复变函数4.3-4.4复变函数的泰勒展开及罗朗展开
复变函数4.3
1 1 - z z 2 - ( -1)n z n 1 z
z 1
上式两边逐项求导,
1 1 - 2 (1 z ) 1 z
1 - 2 z 3 z 2 - ( -1)n-1 nz n-1 ,
z 1.
例2 求 arctan z在z 0的幂级数展开式.
z 1.
例3 求 cos 2 z的幂级数.
解 因为 cos 2 z 1 (1 cos 2 z ), 2
( 2 z ) 2 ( 2 z )4 ( 2 z )6 cos 2 z 1 2! 4! 6! 2 2 z 2 24 z 4 26 z 6 1 z 2! 4! 6! 1 2 所以 cos z (1 cos 2 z ) 2 2 z 2 2 3 z 4 25 z 6 1 z 2! 4! 6!
解
dz 因为 arctan z , 2 0 1 z
z
1 且 ( -1)n ( z 2 )n , 1 z 2 n 0
z
z 1
z dz ( -1)n ( z 2 )ndz 所以 arctan z 0 1 z2 0 n 0
z 2 n 1 n ( -1) , 2n 1 n 0
( 2) R1 R2 : 两收敛域有公共部分 R1 z - z0 R2 .
结论: 双边幂级数 cn ( z - z0 )n的收敛区域为
n -
圆环域 R1 z - z0 R2 .
R2
R1 . z 0
常见的特殊圆环域:
R2
. z0
R1 . z 0
. z0
0 z - z0 R2 R1 z - z0
复变函数 洛朗展式
1 f (z) g ( z ) 这里 g ( z )在 z z0 m ( z z0 ) 内是解析函数且g( z0 ) 0.
ez 1 z 1 1 如f ( z ) e , f (z) 3 z z z 1 z
lim( z z0 ) f ( z ) c m , c m是不为零的复数
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1 1 1 1 f (z) 1 z 2 z z 2 1 ( z 2)
1 ( 1)n ( z 2)n z 2 n 0 1 1 ( z 2) ( z 2)2 z2
小结
(2) 遇到f (z)在奇点z0的邻域内解析，需要 把 f (z)展成级数，那么就展开成Laurent 级数。
四、函数的Laurent级数展开式
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
由唯一性，将函数展开成Laurent级数， 主要用间接法。
例1
将下列函数在0 z ＋展开成洛朗级数。
sin z e 1) ; 2) 3 ; z z
z
3) e
1 z
解答
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1 例2 将 f ( z ) 在以下圆环域 ( z 1)( z 2) ( i ) 0 z 1; ( ii ) 1 z 2; ( iii ) 2 z 内展开成z0 0点的Laurent级数。
y y 解答 y
一、 引入
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
回顾：f ( z )在z0解析 f ( z )在z0的某一个圆域
| z z0 | R内展开成z z0的幂级数。
思考：
第四章复变函数的级数演示精品PPT课件
(1) 当 0 时, 收敛半径 R ;
形式上可以记为
(2)
当
时,
R
收1敛半径
R 0;
(3)
当0
时,
收敛半径
R
1.
证明：由于
为数列, 记为n.
定义4.1 设 n是数列， a ib 是常数.
如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
n e 成立, 则称当n时, an收敛于 ,
或称 是n的极限, 记作
lim
n
n
.
复数列收敛与实数列收敛的关系
定理一
lim
n
n
的充分必要条件是
lim
n
an
a,
lim
cnzn 发散.
n0
• z0
2 收敛圆与收敛半径
定理3.由6 (Abel定理), 幂若级级数数 ccnnzznn在收z敛1 情0 况有三种: n00
处收敛(1，) 则对当所有z 的z1正时实, 数级都数 收 敛cnz. n 绝对收敛; n0 级数在复平面内绝对收敛.
若级数(2)n对0 cn所zn 有在的z2 正处发实散数，都则发当散z. z2 时, 级数
因此，幂级数 cn(z z0 )n的收敛范围是 n0
以 z z0为中心的圆域.
问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数
进行具体分析.
例 1 求级数 zn 的收敛半径与和函数.
