x x x x --+⎰的值为．（0716）计算定积分212221d x x x-⎰．（0811）定积分1212sin d 1xx x -++⎰的值为．（0816）求定积分10d xe x ⎰．（0916）求定积分：212d 2x x x-⎰．（1009）定积分31211d 1x x x -++⎰的值为．（1016）计算定积分403d 21x x x ++⎰．（1111）定积分()32221sin d xx x ππ-+⋅⎰的值为____________．（1116）计算定积分3d 11x xx ++⎰ ．（1216）计算定积分21d 21xx x -⎰．（1316）计算定积分22d 24x x+-⎰．（1324）设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：[]2()d ()()d a b b aaf x x f x f a b x x +=++-⎰⎰．（三）变限积分与广义积分（0417）计算广义积分2d 1xx x +∞⋅-⎰．（0422）设函数)(x f 可导，且满足方程20()d 1()x t f t t x f x =++⎰，求)(x f ．（0705）设221()sin d x f x t t =⎰，则()f x '=（）A.4sin x B.2sin 2x xC.2cos 2x xD.4sin 2x x（0803）设函数)(x f 122sin d xt t t =⎰，则()f x '等于（）A.x x 2sin 42B.x x 2sin 82C.x x 2sin 42-D.x x 2sin 82-（0908）设函数20()d x t x te t ϕ=⎰，则()x ϕ'＝．（1003）设函数22()cos d t xx e t t Φ=⎰，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于 ( )A.222cos x xe x B.222cos x xe x - C.2cos xxe x - D.22cos x e x - （1108）设函数2()ln (1)d x x t t Φ=+⎰　，则=Φ'')1(____________．（1211）设反常积分1d 2x ae x +∞-=⎰，则常数=a ______．（1222）已知定义在(),-∞+∞上的可导函数)(x f 满足方程31()4()d 3xx f x f t t x -=-⎰，试求：（1）函数()f x 的表达式；（2）函数)(x f 的单调区间与极值；（3）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点．（1224）设0()d 0()(0)0x g t t x f x g x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中函数)(x g 在(,)-∞+∞上连续，且3cos 1)(lim 0=-→xx g x ．证明：函数)(x f 在0=x 处可导，且1(0)2f '=．（1322）已知251320()95d x F x t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰是()f x 的一个原函数，求曲线()y f x =的凹凸区间、拐点．（四）定积分的几何应用（0523）已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）曲边三角形绕x 轴旋转一周的旋转体体积．（0623）已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成．（1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积．（0721）设平面图形由曲线21x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0822）设平面图形由曲线2x y =，22x y =与直线1=x 所围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积；（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0922）设1D 是由抛物线22x y =和直线x a =，0y =所围成的平面封闭区域，2D 是由抛物线22x y =和直线x a =，2x =及0=y 所围成的平面封闭区域，其中20<<a ．试求：（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V ；（2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等．（1023）设由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值．（1024）设函数()f x 满足方程()()2xf x f x e '+=，且(0)2f =，记由曲线'()()f x y f x =与直线1y =，x t =（0t >）及y 轴所围平面图形的面积为()A t ，试求lim ()t A t →+∞．（1124）设函数)(x f 满足微分方程()2()(1)x f x f x a x '-=-+（其中a 为正常数），且1)1(=f ，由曲线()y f x =（1x ≤）与直线1x =，0y =所围成的平面图形记为D ．已知D 的面积为32．（1）求函数)(x f 的表达式；（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积x V ；（3）求平面图形D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积y V ．（1221）在抛物线2y x =（0x >）上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为32，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．（1321）设平面图形D 是由曲线2x y =，y x =-与直线1y =所围成，试求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．四、向量代数与空间解析几何（一）向量代数（0510）设向量{}3,4,2=-a 、{}2,1,k =b ；a 、b 互相垂直，则=k ．（0610）设1=a ，⊥a b ，则()⋅+=a a b ．（0710）已知a 、b 均为单位向量，且12⋅=a b ，则以a 、b 为邻边的平行四边形面积为．（0804）设向量(1,2,3)=a ，(3,2,4)=b ，则⨯a b 等于（）A.(2,5,4)B.(2,5,4)--C.(2,5,4)-D.(2,5,4)--（0909）已知向量{}1,0,1=-a ，{}1,2,1=-b ，则+a b 与a 的夹角为．（1010）设{}1,2,3=a ，{}2,5,k=b ，若a 与b 垂直，则常数k = ．（1109）若1=a ，4=b ，2⋅=a b ，则⨯=a b ____________．（1210）设向量a 、b 互相垂直，且3=a ，2=b ，则2+=a b ________．（1308）已知空间三点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(3,4,5)C ，则ABC ∆的面积为．（二）平面与直线（0518）求过点(3,1,2)A -且通过直线L ：43521x y z-+==的平面方程．（0619）求过点(3,1,2)M -且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程．（0719）求过点(1,2,3)且垂直于直线20210x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩的平面方程．（0817）设平面∏经过点(2,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,5)C ，求经过点(1,2,1)P 且与平面∏垂直的直线方程．（0917）求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程．（1017）求通过点(1,1,1)，且与直线23253x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩垂直，又与平面250x z --=平行的直线的方程．（1117）求通过x 轴与直线132zy x ==的平面方程．（1217）已知平面∏通过(1,2,3)M 与x 轴，求通过(1,1,1)N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．（1318）已知直线10330x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩在平面∏上，又知直线23132x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面∏平行，求平面∏的方程．五、多元函数微积分（一）多元函数微分学（0418）设(,)z f x y xy =-，且具有二阶连续的偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0505）设yxy x u arctan),(=，22(,)ln v x y x y =+，则下列等式成立的是（）A.yv x u ∂∂=∂∂ B.xvx u ∂∂=∂∂ C.x v y u ∂∂=∂∂ D.y v y u ∂∂=∂∂ （0517）已知函数2(sin ,)z f x y =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0611）设x e u xysin =，=∂∂xu．