将军饮马问题的11个模型及例题

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将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题的11个模型及例题将军饮马问题是一个经典的逻辑问题,涉及到将军如何用有限数量的马和酒到达目的地。

本文将介绍将军饮马问题的11个模型及相应的例题。

1. 直线模型将军与目的地之间没有障碍物,可以直线前进。

此时,将军只需将马拉到目的地即可。

例题1:将军与目的地之间距离为10公里,马的速度为每小时5公里,将军能否在2小时内到达目的地?2. 单个障碍物模型在将军与目的地之间存在一个障碍物,将军可以绕过该障碍物。

例题2:将军与目的地之间距离为15公里,马的速度为每小时4公里,障碍物位于距离将军起点5公里处,将军能否在3小时内到达目的地?3. 多个障碍物模型在将军与目的地之间存在多个障碍物,将军需要逐一绕过这些障碍物。

例题3:将军与目的地之间距离为20公里,马的速度为每小时6公里,障碍物位于距离将军起点分别为5公里、10公里和15公里的位置,将军能否在4小时内到达目的地?4. 跳跃模型将军可以让马跳过障碍物,从而直接到达目的地。

例题4:将军与目的地之间距离为12公里,马的速度为每小时8公里,将军在距离起点6公里处设置一个障碍物,将军能否在2小时内到达目的地?5. 限时模型将军需要在规定的时间内到达目的地。

例题5:将军与目的地之间距离为30公里,马的速度为每小时10公里,将军需要在3小时内到达目的地,是否可能?6. 守备模型目标地点有守备军,将军需要巧妙规避守备军。

例题6:将军与目的地之间距离为25公里,马的速度为每小时7公里,目的地有一支守备军位于距离目标地点10公里处,将军能否在4小时内到达目的地?7. 短平快模型将军不借助马匹,直接徒步走到目的地。

例题7:将军与目的地之间距离为8公里,将军的步行速度为每小时2公里,将军能否在4小时内到达目的地?8. 时间窗模型将军只能在规定时间范围内到达目的地。

例题8:将军与目的地之间距离为18公里,马的速度为每小时6公里,将军需要在3小时到4小时之间到达目的地,是否可能?9. 兵变模型将军需要利用敌军马匹达到目的地。

最值模型之将军饮马11个常考模型(模型精讲)

最值模型之将军饮马11个常考模型(模型精讲)

最值模型之将军饮马(11个常考模型)模型背景【模型来历】早在古罗马时代,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的军营B开会,应该怎样走才能使路程最短?这个问题的答案并不难,据说海伦略加思索就解决了它.从此以后,这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今.【考点】两点之间线段最短,垂线段最短;三角形两边三边关系;轴对称;平行四边形--平移;【解题思路】学会化归,移花接木,化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。

模型精讲一.两动一定型(2种模型):两定点到直线上一动点的距离和最小。

1如图1-1在定直线l上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之和最小,即PA+PB最小.【证明】图1-2。

PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由:在l上任取异于点P的一点P´,连接AP´、BP´,在△ABP'中,AP´+BP´>AB,即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时,PA+PB最小.反思:解决本题很简单,但却点明了将军饮马的解题思路。

1.1如图1-3,如图,定点A和定点B在定直线l的同侧要求:在直线l上找一点P,使得PA+PB值最小 。

作法:图1-41.作A关于直线CD对称点A'。

2.连A'B。

3.交点P就是要求点。

连线长A'B就是PA+PB最小值。

【证明】:图1-5在l上任取异于点P的一点P´,连接AP´、BP´,在△ABP'中,AP´+BP´>AB,即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时,PA+PB最小.二.造桥选址,移花接木。

1已知:如图2-1,直线a∥b,A、B分别为a上方和b下方的定点,(直线AB不与a垂直)要求:在a、b之间求作垂线段PQ,使得AP+PQ+BQ最小。

将军饮马问题例题

将军饮马问题例题

将军饮马问题例题
例题:一个将军饮马,有三个酒坛,其中一个酒坛里装着毒酒,另外两个酒坛里装着普通的酒。

这三个酒坛外观相同,将军无法通过外观来判断哪个酒坛是有毒的。

在喝下一杯毒酒后,将军将会立即死亡。

现在将军有一匹马,这匹马可以闻出毒酒,如果马喝下一杯毒酒,它将会在30分钟后死亡。

将军只有30
分钟的时间来确定哪个酒坛里装着毒酒,并且不允许酒坛之间进行任何类型的测量。

解法:将军可以按照以下步骤确定毒酒所在的酒坛:
1. 为了节省时间,将将军的马分成三组,每组10匹马。

标记
这三组马为A、B、C。

2. 让A组的马尝试第一个酒坛,让B组尝试第二个酒坛,C
组尝试第三个酒坛。

3. 让所有的马者都喝下一杯酒。

4. 等待15分钟。

5. 如果A组的马中有马死亡,那么第一个酒坛是有毒的;如
果B组的马中有马死亡,那么第二个酒坛是有毒的;如果C
组的马中有马死亡,那么第三个酒坛是有毒的。

6. 如果在15分钟内没有任何马死亡,那么第一个酒坛是安全的,因此第二个酒坛是有毒的;如果A和B组的马都没有死
亡,那么第三个酒坛是有毒的。

这样,将军可以在30分钟内确定哪个酒坛里装着毒酒。

(完整版)将军饮马问题的11个模型及例题

(完整版)将军饮马问题的11个模型及例题
理由:AP+PQ≧AQ,当且仅当A、P、Q三点共线时,
AP+PQ取得最小值AQ,根据垂线段最短,当
AQ⊥ON时,AQ最小.
2. 已知:如图,A为锐角∠MON内一定点;
要求:在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使
AP+PQ的值最小.
解:作点A关于OM的对称点A′,过点A′作AQ⊥ON
于点Q,A′Q交OM于点P,此时AP+PQ最小;
点到l的距离不相等)
要求:在直线l上找一点P,使︱PA-PB︱的值最大
解:作点B关于直Байду номын сангаасl的对称点B´,连接B´A并延长交
于点P,点P即为所求;
理由:根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线,由中垂
线的性质得:PB=PB´,要使︱PA-PB︱最大,则需
︱PA-PB´︱值最大 ,从而转化为模型3.
典型例题1-1
∴PM=OE= ,∵OE=OE′,∴PM=OE′,PM∥OE′,
(a为定值)的线段PQ在l上移动(P在Q左边)
要求:确定PQ的位置,使得AP+PQ+QB最小
分析:PQ为定值,只需AP+QB的值最小,可通过平移,
使P、Q“接头”,转化为基本模型
解:将点A沿着平行于l的方向,向右移至A´,使
AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q,在l上截取
PQ=a(P在Q左边),则线段PQ即为所求,此时
AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ,即A´B+a
理由:易知四边形APQA´为平行四边形,则PA=QA´,
当A´、Q、B三点共线时,QA´+QB最小,即PA+QB
最小,又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.