解
n0
z 1
lim zn 0
n
级数 zn 发散.
fn(z) f1(z) f2(z)
n1
复变函数与积分变换泰勒展开式与洛朗展开式
复变函数与积分变换泰勒展开式与洛朗展开式复变函数是指复数域上的函数，其自变量和因变量都是复数。
复变函数理论是数学中的一个重要分支，应用广泛。
在物理、工程、经济学以及计算机科学等领域，复变函数都发挥着重要的作用。
复变函数的泰勒展开式和洛朗展开式是两种常见的展开方法，用于将复变函数表示为幂级数或者简单函数的和。
泰勒展开式适用于函数在某个点附近解析的情况，而洛朗展开式适用于函数在某个环域上解析的情况。
泰勒展开式是将函数在某个点处展开成幂级数的形式。
设函数f(z)在z=a处解析，则f(z)可以表示为：f(z) = f(a) + f'(a)(z-a) + f''(a)(z-a)^2 + ...其中，f'(a)表示f(z)在z=a处的导数，f''(a)表示f'(z)在z=a 处的导数，以此类推。
泰勒展开式表明，在某个点处，函数可以用无穷级数的形式表示，通过计算有限项的幂级数，可以近似得到函数在该点附近的值。
洛朗展开式是将函数在某个环域上展开成幂级数和简单函数的形式。
设函数f(z)在环域R: r<|z-a|<R中解析，则f(z)可以表示为：f(z) = ∑ (A_n / (z-a)^n) + ∑ (B_n (z-a)^n)其中，第一项是负幂次项的幂级数，第二项是正幂次项的幂级数，A_n和B_n是系数。
洛朗展开式表明，在某个环域上，函数可以用无穷级数的形式表示，通过计算有限项的幂级数和简单函数的和，可以近似得到函数的值。
泰勒展开式和洛朗展开式对于研究函数的性质和计算函数的值都有重要的指导意义。
通过泰勒展开式和洛朗展开式，我们可以对复变函数进行近似计算，从而简化问题的求解过程。
此外，这两种展开方法也为我们提供了一种描述函数行为的方式，让我们能够更好地理解函数的性质，从而更好地应用于实际问题中。
总之，复变函数的泰勒展开式和洛朗展开式是复变函数理论中重要的工具。
高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0
复变函数与积分变换泰勒展开式与洛朗展开式
复变函数与积分变换泰勒展开式与洛朗展开式复变函数与积分变换是数学分析中重要的概念和工具。
泰勒展开式和洛朗展开式是这两个概念的应用，可以用来近似计算复变函数和积分变换。
本文将介绍复变函数和积分变换的基本概念，并探讨泰勒展开式和洛朗展开式的原理和应用。
一、复变函数与积分变换1.复变函数复变函数是指定义域和值域都是复数域的函数。
复变函数可以分为两个独立的实部和虚部，即f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)是实函数。
复变函数的基本性质有：（1）全纯性：如果一个复变函数在一些区域内可导，并且导函数连续，则该函数被称为全纯函数。
（2）解析性：如果一个复变函数在一些区域内可导，则该函数称为解析函数。
（3）调和性：如果一个复变函数满足拉普拉斯方程，则该函数称为调和函数。
2.积分变换积分变换是一种数学变换，将函数从一个域变换到另一个域。
积分变换的基本形式为：\[F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt\]其中f(t)是定义在正实轴上的函数，F(s)是函数f(t)的积分变换。
常见的积分变换有拉普拉斯变换、傅里叶变换、Z变换等。
这些积分变换在信号处理、控制论、电路分析等领域中得到广泛应用。
1.泰勒展开式泰勒展开式是将一个函数在特定点附近进行无穷阶的展开，近似表达原函数。
泰勒展开式的一般形式为：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots\]其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示函数在a点的导数。
对于复变函数f(z)，泰勒展开式的形式为：\[f(z) = f(a) + (z-a)f'(a) + \frac{(z-a)^2}{2!}f''(a) +\frac{(z-a)^3}{3!}f'''(a) + \cdots\]洛朗展开式是将一个函数在复平面上的一定区域内展开为幂级数和幂的负次幂的和。
复变函数和积分变换第二版本-4.4 洛朗级数-PPT文档资料
8
§4.4 洛朗级数 第 二、洛朗(Laurent)定理 四 章 注 (1) 展开式中的系数 a n 可以用下面得方法直接给出。 解 析 函 数 的 级 数 表 示
n 1 n n 1 f ( z ) a ( z z ) a ( z z ) a ( z z ) n 10 n0 n 10
则其收敛域为：R | z z | . 0 上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域。 6
§4.4 洛朗级数 第 一、含有负幂次项的“幂级数” 四 an(z z0)n 的收敛特性 章 2. 级数