（0620）设2(,)z x f x xy =⋅其中(,)f u v 的二阶偏导数存在，求y z ∂∂、xy z∂∂∂2．（0711）设yxz =，则全微分d z = ．（0717）设(23,)z f x y xy =+其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（0805）函数xyz ln =在点(2,2)处的全微分d z 为（）A.11d d 22x y -+B.11d d 22x y +C.11d d 22x y -D.11d d 22x y --（0818）设函数,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（0910）设函数(,)z z x y =由方程12=+yz xz 所确定，则xz∂∂＝．（0919）设函数(sin ,)z f x xy =，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（1011）设函数2ln4z x y =+，则10d x y z=== ．（1018）设()2,xz y f xy e =⋅，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂．（1104）设),(y x f z =为由方程8333=+-x yz z 所确定的函数，则=∂∂==00y x yz （）A.21-B.21C.2-D.2（1118）设)(y xyxf z ，=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（1204）设3ln 2z x y=+在点()1,1处的全微分为 ( )A.d 3d x y -B.d 3d x y +C.1d 3d 2x y +D.1d 3d 2x y -（1218）设函数22(,)()z f x xy x y ϕ=++，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()x ϕ具有二阶连续导数，求yx z∂∂∂2．（1314）设函数(,)z z x y =由方程3331z xy z +-=所确定，求d z 及22zx∂∂．（1317）设()223,x yz fx e+=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zy x ∂∂∂．（二）二重积分（0411）交换二次积分的次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰．（0419）计算二重积分sin d d Dy x y y ⎰⎰，其中D 由曲线x y =及x y =2所围成．（0504）设区域D 是xoy 平面上以点(1,1)A 、(1,1)B -、(1,1)C --为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +=⎰⎰（）A.⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y xB.⎰⎰12D xydxdyC.⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xyD. 0（0511）交换二次积分的次序20111d (,)d x x x f x y y --+=⎰⎰；（0524）设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，1()d ()d uuyF u y f x x =⎰⎰（1u >）．（1）交换)(u F 的积分次序；（2）求(2)F '．（0606）设对一切x 有(,)(,)f x y f x y -=-，22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥，=1D 22{(,)|1,0,0}x y x y x y +≤≥≥，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰（）A. 0B.1(,)d d D f x y x y ⎰⎰C.21(,)d d D f x y x y ⎰⎰D.41(,)d d D f x y x y ⎰⎰（0612）D 为以点(0,0)O 、(1,0)A 、(0,2)B 为顶点的三角形区域，d d Dx y =⎰⎰ ．（0624）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g tD ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域，函数)(x f 连续．（1）求a 的值使得)(t g 连续；（2）求)('t g ．（0720）计算二重积分22d d Dx y x y +⎰⎰，其中{}22(,)|2,0D x y x y x y =+≤≥．（0723）设0>>a b ，证明：()232d ()d ()d b b b x y xx a ayay f x e x ee f x x ++⋅=-⎰⎰⎰．（0819）计算二重积分2d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线xy 1=，直线y x =，2x =及0=y 所围成的平面区域．（0918）计算二重积分d Dy σ⎰⎰，其中22{(,)02,2,2}D x y x x y x y =≤≤≤≤+≥．（1005）二次积分111d (,)d y y f x y x +⎰⎰交换积分次序后得 ( )A.1101d (,)d x x f x y y +⎰⎰B.2110d (,)d x x f x y y -⎰⎰C.2111d (,)d x x f x y y -⎰⎰D.2111(,)d x dx f x y y -⎰⎰（1019）计算d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线21x y =-，直线y x =及x 轴所围成的闭区域．（1105）若(,)d d Df x y x y ⎰⎰可转化为二次积分1201d (,)d y y f x y x +⎰⎰ ，则积分域D 可表示为（） A.{}(,)01,11x y x x y ≤≤-≤≤ B.{}(,)12,11x y x x y ≤≤-≤≤C.{}(,)01,10x y x x y ≤≤-≤≤D.{}(,)12,01x y x y x ≤≤≤≤-（1119）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线22y x =-，直线x y -=及y 轴所围成的平面闭区域．（1205）二次积分dx y x f dy y),(11⎰⎰ 在极坐标系下可化为（）A.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρ⎰⎰ B.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρρ⎰⎰C.sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρ⎰⎰D .sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρρ⎰⎰ （1220）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线1y x =-，直线2xy =及x 轴所围成的平面闭区域．（1320）计算二重积分d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线24y x =-（0x >）与三条直线y x =，3x =，0y =所围成的平面闭区域．六、无穷级数（一）数项级数（0506）正项级数（1）∑∞=1n nu、（2）∑∞=13n nu，则下列说法正确的是（）A.若（1）发散、则（2）必发散B.若（2）收敛、则（1）必收敛C.若（1）发散、则（2）不确定D.（1）、（2）敛散性相同（0605）设∑∞=1n nu为正项级数，如下说法正确的是（）A.若0lim 0=→n n u ，则∑∞=1n nu必收敛 B.若l u u nn n =+∞→1lim )0(∞≤≤l ，则∑∞=1n n u 必收敛C.若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=12n nu必定收敛D.若∑∞=-1)1(n n nu 收敛，则∑∞=1n n u 必定收敛（0706）下列级数收敛的是（）A.∑∞=122n nnB.∑∞=+11n n n C.∑∞=-+1)1(1n nnD.∑∞=-1)1(n nn（0906）设α为非零常数，则数项级数∑∞=+12n nn α（）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与α有关（1004）下列级数收敛的是（）A.11n n n ∞=+∑B.2121n n n n ∞=++∑ C.11(1)nn n ∞=+-∑ D.212n n n ∞=∑（1206）下列级数中条件收敛的是（）A.1(1)21nn nn ∞=-+∑B.13(1)2nn n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C.21(1)nn n ∞=-∑ D.1(1)nn n ∞=-∑（1305）下列级数中收敛的是（）A.211n n n∞=+∑ B.11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ C.1!2n n n ∞=∑ D.13n n n ∞=∑（二）幂级数（0412）幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛区间为．（0420）把函数21)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数，并写出它的收敛区间．