材料力学应力应变部分

材料力学应力应变部分材料力学（应力应变部分）→规定载荷作用下，强度要求，就是指构件应有足够的抵抗破坏的能力。

刚度要求，就是指构件应有足够的抵抗变形的能力。

→变形的基本假设：连续性假设，均匀性假设，各向同性假设。

→沿不同方向力学性能不同的材料，称为各向异性材料，如木材、胶合板和某些人工合成材料。

→ 分布力表面力集中力（火车轮对钢轨压力，滚珠轴承对轴的反作用力）体积力是连续分布于物体内各点的力，例如物体的自重和惯性力等。

→动载荷，静载荷→应力p应分解为正应力? ，切应力τ。

26→应力单位pa，1pa=1N/m；常用Mpa，1Mpa=10pa。

第二章拉伸、压缩与剪切2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力→习惯上，把拉伸的轴力规定为正，压缩时的轴力规定为负。

→用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。

→FN=?A ；?(x)=FN(x)/A(x)2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的内力和应力α轴向拉伸（压缩）时，在杆件的横截面上，正应力为最大值；在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值。

最大切应力在数值上等于最大正应力的二分之一。

此外，α=90°时，?α=τα=0 ，这表示在平行于杆件轴线的纵向截面上无任何应力。

（应力，p=F/A，45°斜截面上，力→ ，面积→ 。

） 2.7 安全因数许用应力和安全因数的数值，可以在有关部门的一些规范中查到。

目前一般机械制造中，在静载的情况下，对塑性材料可取ns=1.2～2.5。

脆性材料均匀性较差，且断裂突然发生，有更大的危险性，所以取nb=2～3.5，甚至取到3～9。

2.8 轴向拉伸或压缩时的变形→胡克定律，当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。

?=Eε，弹性模量E的值随材料而不同。

2222=ε=E=AE ；?l=AE ?FFL即，对长度相同，受力相等的杆件，有EA越大则变形Δｌ越小，所以称EA为杆件的抗拉/压刚度。

→泊松比，当应力不超过比例极限时横向应变ε’与轴向应变ε之比的绝对值是一个常数，即�O�O=μ。

μ称为横向变形因数或泊松比，是一个量纲一的量。

εε’→几种常用材料的E和μ的约值（弹性模量，泊松比）材料名称碳钢合金钢灰铸铁铜及其合金铝合金 ??Ｎ(x)?dx???A(x)E/（Gpa） 196～216 186～206 78.5～157 72.6～128 70 ??Ｎ(x)?dx???A(x)μ 0.24～0.28 0.25～0.30 0.23～0.27 0.31～0.42 0.33 →若杆件横截面沿轴线变化；轴力也沿轴线变化。

长为dx的微段，d(?l)=,则?l= L2.9 轴向拉伸或压缩的应变能→固体受外力作用而变形；在变形过程中，外力所做的功将转变为储存于固体内的能量。

固体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能。

→dw=F?d(Δl) w= 0Δl1Fd(Δl)，w=2F?Δl11νε=w=2F?Δl=2EA νε=2?ε=1Eε22=2E ?2也νε= νε?dν ν2.10 拉伸、压缩超静定问题几何关系，变形协调方程。

胡克定律是唯一联系变形与轴力之间的关系。

超静定问题是综合了静力方程，变形协调方程（几何方程）和物理方程等三方面关系求解的。

物理方程，变形协调方程。

2.1.1 温度应力和装配应力一、温度应力温度变化将引起物体的膨胀或收缩。

静定结构可以自由变形，当温度均匀变化时，并不会引起构件的内力。

但如超静定结构的变形受到部分或全部约束，温度变化时，往往就要引起内力。

当温度变化ΔT时，杆件的温度变形（伸长）应为 ?lT=αlΔT?l ，式中αl为材料的线胀系数。

先拆除联系，允许其自由膨胀ΔlT，再加入约束，应力引起变形Δl，→协调方程二、装配应力→对静定结构，加工误差只不过是造成几何形状的细微变化，不会引起内力；但对超静定结构，加工误差往往要引起内力。

2.1.2 应力集中的概念→实验结果和理论分析表明，在零件尺寸突然改变处的横截面上，应力并不是均匀分布的。

应力集中：因杆件外形突然变化，而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。

→应力集中因数k=?max?，它反映了应力集中的程度，是一个大于1的因数。

→截面尺寸改变的越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度就越严重。

→用塑性材料制成的零件在静载作用下，可以不考虑应力集中的影响。

对于脆性材料制成的零件，应力集中的危害显得严重。

→对于灰铸铁，其内部的不均匀性和缺陷往往是产生应力集中的主要因素，而零件的外形改变所引起的应力集中就可能成为次要因素，对零件的承载能力不一定造成明显的影响。

→当零件受到周期性变化的应力或受冲击载荷作用时，不论是塑性材料还是脆性材料，应力集中对零件的强度都有严重影响，往往是零件破坏的根源。

2.13 剪切和挤压的实用计算→剪切的特点是，对于构件某一截面两侧的力，大小相等、方向相反且相互平行，使构件的两部分沿这一截面发生相对错动的变形。

剪切面上的应力为剪应力，分布方式为均匀分布。

τ=FSA（剪切面上的平均切应力）FSA→安全因数n，许用切应力[τ],强度条件τ=≤[τ]。

二、挤压的实用计算在外力作用下，连接件和被连接的构件之间，必将在接触面上相互压紧，这种现象称为挤压。

?bs=A ，?bs=AbsFFbs≤[?bs] 。

第三章扭转→杆件的两端作用两个大小相等、方向相反，且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这就是扭转变形。