n 解 an(z z0)n 收敛， 结论 (1) 如果级数 析 n 函 R | z z | R . 则其收敛域“一定”为环域： 1 0 2 数 的 n 级 a ( z z ) (2) 级数 n 在收敛域内其和函数是解析的, 0 n 数 表 而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。 示
1 1 1 1 ,( | z | 1 ) . 2 3 1 z z z z
3
§4.4 洛朗级数
第 一、含有负幂次项的“幂级数” 四 章 1. 问题分析 启示 如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话， 解 析 即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个 函 数 复平面上展开(除了奇点所在的圆周上)。 的 级 下面将讨论下列形式的级数: 数 表 n 2 1 a ( z z ) a ( z z ) a ( z z ) n 0 2 0 1 0 示 n 2 a a ( z z ) a ( z z ) . 0 1 0 2 0 在引入了负幂次项以后，“幂级数”的收敛特性如何呢？ 4
§4.4 洛朗级数 第 一、含有负幂次项的“幂级数” 四 an(z z0)n 的收敛特性 章 2. 级数
复变函数§4.3 泰勒级数
z0 K
按柯西积分公式, 有
f
(z)
1 2π
i
ÑK zf
(z
-
) z
d
z
,
1
1
1
1
且
z - z (z - z0 ) - (z - z0 ) z - z0 1- z - z0
z - z0
由于积分变量z 取在圆周K上,点z在K的内部,
所以 z - z0
z - z0
1,
z
1 -
z
在实变函数中有些不易理解的问题一到复变函数中就成为显然的事情例如在实数范围内展开式111x的成立必须受x1的限制这一点往往使人难以理解因24221?nnxxx????为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的
§3 泰勒级数
设函数 f (z)在区域D内解析, 而|z-z0|=r为D内以
z0为中心的任何一个圆周, 它与它的内部全含于D, 把它记作K, 又设z为K内任一点.
可在|z|<1内展开成z的幂级数.
因为 1 1- z z2 -L (-1)n zn L , | z | 1.
1 z
将上式两边求导得
1 (1 z)2
1- 2z 3z2 -L来自 (-1)n-1nzn-1 L
,
| z | 1.
例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.
zn 则当
bn
n0
| z || b |时收敛.所以当| a || b | 时,原级数在
圆环域 | a || z || b | 收敛;当| a || b | 时,原级
数处处发散.
幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数
复变函数第9讲洛朗级数
函数f
(z)
=
1 z(1 −z)在z Nhomakorabea=
0及z
= 1都不解析,但
在圆环域0 <| z |< 1及0 <| z −1|< 1内都是解析的.
先研究0 <| z |< 1的情形,
f
(z)
=
1 z(1 −
z)
=
1 z
1 +1− z
= 1 +1+ z + z2 +L + z n +L. z
由此可见, f (z)在0 <| z |< 1内是可以展开为级
−
1 z n−1
−L−
1 z
−
1 2
−
z 4
−
z2 8
−L.
19
iii) 在2<|z|<+∞内
f (z) = 1 − 1 1− z 2− z
=−1 1 + 1⋅ 1
z 1−1
z
2 1−
z
z
=
−1 (1 + z
1 z
+
1 z2
+ L) +
1 z
(1 +
2 z
+
4 z2
+ L)
=
1 z2
+
3 z3
+
7 z4
数, 则z0称为f(z)的m阶零点.
例：当f(z)=z(z−1)3时, z=0与z=1是它的一 级与三级零点.
∞
∞
∑ ∑ c−n ( z − z0 )−n = c−nζ n = c−1ζ + c−2ζ 2 +L, (4.17)
复变函数(第四版)课件章节--4.4
cn =
1 2π i
∫
Γ2
c−n
1 = 2π i 1 = 2π i
f (ξ ) ∫Γ (ξ − a ) n +1 d ξ ( n = 0 ,1, 2 ,⋅ ⋅ ⋅) f (ξ ) ∫Γ1 (ξ − a ) − n +1 d ξ
f (ξ ) dξ n +1 (ξ − a )
1 f (ξ ) = ∫Γ (ξ − a) −n +1 dξ (n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅), 2πi
1 f (ζ ) cn = ∫ (ζ − z0 )n+1 dζ (n = 0, ± 1, ± 2,L) 2πi C
然后写出
f (z) =
n= −∞
∑ cn ( z − z0 ) Nhomakorabea∞
n
.