（0512）幂级数1(21)nn n x∞=-∑的收敛区间为．（0519）把函数222)(xx x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间．（0618）将函数()ln (1)f x x x =+展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）．（0812）幂函数12nnn x n ∞=⋅∑的收敛域为．（0911）若幂函数21n nn a x n∞=∑（0a >）的收敛半径为21，则常数=a ．（1012）幂级数0(1)n nn x n ∞=-∑的收敛域为．（1106）若x x f +=21)(的幂级数展开式为0()nn n f x a x ∞==∑（22x -<<），则系数=n a ( )A.n 21B.121+n C.(1)2nn- D.1(1)2n n +-（1112）幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域为_ _ _________．（1212）幂级数1(1)(3)3n nnn x n ∞=--⋅∑的收敛域为____________．（1312）幂级数12n nn x n∞=∑的收敛域为．七、常微分方程（一）一阶微分方程（0520）求微分方程0'=-+xe y xy 满足1x ye ==的特解．（0617）求微分方程22x y xy y '=-的通解．（0718）求微分方程22007xy y x '-=满足初始条件12008x y==的特解．（0820）求微分方程22xy y x '=+的通解．（0912）微分方程2(1)d (2)d 0x y x y x y +--=的通解为．（1311）微分方程d d y x y x x+=的通解为．（二）二阶线性微分方程（0406）微分方程232xy y y xe '''-+=的特解*y 的形式应为（）A.xAxe 2B.xe B Ax 2)(+C.xeAx 22D.xeB Ax x 2)(+（0712）设x xe C eC y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为．（0806）微分方程321y y y '''++=的通解为（）A.1221++=--x xe c e c yB.21221++=--x xe c ec yC.1221++=-xxec e c yD.21221++=-xxec e c y （0920）求微分方程y y x ''-=的通解．（1020）已知函数xy e =和2xy e-=是二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的两个解，试确定常数p 、q 的值，并求微分方程xy py qy e '''++=的通解．（1120）已知函数(1)xy x e =+⋅是一阶线性微分方程2()y y f x '+=的解，求二阶常系数线性微分方程)(23x f y y y =+'+''的通解．（1219）已知函数)(x f 的一个原函数为xxe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解．（1319）已知函数()y f x =是一阶微分方程d d yy x=满足初始条件(0)1y =的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x '''-+=的通解．时间排序与参考答案2004年高等数学真题参考答案1、A ．2、B ．3、C ．4、B ．5、A ．6、D ．7、1-e ． 8、32241-+==-z y x ． 9、!n ． 10、C x +4arcsin 41． 11、12201d (,)d d (,)d y y y f x y x y f x y x -+⎰⎰⎰⎰．12、()3,1-．13、解：间断点为πk x =（Z k ∈），当0=x 时，1sin lim)(lim 00==→→xxx f x x ，为可去间断点；当πk x =（0≠k ，Z k ∈）时，∞=→xxx sin lim0，为第二类间断点．14、解：原式04300(tan sin )d tan sin limlim312xx x t t tx xx x→→--==⎰ 233001tan (1cos )12lim lim 121224x x x x x x x x →→⋅-===． 15、解：0=x 代入原方程得1)0(=y ，对原方程求导得0''=--y xe e y yy，对上式求导并将0=x 、1=y 代入，解得：22''e y =．16、解：因为)(x f 的一个原函数为x e x，所以2')1()(x e x x e x f xx -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，原式11(2)d(2)d (2)22xf x x x f x '==⎰⎰11(2)(2)d 22x f x f x x =-⎰222211(21)1(2)(2)d(2)24884x x x x x e e x x f x f x x C e C x x x--=-=-+=+⎰． 17、解：原式2111122d d 22arctan (1)12t x t tt t t t t π+∞=∞-+∞+===++⎰⎰．18、解：12zf f y x∂''=+⋅∂； []21112221221112222(1)(1)()zf f x f y f f x f x y f xy f f x y∂''''''''''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅=-+-⋅+⋅+∂∂．19、解：原式21100sin sin d d d d (1)sin d y y Dyy x y y x y y y y y ===-⎰⎰⎰⎰⎰ 1100(1)cos cos d 1sin1y y y y =--=-⎰．20、解：01111(2)()(1)24244414n n nn x f x x x ∞=-==⋅=--+-+∑)62(<<-x ． 21、证：00(sin )d ()[sin ()]d ()(sin )d t xx f x xt f t t t f t I t πππππππ=-=---=-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d f x x x f x x f x x I πππππ=-=-⎰⎰⎰解得： 0(sin )d (sin )d 2f x x f x x I x πππ==⎰⎰，原命题证毕．222000sin sin d d arctan (cos )1cos 21cos 24x x x x x x x x ππππππ⋅==-=++⎰⎰． 22、解：等式两边求导得()2()x f x x f x '=+，即()()2f x x f x x '-=-，且(0)1f =-，x p -=，x q 2-=，而2()d 2x x xe e --⎰=，由公式求得通解：222222()2d 2x x x f x e xq x C C e -⎡⎤⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰，将初始条件(0)1f =-代入通解，解得：3-=C ，故22()23x f x e =-．23、解：设污水厂建在河岸离甲城x 公里处，则22()50070040(50)M x x x =++-（500≤≤x ），由2212(50)5007000240(50)x M x -'=+⨯⨯=+-解得：650050-=x （公里），唯一驻点，即为所求．2005年高等数学真题参考答案1、A ．2、C ．3、D ．4、A ．5、A ．6、C ．7、2． 8、1-e ． 9、2π． 10、5． 11、2111d (,)d y y y f x y x ---⎰⎰．12、(1,1)-．13、解：因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，'00()2sin ()(0)lim ()limlim 2(0)28x x x f x x f x f F x f x x→→→+-==+=+=，解得：a F =)0(，故8=a ．14、解：d d cos cos sin d d d sin d yy t t t t t t x x t t-+===--，22d ()csc d (cos )y t t x t '-=='．15、解：原式22tan tan sec d (sec1)d(sec )x x x xx x =⋅-⎰⎰积进去231sec d(sec )d(sec )sec sec 3x x x x x C =-=-+⎰⎰．16、解：原式211120002d 1d(1)arctan 1421x x x x x x x π+=--++⎰⎰积进去 ()12011ln 1ln 24242x ππ⎡⎤=-+=-⎣⎦．17、解：1cos zx f x∂'=⋅∂，()21212cos 22cos z x f y y x f x y ∂''''=⋅⋅=⋅∂∂． 18、解：直线L 的方向向量{}5,2,1=s ，过点()4,3,0B -，{}1,4,2AB =-；所求平面的法向量{}5218,9,22142AB =⨯==---ij kn s ，点法式为8(3)9(1)22(2)0x y z ----+=，即592298=--z y x ．19、解：2222101111(1)()13216313212n nn n x x x x f x x x x x x ∞+=⎡⎤-⎛⎫=+=⋅+⋅=+⋅ ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎣⎦+∑，收敛域为：11<<-x ．