新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线长定理三角形的内切圆内心》公开课教学设计_1
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24.2.2.3切线长定理和三角形的内切圆课件人教版数学九年级上册
知识讲解
知识点1 切线长及切线长定理
辅助线作法： ①分别连接圆心和切点； ②连接两切点； ③连接圆心和圆外一点.
知识讲解
知识点1 切线长及切线长定理
【例 1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别 交PA、PB于点E、F，切点C在 AB 上．若PA长为2，则△PEF的周长是 ________．
点D、E，过劣弧 DE (不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与 AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为
()
A．r B. r
C．2r
D. r
知识讲解
知识点2 三角形的内切圆与内心
【例 5】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于 点D、E，过劣弧 DE (不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与 AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为 ( ) 解析：连接OD，OE，
知识讲解
知识点1 切线长及切线长定理
【例 3】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁 环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如 图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5 cm， 则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．
∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， ∴OP＝5 cm，即铁环的半径为5 cm.
知识讲解
知识点1 切线长及切线长定理
【例 2】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上， 如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是___2_0_°___．
∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°. 又易证△POA≌△POB， ∴∠OPA＝ ∠APB＝20°.
人教版数学九年级(上)切线长定理三角形的内切圆内心PPT-公开课
【名师示范课】人教版数学九年级上 册 24.2.2切线长定理、三角形的内切圆、 内心课 件-公 开课课 件（推 荐）
例3. 如图，四边形ABCD的边 AB，BC，CD， DA和⊙O分别相切于L，M，N，P。
（1）图中有几对相等的线段？ （2）由此你能发现什么结论？ 为什么？
D
∵L，AMB，，BNC，，P是CD切，点D，A都与⊙O相切，P
下列图形有切线长吗
A
F
EO
CD
B
【名师示范课】人教版数学九年级上 册 24.2.2切线长定理、三角形的内切圆、 内心课 件-公 开课课 件（推 荐）
【名师示范课】人教版数学九年级上 册 24.2.2切线长定理、三角形的内切圆、 内心课 件-公 开课课 件（推 荐）
内切圆和内心
• 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆
§24.2.2直线和圆的位置关系
-----切线长定理
教学目标： 1.理解切线长的概念，并可在图中识别切线长 2会推导切线长定理 3掌握切线长定理，并会利用它解决相关计算和证 明． 重点：切线长定理及应用 难点：培养学生分析总结问题的习惯 提高学生综合 运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
复习 （1）和圆有唯一公共点的直线叫 圆的切线 （2）圆的切线 垂直于 过切点的半径 （3）圆心到切线的距离 等于 半径
二探索
这是一位同学运动完后放的篮球，如果截它的 平面，那么你能从中发现什么几何知识呢？
P
A
B
地面
墙
经过圆外一
点可以有两
P
条直线与圆 相切
问题：过圆上一点可 以作圆的切线吗？可 以作几条？
O
P
问题：过圆内一点可 以作圆的切线吗？
人教版九年级数学上册《切线长定理,三角形的内切圆》课件
即：4 2 x 2 x 2 2
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
一、判断
基础练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
二、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50
连结PO，则 APO25 度。
A
OБайду номын сангаас
P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
反思
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们
。
构建基本图形。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是
等腰三角形有 2 个，分别是
（3）图中全等三角形 3 对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， A
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
B
PA 2O2AO2P
2
1、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
一、判断
基础练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
二、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50
连结PO，则 APO25 度。
A
OБайду номын сангаас
P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
反思
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们
。
构建基本图形。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是
等腰三角形有 2 个，分别是
（3）图中全等三角形 3 对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， A
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
B
PA 2O2AO2P
2
1、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
课件_人教版 数学九上24切线长定理、三角形的内切圆、内心精美PPT课件
（1）若PB=12，PO=13，则AO=（ ）。
（3）连结圆心和圆外一点
则AD=＿＿，BE=＿＿，CF=＿＿
圆的切线长就圆的切线的长度。
（3）若AB=4，BC=5，AC=6，
O · 圆外一点与切点间的距离，可度量。
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
P
则AD=＿＿，BE=＿＿，CF=＿＿
∵OA=OB，OP=OP 如图，直线AB经过⊙O 上的点C，并且 OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是⊙O 的切线。
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． PD=（ ） 。
PD=（ ） 。
这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果
A、1 B、 C、
D、2
PA、PB分别切⊙O于A、B
∴OA⊥AP，OB⊥BP
PA、PB分别切⊙O于A、B
PD=（ ） 。
（2）若PO=10，AO=6，则PB=（ ）。
A （3）写出图中所有的全等三角形
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵PA、PB与⊙O相切，点A、B是切点
PD=（ ） 。
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
PD=（ ） 。
（1）图中共有几对相等线段？
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之 间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
探究切线与切线长的区别和联系：
区别
联系
切线
是直线，无法度
新人教部编版初中九年级数学上册24.2.2 第3课时 切线长定理及三角形的内切圆
长冲中学-“四学一测”活力课堂
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∴BD＝1.
