用导数法求函数的最值的练习题解析

用导数法求函数的最值的练习题解析
一、选择题
1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若
M ＝m ，则f ′(x )( )
A ．等于0
B ．大于0
C ．小于0
D ．以上都有可能
[答案] A
[解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A.
2．设f (x )＝14x 4＋13x 3＋1
2x 2在[－1,1]上的最小值为( )
A ．0
B ．－2
C ．－1
D.13
12
[答案] A
[解析] y ′＝x 3＋x 2＋x ＝x (x 2＋x ＋1) 令y ′＝0，解得x ＝0.
∴f (－1)＝5
12，f (0)＝0，f (1)＝13
12
∴f (x )在[－1,1]上最小值为0.故应选A.
3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.22
27
B ．2
C ．－1
D ．－4
[答案] C
[解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝1
3
或x ＝－1
当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝22
27；当x ＝1时，y ＝2.
所以函数的最小值为－1，故应选C.
4．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为34
B ．最大值为1，最小值为4
C ．最大值为13，最小值为1
D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A
[解析] ∵y ＝x 2－x ＋1，∴y ′＝2x －1，
令y ′＝0，∴x ＝12，f (－3)＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3
4，f (0)＝1.
5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( )
A.
2
B ．1
C ．0
D ．不存在
[答案] A
[解析] y ′＝1
2
x －
1
2
1－x ＝12·1－x －x x ·1－x
由y ′＝0得x ＝12，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上y ′>0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1上
y ′<0.∴x ＝1
2时y 极大＝
2， 又x ∈(0,1)，∴y max ＝
2.
6．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 [答案] D
[解析] f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)．
令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1) ∴该方程无解，
故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.
7．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )
A ．5，－15
B ．5,4
C ．－4，－15
D ．5，－16
[答案] A
[解析] y ′＝6x 2－6x －12＝6(x －2)(x ＋1)， 令y ′＝0，得x ＝2或x ＝－1(舍)． ∵f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4， ∴y max ＝5，y min ＝－15，故选A.
8．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为15
4，则a 等
于( )
A ．－3
2
B.12 C ．－1
2
D.12或－32
[答案] C
[解析] y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意． 当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减， 最大值为f (a )＝－a
2－2
a ＋3＝15
4
，
解得a ＝－12或a ＝－3
2
(舍去)．
9．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是
( )
A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3
B ．－3<k <－1或1<k <3
C ．－2<k <2
D ．不存在这样的实数 [答案] B
[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.
10．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数
a 的取值范围是( )
A ．[3，＋∞)
B ．[－3，＋∞)
C ．(－3，＋∞)
D ．(－∞，－3)
[答案] B
[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立
即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立 又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3 ∴a ≥－3，故应选B. 二、填空题
11．函数y ＝x 32＋(1－x )3
2，0≤x ≤1的最小值为______．
[答案]
22
由y ′>0得x >12，由y ′<0得x <1
2
.
此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上为减函数，在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，1上为增函数，∴最小值
在x ＝12时取得，y min ＝22
.
12．函数f (x )＝5－36x ＋3x 2＋4x 3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．
[答案] 不存在；－2834
[解析] f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2，
令f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝32；当x >3
2时，函数为增函数，当
－2≤x ≤3
2时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f (－2)＝57，
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32＝－2834，所以最小值为－2834.
13．若函数f (x )＝
x
x 2＋
a
(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为
33
，则
a 的值为________．
[答案]
3－1
[解析] f ′(x )＝
x 2＋a －2x 2
(x 2＋a )2
＝
a －x 2
(x 2＋a )2
令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝－a (舍去)
当x >
a 时，f ′(x )<0；当0<x <a 时，f ′(x )>0；
当x ＝a 时，f (x )＝
a
2a
＝
33，a ＝
32
<1，不合题意．
∴f (x )max ＝f (1)＝1
1＋a ＝3
3
，解得a ＝3－1.
14．f (x )＝x 3－12x ＋8在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________.