(完整word版)将军饮马问题的11个模型及例题

(完整word版)将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间,线段最短;2.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等;4.垂线段最短.基本模型1.已知:如图,定点A、B分布在定直线l两侧;要求:在直线l上找一点P,使PA+PB的值最小解:连接AB交直线l于点P,点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由:在l上任取异于点P的一点P´,连接AP´、BP´,在△ABP’中,AP´+BP´>AB,即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时,PA+PB最小.2.已知:如图,定点A和定点B在定直线l的同侧要求:在直线l上找一点P,使得PA+PB值最小(或△ABP的周长最小)解:作点A关于直线l的对称点A´,连接A´B交l于P,点P即为所求;理由:根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线,由中垂线的性质得:PA=PA´,要使PA+PB最小,则需PA´+PB值最小,从而转化为模型1.3.已知:如图,定点A、B分布在定直线l的同侧(A、B两点到l的距离不相等)要求:在直线l上找一点P,使︱PA-PB︱的值最大解:连接BA并延长,交直线l于点P,点P即为所求;理由:此时︱PA-PB︱=AB,在l上任取异于点P的一点P´,连接AP´、BP´,由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱<AB,即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱4. 已知:如图,定点A、B分布在定直线l的两侧(A、B两点到l的距离不相等)要求:在直线l上找一点P,使︱PA-PB︱的值最大解:作点B关于直线l的对称点B´,连接B´A并延长交于点P,点P即为所求;理由:根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线,由中垂线的性质得:PB=PB´,要使︱PA-PB︱最大,则需︱PA-PB´︱值最大,从而转化为模型3.典型例题1-1如图,直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分3别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,当PC+PD最小时,点P的坐标为_________,此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型2的特征,作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小,由条件知CD为△BAO的中位线,OP为△CDD'的中位线,易求OP长,从而求出P点坐标;PC+PD的最小值即CD'长,可用勾股定理(或两点之间的距离公式,实质相同)计算.【解答】连接CD,作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P ,此时PC+PD 值最小.令y=23x+4中x=0,则y=4, ∴点B 坐标(0,4);令y=23x+4中y=0,则23x+4=0,解得:x=﹣6,∴点A 的坐标为(﹣6,0).∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点,∴CD 为△BAO 的中位线, ∴CD ∥x 轴,且CD=21AO=3,∵点D ′和点D 关于x 轴对称,∴O 为DD ′的中点,D ′(0,-1),∴OP 为△CDD ′的中位线,∴OP=21CD=23,∴点P 的坐标为(﹣32,0).在Rt △CDD ′中,CD ′=22D D CD '+=2243+=5,即PC+PD 的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标;若题型变化,C 、D 不是AB 和OB 中点时,则先求直线CD ′的解析式,再求其与x 轴的交点P 的坐标.典型例题1-2如图,在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标为(0,1),点B的坐标为(32,﹣2),点P 在直线y=﹣x 上运动,当|PA ﹣PB|最 大时点P 的坐标为_________,|PA ﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型4的特征,作A 关于直线y=﹣x 对称点C ,连接BC ,可得直线BC 的方程;求得BC 与直线y=﹣x 的交点P 的坐标;此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值,再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ,易得C 的坐标为(﹣1,0);连接BC ,可得直线BC的方程为y=﹣54x ﹣54,与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为(4,﹣4);此时|PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值,最大值BC=2223)2()1(-++=241;【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4,需作一次对称点,连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A (5,0),OB=4√5,点P 是对角线OB 上的一个动点,D (0,1),当CP+DP 最短时,点P 的坐标为( )A .(0,0)B .(1,12)C .(65,35)D .(107,57)变式训练1-2如图,菱形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O ,AC=2,BD=2√3,E 为AB 的中点,P 为对角线AC 上一动点,则PE+PB 的最小值为__________.变式训练1-3如图,已知直线y=12x+1与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线y=12x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为(1,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上找一点M ,使|AM ﹣MC|的值最大,求出点M 的坐标.拓展模型1. 已知:如图,A 为锐角∠MON 外一定点;要求:在射线OM 上找一点P ,在射线ON 上找一点Q ,使AP+PQ 的值最小.解:过点A 作AQ ⊥ON 于点Q ,AQ 与OM 相交于点P ,此时,AP+PQ 最小;理由:AP+PQ ≧AQ ,当且仅当A 、P 、Q 三点共线时,AP+PQ 取得最小值AQ ,根据垂线段最短,当AQ ⊥ON 时,AQ 最小.2. 已知:如图,A 为锐角∠MON 内一定点;要求:在射线OM 上找一点P ,在射线ON 上找一点Q ,使AP+PQ 的值最小.解:作点A关于OM的对称点A′,过点A′作AQ⊥ON于点Q,A′Q交OM于点P,此时AP+PQ最小;理由:由轴对称的性质知AP=A′P,要使AP+PQ最小,只需A′P+PQ最小,从而转化为拓展模型13.已知:如图,A为锐角∠MON内一定点;要求:在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使△APQ的周长最小解:分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A 2,连接 A1A2交OM于点P,交ON于点Q,点P和点Q即为所求,此时△APQ周长最小,最小值即为线段A1A2的长度;理由:由轴对称的性质知AP=A1P,AQ=A2Q,△APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q,当A1、P、Q、A2四点共线时,其值最小.4. 已知:如图,A、B为锐角∠MON内两个定点;要求:在OM上找一点P,在ON上找一点Q,使四边形APQB的周长最小解:作点A关于直线OM的对称点A´,作点B关于直线ON的对称点B´,连接A´B´交OM于P,交ON于Q,则点P、点Q即为所求,此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A´B´的长度之和;理由:AB长为定值,由基本模型将PA转化为PA´,将QB转化为QB´,当A´、P、Q、B´四点共线时,PA´+PQ+ QB´的值最小,即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型已知:如图,直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定点,(直线AB不与m垂直)要求:在m、n之间求作垂线段PQ,使得AP+PQ+BQ最小.分析:PQ为定值,只需AP+BQ最小,可通过平移,使P、Q“接头”,转化为基本模型解:如图,将点A沿着平行于PQ的方向,向下平移至点A′,使得AA′=PQ,连接A′B交直线n于点Q,过点Q作PQ⊥n,交直线m于点P,线段PQ即为所求,此时AP+PQ+BQ最小.理由:易知四边形QPAA′为平行四边形,则QA′=PA,当B、Q、A′三点共线时,QA′+BQ最小,即AP+BQ最小,PQ长为定值,此时AP+PQ+BQ最小.6.已知:如图,定点A、B分布于直线l两侧,长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动(P在Q左边)要求:确定PQ的位置,使得AP+PQ+QB最小分析:PQ为定值,只需AP+QB的值最小,可通过平移,使P、Q“接头”,转化为基本模型解:将点A沿着平行于l的方向,向右移至A´,使AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q,在l上截取PQ=a(P在Q左边),则线段PQ即为所求,此时AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ,即A´B+a理由:易知四边形APQA´为平行四边形,则PA=QA´,当A´、Q、B三点共线时,QA´+QB最小,即PA+QB最小,又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.7.已知:如图,定点A、B分布于直线l的同侧,长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动(P在Q左边)要求:确定PQ 的位置,使得四边形APQB 周长最小分析:AB 长度确定,只需AP+PQ+QB 最小,通过作A 点关于l 的对称点,转化为上述模型3解:作A 点关于l 的对称点A ´,将点A ´沿着平行于l的方向,向右移至A ´´,使A ´A ´´=PQ=a ,连接A ´´B交l 于Q ,在l 上截取QP=a (P 在Q 左边),线段PQ 即为所求,此时四边形APQB 周长的最小值为A ´´B+AB+PQ ,即A ´´B+AB+a典型例题2-1如图,在矩形ABCD 中,AB=10,BC=5,若点M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点,则BM+MN 的最小值为 .【分析】符合拓展模型2的特征,作点B 关于AC 的对称点E ,再过点E 作AB 的垂线段,该垂线段的长即BM+MN 的最小值,借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点B 关于AC 的对称点E ,再过点E 作EN ⊥AB 于N ,则BM+MN=EM+MN ,其最小值即EN 长;∵AB=10,BC=5,∴AC=22BC AB +=55,等面积法求得AC 边上的高为55510⨯=25,∴BE=45, 易知△ABC ∽△ENB ,∴,代入数据解得EN=8. 即BM+MN 的最小值为8.【小结】该类题的思路是通过作对称,将线段转化,再根据定理、公理连线或作垂线;可作定点或动点关于定直线的对称点,有些题作定点的对称点易解,有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图,∠AOB=60°,点P 是∠AOB 内的定点且OP=,点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点,则△PMN 周长的最小值是( )A .B .C .6D .3【分析】符合拓展模型3的特征;作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,此时△PMN周长最小,其值为CD长;根据对称性连接OC、OD,分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形,作底边上高,易求底边CD. 【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,则MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC=,∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC,∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,∴此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,则CH=DH,∵∠OCH=30°,∴OH=OC=,CH=OH=,∴CD=2CH=3.即△PMN周长的最小值是3;故选:D.【小结】根据对称的性质,发现△OCD是顶角为120°的等腰三角形,是解题的关键,也是难点.典型例题2-3如图,已知平行四边形ABCO,以点O为原点,OC所在的直线为x轴,建立直角坐标系,AB交y轴于点D,AD=2,OC=6,∠A=60°,线段EF所在的直线为OD的垂直平分线,点P为线段EF上的动点,PM⊥x轴于点M点,点E与E′关于x轴对称,连接BP、E′M.(1)请直接写出点A坐标为,点B坐标为;(2)当BP+PM+ME′的长度最小时,请求出点P的坐标.