∴AD＝ AB2 BD2 ＝4 3.
∵
1 2
BC·AD＝
1 2
(AB＋BC＋AC)·r
∴
1 2
×5×4
3＝
1 2
×20r.
∴r＝ 3.
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方法归纳：
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按如图所示摆放，A为60°角与直尺的交点，AB
＝3，则光盘的直径是( D )
A．3 C．6
B．3 3 D．6 3
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4．(2019·南京中考)如图，PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°， 则∠A＋∠C＝ 219 °.
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2．如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°， 下列说法不正确的是( C ) A．PO⊥AB B．∠APO＝20° C．∠OBP＝70° D．∠AOP＝70°
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3．将一把直尺、一块含60°的直角三角板和光盘
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24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理及 三角形的内切圆
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快速对答案
1B 2C 3D 4 219
详细答案
5 点击题序 6A
7A 8＜
详细答案
9 点击题序 10 D
提示：点击 进入习题
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∴BD＝1.
∴AD＝ AB2 BD2 ＝4 3.
∵
1 2
BC·AD＝
1 2
(AB＋BC＋AC)·r
∴
1 2
×5×4
3＝
1 2
×20r.
∴r＝ 3.
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方法归纳：
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按如图所示摆放，A为60°角与直尺的交点，AB
＝3，则光盘的直径是( D )
A．3 C．6
B．3 3 D．6 3
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4．(2019·南京中考)如图，PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°， 则∠A＋∠C＝ 219 °.
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2．如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°， 下列说法不正确的是( C ) A．PO⊥AB B．∠APO＝20° C．∠OBP＝70° D．∠AOP＝70°
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3．将一把直尺、一块含60°的直角三角板和光盘
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24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理及 三角形的内切圆
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人教版九年级数学上册第24章_24.2.2课时3+切线长定理及三角形的内切圆_教学课件
解：设AF=x，则AE=x. CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14. 解得x=4. 因此AF=4，BD=5，CE=9.
新课讲解
求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件.
辅助线 有关概念
① 分别连接圆心和切点； ② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
内心概念及性质
应用
运用切线长定理，将相等线段转化 集中到某条边上，从而建立方程.
当堂小练
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别
相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，
CA=13cm，则AF的长为( C )
由切线的性质得∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，
∴PO＝2 3，∠AOB＝180°－∠APB＝120°.
∴PA＝ PO2 AO2 ＝3， ∠DOE＝ 1∠AOB＝60°.
2
新课讲解
利用切线长定理进行几何计算时，要注意构成切线 长定理的基本图形，作过切点的半径、连接圆外一点与 圆心是常用的作辅助线的方法．由于切线长定理涉及的 线段、角较多，因此熟记基本图形的相关结论是解题的 关键，而三角形的有关性质在解决有关切线问题时，也 起到了很好的辅助作用．
新课讲解
如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们 相交于点 I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等.以点I 为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的 三条边都相切，圆I就是所求作的圆.与三角形各边都相切 的圆叫做三角形的内切圆.
新课讲解
例 2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别相切于点D, E,F,且AB=知9，识B点C=14，CA=13.求AF,BD,CE的长.
由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14. 解得x=4. 因此AF=4，BD=5，CE=9.
新课讲解
求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件.
辅助线 有关概念
① 分别连接圆心和切点； ② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
内心概念及性质
应用
运用切线长定理，将相等线段转化 集中到某条边上，从而建立方程.
当堂小练
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别
相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，
CA=13cm，则AF的长为( C )
由切线的性质得∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，
∴PO＝2 3，∠AOB＝180°－∠APB＝120°.