20、解：1x e y y x x '+⋅=，即1p x=，x e q x =，而1d 1x x e x -⎰=；故通解为1d xx e e C y x x C x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰．把初始条件1x y e ==解得：0=C ；故所求特解为：xe y x=．21、证：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1x ∈-，且(1)30f -=>，(1)10f =-<，(1)(1)0f f -⋅<；由连续函数零点定理知：)(x f 在(1,1)-内至少有一实根；对于()1,1x ∈-恒有()22()33310f x x x '=-=-<，即)(x f 在(1,1)-内单调递减，故方程0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根；原命题获证．22、解：设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，(2)3f '=-，(2)0f ''=；由()6f x x a ''=+和(2)0f ''=解得：12-=a ，即()612f x x ''=-，故21()312f x x x C '=-+，由(2)3f '=-解得：91=C ，故22396C x x x y ++-=，由(2)4f =解得：22=C ；所求函数为：29623++-=x x x y ．23、解：（1）112300111d 266S y y y ===⎰；（如图1所示）（2）()()112222012d 4x V x x x x πππ=-=-=⎰．24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤；（1）111()()d d ()d (1)()d u xuDF u f x x f x y x f x x σ===-⎰⎰⎰⎰⎰；（2）()(1)()F u u f u '=-，(2)(21)(2)(2)1F f f '=-==．2006年高等数学真题参考答案1、C ．2、B ．3、C ．4、C ．5、C ．6、A ．7、2． 8、)(0x f ． 9、1-． 10、1． 11、(sin cos )xye y x x +． 12、1．13、解：原式322131lim 21341==--→x xx ． yOS1x12y x=图114、解：2211d 12d 21t t y y t t t x x t-'+==='+，2222d 1d d 122d 41ty x y t t x x t t '⎛⎫ ⎪+⎝⎭==='+． 15、解：原式3221ln d(1ln )(1ln )3x x x C =++=++⎰．16、解：原式()2222220d(sin )sin 2sin d x x x xx x πππ=-⎰⎰积进去222220sin 2sin d 2d(cos )4x xx x xx x ππππ-+⎰⎰积进去导出来2222002cos 2cos d 244x x x x ππππ=+-=-⎰．17、解：方程变形为2y y y x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，即得到了形如d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭齐次方程；令yu x=，则d d d d y u u x x x =+，代入得：2d d u x u x =-，分离变量得：211d d u x u x -=；两边积分，得：211d d u x u x -=⎰⎰，1ln x C u=+，故ln x y x C =+． 18、解：令()ln (1)g x x =+，则(0)0g =；由于01()(1)1n n n g x x x ∞='==-+∑（(]1,1x ∈-），所以01(1)((1))d x n n n g x n x g t t ∞+='=+=-∑⎰（(]1,1x ∈-），故20(1)()1n n n f x x n ∞+=-=+∑，收敛域为：11x -<≤．19、解：由题意知：{}11,1,1=-n ，{}24,3,1=-n ；{}12311232,3,1431=⨯=-=++=-i j ks n n i j k ，故所求直线方程的对称式方程为：123123+=-=-z y x ． 20、解：22z x f x∂'=∂，2'2'''''3''2''22122221222(2)22z x f x f x f y x f x f x y f y x ∂=+⋅+⋅=++∂∂．21、证：令33)(x x x f -=，[]2,2x ∈-，由2()330f x x '=-=解得驻点：1±=x ，比较以下函数值的大小：(1)2f -=-，(1)2f =，(2)2f =-，(2)2f -=；所以2min -=f ，2m ax =f ，故2)(2≤≤-x f ，即332x x -≤，原命题获证．22、解：0)0(=y ，2y x y '=+，通解为：xCe x y +--=)22(；将0)0(=y 代入通解解得：2=C ，故所求特解为：xe x y 222+--=．23、解：（1）()2222648d 3S xx x -=--=⎰；（2）()()224804d 8d 16y V y y yy πππ=+-=⎰⎰．24、解：()d d d ()d ()d tt t tD f x x y x f x y t f x x ==⎰⎰⎰⎰⎰，0()d 0()0t f x x t g t a t ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰；（1）00lim ()lim()d 0t t t g t f x x →→==⎰，由)(t g 的连续性可知：0)(lim )0(0===→t g g a t ；（2）当0≠t 时，()()g t f t '=，当0=t 时，0000()d ()(0)(0)limlim lim ()(0)hh h h f x x g h g g f h f h h→→→-'====⎰；综上，()()g t f t '=．2007年高等数学真题参考答案1、B ．2、C ．3、C ．4、A ．5、D ．6、D ．7、2ln ． 8、1． 9、π2． 10、23． 11、21d d xx y y y-． 12、06'5''=+-y y y ． 13、解：212lim 21lim 1lim tan 1lim00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e ． 14、解：当0=x 时，0=y ；在方程xy e e yx=-两边对x 求导得：''xye e y y x y -⋅=+⋅，故d 'd x yy e y y x e x-==+；。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学真题(大纲全国卷)试题及点评

【解读报告作者】姓名：覃志根工作单位：广西省河池市大化县高级中学2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目．2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题（1）复数131ii-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i -（2）已知集合{A =，{1,}B m =，AB A =，则m =（A ）0 （B ）0或3 （C ）1 （D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y +=（4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为（A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100 （6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，||1a =，||2b =，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b - （7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α= （A）3-（B）9- （C）9 （D）3（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1 （11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==．动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目．2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（13）若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为__________．（14）当函数sin (02)y x x x π=≤<取得最大值时，x =___________．（15）若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为_________．（16）三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为____________．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．） ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C ．（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD，AC =2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；（Ⅱ）设二面角A PB C --为90，求PD 与平面PBC 所成角的大小．