二、离散化方法
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二、离散化方法
wk.baidu.com散化方法
1 计算区域及其离散化 2 流动传热控制方程及其离散化
计算区域和边界
计算区域: 从实际问题抽象出来的物理数学模型 中所规定的物理量发生变化的主要区域。 线：直线 面：矩形、圆形、环形、扇形、环扇形 体：立方体、球体、圆柱体 边界： 物理量发生变化的最大界限，或者所 研究对象与外界的分界线。
能量守恒方程:
( c pT ) t div( c p UT )=div( gradT ) ST
流动传热控制方程
不可压缩流体流动方程组:
u v 0 x y
导热方程:
u u u 1 p 2u 2u u v 2 2 t x y x x y v v v 1 p 2v 2v u v 2 2 t x y y x y
计算区域和边界
突扩后台阶流动计算区域和边界：
计算区域和边界
埋地热油管道土壤传热计算区域和边界：
y
地表
o
H0管道埋深
大气
x
y
向 热 力 影 响 区
管道和防腐层等
土壤
H
x 向热力
影响区2L
计算区域和边界
确定计算区域和边界的原则:
包含所研究问题的全部特征或近似全部的 特征。
取决于物理问题本身，不能随意取 有一定的灵活性 与所采用的物理模型或数值方法有关
计算区域离散化
计算区域的离散化: 对空间上连续的计算区域进行剖分， 划分成许多子区域。实质上就是用一组有 限个离散的点来代替原来的连续空间。 线区域的离散 面区域的离散 体区域的离散
计算区域离散化
计算区域离散化的基本步骤:
将计算区域边界线用若干个点划分为若干段 按照计算区域的形状连接这些点将计算区域划 分为互不重叠的若干个子区域(网格) 确定物理量代表点(节点)在子区域中的位置
是否唯一的离散方式？
计算区域离散化
网格：
均分网格 非均分网格 网格的命名和步长
节点:
内部节点 边界节点 节点的编号和间距
边界条件
边界条件: 物理模型在边界上遵循的规律或具有 的特点，方程组的解在边界上应满足的条 件。 最重要、最复杂的约束条件 对象与外界联系和相互作用的规律 往往影响数值计算的成败
常用边界条件举例
①
Tair
⑤
对称
T 0 x
(第二类边界条件)
②
① ②
绝热
（第三类边界条件） ③ T=C
④
T |r R p Toil Tw r
Toil
、
p
①
y
③
恒温层
x
(第一类边界条件) T 0 ④ x （第二类边界条件） T ⑤ f (T Tair ) y （第三类边界条件）
边界条件
边界条件分类:
第一类边界条件 边界上给定待求变量的函数关系
具有相对性
第二类边界条件 边界上给定待求变量梯度的函数关系 第三类边界条件 边界上给定待求变量与其梯度之间的函数关系
常用边界条件举例
恒壁温边界条件
恒热流边界条件
绝热边界条件 入口出口边界条件 对称边界条件 周期性边界条件
方程离散化的两类基本方法： 有限差分法 有限容积法
控制方程的离散化
有限差分法： 利用泰勒展开将控制方程中的所有导 数项表示成有限个节点值的代数组合，从 而将微分方程表示成差分方程。 2 2 f f x x0 n f ( x) f ( x0 ) x x0 2 o( x x0 )
C 2 u= y h 2
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
( c pT ) t = T T ST x x y y
沿x方向一维无源稳态导热
T x x 0
两次不定积分 恒温边界条件 解析解
T c1 x
T
c1
x c2
x 0, T T1; x l , T T2
T2 T1 T x T1 l
控制方程的离散化
一般情况下无法作上述化简 解决途径：离散化后再求解
控制方程离散化： 用离散的计算区域中的节点上的变量 及其导数值来代替控制方程中的连续函数。
( c pT ) t T T = ST x x y y
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
u v 0 x y
u u u 1 p 2u 2u u v 2 2 t x y x x y v v v 1 p 2v 2v u v 2 2 t x y y x y
f f ( x)dx
x1 x2
x x 2
f 2 f x 2 f ( x x ) f ( x ) x 2 o( x n ) x x 2
截断误差及其阶数
控制方程的离散化
有限容积法： 将控制方程在离散的计算区域中的每 个具有有限容积的网格单元内进行积分， 得到每个有限容积内的变量平均值表达式。
常用边界条件举例
流动传热控制方程
控制方程: 物理模型所用的数学表达式，控制物理量 的变化规律。 质量守恒方程:
( U ) 0 t
流动传热控制方程
动量守恒方程:
( u) p div( uU ) div( gradu ) Su t x ( ) p div( U ) div( grad ) Sv t y ( w) p div( wU ) div( gradw) S w t z
沿x方向压力梯度为定值的平板定常层流
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
2u 1 p C = = 2 y x
两次不定积分
u C = y c1 y
C y2 u= c1 y c2 2
