一次函数与等腰直角三角形的存在性问题 第七讲

一次函数与等腰直角三角形的存在性问题

第七讲

一、直角三角形存在性问题 攻略：

1.若要画出直角三角形则有以下画法：

以顶点分类（1）已知定点处直角画角三角形用直尺直 接画直角找动点（2）已知动点处为直角画直角三角形 用圆规以直角三角形的斜边为直径画圆找动点；

2.直角三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快；

3.几何法一般分三步：分类、画图、计算；

4.代数法一般也分三步：罗列三边长、借助直角三角形性质建等式、解方程并检.

二、（1）例题精讲---直角三角形的存在性问题

例1：点A(0，3)，B(8，3)，点C 在x 轴上，若△ABC 是直角三角形，请求出所以满足条件的C 的坐标.

x

x

x

变式：如图，已知点A （0，1），B （4，3）在直线

上，

P 是x 轴上一点，若△ABP 是直角三角形，则点P 的坐标为多少？

（2）强化练习

1、在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，0），B （2，0），若点C 在一次函

数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则点C 的坐标为 .

2、如图，已知A （1，0），B （0，3），P 是直线x=2上一点，若△ABP 是直角三角形，则点P 的坐标为 .

x

x

的坐标为（5

,

2

m），连接

.

4、如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了t秒(0＜t＜4)时，在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说

明理由．

5、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的3个顶点分别是点A(3，0)，B(3，4)，C(0，4).若点P 在线段OA 上，从点O 向点A 以1个单位长度/s 的速度运动；同时，点Q 在线段AC 上，从点A 向点C 以2个单位长度/s 速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.设点P 的运动时间为t ，当t 为何值时，△PAQ 为直角三角形？

6、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的两邻边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，顶点B 的坐标为（5，2），D 是点A 右侧的x 轴上一点，E 是y 轴负半轴上一点，且OE=2AD=2t ．连接BD ，BE ，DE ，当△BDE 是直角三角形时，求t 的值.

三、（1）例题精讲---等腰三角形的存在性问题 攻略： 1.若要画出直角等腰三角形则有以下画法： 先确定直角在利用等腰列式子：确定直角时以顶点分类 （1）已知定点处直角画角三角形用直尺直接画直角找动点； （2）已知动点处为直角画直角三角形用圆规以直角三角形的斜边为直径画圆找动点；

2.直角等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快；

3.几何法一般分三步：分类、画图、计算；

4.代数法一般也分三步：罗列三边长、表达线段长，借助等腰直角三角形性质建等式、解方程并检验.

例2：如图，直线23

3

+=

x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是x 轴上的动点，若使△ABP 为等腰三角形，则点P 的坐标是 .

变式：如图，直线343

-+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，

点P 是线段AB 上的动点，若使△OAP 为等腰三角形，则点P 的坐标是 .

（2）强化练习

1、如图，直线y=x+3与y 轴交于点A ，与直线x=1交于点B ，点P 是直线x=1上的动点，若使△ABP 为等腰三角形，则点P

的坐标是 .

2、如图，直线l

：y=x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，

1

：y=﹣x+b经过点C，且与直点C为x轴上任意一点，直线l

2

交于点D，与y轴交于点E，连结AE．

线l

（1）当点C的坐标为（2，0）时，

的函数表达式；

①求直线l

2

②求证：AE平分∠BAC；

（2）问：是否存在点C，使△ACE是以CE为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

四、（1）例题精讲---等腰直角三角形的存在性问题

例3：如图，直

线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，在第一象限是否存在点P ，使以A ，B ，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

变式：直线13

1

+=

x y 与x 轴，y 轴分别交于A,B 两点，C 是第二象限点，则使△ABC 是等腰直角三角形的C 点坐标是 .

x

x

x

（2）强化练习

1、（2012秋•中山区期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为A（4，0），B（0，8），

直线y=2与直线AB交于点C，与y轴交于点D；

（1）求直线AB的解析式；

（2）点E是直线AB上的一个动点，问：在y轴上是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点E及对应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

2、（2014秋•长兴县期末）如图，在平面平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴与点B，点C是AB的中点，过点C作直线CD⊥x轴于点D，点P是直线CD上的动点．

（1）填空：线段OA的长为；线段OB的长为；

（2）求点C的坐标；

（3）是否存在这样的点P，使△POB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．