3.2 外力偶矩的计算扭矩图，横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩。

右手螺旋法（传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。

）3.3 纯剪力 M=2πr?δτrτ=M22πrδ二、切应力互等定理在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。

（即切应力互等定理或称切应力双生定理）三、切应变，剪切胡克定律单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力而并无正应力，这种情况称为纯剪切。

→当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比，即剪切胡克定律。

τ=Gγ式中G为比例常数，称为材料的切变模量。

因γ的量纲为一，G的量纲与τ相同。

（钢材的G值约为80Gpa）→三个弹性常量，即弹性模量E，泊松比μ，切变模量G。

E：胡克定律，应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，σ=Eε。

μ：应力不超过比例极限时，横向应变ε’与轴向应变ε之比的绝对值是一个常数，�Oε′ε�O=μ。

EG：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。

τ=Gγ。

? 对各向同性材料，可以证明三个弹性常数E，G，μ之间存在下列关系：G=2（1+μ）四、剪切应变能3.4 圆轴扭转时的应力→圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。

→扭转角φ，用弧度来度量。

变形几何关系，γρ=ρdφdxdφdx，是扭转角φ沿x轴的变化率，对一个给定的截面上的各点来说，它是常量。

横截面上任意点的切应变与改点到圆心的距离ρ成正比。

物理关系，τρ=Gγρ，即τρ=Gρ dx表明，横截面上任意点的切应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比。

因为γρ发生于垂直半径的平面内，所以τρ也与半径垂直。

（也同时要注意到切应力互等定理）静力关系，微分面积 dA=ρdθ?dρ；dA上的微内力τρdA，力矩ρτρdA。

积分得到横截面上，力矩= ΛρτρdA T= ΛρτρdA=G Λρ2dAdxIP= ΛρτρdA ，横截面对圆心O的极惯性矩。

IP的量纲为长度的四次方。

T=GIPdx ，（又τρ=Gρ ）dx消去dφdφdφ2dφdφ，→τρ=dxTρIP（τρ=TRIP）T抗扭截面系数 Wt=IP，则τmax=W Rt以上为以平面假设为基础导出的公式，只适用于等直圆杆；也可适用于圆截面沿轴线变化缓慢的的小锥度锥形杆。

→Wt①实心圆轴，Wt =②空心圆轴，Wt =强度条件τmax=πD31616dDπD3（1?α4）α= TmaxWt≤[τ]3.5 圆轴扭转时的变形与刚度计算→扭转变形的的标志的标志是两个横截面间绕轴线的相对转角，亦即扭转角。

dφ=TGIPdxdφ表示相距为dx的两个横截面之间的相对转角。

沿轴线x积分，即可求得距离为l的两个横截面之间的相对转角为φ= dφ= 0GIdx lP(若在两截面之间T的值不变，且轴为直杆，则TGIPlT为常量。

)（GIP 称为圆轴的抗扭刚度）例如只在等直圆轴的两端作用扭转力偶时，φ=用φ‘表示变化率dφdxTlGIPφ‘=dφdx=GI PTφ的变化率φ‘是相距为1单位长度的两截面的相对转角，称为单位长度扭转角，单位rad/m。

扭转的刚度条件就是限定φ‘的最大值不得超过规定的允许值，即φmax=工程中，习惯把(°)/m作为[φ‘]的单位吗，φ’max=TmaxGIPTmaxGIP≤[φ‘] 。

×180°π≤[φ‘] (°)/m 。

3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形→螺旋弹簧簧丝的轴线是一条空间螺旋线，其应力和变形的精确分析比较复杂。

但当螺旋角α很小时，可以省略α的影响，近似的认为，簧丝横截面与与弹簧轴线（亦即F力）在同一平面内。

一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。

此外，当簧丝横截面的直径d远小于弹簧圈的平均直径D时，还可以略去簧丝曲率的影响，近似的用直杆公式计算。

……3.7 非圆截面杆扭转的概念→杆变形后杆的横截面已不再保持为平面（变成空间平面），这种现象称之为翘曲。

故平面假设对非圆截面杆件的扭转已不再适用。

→非圆截面杆件的扭转可以分为自由扭转和约束扭转。

等直杆两端受到扭转力偶的作用，且翘曲不受任何限制的情况，属于自由扭转。

在自由扭转下，杆件各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化，横截面上没有正应力而只有切应力。

约束扭转，由于约束条件或受力限制，造成杆件各截面翘曲程度不同，相邻截面间纵向纤维长度改变，于是横截面上除切应力外还有正应力。

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