02.3.应力·拉(压)杆内的应力解析
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2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应 力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同， 只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。
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武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同， 只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。
第二章 轴向拉伸和压缩
平均应力的定义
受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布 内力的平均集度即平均应力， p
m
F ，其方向和大小一般 A
随所取ΔA的大小而不同。
F
M
A
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第二章 轴向拉伸和压缩
总应力定义：
该截面上M点处分布内力的集度为 p lim
而
d FR ( pb d )sin pbd 0 2
π
所以
1 pbd pd (2 106 Pa)(0.2m) s ( ) b 2 2 2(510-3 m) 40106 Pa 40 MPa
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 150103 N s2 0.37 m 0.37 m A2 1.1106 Pa 1.1 MPa (压应力)
s 2 s1
所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力）
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F
实验现象及假设：
a b
a
b
c
d
c d
F
1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线ab和cd在杆受拉 (压)后的相对位移：两横向线平移后仍为直线，仍相互平 行，且仍垂直于杆的轴线。 2. 设想横向线代表杆的横截面。平面假设——原为 平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆且仍相 互平行，仍垂直于轴线。
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第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅰ.应力的概念
应力:指受力杆件某截面上某一点处的内力分布疏密 程度，即内力的分布集度。
（大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，集 度的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏”或“ 失效” 往往从内力集度最大处开始。）
F1
F2
F3
Fn
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FN A
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得：等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 s
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
公式应用范围：
1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些 特定杆件,例如锲[qiè]形变截面杆受拉伸(压缩)时，平截面 假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。
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正应力和切应力的正负规定： 1、对正应力s ：离开截面的正应力s 为正； 指向截面的正应力为负。 2、对切应力t：对截面内部一点产生顺时针力矩为正；
对截面内部一点产生逆时针力矩为负。
s （＋）
t
（＋）
s（－）
t （－）
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第二章 轴向拉伸和压缩
圣维南原理已被实验所证实，故等直拉压杆的正应 力计算都可以以公式 s FN 为准。 A
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3、最大正应力： 等直杆受几个轴向外力时，由轴力图可求得其最大轴
FN 力 FN ,max ，代入公式 s 可得杆内最大正应力为： A
最大轴力所在的横截面成为危险截面，危险截面上的 正应力为最大工作应力。
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• 讨论题
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第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-2 试求此正方 形砖柱由于荷载引起的横 截面上的最大工作应力。 已知F = 50 kN。
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第二章 轴向拉伸和压缩
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
FN1 50 103 N s1 A1 (0.24 m) (0.24 m) 0.87 106 P a 0.87 MP a (压应力)
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-3 应力· 拉(压)杆内的应力
10KN 10KN
A=10mm2
哪个杆先破坏?
100KN 100KN
A=100mm2
在确定了拉(压)杆的轴力以后，并不能判断杆件是否 会因强度不足而破坏。因为轴力只是杆横截面上分布内力 系的合力，而要判断杆是否会因强度不足而破环，还必须 知道内力的分布集度，以及材料承受荷载的能力。
Ⅱ.轴向拉(压)杆横截面上的应力
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关； (2) s在横截面上的变化规律：横截面上各点处s 相等 时，可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴 力FN；横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成 轴力FN。
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第二章 轴向拉伸和压缩
A0
F dF ，其 A dA
方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。
F
M
A
p
M
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p
t
M 某一截面上法向分 法向分量 正应力s 布内力在某一点处 的集度
s
总应力 p 切向分量 切应力t
wk.baidu.com
某一截面上切向分 布内力在某一点处 的集度
应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。
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第二章 轴向拉伸和压缩
F
a b
a
b
c
d
c d
F
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。由于假设材料是均匀的，而杆 的分布内力集度又与杆件纵向线段的变形相对应，因而杆件 横截面上的正应力s呈均匀分布，亦即横截面上各点处的正 应力s 都相等。由合力概念知：
第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-3 已知薄壁圆环 d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。
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第二章 轴向拉伸和压缩