∴PA＝ PO2 AO2 ＝3， ∠DOE＝ 1∠AOB＝60°.
2
新课讲解
利用切线长定理进行几何计算时，要注意构成切线 长定理的基本图形，作过切点的半径、连接圆外一点与 圆心是常用的作辅助线的方法．由于切线长定理涉及的 线段、角较多，因此熟记基本图形的相关结论是解题的 关键，而三角形的有关性质在解决有关切线问题时，也 起到了很好的辅助作用．
新课讲解
如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们 相交于点 I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等.以点I 为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的 三条边都相切，圆I就是所求作的圆.与三角形各边都相切 的圆叫做三角形的内切圆.
新课讲解
例 2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别相切于点D, E,F,且AB=知9，识B点C=14，CA=13.求AF,BD,CE的长.
切线长定理、三角形的内切圆、内心 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
九年级数学上册 第24章 圆
24.2.2 (4) 切线长定理的应用 ——三角形的内切圆
圆规为什么可以画圆？因为脚在走， 心不变。你为什么不能圆梦？因为 心不定，脚不动。
A
1
⌒
O
M2
P
B
∵ PA、PB是⊙O的两条切线,A、B是切
点 ∴ PA=PB，∠1=∠2
PA⊥OA, PB⊥OB
如图，是一张三角形的铁皮，如何在 它上面截下一块圆形的用料，并且使圆 的面积尽可能大呢？
A
E O
C D
已知三角形的面积为30，周长为20， 则该三角形的内切圆半径为 .
A
O
B
C
如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝a,
AC＝b, AB＝c. 求Rt△ABC的内切圆⊙O
的半径 r.
S 1 (a b c)r 1 ab
B
2
2
r ab abc
或r a b c 2
E
· F O
C
如图，△ABC中，∠ABC=50°,∠ACB=75°, 点O是内心，求∠BOC的度数。
A
O
B
C
（综合拓展）如图,△ABC中,AB=AC4= 5cm， BC=8cm，求△ABC的外接圆半径R和内 切圆半径r.
A
A
O
B
D
C
I
B
D
C
下课!
家庭作业：练习册
C
A
D
如图，在Rt△ABC中, ∠C＝90°, BC=8, AC=6,则其内切圆的半径为 .
B
变式：直角三角形的
两边长分别为8cm,
6cm,则其内切圆的半
·O
径为
.
24.2.2 (4) 切线长定理的应用 ——三角形的内切圆
圆规为什么可以画圆？因为脚在走， 心不变。你为什么不能圆梦？因为 心不定，脚不动。
A
1
⌒
O
M2
P
B
∵ PA、PB是⊙O的两条切线,A、B是切
点 ∴ PA=PB，∠1=∠2
PA⊥OA, PB⊥OB
如图，是一张三角形的铁皮，如何在 它上面截下一块圆形的用料，并且使圆 的面积尽可能大呢？
A
E O
C D
已知三角形的面积为30，周长为20， 则该三角形的内切圆半径为 .
A
O
B
C
如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝a,
AC＝b, AB＝c. 求Rt△ABC的内切圆⊙O
的半径 r.
S 1 (a b c)r 1 ab
B
2
2
r ab abc
或r a b c 2
E
· F O
C
如图，△ABC中，∠ABC=50°,∠ACB=75°, 点O是内心，求∠BOC的度数。
A
O
B
C
（综合拓展）如图,△ABC中,AB=AC4= 5cm， BC=8cm，求△ABC的外接圆半径R和内 切圆半径r.
A
A
O
B
D
C
I
B
D
C
下课!
家庭作业：练习册
C
A
D
如图，在Rt△ABC中, ∠C＝90°, BC=8, AC=6,则其内切圆的半径为 .
B
变式：直角三角形的
两边长分别为8cm,
6cm,则其内切圆的半
·O
径为
.