缺点: 计算往往很麻烦. 缺点 计算往往很麻烦
2. 间接展开法 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可 用代数运算、代换、 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 优点 : 简捷 , 快速 .
| z −a |
< 1,
于是上从 上从可以展成一致收敛的级数 上从
f (ξ ) f (ξ ) ∞ ξ − z n −1 = ∑( z − a) . z − ξ z − a n =1
沿Γ1逐项求积分,两端同乘以
1 2πi
∞ c−n 1 f (ξ ) ∫Γ1 z −ξ dξ = ∑(z − a)n , (4.4.7) 2πi n=1 1 f (ξ ) c−n = ∫Γ (ξ − a ) − n+1 dξ ( n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅) (4.4.8) 2πi
Γ2 :| ξ − a |= ρ2 ,
复变函数第四版(第四章)
1 n 1) a n 1 e ; n
i
2) a n n cos in
}
[解] 1) 因
1 n 1 a n 1 e 1 cos i sin n n n n 1 1 an 1 cos , bn 1 sin . n n n n lim an 1, lim bn 0
第4章
级数
§4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数
}
n
n
n
任意给定e>0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-
a|<e在n>N时成立 则a称为复数列{an}当n时的 §4.1 ,复数项级数
极限, 记作
lim a n a
n
此时也称复数列{an}收敛于a.
(-1) n n n 1
(8i ) 8 , 由正项级数的比值审敛法知 n! n!
故原级数收敛 . 但因 n n
}
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数 序列,其中各项在区域D内有定义.表达式
f
n 1
n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) (4.2.1)
z
n
在圆 |
1
内收敛.
}
再证当
| z |
| z |
1
时, 级数
n0
cn z n
发散. 假设在
n0
圆 收敛. 在圆外再取一点 z1, 使|z1|<|z0|, 那么根据阿
复变函数4
sin z
, (| z | ).
n0 (2n 1)!
lnk (1
z)
2ki
z
z2 2
z3 3
(1)n1
zn n
.
(1 z) 1 z ( 1) z 2
2!
( 1) ( n 1) z n
n!
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铃
f
( )
a
n0
(z
a)n
(
f ( )
a)n1
,
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铃
将上式沿p积分，并以 1 乘是所得结果.根据逐项积分定理,即
2i
得
f (z) 1
2 i
f ( ) d
(z a)n
1
p z
n0
2 i
p
f ( )
a n1
d
,
由定理3.13知
1
2 i
p
(
f ( )
a)n
其中系数
cn
1
2 i
p
(
f ( )
a)n1
d
f (n) (a) n!
(4.9)
D
( :| z | , 0 R; n 0,1, 2,)
且展式是唯一旳.
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铃
证:关键是利用柯西积分公式及如下
熟知旳公式:
1
un
1 u n0
(|u|<1).
(4.10)
z K 总有一种圆周:
(4.11)
z a | z a | 1,
a
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复变函数级数泰勒级数和洛朗级数孤立奇点的分类本章讨论
第四章 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数 孤立奇点的分类本章讨论解析函数的级数性质，先介绍复变函数级数的基本概念特别是幂级数的有关概念；然后讨论解析函数展开为泰勒级数和洛朗级数的问题；最后讨论单值函数孤立奇点的分类这也是为第五章讨论定积分的计算作准备。
§4.1 复变函数级数和解析函数级数复变函数级数的基本概念有很多地方与实变函数级数相同，这里仅作扼要的介绍，其中有关定理将不予证明。
一个复变函数级数∑∞==++++121)()()()(k k k z u z u z u z u （4.1）如果它的部分和∑∞==1)()(k k n z u z S （4.2）的极限)(lim z S n n ∞→在一点z 存在，则称级数（3.1）在z 点收敛，而这个极限为级数在z 点的和；否则称级数在z 点发散。