（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数()cos f x ax x =+，[0,]x π∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()1sin f x x ≤+，求a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）已知抛物线2:(1)C y x =+与圆2221:(1)()(0)2M x y r r -+-=>有一个公共点A ，且在点A 处两曲线的切线为同一直线l .D（Ⅰ）求r ；（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离．（22）（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）函数2()23f x x x =--，定义数列{}n x 如下：12x =，1n x +是过两点(4,5)P 、(,())n n n Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：123n n x x +≤<<；（Ⅱ）求数列{}n x 的通项公式．2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国I) 理科数学（必修+选修Ⅱ）试题答案与解读一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）一选择题1、复数131i i-++= A 2+i B 2-i C 1+2i D 1- 2i【命题意图】本试题主要考查了复数四则运算法则，通过利用除法运算来求解【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 【答案】C2、已知集合A ＝{1.3.m ，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 03B 0或3C 13D 1或3【命题意图】本试题主要考查了集合的概念和集合的并集运算，集合的关系的运算，元素与集合的关系的综合运用，同时考查分类讨论思想．【解析】因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ，选B. 【答案】B3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C D A D A C D AABA 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用．通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数 a,b,c ，从而得到椭圆的方程．【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-ca ，所以842==c a ，448222=-=-=c ab ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C. 【答案】C4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2 BC D 1【命题意图】本试题主要考查了正四棱锥的性质的应用，以及点到面距离的求解，体现了转化和化归的思想的运用，以及线面平行的距离，转化为点到面的距离．【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选 D.【答案】D（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 【命题意图】本试题主要考查了等差数列的通项公式和前n 和的公式的应用，以及裂项求和的综合应用，通过已知中两项，得到公差，和解析式，并进一步裂项求和【解析】由15,555==S a ,得1,11==d a ，所以n n a n =-+=)1(1，所以111)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，又1011001011110111001312121111110110021=-=-++-+-=+ a a a a ，选A. 【答案】A（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用，结合运用特殊直角三角形求解点 D 的位置的运用．【解析】在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即5454)(5454-=-==，选D. 【答案】D（7）已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α=(A) （B ） (C) 【命题意图】本试题主要考查了三角函数两角和与差的公式以及二陪角公式的运用．首先利用平方法求得二陪角的正弦值，然后利用二陪角余弦公式，将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题【解析】因为33cos sin =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以032cos sin 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+=-=-αααα，所以)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+-=-==3533315-=⨯-，选A. 【答案】A（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余项定理的应用．首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 【答案】C（9）已知x=ln π，y=log 52，21-=ez ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，e e z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.【答案】D(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1【命题意图】本试题主要考查了导数在函数中的极值的运用．要是函数图象与x 轴有两个不同的交点，则需要满足极值一个为0就可以了．【解析】若函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为c f +=-2)1(，极小值为2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A.【答案】A（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种【命题意图】本试题主要考查了排列组合的应用．利用分步计数原理，先填写最左上角的数【解析】第一步先排第一列有633=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有1226=⨯种，选A.【答案】A （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A ）16（B ）14（C ）12(D)10【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图像分析反射的次数即可．【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可.【答案】B2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．. 3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（13）若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________.【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用．常规题型，只要正确作图，表示出区域，然后借助于直线平移法得到最值．【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)1,0(C 时，直线z x y -=3的截距最大，此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z .【答案】1-（14）当函数取得最大值时，x=___________.【命题意图】本试题考查了三角函数性质的运用，求解值域问题，首先化为单一三角函数，再利用函数定义域求解角的范围，结合三角函数图象得到最值点．【解析】函数为)3sin(2cos 3sin π-=-=x x x y ，当π20<≤x 时，3533πππ<-≤-x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以65π=x .【答案】65π=x （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中项公式的运用．利用二项式系数相等，确定了n 的值，然后再次利用通项公式，分析项的系数．【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即62n n C C =，所以8=n ，所以展开式的通项为k k k k k k x C xx C T 288881)1(--+==，令228-=-k ，解得5=k ，所以2586)1(x C T =，所以21x的系数为5658=C . 