平板边界条件
解析解
y 0, u 0; y h, u 0
wk.baidu.com散化方法
1 计算区域及其离散化 2 流动传热控制方程及其离散化
计算区域和边界
计算区域: 从实际问题抽象出来的物理数学模型 中所规定的物理量发生变化的主要区域。 线：直线 面：矩形、圆形、环形、扇形、环扇形 体：立方体、球体、圆柱体 边界： 物理量发生变化的最大界限，或者所 研究对象与外界的分界线。
能量守恒方程:
( c pT ) t div( c p UT )=div( gradT ) ST
流动传热控制方程
不可压缩流体流动方程组:
u v 0 x y
导热方程:
u u u 1 p 2u 2u u v 2 2 t x y x x y v v v 1 p 2v 2v u v 2 2 t x y y x y
计算区域和边界
突扩后台阶流动计算区域和边界：
计算区域和边界
埋地热油管道土壤传热计算区域和边界：
y
地表
o
H0管道埋深
大气
x
y
向 热 力 影 响 区
管道和防腐层等
土壤
H
x 向热力
影响区2L
计算区域和边界
确定计算区域和边界的原则:
包含所研究问题的全部特征或近似全部的 特征。
取决于物理问题本身，不能随意取 有一定的灵活性 与所采用的物理模型或数值方法有关
计算区域离散化
计算区域的离散化: 对空间上连续的计算区域进行剖分， 划分成许多子区域。实质上就是用一组有 限个离散的点来代替原来的连续空间。 线区域的离散 面区域的离散 体区域的离散
计算区域离散化
计算区域离散化的基本步骤:
将计算区域边界线用若干个点划分为若干段 按照计算区域的形状连接这些点将计算区域划 分为互不重叠的若干个子区域(网格) 确定物理量代表点(节点)在子区域中的位置
是否唯一的离散方式？
计算区域离散化
网格：
均分网格 非均分网格 网格的命名和步长
节点:
内部节点 边界节点 节点的编号和间距
边界条件
边界条件: 物理模型在边界上遵循的规律或具有 的特点，方程组的解在边界上应满足的条 件。 最重要、最复杂的约束条件 对象与外界联系和相互作用的规律 往往影响数值计算的成败
常用边界条件举例
①
Tair
⑤
对称
T 0 x
(第二类边界条件)
②
① ②
绝热
（第三类边界条件） ③ T=C
④
T |r R p Toil Tw r
Toil
、
p
①
y
③
恒温层
x
(第一类边界条件) T 0 ④ x （第二类边界条件） T ⑤ f (T Tair ) y （第三类边界条件）
边界条件
边界条件分类:
第一类边界条件 边界上给定待求变量的函数关系
具有相对性
第二类边界条件 边界上给定待求变量梯度的函数关系 第三类边界条件 边界上给定待求变量与其梯度之间的函数关系
常用边界条件举例
恒壁温边界条件
恒热流边界条件
绝热边界条件 入口出口边界条件 对称边界条件 周期性边界条件
方程离散化的两类基本方法： 有限差分法 有限容积法
控制方程的离散化
有限差分法： 利用泰勒展开将控制方程中的所有导 数项表示成有限个节点值的代数组合，从 而将微分方程表示成差分方程。 2 2 f f x x0 n f ( x) f ( x0 ) x x0 2 o( x x0 )
C 2 u= y h 2
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
( c pT ) t = T T ST x x y y
沿x方向一维无源稳态导热
T x x 0
两次不定积分 恒温边界条件 解析解
T c1 x
T
c1
x c2
x 0, T T1; x l , T T2
T2 T1 T x T1 l
控制方程的离散化
一般情况下无法作上述化简 解决途径：离散化后再求解
控制方程离散化： 用离散的计算区域中的节点上的变量 及其导数值来代替控制方程中的连续函数。
( c pT ) t T T = ST x x y y
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
u v 0 x y
u u u 1 p 2u 2u u v 2 2 t x y x x y v v v 1 p 2v 2v u v 2 2 t x y y x y
f f ( x)dx
x1 x2
x x 2
f 2 f x 2 f ( x x ) f ( x ) x 2 o( x n ) x x 2
截断误差及其阶数
控制方程的离散化
有限容积法： 将控制方程在离散的计算区域中的每 个具有有限容积的网格单元内进行积分， 得到每个有限容积内的变量平均值表达式。
常用边界条件举例
流动传热控制方程
控制方程: 物理模型所用的数学表达式，控制物理量 的变化规律。 质量守恒方程:
( U ) 0 t
流动传热控制方程
动量守恒方程:
( u) p div( uU ) div( gradu ) Su t x ( ) p div( U ) div( grad ) Sv t y ( w) p div( wU ) div( gradw) S w t z
沿x方向压力梯度为定值的平板定常层流
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
2u 1 p C = = 2 y x
两次不定积分
u C = y c1 y
C y2 u= c1 y c2 2
平板边界条件
解析解
y 0, u 0; y h, u 0