【分析】(1)解直角三角形求出OD,BD的长即可解决;(2)符合“搭桥模型”的特征;首先证明四边形OPME′是平行四边形,可得OP=EM,PM是定值,PB+ME′=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME′的长度最小,此时P点为直线OB与EF的交点,结合OB的解析式可得P点坐标;【解答】(1)在Rt△ADO中,∵∠A=60°,AD=2,∴OD=2•tan60°=2,∴A(﹣2,2),∵四边形ABCO是平行四边形,∴AB=OC=6,∴DB=6﹣2=4,∴B(4,2)(2)如图,连接OP.∵EF垂直平分线段OD,PM⊥OC,∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°,∴四边形OMPE是矩形,∴PM=OE=,∵OE=OE′,∴PM=OE′,PM∥OE′,∴四边形OPME′是平行四边形,∴OP=EM,∵PM是定值,∴PB+ME′=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME′的长度最小,∴当O、P、B共线时,BP+PM+ME′的长度最小,∵直线OB的解析式为y=x,∴P(2,).【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值,一般通过作对称和平移(构造平行四边形)的方法,转化为基本模型.典型例题2-4如图所示,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的顶点坐标分别为A(﹣2,0),O(0,0),B(0,4),把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°,得到△COD.(1)求C、D两点的坐标;(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F的上方),且EF=1,使四边形ACEF的周长最小,求出E、F两点的坐标.【分析】符合拓展模型7的特征,通过作对称、平移、连线,可找出E、F点,结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】(1)由旋转的性质可知:OC=OA=2,OD=OB=4,∴C点的坐标是(0,2),D点的坐标是(4,0),(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,4a-2b+c=0由题意,得 16a+4b+c=0c=4解得a=-12,b=1,c=4,∴所求抛物线的解析式为y=-12x²+x+4;(3)只需AF+CE最短,抛物线y=-12x²+x+4的对称轴为x=1,将点A向上平移至A1(﹣2,1),则AF=A1E,作A1关于对称轴x=1的对称点A2(4,1),连接A2C,A2C与对称轴交于点E,E为所求,可求得A2C的解析式为y=-14x+2,当x=1时,y=74,∴点E的坐标为(1,74),点F的坐标为(1,34).【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”;其中,作对称和平移的顺序可互换.变式训练2-1几何模型:条件:如图1,A,B是直线l同旁的两个定点.问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法:作点A关于直线l的对称点A’,连接A’B交l于点P,即为所求.(不必证明)模型应用:(1)如图2,已知平面直角坐标系中两定点A(0,﹣1)和B(2,﹣1),P为x轴上一动点,则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是,此时PA+PB= .(2)如图3,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点,P是AC上一动点,连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是.(3)如图4,在菱形ABCD中,AB=10,∠DAB=60°,P是对角线AC上一动点,E,F分别是线段AB和BC上的动点,则PE+PF的最小值是.(4)如图5,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点G是边CD边的中点,点E.F分别是AG,AD上的两个动点,则EF+ED的最小值是.变式训练2-2如图,矩形ABCD中,AD=15,AB=10,E为AB边上一点,且DE=2AE,连接CE与对角线BD交于F;若P、Q分别为AB边和BC边上的动点,连接EP、PQ和QF;则四边形EPQF周长的最小值是___________.变式训练2-3如图,已知直线l 1∥l2,l1、l2之间的距离为8,点P到直线l1的距离为6,点Q到直线l2的距离为4,PQ=4,在直线l1上有一动点A,直线l2上有一动点B,满足AB⊥l2,且PA+AB+BQ最小,此时PA+BQ= .变式训练2-4如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;(3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ=1,要使四边形BCPQ 的周长最小,求出P、Q两点的坐标.中考真题1.要在街道旁建奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A、B到它的距离之和最短?小聪以街道为x轴,建立了如图所示的平面直角坐标系,A点坐标为(0,3),B点坐标为(6,5),则A、B两点到奶站距离之和的最小值是.2.如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(﹣4,5),D是OB的中点,E是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是()A .(0,)B .(0,)C .(0,2)D .(0,)3.如图,在矩形ABCD 中,AB=5,AD=3,动点P 满足S △PAB =31S 矩形ABCD ,则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为( )A .B .C .5D .4.已知抛物线y=x 2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F (0,2)的距离与到x轴的距离始终相等,如图,点M 的坐标为(,3),P 是抛物线y=x 2+1上一个动点,则△PMF 周长的最小值是( )A .3B .4C .5D .65.如图,点A (a ,3),B (b ,1)都在双曲线y=上,点C ,D ,分别是x 轴,y 轴上的动点,则四边形ABCD 周长的最小值为( )A .B .C .D .6.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,D 、E 分别是AB 、BC 边上的动点,则AE+DE 的最小值为( )A .B .C .5D .7.如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=3,AC=6,点D ,E 分别是边BC ,AC 上的动点,则DA+DE 的最小值为 .8.如图,等腰△ABC 的底边BC=20,面积为120,点F 在边BC 上,且BF=3FC ,EG 是腰AC 的垂直平分线,若点D 在EG 上运动,则△CDF 周长的最小值为 .9.如图,菱形ABCD 的边长为6,∠ABC=120°,M 是BC 边的一个三等分点,P 是对角线AC 上的动点,当PB+PM 的值最小时,PM 的长是( )A.B.C.D.10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分∠CAB交BC于D点,E,F分别是AD,AC上的动点,则CE+EF的最小值为()A.B.C.D.611.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB,BC分别相交于M,N 两点.△OMN的面积为10.若动点P在x轴上,则PM+PN 的最小值是()A.6B.10 C.2D.212.如图,△ABC中,AC=BC=2,AB=1,将它沿AB翻折得到△ABD,则四边形ADBC的形状是形,P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点,则PE+PF的最小值是.13.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A,B两点,交x轴于C、D两点,连接AC、BC,已知A(0,3),C(﹣3,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB﹣MD|的值最大,并求出这个最大值;(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.14.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.(1)用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,①证明:AE⊥DE;②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.15.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标;(2)连接AC、BC,N为抛物线上的点且在第四象限,当S△NBC=S△ABC时,求N点的坐标;(3)在(2)问的条件下,过点C作直线l∥x轴,动点P(m,3)在直线l上,动点Q(m,0)在x轴上,连接PM、PQ、NQ,当m为何值时,PM+PQ+QN的和最小,并求出 PM+PQ+QN 和的最小值.16.如图,直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式;(2)连接BC,点N是线段BC上的动点,作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND 长度的最大值;(3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点,点M(4,m)是该二次函数图象上一点,在x轴、y轴上分别找点F,E,使四边形HEFM的周长最小,求出点F,E的坐标.17.如图1,已知抛物线y=(x﹣2)(x+a)(a>0)与x轴从左至右交于A,B两点,与y轴交于点C.(1)若抛物线过点T(1,﹣),求抛物线的解析式;(2)在第二象限内的抛物线上是否存在点D,使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由.(3)如图2,在(1)的条件下,点P的坐标为(﹣1,1),点Q(6,t)是抛物线上的点,在x轴上,从左至右有M、N两点,且MN=2,问MN在x轴上移动到何处时,四边形PQNM 的周长最小?请直接写出符合条件的点M的坐标.18.如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过A(﹣1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),P是第一象限内抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式;(2)当a=1时,求四边形MEFP的面积的最大值,并求此时点P的坐标;(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时,四边形PMEF周长最小?请说明理由.19.探究:小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用图1得到结论:P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x,y)P的坐标公式:x=,y=.(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程;运用:(2)①已知点M(2,﹣1),N(﹣3,5),则线段MN长度为;②直接写出以点A(2,2),B(﹣2,0),C(3,﹣1),D为顶点的平行四边形顶点D的坐标:;拓展:(3)如图3,点P(2,n)在函数y=x(x≥0)的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上,请在OL、x轴上分别找出点E、F,使△PEF的周长最小,简要叙述作图方法,并求出周长的最小值.20.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(﹣4,0)、B(0,3),抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C.(1)求直线y=kx+b的函数解析式;(2)若点P(x,y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;(3)若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值.21.如图①,在平面直角坐标系中,OA=6,以OA为边长作等边三角形ABC,使得BC∥OA,且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上.(1)求这条抛物线的解析式;(2)在图①中,假设一动点P从点B出发,沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动,同时另一动点Q从O点出发,沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动,当点P 运动到A点时,P、Q都同时停止运动,在P、Q的运动过程中,是否存在时间t,使得PQ⊥AB,若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由;(3)在BC边上取两点E、F,使BE=EF=1个单位,试在AB边上找一点G,在抛物线的对称轴上找一点H,使得四边形EGHF的周长最小,并求出周长的最小值.本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行,可在当当、淘宝和京东搜索购买特色:1.由一线名师编写,更专业权威,各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法,甚至出现大量高度类似题。