人教版数学九年级上册..切线长定理、三角形的内切圆、内心 PPT精品课件
A
B
想一想：切线和切线长是什么关系？
比一比
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是切线上圆外一点和切点线段的长， 可以度量。
人教版数学九年级上册24.2.2切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心课件
探索发现
1、从⊙O外的一点P引两条切线PA，PB，
BD、CE的长。
解：设AE=x
(cm),3则cmAF=x
5cm
(cm)
4cm
CD=CE=AC﹣AE=13﹣x
A
BD=BF=AB﹣AF=9﹣x ∵ BD+CD=BC
x
x F9
9﹣x
E
∴（13﹣x）+（9﹣x）=14 13
O
B
解得 x = 4
因此 AE=4 cm
13﹣x
9﹣x
D14
BD=5 cm
13﹣x
24.2.2直线与圆的位置关系（3）
切线长定理
复习
1、切线的判定定理
经过半径的 外端 且
垂直于 这条半径的直线
是圆的切线.
.O
数学的符号语言：
l
∵OA是半径，OA⊥l于A.
A
∴l是⊙ O 的切线.
复习 2、切线的判定定理
圆的切线 垂直于 经过 切点的半径。
数学的符号语言： ∵L是⊙ O 的切线 切点为A ∴OA⊥l
人教版数学九年级上册24.2.2切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心课件
知识点三 三角形的内切圆
从前面的知识我们可知：从圆外一点可以引圆的
两条切线。假如在其中一条切线上找一点，再向引
圆的切线，你发现了什么？ A
B
想一想：切线和切线长是什么关系？
比一比
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是切线上圆外一点和切点线段的长， 可以度量。
人教版数学九年级上册24.2.2切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心课件
探索发现
1、从⊙O外的一点P引两条切线PA，PB，
BD、CE的长。
解：设AE=x
(cm),3则cmAF=x
5cm
(cm)
4cm
CD=CE=AC﹣AE=13﹣x
A
BD=BF=AB﹣AF=9﹣x ∵ BD+CD=BC
x
x F9
9﹣x
E
∴（13﹣x）+（9﹣x）=14 13
O
B
解得 x = 4
因此 AE=4 cm
13﹣x
9﹣x
D14
BD=5 cm
13﹣x
24.2.2直线与圆的位置关系（3）
切线长定理
复习
1、切线的判定定理
经过半径的 外端 且
垂直于 这条半径的直线
是圆的切线.
.O
数学的符号语言：
l
∵OA是半径，OA⊥l于A.
A
∴l是⊙ O 的切线.
复习 2、切线的判定定理
圆的切线 垂直于 经过 切点的半径。
数学的符号语言： ∵L是⊙ O 的切线 切点为A ∴OA⊥l
人教版数学九年级上册24.2.2切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心课件
知识点三 三角形的内切圆
从前面的知识我们可知：从圆外一点可以引圆的
两条切线。假如在其中一条切线上找一点，再向引
圆的切线，你发现了什么？ A
人教版数学九年级上册切线长定理、三角形的内切圆、内心精品课件PPT
PA = PB
∠OPA=∠OPB
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
三：运用新知，解决问题;
已知⊙O切线PA、PB，A、B
为切点，AP=8cm, ∠BPA=600
E B
(1)则BP=
, ∠BPO= 。 C O
（2）你能求⊙O的半径吗？
五：课堂反思，师生小结
1.通过本节课的学习你学会了
哪些知识？ 2.掌握了哪些方法？ 3.还有哪些疑惑？
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
一：情境引入，激发兴趣
在一张三边分别是9cm，13cm，14cm的三角形纸 片上裁下一个圆形，使所裁得的圆尽可能大。请看动 画演示：其中哪一个圆是最符合要求的？
怎样画这个圆呢？
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
▪
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
▪
6、我就经历过许多大大小小的挫折。 大海因 为有了 狂风的 袭击， 才显示 出了它 顽强的 生命力 ，它把 狂风化 成了朵 朵浪花 ，给人 们带来 美丽；
板书设计
切线长定理
定义：切线长
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线长定理三角形的内切圆内心》优质课教案_1
《切线长定理》教案教学目标1．知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理的内容，并会运用切线长定理解决相关的问题.2．过程与方法：通过复习引导给出切线长定义，经过实验、猜想、证明发现切线长定理。
培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．3．情感、态度和价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．教学重点切线长定理及其运用.教学难点切线长定理的导出及证明和运用定理解决实际问题.教学过程(一)情景引入由如何求“V ”形支架內篮球的半径而引出切线长.(二)探求新知活动一：切线长定义如图，已知⊙O外一点P,过P作⊙O的切线PA，切点为A，则P点与A点之间的线段长度，就是P点到⊙O的切线长.切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.（引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.）活动二：过圆外一点最多可以引圆的几条线.（演示）过圆外一点最多可以引圆的两条切线.活动三：观察：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，则线段PA，PB都是点P到⊙O的切线长．1、提出问题：（1）线段PA与PB的长度有什么关系呢.(2)连接PO,则∠OPA与∠OPB的大小有什么关系.2、观察：在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？3、猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO4、证明猜想，形成定理(猜想的结论正确性，需要理论证明．)如图，P是⊙O外一点，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B为切点.求证：PA=PB . ∠OPA＝∠OPB.（组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(板书）几何语言：∵PA ,PB切于A ,B.∴PA=PB . ∠APO=∠BPO.（切线长定理为证明线段相等和角相等提供了新的方法。
九年级数学上册第24章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2切线长定理和三角形的内切圆听课课件新版新人教
由于等边三角形的内心就是它的外心，可得
1
1
AD＝2AB＝1，∠OAB＝2∠CAB＝30°.
