将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题

问题概述

路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题

方法原理

1.两点之间，线段最短；

2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；

4.垂线段最短.

基本模型

1.

已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；

要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小

解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,

PA+PB的最小值即为线段AB的长度

理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，

在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP

∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

2.

已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧

要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）

解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，

点P即为所求；

理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，

由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则

需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.

3.

已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两

点到l的距离不相等）

要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大

解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；

理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P´，

连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱

即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱

4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两

点到l的距离不相等）

要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大

解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交

于点P，点P即为所求；

理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂

线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需

︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.

典型例题1-1

如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分

别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，

点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.

【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连

接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为

△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从

而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理

（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.

【解答】连接CD ，作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD ′交x 轴于点P ，此时PC+PD 值最

小．令y=x+4中x=0，则y=4，

∴点B 坐标（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A 的坐标

为（﹣6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴CD 为△BAO 的中位线， ∴CD ∥x 轴，且CD=21

AO=3，

∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴O 为DD ′的中点，

D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21

CD=23，

∴点P 的坐标为（﹣，0）．在Rt △CDD ′中，

CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.

【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变

化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析

式，再求其与x 轴的交点P 的坐标.

典型例题1-2

如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B

的坐标为（，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最

大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.

【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，

连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣x 的

交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，

再用两点之间的距离公式求此最大值.

【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC

的方程为y=﹣54x ﹣54，与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA

﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223

)2()1(-++=241

；

【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.

变式训练1-1

已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），

OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短

时，点P的坐标为（）

A．（0，0） B．（1，）C．（，） D．（，）

变式训练1-2

如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2，

BD=2,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的

最小值为__________.

变式训练1-3

如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交

于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标.

拓展模型

1.已知：如图，A为锐角∠MON外一定点；

要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使

AP+PQ的值最小.

解：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此

时，AP+PQ最小；