6.7 子空间的直和

第六章 线性空间

学习单元7： 子空间的直和

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● 导学

学习目标：

了解子空间的直和的概念；理解子空间的直和的判别；掌握证明线性空间V 是两个子空间的直和的证明方法。

学习建议：

本学习单元的理论比较抽象，建议大家认真看书，深刻理解概念及定理的条件与结论，通过例题掌握证明方法。

重点难点：

重点：深刻理解子空间的直和的概念与判别法。

难点：线性空间分解成两个子空间的直和的证明。

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● 学习内容

一、直和的概念

观察两个子空间的和的特点

例 212,{(,,0)|,},{(0,,)|,}V P V a b a b P V x y x y P ==∈=∈，

则12V V V +=，但V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法不唯一，如

(1,7,4)(1,2,0)(0,5,4)(1,3,0)(0,4,4)

=+=+ 又12{(,,0)|,},{(0,0,)|}V a b a b P V x x P =∈=∈。

则12V V V +=，而V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法唯一。

定义 V 为P 上线性空间，12,V V V ≤，如果12V V +中向量表为1V 与2V 中向量的和时，

表法唯一，即由

1212111222,,,,V V αααββαβαβ=+=+∈∈

可推出1122,αβαβ==，则称这个和为直和，记为12V V ⊕。

二、直和的判别

定理 设12,V V 为数域P 上线性空间V 的两个子空间，则下列几条等价。

（1）1212V V V V +=⊕；

（2）12V V +中零向量表法唯一；

（3）12{0}V V =I ；

（4）1212dim()dim dim V V V V +=+。

推广

定理 设1,,s V V V ≤L ，则下列几条等价。

（1）11s s V V V V ++=⊕⊕L L ；

（2）1s V V ++L 中零向量表法唯一；

（3）(){0},1,2,,i j j i

V V i s ≠==∑I L ；

（4）11dim()dim dim s s V V V V ++=++L L 。

三、补空间

定理 设W V ≤，则存在U V ≤，使V W U =⊕。

定义 称U 为W 在V 中的补空间。

注 补空间不唯一。

注 如何证明12V V V =⊕。

证明两点：（1）12V V V =+；

（2）1212V V V V +=⊕。

例 设12,W W 分别是数域P 上齐次线性方程组

10n x x ++=L 与12n x x x ===L 的解空间，证明12n P W W =⊕。

证：显然10n x x ++=L 的解空间11W n -是维，令

121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n ααα-=-=-=-L L L L ，易证11,,n αα-L 作成1W 的一个基，

又容易证明齐次线性方程组12n x x x ===L 的解空间2W 为1维，取(1,1,,1)β=L ，则β作成2W 的一个基。

又因11,,,n ααβ-L 线性无关，所以11,,,n ααβ-L 作成n P 的一个基，于是12n P W W =+，又因12dim dim dim n P W W =+，所以12n P W W =⊕。

【教师解读】

子空间的直和是子空间的和的特殊情形，主要是和空间中向量表成子空间中向量的和的表示方法是唯一的。

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● 拓展资料

1．证明：每个n 维线性空间都可表为n 个一维线性子空间的直和。

2．设W 是n 维线性空间V 的子空间，且0dim W n <<，举例说明W 在V 中的补空间不唯一。

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● 讨论交流

讨论主题：子空间的直和与子空间的和的区别与联系。

教师提示：回顾子空间的直和与子空间的和的定义。