(完整版)将军饮马问题

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将军饮马问题——线段和最短一.六大模型1.如图,直线l和l的异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。

2.如图,直线l和l的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。

3.如图,点P是∠MON内的一点,分别在OM,ON上作点A,B。

使△PAB的周长最小。

4.如图,点P ,Q 为∠MON 内的两点,分别在OM ,ON 上作点A ,B 。

使四边形PAQB 的周长最小。

5.如图,点A 是∠MON 外的一点,在射线OM 上作点P ,使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。

6. 如图,点A 是∠MON 内的一点,在射线ON 上作点P ,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小。

二、常见题目Part1、三角形1.如图,在等边△ABC 中,AB=6,AD ⊥BC ,E 是AC 上的一点,M 是AD 上的一点,且AE=2,求EM+EC 的最小值。

2.如图,在锐角△ABC 中,AB=42,∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值是____。

3.如图,△ABC 中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC 、AB 上各取一点M 、N ,使BM+MN 的值最小,则这个最小值。

Part2、正方形1.如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,丐DM=2,N是AC上的一动点,DN+MN的最小值为_________。

即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小。

2.如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD 内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()A.23 B.26 C.3 D.63.在边长为2㎝的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为____________㎝(结果不取近似值)。

将军饮马问题地11个模型及例题

将军饮马问题地11个模型及例题

将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间,线段最短;2.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等;4.垂线段最短.基本模型1.已知:如图,定点A、B分布在定直线l两侧;要求:在直线l上找一点P,使PA+PB的值最小解:连接AB交直线l于点P,点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由:在l上任取异于点P的一点P´,连接AP´、BP´,在△ABP’中,AP´+BP´>AB,即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时,PA+PB最小.2.已知:如图,定点A和定点B在定直线l的同侧要求:在直线l上找一点P,使得PA+PB值最小(或△ABP的周长最小)解:作点A关于直线l的对称点A´,连接A´B交l于P,点P即为所求;理由:根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线,由中垂线的性质得:PA=PA´,要使PA+PB最小,则需PA´+PB值最小,从而转化为模型1.3.已知:如图,定点A、B分布在定直线l的同侧(A、B两点到l的距离不相等)要求:在直线l上找一点P,使︱PA-PB︱的值最大解:连接BA并延长,交直线l于点P,点P即为所求;理由:此时︱PA-PB︱=AB,在l上任取异于点P的一点P´,连接AP´、BP´,由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱<AB,即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱4. 已知:如图,定点A、B分布在定直线l的两侧(A、B两点到l的距离不相等)要求:在直线l上找一点P,使︱PA-PB︱的值最大解:作点B关于直线l的对称点B´,连接B´A并延长交于点P,点P即为所求;理由:根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线,由中垂线的性质得:PB=PB´,要使︱PA-PB︱最大,则需︱PA-PB´︱值最大,从而转化为模型3.典型例题1-1如图,直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分3别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,当PC+PD最小时,点P的坐标为_________,此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型2的特征,作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小,由条件知CD为△BAO的中位线,OP为△CDD'的中位线,易求OP长,从而求出P点坐标;PC+PD的最小值即CD'长,可用勾股定理(或两点之间的距离公式,实质相同)计算.【解答】连接CD,作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P ,此时PC+PD 值最小.令y=23x+4中x=0,则y=4, ∴点B 坐标(0,4);令y=23x+4中y=0,则23x+4=0,解得:x=﹣6,∴点A 的坐标为(﹣6,0).∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点,∴CD 为△BAO 的中位线, ∴CD ∥x 轴,且CD=21AO=3,∵点D ′和点D 关于x 轴对称,∴O 为DD ′的中点,D ′(0,-1),∴OP 为△CDD ′的中位线,∴OP=21CD=23,∴点P 的坐标为(﹣32,0).在Rt △CDD ′中,CD ′=22D D CD '+=2243+=5,即PC+PD 的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标;若题型变化,C 、D 不是AB 和OB 中点时,则先求直线CD ′的解析式,再求其与x 轴的交点P 的坐标.典型例题1-2如图,在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标为(0,1),点B的坐标为(32,﹣2),点P 在直线y=﹣x 上运动,当|PA ﹣PB|最 大时点P 的坐标为_________,|PA ﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型4的特征,作A 关于直线y=﹣x 对称点C ,连接BC ,可得直线BC 的方程;求得BC 与直线y=﹣x 的交点P 的坐标;此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值,再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ,易得C 的坐标为(﹣1,0);连接BC ,可得直线BC的方程为y=﹣54x ﹣54,与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为(4,﹣4);此时|PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值,最大值BC=2223)2()1(-++=241;【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4,需作一次对称点,连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A (5,0),OB=4√5,点P 是对角线OB 上的一个动点,D (0,1),当CP+DP 最短时,点P 的坐标为( )A .(0,0)B .(1,12)C .(65,35)D .(107,57)变式训练1-2如图,菱形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O ,AC=2,BD=2√3,E 为AB 的中点,P 为对角线AC 上一动点,则PE+PB 的最小值为__________.变式训练1-3如图,已知直线y=12x+1与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线y=12x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为(1,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上找一点M ,使|AM ﹣MC|的值最大,求出点M 的坐标.拓展模型1. 已知:如图,A 为锐角∠MON 外一定点;要求:在射线OM 上找一点P ,在射线ON 上找一点Q ,使AP+PQ 的值最小.解:过点A 作AQ ⊥ON 于点Q ,AQ 与OM 相交于点P ,此时,AP+PQ 最小;理由:AP+PQ ≧AQ ,当且仅当A 、P 、Q 三点共线时,AP+PQ 取得最小值AQ ,根据垂线段最短,当AQ ⊥ON 时,AQ 最小.2. 已知:如图,A 为锐角∠MON 一定点;要求:在射线OM 上找一点P ,在射线ON 上找一点Q ,使AP+PQ 的值最小.解:作点A关于OM的对称点A′,过点A′作AQ⊥ON于点Q,A′Q交OM于点P,此时AP+PQ最小;理由:由轴对称的性质知AP=A′P,要使AP+PQ最小,只需A′P+PQ最小,从而转化为拓展模型13.