解：薄壁圆环 (δ<<d )在内压力作用下，径向截面上的 拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法 FN s 向力FN后,用式 求拉应力。 b F FN R 2
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第二章 轴向拉伸和压缩
圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同， 只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。
第二章 轴向拉伸和压缩
平均应力的定义
受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布 内力的平均集度即平均应力， p
m
F ，其方向和大小一般 A
随所取ΔA的大小而不同。
F
M
A
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第二章 轴向拉伸和压缩
总应力定义：
该截面上M点处分布内力的集度为 p lim
而
d FR ( pb d )sin pbd 0 2
π
所以
1 pbd pd (2 106 Pa)(0.2m) s ( ) b 2 2 2(510-3 m) 40106 Pa 40 MPa
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 150103 N s2 0.37 m 0.37 m A2 1.1106 Pa 1.1 MPa (压应力)
s 2 s1
所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力）
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F
实验现象及假设：
a b
a
b
c
d
c d
F
1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线ab和cd在杆受拉 (压)后的相对位移：两横向线平移后仍为直线，仍相互平 行，且仍垂直于杆的轴线。 2. 设想横向线代表杆的横截面。平面假设——原为 平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆且仍相 互平行，仍垂直于轴线。
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Ⅰ.应力的概念
应力:指受力杆件某截面上某一点处的内力分布疏密 程度，即内力的分布集度。
（大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，集 度的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏”或“ 失效” 往往从内力集度最大处开始。）
F1
F2
F3
Fn
第2页
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FN A
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得：等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 s
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第二章 轴向拉伸和压缩
公式应用范围：
1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些 特定杆件,例如锲[qiè]形变截面杆受拉伸(压缩)时，平截面 假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。
第5页
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正应力和切应力的正负规定： 1、对正应力s ：离开截面的正应力s 为正； 指向截面的正应力为负。 2、对切应力t：对截面内部一点产生顺时针力矩为正；
对截面内部一点产生逆时针力矩为负。
s （＋）
t
（＋）
s（－）
t （－）
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第二章 轴向拉伸和压缩
圣维南原理已被实验所证实，故等直拉压杆的正应 力计算都可以以公式 s FN 为准。 A
第11页
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3、最大正应力： 等直杆受几个轴向外力时，由轴力图可求得其最大轴
FN 力 FN ,max ，代入公式 s 可得杆内最大正应力为： A
最大轴力所在的横截面成为危险截面，危险截面上的 正应力为最大工作应力。
第12页
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• 讨论题
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第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-2 试求此正方 形砖柱由于荷载引起的横 截面上的最大工作应力。 已知F = 50 kN。
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第二章 轴向拉伸和压缩
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
FN1 50 103 N s1 A1 (0.24 m) (0.24 m) 0.87 106 P a 0.87 MP a (压应力)
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-3 应力· 拉(压)杆内的应力
10KN 10KN
A=10mm2
哪个杆先破坏?
100KN 100KN
A=100mm2
在确定了拉(压)杆的轴力以后，并不能判断杆件是否 会因强度不足而破坏。因为轴力只是杆横截面上分布内力 系的合力，而要判断杆是否会因强度不足而破环，还必须 知道内力的分布集度，以及材料承受荷载的能力。
Ⅱ.轴向拉(压)杆横截面上的应力
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关； (2) s在横截面上的变化规律：横截面上各点处s 相等 时，可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴 力FN；横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成 轴力FN。
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第二章 轴向拉伸和压缩
A0
F dF ，其 A dA
方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。
F
M
A
p
M
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p
t
M 某一截面上法向分 法向分量 正应力s 布内力在某一点处 的集度
s
总应力 p 切向分量 切应力t
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某一截面上切向分 布内力在某一点处 的集度
应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。
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第二章 轴向拉伸和压缩
F
a b
a
b
c
d
c d
F
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。由于假设材料是均匀的，而杆 的分布内力集度又与杆件纵向线段的变形相对应，因而杆件 横截面上的正应力s呈均匀分布，亦即横截面上各点处的正 应力s 都相等。由合力概念知：
第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-3 已知薄壁圆环 d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。
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第二章 轴向拉伸和压缩
解：薄壁圆环 (δ<<d )在内压力作用下，径向截面上的 拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法 FN s 向力FN后,用式 求拉应力。 b F FN R 2