在 Rt△AOD 中，OA＝2OD，由勾股定理，得 OD＝ 33，
∴图中阴影部分的面积为 S△ABC－S⊙O＝ 43×22－π×( 33)2＝
π
3－ 3 .
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
【归纳总结】三角形内切圆半径的三种求法：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点________之间 线段的长，叫做这点到圆的切线长
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们切的线_长_______ 相等，这一点和圆心的连两线条切平线分的_夹_角______________
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
符号语 言表示
因为PA，PB是⊙O的两条切线， 所∠以APPOA＝＝_∠____BP__PBO_________＝12， ∠_A_PB______．
图 24－2－16
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系
第二十四章 圆
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识目标
目标突破
总结反思
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识目标
1．通过画图、折叠、度量、思考等过程，探索出切线长定理， 并能用切线长定理解决问题．
2．经历教材中“思考”的实践操作、交流过程，理解三角形 的内切圆，会画三角形的内切圆，并会求三角形内切圆的半 径．
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
目标突破
目标一 能用切线长定理解决问题
例 1 教材例 2 针对训练 已知：如图 24
－2－13 所示，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分 别是 A，B，Q 为A︵B上一点，过点 Q 作⊙O 的切 线，分别交 PA，PB 于点 E，F.已知 PA＝12 cm， ∠P＝70°.求：
人教版九年级上册24.第3课时切线长定理和三角形的内切圆课件
A
E OCD
P
B
（2）图中与∠OAC和∠AOC相等的角： ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. ∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC
（4）图中所有的全等三角形: △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（3）图中所有的相等的线段： PA=PB，AC =BC，OA =OB.
D
G C
H O· F
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
A
EB
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
获取新知
知识点二：三角形的内切圆
思考 李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进 行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大.下图是他的几种设计， 请同学们帮他确定一下.
∴AF=18-9=9,
∴BD=BF=AB-AF=13-9=4,
∴CE=CD=BC-BD=9-4=5.
A E
Or
C
F
D
B
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
随堂演练
1.下列说法正确的是( C ) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
求AF、BD和CE的长。
A E
Or
C
F
D
B
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
解：因为△ABC的内切圆分别和BC、AC、AB
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆.课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册
即AB+CD=AD+BC.
图24-2-24
探
究
与
应
用
例2 (教材补充例题)已知:如图24-2-25所示,PA,PB是☉O的切
线,切点分别是A,B,Q为上一点,过点Q作☉O的切线,分别
交PA,PB于点E,F.已知PA=12 cm,∠P=70°.
求:(1)△PEF的周长;
解:(1)∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
数学
九年级上册
人教版
圆
第3课时 切线长定理和三角形的
内切圆
-
第
二
十
四
章
第3课时
切线长定理和三角形的内切圆
探究与应用
课堂小结与检测
探
究
与
应
用
活动1 理解切线长的概念,掌握切线长定理
[问题情境]
1.过圆外一点能作几条圆的切线?请在图24-2-23中过点P画
出☉O的所有切线.
解:两条.画图如下.
图24-2-23
堂
小
结
与
检
测
3.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半
径为
( D )
A.4
B.3
C.2
D.1
谢 谢 观 看！
∴PB=PA=12 cm,EA=EQ,FQ=FB,
∴△PEF的周长=PE+EQ+FQ+PF=PA+PB=
12+12=24(cm).