已知:如图,A为锐角∠MON一定点;要求:在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使△APQ的周长最小解:分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A 2,连接 A1A2交OM于点P,交ON于点Q,点P和点Q即为所求,此时△APQ周长最小,最小值即为线段A1A2的长度;理由:由轴对称的性质知AP=A1P,AQ=A2Q,△APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q,当A1、P、Q、A2四点共线时,其值最小.4. 已知:如图,A、B为锐角∠MON两个定点;要求:在OM上找一点P,在ON上找一点Q,使四边形APQB的周长最小解:作点A关于直线OM的对称点A´,作点B关于直线ON的对称点B´,连接A´B´交OM于P,交ON于Q,则点P、点Q即为所求,此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A´B´的长度之和;理由:AB长为定值,由基本模型将PA转化为PA´,将QB转化为QB´,当A´、P、Q、B´四点共线时,PA´+PQ+ QB´的值最小,即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型已知:如图,直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定点,(直线AB不与m垂直)要求:在m、n之间求作垂线段PQ,使得AP+PQ+BQ最小.分析:PQ为定值,只需AP+BQ最小,可通过平移,使P、Q“接头”,转化为基本模型解:如图,将点A沿着平行于PQ的方向,向下平移至点A′,使得AA′=PQ,连接A′B交直线n于点Q,过点Q作PQ⊥n,交直线m于点P,线段PQ即为所求,此时AP+PQ+BQ最小.理由:易知四边形QPAA′为平行四边形,则QA′=PA,当B、Q、A′三点共线时,QA′+BQ最小,即AP+BQ最小,PQ长为定值,此时AP+PQ+BQ最小.6.已知:如图,定点A、B分布于直线l两侧,长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动(P在Q左边)要求:确定PQ的位置,使得AP+PQ+QB最小分析:PQ为定值,只需AP+QB的值最小,可通过平移,使P、Q“接头”,转化为基本模型解:将点A沿着平行于l的方向,向右移至A´,使AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q,在l上截取PQ=a(P在Q左边),则线段PQ即为所求,此时AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ,即A´B+a理由:易知四边形APQA´为平行四边形,则PA=QA´,当A´、Q、B三点共线时,QA´+QB最小,即PA+QB最小,又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.7.已知:如图,定点A、B分布于直线l的同侧,长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动(P在Q左边)要求:确定PQ 的位置,使得四边形APQB 周长最小分析:AB 长度确定,只需AP+PQ+QB 最小,通过作A 点关于l 的对称点,转化为上述模型3解:作A 点关于l 的对称点A ´,将点A ´沿着平行于l的方向,向右移至A ´´,使A ´A ´´=PQ=a ,连接A ´´B交l 于Q ,在l 上截取QP=a (P 在Q 左边),线段PQ 即为所求,此时四边形APQB 周长的最小值为A ´´B+AB+PQ ,即A ´´B+AB+a典型例题2-1如图,在矩形ABCD 中,AB=10,BC=5,若点M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点,则BM+MN 的最小值为 .【分析】符合拓展模型2的特征,作点B 关于AC 的对称点E ,再过点E 作AB 的垂线段,该垂线段的长即BM+MN 的最小值,借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点B 关于AC 的对称点E ,再过点E 作EN ⊥AB 于N ,则BM+MN=EM+MN ,其最小值即EN 长;∵AB=10,BC=5,∴AC=22BC AB +=55,等面积法求得AC 边上的高为55510⨯=25,∴BE=45, 易知△ABC ∽△ENB ,∴,代入数据解得EN=8. 即BM+MN 的最小值为8.【小结】该类题的思路是通过作对称,将线段转化,再根据定理、公理连线或作垂线;可作定点或动点关于定直线的对称点,有些题作定点的对称点易解,有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图,∠AOB=60°,点P 是∠AOB 的定点且OP=,点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点,则△PMN 周长的最小值是( )A .B .C .6D .3【分析】符合拓展模型3的特征;作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,此时△PMN周长最小,其值为CD长;根据对称性连接OC、OD,分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形,作底边上高,易求底边CD. 【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,则MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC=,∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC,∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,∴此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,则CH=DH,∵∠OCH=30°,∴OH=OC=,CH=OH=,∴CD=2CH=3.即△PMN周长的最小值是3;故选:D.【小结】根据对称的性质,发现△OCD是顶角为120°的等腰三角形,是解题的关键,也是难点.典型例题2-3如图,已知平行四边形ABCO,以点O为原点,OC所在的直线为x轴,建立直角坐标系,AB交y轴于点D,AD=2,OC=6,∠A=60°,线段EF所在的直线为OD的垂直平分线,点P为线段EF上的动点,PM⊥x轴于点M点,点E与E′关于x轴对称,连接BP、E′M.(1)请直接写出点A坐标为,点B坐标为;(2)当BP+PM+ME′的长度最小时,请求出点P的坐标.【分析】(1)解直角三角形求出OD,BD的长即可解决;(2)符合“搭桥模型”的特征;首先证明四边形OPME′是平行四边形,可得OP=EM,PM是定值,PB+ME′=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME′的长度最小,此时P点为直线OB与EF的交点,结合OB的解析式可得P点坐标;【解答】(1)在Rt△ADO中,∵∠A=60°,AD=2,∴OD=2•tan60°=2,∴A(﹣2,2),∵四边形ABCO是平行四边形,∴AB=OC=6,∴DB=6﹣2=4,∴B(4,2)(2)如图,连接OP.∵EF垂直平分线段OD,PM⊥OC,∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°,∴四边形OMPE是矩形,∴PM=OE=,∵OE=OE′,∴PM=OE′,PM∥OE′,∴四边形OPME′是平行四边形,∴OP=EM,∵PM是定值,∴PB+ME′=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME′的长度最小,∴当O、P、B共线时,BP+PM+ME′的长度最小,∵直线OB的解析式为y=x,∴P(2,).【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值,一般通过作对称和平移(构造平行四边形)的方法,转化为基本模型.典型例题2-4如图所示,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的顶点坐标分别为A(﹣2,0),O(0,0),B(0,4),把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°,得到△COD.(1)求C、D两点的坐标;(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F的上方),且EF=1,使四边形ACEF的周长最小,求出E、F两点的坐标.【分析】符合拓展模型7的特征,通过作对称、平移、连线,可找出E、F点,结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】(1)由旋转的性质可知:OC=OA=2,OD=OB=4,∴C点的坐标是(0,2),D点的坐标是(4,0),(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,4a-2b+c=0由题意,得 16a+4b+c=0c=4解得a=-12,b=1,c=4,∴所求抛物线的解析式为y=-12x²+x+4;(3)只需AF+CE最短,抛物线y=-12x²+x+4的对称轴为x=1,将点A向上平移至A1(﹣2,1),则AF=A1E,作A1关于对称轴x=1的对称点A2(4,1),连接A2C,A2C与对称轴交于点E,E为所求,可求得A2C的解析式为y=-14x+2,当x=1时,y=74,∴点E的坐标为(1,74),点F的坐标为(1,34).【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”;其中,作对称和平移的顺序可互换.变式训练2-1几何模型:条件:如图1,A,B是直线l同旁的两个定点.问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法:作点A关于直线l的对称点A’,连接A’B交l于点P,即为所求.(不必证明)模型应用:(1)如图2,已知平面直角坐标系中两定点A(0,﹣1)和B(2,﹣1),P为x轴上一动点,则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是,此时PA+PB= .(2)如图3,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点,P是AC上一动点,连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是.