由于)(Im )(Re )(z u i z u z u k k k += ),2,1( =k ，所以级数（3.1）的收敛和发散问题就归结为两个实变函数级数∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 的收敛和发散问题；在一点z ，若∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 都收敛，则级数（3.1）在此点收敛；若∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 至少有一个发散，则级数（4.1）在此点发散。
级数（4.1）收敛的必要条件是 0)(lim =∞→z u n n （4.3） （4.1）式收敛的充要条件是：任意给定一个小的数ε＞0，总存在充分大的正整数N ，使当n>N 时,对于任何自然数p ，恒有 1|()()||()|pn p n n k k S z S z u z ε++=-=<∑ （4.4）这称为柯西收敛判据。
如果级数 1|()|k k u z ∞=∑ （4.5）在z 点收敛，则称级数（4.1）在此点绝对收敛。
第四章 复变函数
n 1
in 1 n n 1 n
例 4.2 判别下列级数的收敛性
n i in 1 i 1 n ; 2 ; 3 2 2 n 1 n n 1 n n 1 n
解：
3
n 1
in 1 2 2 n n 1 n
z2 1 在 1内,即 z 2 2内, 右端级数绝对收敛, 其和为 2 z
z 2 2时, 级数发散
1 n 例4.5 把函数 表成形如级数 Cn z 2 的幂级数 z n 1
1 2 n 1 g z g z g z 1 g z
n
n
z z0 当 z z 0 z1 z 0 时， 1， z1 z 0
z z0 级数 M z1 z 0 n 1
n
收敛。
C n z z 0 n 收敛
n 1
C n z z 0 n 绝对收敛
n 1
例4.4 求级数
n 1
z 1n 的收敛半径
n
解:
Cn 1 n lim lim 1, R 1 n C n n 1 n
收敛圆 z 1 1
当 z 0 时, 原级数成为 1
n 1 n
1 , 为交错级数, 是收敛的 n
1 当 z 2 时, 原级数成为 , 为调和级数, 是发散的 n 1 n
§4.2复变函数项级数
§4.2.1 复变函数项级数
设 f n z n 1,2, 为区域 D 内的函数，则称
f z f z f z f z
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(1) 幂级数的收敛域是圆域,且和函数在收敛域
内解析.
(2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数. 对于罗朗级数，已经知道：
罗朗级数的收敛域是圆环域，且和函数在圆 环域内解析. 问题: 在圆环域内解析的函数是否可以展开 成罗朗级数?
4.4.2 函数的罗朗级数展开
定理4.12(Laurent展开定理) 设 0 R1 R2 , 函数f (z)在圆环域 R1 z z0 R2 内解析, 则函数f (z) 在此圆环域内可展开为罗朗级数
定理4.9 (Taylor展开定理) 设 f ( z )在区域D
内解析, z0 为D内的一点, R为 z0 到D边界的距离 (D是全平面时, R=+), 则 f ( z ) 在 z z0 R 内可 展开为幂级数
f ( z ) a n ( z z0 ) n
n 0
R
z0
.
1 (n) f ( z0 ) 其中 an n!
解析, 那么根据柯西-古萨定理, an 0 n 1, 2, 所以罗朗级数包含了Taylor级数.
,
罗朗展开式的唯一性 设函数f (z)在圆环域R1<|z-z0|<R2内解析，并且
可以展开成双边幂级数
n
cn ( z z0 ) n
1 则系数为 cn 2 i
C
n 0
4n 0
a z 和 b z 的收敛
n n n
2n z ( 1)n , z . (2n)! 内,
n 0
n
n!
12!
2
n!
并且收敛半径 R . 同理 n
sin z
n 0
(a ( 1) z
n 2 n 1
n n n 2 n 1 a b a b a b z . z3 z 5an z bn z n z 0 n 1 n 1 n 0 z n0 (01) n0 z . n 3! 5! (2n 1)!
z 1 .
例 4.7
将 f (z)
1 1 z2
2
展开为z的幂级数.
解：根据例4.6，
1 n n ( 1) ( n 1) 2 (1 ) n 0
1 ,
2 z , 则 令
1 n 2n ( 1) ( n 1) z (1 z 2 )2 n 0
z 0
ez
z 0
1,
所以它在 z 0 处的泰勒级数为
e
z n 0
f
( n)
(0) n z z n! n 0 n !
zn n! ,
n
z2 1 z 2! 并且收敛半径 R .
2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 泰勒展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直 接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
D
n 0, 1, 2, .
上述的幂级数称为 f ( z ) 在 z0 的泰勒级数(展开式).
综合定理4.8和定理4.9，得到关于解析函数的 重要性质： 定理4.10 函数 f (z) 在z0处解析的充要条件是 f (z) 在z0的某邻域内有泰勒展开式. 这是解析函数的重要特征.