【答案】56（16）三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解．首先利用线面角线线角的关系，得到棱柱的高，为建立直角坐标系做好的铺垫，然后求解点的坐标，得到异面直线的向量坐标即可．结合向量的夹角公式得到．【解析】如图设,,,1AA ===设棱长为1，则,1AB +=BC -1+=+=，因为底面边长和侧棱长都相等，且01160=∠=∠CAA BAA 所以21=•=•=•c b c a b a，所以3==，2== ，2)-()(11=+•+=•b c a b a BC AB ，设异面直线的夹角为θ，所以36322cos =⨯==θ. 【答案】36 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求c.【命题意图】本试题只要考查了解三角形的运用，给出两个公式，一个是边的关系，一个是角的关系，而求解的为角，因此要找到角的关系．（17）、解：由B=π－(A+C)，得cosB=－cos(A+C)于是 cos(A －C)+cosB=cos(A －C)－cos(A+C)=2sinAsinC ，由已知得sinAsinC=12. ① 由a=2c 及正弦定得得sinA=2sinC . ②由①、②得 sin 2C=14，于是 sinC=12(舍去)，或sinC=12. 又a=2c ，所以 C=6π. 【点评】这道试题从整体上看保持了往年的解题形式，依然是通过边角的转换，结合三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理和余弦定理来求解三角形中的角的问题，通过三角函数关系的化简得到角A、C的三角函数关系，然后结合a=2c得到两个角三角函数二元一次方程组，这样就很容易的把角C的三角函数值求出来．（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E 是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用．从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解．18、解法一：(Ⅰ)因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.设AC∩BD=F，连结EF，因为2，PA=2，PE=2EC，故3，23，2，从而PCFC6，ACEC6.GBEDFAP因为PCFC=ACEC，∠FCE=∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC=∠PAC=90°，由此知PC⊥EF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED. ……6分(Ⅱ)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足.因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC=PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD=2.设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BD，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相符，即.设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα=dPD=12.所以PD与平面PBC所成的角为30°.解法二：(Ⅰ)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz .设0，0)，D(，b，0)，其中b＞0，P(0，0，2)，E(3，0，13，－b，0).于是PC，0，－2)，BE，b，13)，DE从而PC·BE=0，PC·DE=0，故PC⊥BE，PC⊥DE.又BE ∩DE=E ，所以PC ⊥平面BDE.(Ⅱ) AP =(0，0，2)，AB ，－b ，0)设m=(x ，y ，z)为平面PAB 的法向量，则m·AP =0，m·AB =0,即2z=0x －by=0，令x=b ，则m=(b ，0).设n=(p 、q 、r)为平面PBC 的法向量，则n ·PC =0，n ·BE =0，即－2r=0，且3+bq+23r=0，令p=1，则，q=－b ，n=(1，－b ).因为面PAB ⊥面PBC ，故m ·n=0，即b =0，故，于是n=(1，－1)，DP =(，2).cos(n ·DP )=||||n DP n DP =12. 因为PD 与平面PBC 所成角和(n 、DP)互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点 E 的位置的选择是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好．19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.【命题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值的求解问题．（19）解：记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2.(Ⅰ)B=A0·A+A1·A，P(A)=0.4，P(A0) =0.42=0.16，P(A1)=2×0.6×0.4=0.48,P(B)= P(A0·A+A1·A)= P (A0·A)+ P (A1·A)=P (A0) P(A)+ P (A1) P (A)=0.16×0.4+0.48×(1－0.4)=0.352 .(Ⅱ)P(A1)= 0.62=0.36P(ξ=0)=P(A1·A)= P(A0) P(A)= 0.36××0.4=0.144，P(ξ=2)=P(B)= 0.352，P(ξ=3)= P(A0·A)= P(A0) P(A)=0.16×0.6=0.096，P(ξ=1)=P(ξ=0)－P(ξ=2)－P(ξ=3)=1－0.144―0.352―0.096=0.408.Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2 P(ξ=2)+3 P(ξ=3)=0.408+2×0.352+3×0.096= 1. 400 .【点评】试题从命题的角度来看，试题选材料来源于平时生活，这个背景我们同学都很熟悉，在解题过程首先要理解发球的基本情况，然后对事情进行分析，讨论，并结合独立事件的概率求解．但是在讨论的时候很容易丢分．（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数f （x ）=ax+cosx ，x ∈[0，π].（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）设f （x ）≤1+sinx ，求a 的取值范围.【命题意图】本试题主要是考查了导数在解决函数问题上的运用．首先是函数中有三角函数，这个时候特别要注意三角函数的有界性，来求解单调区间；其次是运用导数证明不等式问题要着重构造函数的思想．（20）解：(Ⅰ)f ' (x)=a －sinx .(i)当a ≥1时，f ' (x)≥0，当且仅当a=1，x=2π时，f ' (x) =0，所以f (x)在[0，π]是增函数；(ii)当a ≤0时，f ' (x) ≤0，当且仅当a=0，x=0或x=π时，f ' (x) =0，所以f (x)在[0，π]是减函数；(iii)当0＜a ＜1时，由f ' (x) =0解得x 1=arosina ，x 2=π－arosina ，当x ∈[0，x 1]时，sinx ＜a ，f ' (x)＞0，f (x)是增函数；当x ∈[x 1，x 2]时，sinx ＞a ，f ' (x) ＜0，f (x)是减函数；当x ∈[x 2，π]时，sinx ＜a ，f ' (x)＞0，f (x)是增函数；(Ⅱ) 由f ' (x) ≤1+ sinx 得f (π) ≤1，a π－1≤1，所以a ≤2π. 令g(x)= sinx －2πx(0≤x ≤2π)，则g'(x)=cosx －2π.当x ∈(0，arccos2π)时，g'(x)＞0，当x ∈(arccos 2π，2π)时，g'(x)＜0. 又g(0)=g(2π)=0，所以g(x)≥0，即2πx ≤sinx(0≤x ≤2π). 当a ≤2π时，在f(x)≤2πx+cosx . (i)当0≤x ≤2π时，2πx ≤sinx ，cosx ≤1，所以f(x)≤1+ sinx ； (ii)当2π≤x ≤π时，f(x)≤2πx+cosx=1+2π( x －2π)－sin( x －2π)≤1+ sinx . 综上，a 的取值范围是(－∞，－2π] . 【点评】试题从命题的角度来看题目比较简单，给出的函数很新颖，题目里面有三角函数给解题加强了解题难度，在平时训练中碰到类似的题目比较少．但是解题思想没有变都是看导数的符号，来求解单调区间．第二问难度很大，运用构造函数的思想来证明不等式一直以来都是难度、重点．这类问题的证明必须找到合适的函数，运用利用导数证明最大值大于0或最小值小于0就得到解决．21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）已知抛物线C ：y=(x+1)2与圆M ：（x-1）2+(12y -)2=r2(r ＞0)有一个公共点，且在A 处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r ；（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离. 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离．（21）、解：(Ⅰ)设A(x 0，(x 0+1)2)，对y=( x+1) 2求导得y=2( x+1)．