(3)如图4,在菱形ABCD中,AB=10,∠DAB=60°,P是对角线AC上一动点,E,F分别是线段AB和BC上的动点,则PE+PF的最小值是.(4)如图5,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点G是边CD边的中点,点E.F分别是AG,AD上的两个动点,则EF+ED的最小值是.变式训练2-2如图,矩形ABCD中,AD=15,AB=10,E为AB边上一点,且DE=2AE,连接CE与对角线BD交于F;若P、Q分别为AB边和BC边上的动点,连接EP、PQ和QF;则四边形EPQF周长的最小值是___________.变式训练2-3如图,已知直线l 1∥l2,l1、l2之间的距离为8,点P到直线l1的距离为6,点Q到直线l2的距离为4,PQ=4,在直线l1上有一动点A,直线l2上有一动点B,满足AB⊥l2,且PA+AB+BQ最小,此时PA+BQ= .变式训练2-4如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;(3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ=1,要使四边形BCPQ 的周长最小,求出P、Q两点的坐标.中考真题1.要在街道旁建奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A、B到它的距离之和最短?小聪以街道为x轴,建立了如图所示的平面直角坐标系,A点坐标为(0,3),B点坐标为(6,5),则A、B两点到奶站距离之和的最小值是.2.如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(﹣4,5),D是OB的中点,E是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是()A .(0,)B .(0,)C .(0,2)D .(0,)3.如图,在矩形ABCD 中,AB=5,AD=3,动点P 满足S △PAB =31S 矩形ABCD ,则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为( )A .B .C .5D .4.已知抛物线y=x 2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F (0,2)的距离与到x轴的距离始终相等,如图,点M 的坐标为(,3),P 是抛物线y=x 2+1上一个动点,则△PMF 周长的最小值是( )A .3B .4C .5D .65.如图,点A (a ,3),B (b ,1)都在双曲线y=上,点C ,D ,分别是x 轴,y 轴上的动点,则四边形ABCD 周长的最小值为( )A .B .C .D .6.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,D 、E 分别是AB 、BC 边上的动点,则AE+DE 的最小值为( )A .B .C .5D .7.如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=3,AC=6,点D ,E 分别是边BC ,AC 上的动点,则DA+DE 的最小值为 .8.如图,等腰△ABC 的底边BC=20,面积为120,点F 在边BC 上,且BF=3FC ,EG 是腰AC 的垂直平分线,若点D 在EG 上运动,则△CDF 周长的最小值为 .9.如图,菱形ABCD 的边长为6,∠ABC=120°,M 是BC 边的一个三等分点,P 是对角线AC 上的动点,当PB+PM 的值最小时,PM 的长是( )A.B.C.D.10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分∠CAB交BC于D点,E,F分别是AD,AC上的动点,则CE+EF的最小值为()A.B.C.D.611.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB,BC分别相交于M,N 两点.△OMN的面积为10.若动点P在x轴上,则PM+PN 的最小值是()A.6B.10 C.2D.212.如图,△ABC中,AC=BC=2,AB=1,将它沿AB翻折得到△ABD,则四边形ADBC的形状是形,P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点,则PE+PF的最小值是.13.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A,B两点,交x轴于C、D两点,连接AC、BC,已知A(0,3),C(﹣3,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB﹣MD|的值最大,并求出这个最大值;(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.14.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.(1)用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,①证明:AE⊥DE;②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.15.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标;(2)连接AC、BC,N为抛物线上的点且在第四象限,当S△NBC=S△ABC时,求N点的坐标;(3)在(2)问的条件下,过点C作直线l∥x轴,动点P(m,3)在直线l上,动点Q(m,0)在x轴上,连接PM、PQ、NQ,当m为何值时,PM+PQ+QN的和最小,并求出 PM+PQ+QN 和的最小值.16.如图,直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式;(2)连接BC,点N是线段BC上的动点,作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND 长度的最大值;(3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点,点M(4,m)是该二次函数图象上一点,在x轴、y轴上分别找点F,E,使四边形HEFM的周长最小,求出点F,E的坐标.17.如图1,已知抛物线y=(x﹣2)(x+a)(a>0)与x轴从左至右交于A,B两点,与y轴交于点C.(1)若抛物线过点T(1,﹣),求抛物线的解析式;(2)在第二象限的抛物线上是否存在点D,使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由.(3)如图2,在(1)的条件下,点P的坐标为(﹣1,1),点Q(6,t)是抛物线上的点,在x轴上,从左至右有M、N两点,且MN=2,问MN在x轴上移动到何处时,四边形PQNM 的周长最小?请直接写出符合条件的点M的坐标.18.如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过A(﹣1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),P是第一象限抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式;(2)当a=1时,求四边形MEFP的面积的最大值,并求此时点P的坐标;(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时,四边形PMEF周长最小?请说明理由.19.探究:小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用图1得到结论:P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x,y)P的坐标公式:x=,y=.(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程;运用:(2)①已知点M(2,﹣1),N(﹣3,5),则线段MN长度为;②直接写出以点A(2,2),B(﹣2,0),C(3,﹣1),D为顶点的平行四边形顶点D的坐标:;拓展:(3)如图3,点P(2,n)在函数y=x(x≥0)的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上,请在OL、x轴上分别找出点E、F,使△PEF的周长最小,简要叙述作图方法,并求出周长的最小值.20.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(﹣4,0)、B(0,3),抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C.(1)求直线y=kx+b的函数解析式;(2)若点P(x,y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;(3)若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值.21.如图①,在平面直角坐标系中,OA=6,以OA为边长作等边三角形ABC,使得BC∥OA,且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上.(1)求这条抛物线的解析式;(2)在图①中,假设一动点P从点B出发,沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动,同时另一动点Q从O点出发,沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动,当点P 运动到A点时,P、Q都同时停止运动,在P、Q的运动过程中,是否存在时间t,使得PQ⊥AB,若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由;(3)在BC边上取两点E、F,使BE=EF=1个单位,试在AB边上找一点G,在抛物线的对称轴上找一点H,使得四边形EGHF的周长最小,并求出周长的最小值.本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行,可在当当、淘宝和京东搜索购买特色:1.由一线名师编写,更专业权威,各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法,甚至出现大量高度类似题。