泰勒展开式的唯一性 设复变函数 f (z) 是 D内的解析函数, z0是 D内的一点，且在 z z0 R 内可展成幂级数
例4.5
利用
iz iz
本例利用直接方法也很简单
1 1 1 n n ( iz ) ( iz ) , 2 n 0 n ! n 0 n !
e e cos z 2
n
以及 例 4.4和 性质4.1 可求得 (1) 设级数
2n 2
( 1) z z zn n 2 cos z 1z z z z en 1 zR 和 )! 2! 4! (2n 半径分别为 0 R , 则在
n
n
令 ( z z0 )
1
n= 1
å
+
a- nz n
n= 1
收敛半径R
n= 0
R时,收敛
收敛半径R2
收敛域 z z0 R2
收敛域 1 z z0 R1 R
若 (1) R1 R2 : 两收敛域无公共部分;
( 2) R1 R2 : 两收敛域有公共部分 R1 z z0 R2 .
(2) 间接方法 根据解析函数罗朗级数展开式的唯一性, 可
运用代数运算、代换、求导和积分等方法将函数
展开成罗朗级数. 这是将函数展开成罗朗级数的常用方法. 给定函数 f ( z ) 与复平面内的一点 z0 以后, 函 数在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展开式. (包括Taylor展开式作为特例) 这与罗朗展开式的唯 一性并不矛盾, 但在同一圆环域内的展开式唯一.
1 (n) an f ( z0 ) n!
2. 间接方法.
n 0,1,2, ,
然后将函数 f (z) 在z0 展开成幂级数.
z f ( z ) e 在 z 0 的泰勒展开式. 例4.4 求
解: 因为 f ( z ) e 在复平面上解析，且
z
f ( n ) (0) (e z )( n )
zn
zn , n 0 n !
( z )
1 (2) 1 z z2 1 z 1 (3) 1 z z2 1 z
z n , ( z 1)
n 0
( 1)n z n
( 1)n z n ,
n 0
z3 z5 (4) sin z z 3! 5!
如果函数f (z)在z0点解析, 则在z0的某邻域内, 可 展开为Taylor级数, 其各项由z-z0的非负幂组成. 如果 f (z)在圆环域 R1 z z0 R2 内解析, 则 f (z)在这
个圆环域内不一定都能展开为z-z0的幂级数. 本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数,
即Laurent级数. 它将在后面讨论孤立奇点与留数 及Z变换理论中起重要作用.
(2 n 1)!
n 0
n
bn )z an z bn z ,
n n n 0 n 0
1 例4.6 求 f ( z ) 在 z 0处的泰勒级数 . 2 (1 z )
解： z1 1 是 f ( z ) 的唯一奇点, 且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1. 在 例4.2中，用-z替换 z, 则
这种双边幂级数的形式为
n
a n ( z z0 ) n .
罗朗级数
负幂项部分
n
正幂项部分
- n
n= -
å
+
an ( z - z0 )
å
+
a- n ( z - z0 )
n= 1
å
+
a n ( z - z0 ) n
n= 0
收敛
同时收敛 主要部分 解析部分
å å
+
+
a- n ( z - z0 )a n ( z - z0 )
(7)(1 z ) 1 z
( 1)
2! n!
z
2
( 1)( 2)
3! z n ,
z3
( 1)( n 1)
( z 1)
§4.4 罗朗级数
1 罗朗级数的概念 2 函数的罗朗级数展开 3 典型例题
4.4.1
罗朗级数的概念
1 2 1 nn n n 1 z z ( 1) z z+ z1 , z =1 z z2 + + 1 z 1 z n 0
z
逐项求导，得
1 2 1 2 z 3 z 2 (1 z )
( 1)n ( n 1) z n
结论: 双边幂级数
n= -
å
+
an ( z - z0 )n的收敛区域为
R2
R1 . z0
圆环域 R1 z z0 R2 .
常见的特殊圆环域:
R2
. z0
R1 . z0
. z0
0 z z0 R2 R1 z z0
0 z z0
对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:
(1) 直接方法 直接计算展开式系数
1 an 2 i
C
f (z) dz ( n 0, 1, 2, ), n 1 ( z z0 )
n= -
然后写出罗朗展开式 f ( z ) =
å
¥
an ( z - z0 ) n .
这种方法只有理论意义, 而没有实用价值. 就是 说, 只有在进行理论推导时, 才使用这种表示方法.
n 1 z 1 ( z 1) n f ( z ) 1 ( 1)n 1 ( 1) . n 1 2 n 0 2 2 n 0 n
附: 常见函数的Taylor展开式
2 z z (1) e 1 z 2!
zn n!
2 n 1 z ( 1)n , (2n 1)! ( z )
( z 1)
z2 z4 (5) cos z 1 2! 4!
2n z ( 1)n (2n)!
,