故l 的斜率k=2(x 0+1).当x 0=0时，不合题意，所以x 0≠1.圆心为M(1，12)，MA 的斜率k'=2001(1)21x x +--．由 l ⊥MA 知k ·k=－1，即 2(x 0+1)·2001(1)21x x +--=－1；解 x 0=0，故A(0，1)即(Ⅱ)设(t ，(t +1) 2)为C 上一点，则在该点处的切线方程为 y －(t +1) 2 =2(t +1) (t －1)，即 y=2(t +1)x －t 2+1.若该直线与圆M 相切，则圆心M到该切线的距离为2，即21|2(1)11|t t +⨯--+化简得 t 2 (t 2－4t －6)=0,解得 t 0=0，t 1t 2=2.抛物线C 在点(ti ，(ti +1) 2)( i =0，1，2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y=2x+1， ① y=2(t 1+1)x －t 21+1， ② y=2(t 2+1)x －t 22+1， ③ ②－③得x=122t t +=2.将x=2代入②得y=－1，故D(2－1) . 所以D到l的距离=5【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处．另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向．22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式.【命题意图】本试题考查了数列的通项公式以及函数和数列相结合的综合运用．首先从函数入手，根据函数表示直线方程，从而得到交点坐标，再结合数列的知识解决题目中的难题．(22)、解：(Ⅰ)用数学归纳法证明：2≤x n＜x n+1＜3.(i)当n=1，x1=2，直线PQ1的方程为y－5=(2)524f--(x－4)，令y=0，解得x2=114，所以2＜x1＜x2＜3.(ii)假设当n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3 .直线PQ k+1的方程为y－5=11()54kkf xx++--(x－4)，令y=0，解得x K+2= . 11344k k x x +++-由归纳假设知 X K+2=11342k k x x ++++=4－152k x ++＜4－523+=3；X K+2－x K+1=111(3)()2k k k x x x +++-++＞0即 X K+1＜. X K+2所以2≤X K+1＜X K+2＜3，即当n=k+1时，结论成立 .由(i)(ii)知对任意的正整数n ，2≤x n ＜x n+1＜3 . (Ⅱ)由(Ⅰ)及题意得x n+1=342nnx x ++ . 设b n =x n －3，则11n b +=5nb +1，11n b ++14=5(1n b +14)，数列114n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为－34，公比为5的等比数列 .因此1n b +14=－34·5n ＋1 即b n = －14351n +⋅+ .所以数列{x}的通项公式为x n = 3－14351n +⋅+ . ……12分【点评】该题目以函数为背景，引出点的坐标，通过直线和坐标轴的交点得到数列的通项公式．这样就可以考查了直线方程、函数解析式、不等式证明，题目综合性很大，难度就很大了．做这类试题一定要要根据已知条件一步一步转换为代数式，化简到要我们要找的关系式就解决了．2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目．2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题（1）已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则（A ）A B ⊆ （B ）C B ⊆ （C ）D C ⊆ （D ）A D ⊆（2）函数1)y x =≥-的反函数为（A ）)0(12≥-=x x y （B ）)1(12≥-=x x y（C ）)0(12≥+=x x y （D ）)1(12≥+=x x y（3）若函数()sin([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ （A ）2π（B ）32π （C ）23π （D ）35π（4）已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= （A ）2524-（B ）2512- （C ）2512 （D ）2524 （5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （6）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S = （A ）12-n （B ）1)23(-n （C ）1)32(-n （D ）121-n（7）6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（A ）240种（B ）360种（C ）480种（D ）720种（8）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B （C （D ）1（9）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，||1a =，||2b =，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（10）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（11）已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，13AE BF ==．动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）32012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1、答题前，考试在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅰ卷共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上（13）8)21(xx +的展开式中2x 的系数为____________. （14）若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为____________.（15）当函数sin (02)y x x x π=≤<取得最大值时，x =___________.（16）已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11BB CC 、的中点，那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____________.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）(本小题满分10分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）ABC ∆中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a 、b 、c 满足223b ac =，求A ．（18）(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知数列{}n a 中， 11a =，前n 项和23n n n S a +=．（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD，AC =2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；（Ⅱ）设二面角A PB C --为90，求PD 与平面PBC 所成角的大小．（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知函数ax x x x f ++=2331)( （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()f x 有两个极值点21,x x ，若过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上，求a 的值．D（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线2:(1)C y x =+与圆2221:(1)()(0)2M x y r r -+-=>有一个公共点A ，且在点A 处两曲线的切线为同一直线l . （Ⅰ）求r ；（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离．2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国I) 文科数学（必修+选修Ⅱ）试题答案与解读一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）（1）已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C B C B C D D CDB{|D x x =是菱形}，则（A ）A B ⊆ （B ）C B ⊆ （C ）D C ⊆ （D ）A D ⊆【命题意图】本试题主要考查了集合的概念，集合包含关的运用．【解析】由正方形特殊的菱形，矩形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的矩形，可知D 是最小的集合，A 是最大的集合，，依次是B 、C 集合，因此选B.（2）函数1)y x =≥-的反函数为（A ）)0(12≥-=x x y （B ）)1(12≥-=x x y （C ）)0(12≥+=x x y （D ）)1(12≥+=x x y【命题意图】本试题主要考查了反函数的求解，利用原函数反解x 再互换x 、y 得到结论．【解析】因为1-≥x 所以01≥+=x y .由1+=x y 得，21y x =+，所以12-=y x ，所以反函数为)0(12≥-=x x y ，选A.（3）若函数()sin([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ （A ）2π（B ）32π （C ）23π （D ）35π【命题意图】本试题主要考查了三角函数奇偶性的判定，以及角的运算．【解析】函数)33sin(3sin )(ϕϕ+=+=x x x f ，因为函数)33sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，所以ππϕk +=23，所以Z k k ∈+=,323ππϕ,又]2,0[πϕ∈，所以当0=k 时，23πϕ=，选C.（4）已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= （A ）2524-（B ）2512- （C ）2512 （D ）2524 【命题意图】本试题主要考查了同角三角关系式的运用，以及二倍角公式的运用．。