专题14 将军饮马问题(解析版)

专题14 将军饮马问题(解析版)

专题14将军饮马问题模型的概述:唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题:将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边让战马饮水后再到B点宿营。

问如何行走才能使总的路程最短。

模型一(两点在河的异侧):将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边让战马饮水后再到B点宿营,将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法:如右图,连接AB,与线段L交于点M,在M处渡河距离最短,最短距离为线段AB的长。

模型二(两点在河的同侧):将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,需先走到河边让战马饮水后再到B 点宿营,将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法:如右图,作点B关于直线L的对称点B’,连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点,最短距离为线段AB’的长。

模型三:如图,将军同部队行驶至P处,准备在此驻扎,但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处,为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察,再返回P处向将军汇报情况,问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述:如图在直线AB、BC上分别找点M、N,使得∆PMN周长最小。

方法:如右图,分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’,连接P’P’’,与两直线的交点即为所求点M、N,最短距离为线段P’P’’的长。

模型四如图,深夜为防止敌军在对岸埋伏,将军又派一队侦察兵到河边观察,并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况,问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述:如图在直线AB、BC上分别找点M、N,使得四边形PQNM周长最小。

方法:如右图,分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’,连接P’Q’,与两直线的交点即为所求点M、N,最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。

模型一-模型四的理论依据:两点之间线段最短。

模型五:已知点P在直线AB、BC的外侧,在直线AB和BC上分别取一点M、N,求PM+PN的最小值方法:如右图,过点P作PN⊥BC,垂足为点N,PN与AB相交于点M,与两直线的交点即为所求点M、N,最短距离为线段PN的长。