[答案] 32
[解析] f ′(x )＝3x 2－12 由f ′(x )>0得x >2或x <－2， 由f ′(x )<0得－2<x <2.
∴f (x )在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．
又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，
f (3)＝－1，
∴最大值M ＝24，最小值m ＝－8， ∴M －m ＝32. 三、解答题
15．求下列函数的最值：
(1)f (x )＝sin2x －x ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫－π2≤x ≤π2；
(2)f (x )＝x ＋1－x 2.
[解析] (1)f ′(x )＝2cos2x －1. 令f ′(x )＝0，得cos2x ＝1
2
.
又x ∈⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤－π2，π2，∴2x ∈[－π，π]，
∴2x ＝±π3，∴x ＝±π6
.
∴函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤
－π2，π2上的两个极值分别为
f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫－π6＝－32＋π6.
又f (x )在区间端点的取值为
f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2＝π
2
.
比较以上函数值可得f (x )max ＝π2，f (x )min ＝－π
2.
(2)∵函数f (x )有意义，
∴必须满足1－x 2≥0，即－1≤x ≤1， ∴函数f (x )的定义域为[－1,1]．
f ′(x )＝1＋1
2
(1－x 2)－12·(1－x 2)′＝1－
x
1－x
2
.
令f ′(x )＝0，得x ＝
22
.
∴f (x )在[－1,1]上的极值为
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫22
＝22
＋
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫22
2＝ 2.
又f (x )在区间端点的函数值为f (1)＝1，f (－1)＝－1，比较以上函数值可得f (x )max ＝2，f (x )min ＝－1.
16．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.求
f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－34，14上的最
大值和最小值．
[解析]
f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32，＋∞.
f ′(x )＝2x ＋2
2x ＋3＝4x 2＋6x ＋2
2x ＋3
＝2(2x ＋1)(x ＋1)
2x ＋3
.
当－3
2<x <－1时，f ′(x )>0；
当－1<x <－1
2时，f ′(x )<0；
当x >－1
2
时，f ′(x )>0，
所以f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－34，14上的最小值为 f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝ln2＋14. 又
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 499<0， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 72＋116
. 17．(2010·安徽理，17)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .
(1)求f (x )的单调区间及极值；
(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.
[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．
解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．
[解析] (1)解：由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .
令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，
ln2)
ln2
(ln2，＋
∞)
f′(x
)
－0＋
f(x)单调递减2(1－ln2
＋a)
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a)．
(2)证明：设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.
18．已知函数f (x )＝4x 2－72－x
，x ∈[0,1]． (1)求f (x )的单调区间和值域；
(2)设a ≥1，函数g (x )＝x 3－3a 2x －2a ，x ∈[0,1]．若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围．
[解析] (1)对函数f (x )求导，得
f ′(x )＝－4x 2＋16x －7(2－x )2＝－(2x －1)(2x －7)(2－x )
2 令f ′(x )＝0解得x ＝12或x ＝72
. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x
0 (0，12) 12 (12，1) 1 f ′(x
)
－ 0 ＋
f (x ) －72 －4 －3
所以，当x ∈(0，12
)时，f (x )是减函数；
当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1时，f (x )是增函数． 当x ∈[0,1]时，f (x )的值域为[－4，－3]．
(2)g ′(x )＝3(x 2－a 2)．
因为a ≥1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0.
因此当x ∈(0,1)时，g (x )为减函数，从而当x ∈[0,1]时有g (x )∈[g (1)，g (0)]．
又g (1)＝1－2a －3a 2，g (0)＝－2a ，即x ∈[0,1]时有g (x )∈[1－2a －3a 2，－2a ]．
任给x 1∈[0,1]，f (x 1)∈[－4，－3]，存在x 0∈[0,1]使得g (x 0)＝f (x 1)成立，
则[1－2a －3a 2，－2a ]⊇[－4，－3]．
即⎩⎨⎧ 1－2a －3a 2≤－4，①－2a ≥－3.②
解①式得a ≥1或a ≤－53；解②式得a ≤32
. 又a ≥1，故a 的取值范围为1≤a ≤32
.
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