2012年高数专升本真题及其参考答案

2012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效. 一、选择题（每小题2 分，共60 分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1．函数 xx y 1arctan 4++=的定义域是（）A ．[4-,+∞）B ．(4-,+∞)C ．[4-, 0）⋃(0,+∞)D ．（4-, 0）⋃(0,+∞) 【答案】C.【解析】 x +4要求04≥+x ，即4-≥x ；x1arctan 要求0≠x .取二者之交集，得∈x [4-, 0）⋃(0,+∞) 应选C.2．下列函数为偶函数的是（）A ．()x x y -+=1log 32B ．x x y sin =C ． ()x x ++1ln D. x e y =【答案】B.【解析】显然A ，D 中的函数都是非奇非偶，应被排除；至于C ，记 ()()x x x f ++=1ln 2 则 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-x x x f 1ln 2()x x-+=1ln2=++=xx 11ln2()().1ln 2x f x x -=++-所以()x f 为奇函数，C 也被排除.应选B.3．当0→x 时，下列无穷小量中与)21ln(x +等价的是（）A ． xB ．x 21C ．2xD ．x 2 【答案】D.【解析】因为12)21ln(lim0=+→xx x ，所以应选D.4．设函数()xx f 1sin 2=，则0=x 是()x f 的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点【答案】D ．【解析】因为()x f 在0=x 处无定义，且无左、右极限，故0=x 是()x f 的第二类间断点.选D ． 5．函数3x y =在0=x 处A ．极限不存在B ．间断C ．连续但不可导D ．连续且可导【答案】C.【解析】因为3x y =是初等函数，且在0=x 处有定义，故()x f 在0=x 处连续；又321.31x y ='，故()x f 在0=x 处不可导.综上，应选 C.6．设函数()()x x x f ϕ= ，其中()x ϕ在0=x 处连续且的()00≠ϕ，则()0f '（）A ．不存在B ．等于()0ϕ'C ．存在且等于0D ．存在且等于()0ϕ 【答案】A. 【解析】()()()00lim 00--='-→-x f x f f x ()xx x x 0lim0--=-→ϕ()()0lim 0ϕϕ-=-=-→x x ； ()()()00lim 00--='+→+x f x f f x ()x x x x 0lim 0-=+→ϕ()()0lim 0ϕϕ==+→x x ；因为()≠'-0f ()0+'f ，所以()0f '不存在，选A. 7．若函数()u f y =可导，x e u =，则=dy （）A ．()dx e f x 'B ．()()x x e d e f 'C ．()dx e x f x .'D ．()[]()x x e d e f '【答案】D B.【解析】根据一阶微分形式的不变性知 ()()()x x e d e f du u f dy '='=，故选B. 8．过曲线()x f y 1=有水平渐进线的充分条件是（） A ．()0lim =∞→x f x B ．()∞=∞→x f x limC ．()0lim 0=→x f x D ．()∞=→x f x 0lim【答案】B.【解析】根据水平渐进线的定义：如果()C x f x =∞→lim 存在，则称C y =为曲线()x f y =的一条水平渐进线，易判断出应选B.9．设函数x x y sin 21-=，则=dydx（） A ． y cos 211- B ．x cos 211-C ．ycos 22- D ．x cos 22-【答案】D .【解析】因为x x x dx dy cos 211sin 21-='⎪⎭⎫⎝⎛-=，所以，=-==x dx dy dy dx cos 21111xc o s 22-，选D . 10．曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()1,0处的切线斜率是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B.【解析】因为()()()00lim00--='-→-x f x f f x ()x x x 1sin 1lim 0-+=-→1sin lim 0==-→xx x ； ()()()00lim00--='+→+x f x f f x ()111l i m 0=-+=+→xx x ，故()10='f 存在. 所以，曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()1,0处的切线斜率是()10='f ，选B.11．方程033=++c x x （其中c 为任意实数）在区间()1,0内实根最多有（） A ．4个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个【答案】D ．【解析】令c x x y ++=33.则0332>+='x y ，因此曲线c x x y ++=33在()1,0内是上升的，它至多与x 轴有一个交点，即方程033=++c x x 在区间()1,0内至多有一个实根.选D ．12．若()x f '连续，则下列等式正确的是（）A ．()[]()x f dx x f ='⎰ B ．()()x f dx x f ='⎰ C ．()()x f x df =⎰ D ．()[]()x f dx x f d =⎰【答案】A ．13．如果()x f 的一个原函数为x x arcsin -，则()=⎰dx x f 在（） A ．C x +++2111 B ．C x+--2111 C ．C x x +-arcsin D ．C x+-+2111【答案】C.【解析】根据原函数及不定积分的定义，立知()=⎰dx x f C x x +-arcsin ，选C. 14．设()1='x f ，且()10=f ，则()=⎰dx x f （）A ．C x +B ．C x x ++221C ．C x x ++2D ．C x +221【答案】B.【解析】因为()1='x f ，故 ()C x dx x f +==⎰1 .又()10=f ，故.1=C 即 ()1+=x x f .所以，()=⎰dx x f ().2112C x x dx x ++=+⎰选B. 15． =-⎰dt t dx d x2012sin 2)cos (（） A ．2cos x - B ．()x x cos .sin cos 2C ． 2c o s x xD ． ()2i n c o s x【答案】B. 【解析】 =-⎰dt t dx d x 2012sin 2)cos (()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--x x sin .sin cos 2()x x cos .sin cos 2=，选B. 16．=-⎰dx e x x 2132（）A ．1B ．0C ．121--eD ．11--e 【答案】C. 【解析】=-⎰dx e x x 2132)(212x e d x -⎰-（分部）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--21010222|x d e e x x x 11121|2----=--=e ee x .选 C.17．下列广义积分收敛的是（）A ． ⎰10ln 1xdx x B.⎰10031dx xxC ．⎰+∞1ln 1xdx xD ．dx e x ⎰+∞--35 【答案】D. 【解析】因为 ⎰+→+100ln 1lim εεxdx x ()⎰+→=10ln ln lim εεx xd∞==+→|120ln 21lim εεx ，所以，⎰10031dx xx 发散；因为 ⎰+→+10031lim εεdx xx ⎰-→+=1034lim εεdx x ∞=-=+→|1031lim 3εεx ，所以，⎰10ln 1xdx x发散；因为⎰+∞1ln 1xdx x ()⎰+∞=1ln ln x xd ∞==+∞|12ln 21x ，所以，⎰+∞1ln 1xdx x发散；dx e x⎰+∞--35()()151535355105151551|e e e x d e x x =--=-=--=+∞--+∞--⎰收敛。