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将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间,线段最短;2.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等;4.垂线段最短.基本模型1.已知:如图,定点A、B分布在定直线l两侧;要求:在直线l上找一点P,使PA+PB的值最小解:连接AB交直线l于点P,点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由:在l上任取异于点P的一点P´,连接AP´、BP´,在△ABP’中,AP´+BP´>AB,即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时,PA+PB最小.2.已知:如图,定点A和定点B在定直线l的同侧要求:在直线l上找一点P,使得PA+PB值最小(或△ABP的周长最小)解:作点A关于直线l的对称点A´,连接A´B交l于P,点P即为所求;理由:根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线,由中垂线的性质得:PA=PA´,要使PA+PB最小,则需PA´+PB值最小,从而转化为模型1.3.已知:如图,定点A、B分布在定直线l的同侧(A、B两点到l的距离不相等)要求:在直线l上找一点P,使︱PA-PB︱的值最大解:连接BA并延长,交直线l于点P,点P即为所求;理由:此时︱PA-PB︱=AB,在l上任取异于点P的一点P´,连接AP´、BP´,由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱<AB,即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱4. 已知:如图,定点A、B分布在定直线l的两侧(A、B两点到l的距离不相等)要求:在直线l上找一点P,使︱PA-PB︱的值最大解:作点B关于直线l的对称点B´,连接B´A并延长交于点P,点P即为所求;理由:根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线,由中垂线的性质得:PB=PB´,要使︱PA-PB︱最大,则需︱PA-PB´︱值最大,从而转化为模型3.典型例题1-1如图,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,当PC+PD最小时,点P的坐标为_________,此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型2的特征,作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小,由条件知CD为△BAO的中位线,OP为△CDD'的中位线,易求OP长,从而求出P点坐标;PC+PD的最小值即CD'长,可用勾股定理(或两点之间的距离公式,实质相同)计算.【解答】连接CD ,作点D 关于x 轴的对称点D ′,连接CD ′交x 轴于点P ,此时PC+PD 值最小.令y=x+4中x=0,则y=4,∴点B 坐标(0,4);令y=x+4中y=0,则x+4=0,解得:x=﹣6,∴点A 的坐标为(﹣6,0).∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点,∴CD 为△BAO 的中位线, ∴CD ∥x 轴,且CD=21AO=3,∵点D ′和点D 关于x 轴对称,∴O 为DD ′的中点,D ′(0,-1),∴OP 为△CDD ′的中位线,∴OP=21CD=23,∴点P 的坐标为(﹣,0).在Rt △CDD ′中,CD ′=22D D CD '+=2243+=5,即PC+PD 的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标;若题型变化,C 、D 不是AB 和OB 中点时,则先求直线CD ′的解析式,再求其与x 轴的交点P 的坐标.典型例题1-2如图,在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标为(0,1),点B的坐标为(,﹣2),点P 在直线y=﹣x 上运动,当|PA ﹣PB|最大时点P 的坐标为_________,|PA ﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型4的特征,作A 关于直线y=﹣x 对称点C ,连接BC ,可得直线BC 的方程;求得BC 与直线y=﹣x 的交点P 的坐标;此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值,再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ,易得C 的坐标为(﹣1,0);连接BC ,可得直线BC的方程为y=﹣54x ﹣54,与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为(4,﹣4);此时|PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值,最大值BC=2223)2()1(-++=241;【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4,需作一次对称点,连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为()A.(0,0) B.(1,)C.(,) D.(,)变式训练1-2如图,菱形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,AC=2,BD=2,E为AB的中点,P为对角线AC上一动点,则PE+PB的最小值为__________.变式训练1-3如图,已知直线y=x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM﹣MC|的值最大,求出点M的坐标.拓展模型1.已知:如图,A为锐角∠MON外一定点;要求:在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使AP+PQ的值最小.解:过点A作AQ⊥ON于点Q,AQ与OM相交于点P,此时,AP+PQ最小;理由:AP+PQ≧AQ,当且仅当A、P、Q三点共线时,AP+PQ取得最小值AQ,根据垂线段最短,当AQ⊥ON时,AQ最小.2.已知:如图,A为锐角∠MON内一定点;要求:在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使AP+PQ的值最小.解:作点A关于OM的对称点A′,过点A′作AQ⊥ON 于点Q,A′Q交OM于点P,此时AP+PQ最小;理由:由轴对称的性质知AP=A′P,要使AP+PQ最小,只需A′P+PQ最小,从而转化为拓展模型13.已知:如图,A为锐角∠MON内一定点;要求:在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使△APQ的周长最小解:分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A2,连接 A1A2交OM于点P,交ON于点Q,点P和点Q即为所求,此时△APQ周长最小,最小值即为线段A1A2的长度;理由:由轴对称的性质知AP=A1P,AQ=A2Q,△APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q,当A1、P、Q、A2四点共线时,其值最小.4. 已知:如图,A、B为锐角∠MON内两个定点;要求:在OM上找一点P,在ON上找一点Q,使四边形APQB的周长最小解:作点A关于直线OM的对称点A´,作点B关于直线ON的对称点B´,连接A´B´交OM于P,交ON于Q,则点P、点Q即为所求,此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A´B´的长度之和;理由:AB长为定值,由基本模型将PA转化为PA´,将QB转化为QB´,当A´、P、Q、B´四点共线时,PA´+PQ+ QB´的值最小,即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型已知:如图,直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定点,(直线AB不与m垂直)要求:在m、n之间求作垂线段PQ,使得AP+PQ+BQ最小.分析:PQ为定值,只需AP+BQ最小,可通过平移,使P、Q“接头”,转化为基本模型解:如图,将点A沿着平行于PQ的方向,向下平移至点A′,使得AA′=PQ,连接A′B交直线n于点Q,过点Q作PQ⊥n,交直线m于点P,线段PQ即为所求,此时AP+PQ+BQ最小.理由:易知四边形QPAA′为平行四边形,则QA′=PA,当B、Q、A′三点共线时,QA′+BQ最小,即AP+BQ最小,PQ长为定值,此时AP+PQ+BQ最小.6.已知:如图,定点A、B分布于直线l两侧,长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动(P在Q左边)要求:确定PQ的位置,使得AP+PQ+QB最小分析:PQ为定值,只需AP+QB的值最小,可通过平移,使P、Q“接头”,转化为基本模型解:将点A沿着平行于l的方向,向右移至A´,使AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q,在l上截取PQ=a(P在Q左边),则线段PQ即为所求,此时AP+PQ+QB 的最小值为A ´B+PQ ,即A ´B+a理由:易知四边形APQA ´为平行四边形,则PA=QA ´,当A ´、Q 、B 三点共线时,QA ´+QB 最小,即PA+QB最小,又PQ 长为定值此时PA+PQ+QB 值最小.7. 已知:如图,定点A 、B 分布于直线l 的同侧,长度a(a 为定值)的线段PQ 在l 上移动(P 在Q 左边)要求:确定PQ 的位置,使得四边形APQB 周长最小分析:AB 长度确定,只需AP+PQ+QB 最小,通过作A 点关于l 的对称点,转化为上述模型3解:作A 点关于l 的对称点A ´,将点A ´沿着平行于l的方向,向右移至A ´´,使A ´A ´´=PQ=a ,连接A ´´B交l 于Q ,在l 上截取QP=a (P 在Q 左边),线段PQ 即为所求,此时四边形APQB 周长的最小值为A ´´B+AB+PQ ,即A ´´B+AB+a典型例题2-1如图,在矩形ABCD 中,AB=10,BC=5,若点M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点,则BM+MN 的最小值为 .【分析】符合拓展模型2的特征,作点B 关于AC 的对称点E ,再过点E 作AB 的垂线段,该垂线段的长即BM+MN 的最小值,借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点B 关于AC 的对称点E ,再过点E 作EN ⊥AB 于N ,则BM+MN=EM+MN ,其最小值即EN 长;∵AB=10,BC=5,∴AC=22BC AB +=55,等面积法求得AC 边上的高为55510⨯=25,∴BE=45, 易知△ABC ∽△ENB ,∴,代入数据解得EN=8. 即BM+MN 的最小值为8.【小结】该类题的思路是通过作对称,将线段转化,再根据定理、公理连线或作垂线;可作定点或动点关于定直线的对称点,有些题作定点的对称点易解,有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=,点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是()A.B.C.6 D.3【分析】符合拓展模型3的特征;作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,此时△PMN周长最小,其值为CD长;根据对称性连接OC、OD,分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形,作底边上高,易求底边CD.【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,则MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC=,∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC,∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,∴此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,则CH=DH,∵∠OCH=30°,∴OH=OC=,CH=OH=,∴CD=2CH=3.即△PMN周长的最小值是3;故选:D.【小结】根据对称的性质,发现△OCD是顶角为120°的等腰三角形,是解题的关键,也是难点.典型例题2-3如图,已知平行四边形ABCO,以点O为原点,OC所在的直线为x轴,建立直角坐标系,AB交y轴于点D,AD=2,OC=6,∠A=60°,线段EF所在的直线为OD的垂直平分线,点P为线段EF上的动点,PM⊥x轴于点M点,点E与E′关于x轴对称,连接BP、E′M.(1)请直接写出点A坐标为,点B坐标为;(2)当BP+PM+ME′的长度最小时,请求出点P的坐标.【分析】(1)解直角三角形求出OD,BD的长即可解决;(2)符合“搭桥模型”的特征;首先证明四边形OPME′是平行四边形,可得OP=EM,。

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