图24-2-25
探
究
与
应
用
(2)∠EOF的度数.
(2)连接OA,OB,OQ.
∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
图24-2-24
探
究
与
应
用
例2 (教材补充例题)已知:如图24-2-25所示,PA,PB是☉O的切
线,切点分别是A,B,Q为上一点,过点Q作☉O的切线,分别
交PA,PB于点E,F.已知PA=12 cm,∠P=70°.
求:(1)△PEF的周长;
解:(1)∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
数学
九年级上册
人教版
圆
第3课时 切线长定理和三角形的
内切圆
-
第
二
十
四
章
第3课时
切线长定理和三角形的内切圆
探究与应用
课堂小结与检测
探
究
与
应
用
活动1 理解切线长的概念,掌握切线长定理
[问题情境]
1.过圆外一点能作几条圆的切线?请在图24-2-23中过点P画
出☉O的所有切线.
解:两条.画图如下.
图24-2-23
堂
小
结
与
检
测
3.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半
径为
( D )
A.4
B.3
C.2
D.1
谢 谢 观 看！
∴PB=PA=12 cm,EA=EQ,FQ=FB,
∴△PEF的周长=PE+EQ+FQ+PF=PA+PB=
12+12=24(cm).
图24-2-25
探
究
与
应
用
(2)∠EOF的度数.
(2)连接OA,OB,OQ.
∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.2.4 切线长、三角形的内切圆(共29张PPT)
△ABC的( ) A．三条边的垂B直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点
返回
8．(中考·河北)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均
在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心
B
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
返回
9．(中考·眉山)如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I
第24章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 第4课时 切线长、三角形的内切圆
1
2
3
4
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6
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9
10
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14
15
知识点 1 切线长定理
1．经过圆外一点作圆的切线，________和________
之间的线段的长，叫做这点到这圆点的切线长切．点
切线长定理：从圆外一点可以引圆的________条切
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
返回
8．(中考·河北)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均
在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心
B
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
返回
9．(中考·眉山)如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I
第24章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 第4课时 切线长、三角形的内切圆
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知识点 1 切线长定理
1．经过圆外一点作圆的切线，________和________
之间的线段的长，叫做这点到这圆点的切线长切．点
切线长定理：从圆外一点可以引圆的________条切
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
人教版数学九年级上册24.切线长定理、三角形的内切圆、内心课件
A
O P
B
思考：切线长 和切线的区分？
经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之 间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
A
P O
B
小结：切线是直线. 切线长是一条线段的长.
猜猜切线长PA、PB的数量关系？
A
猜一猜
PA=PB
O B
1
2
P
如何证明？
如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，连
∠P的度数．
B
解：连接OA，OB ∵∠E=60° ∠AOB=2∠E=120° ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=90° ∴∠P=360°-90°-90º-120º=60°
课堂小结
1、切线长定义：
经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切 点之间的线段的长，叫做这点到圆的切 线长.
2、切线长定理：
=PA+PB=8+8=16 ∴ΔPDE的周长为16cm.
结PO.
求证：PA=PB. ∠1=∠2
A
证明：∵PA，PB与⊙O相切， O 点A，B是切点，
1
2
P
∴OA⊥PA，OB⊥PB.
B
即∠OAP=∠OBP=90°， ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∠1和∠2有什 么关系呢？
∴ PA = PB ∠1=∠2
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
A
O
P
B
5、如图，△ABC的三条边BC，AC，AB分别与⊙O相 切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则 BC= 11cm , AC= 6cm ,AB= 9cm .
O P
B
思考：切线长 和切线的区分？
经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之 间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
A
P O
B
小结：切线是直线. 切线长是一条线段的长.
猜猜切线长PA、PB的数量关系？
A
猜一猜
PA=PB
O B
1
2
P
如何证明？
如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，连
∠P的度数．
B
解：连接OA，OB ∵∠E=60° ∠AOB=2∠E=120° ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=90° ∴∠P=360°-90°-90º-120º=60°
课堂小结
1、切线长定义：
经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切 点之间的线段的长，叫做这点到圆的切 线长.
2、切线长定理：
=PA+PB=8+8=16 ∴ΔPDE的周长为16cm.
结PO.
求证：PA=PB. ∠1=∠2
A
证明：∵PA，PB与⊙O相切， O 点A，B是切点，
1
2
P
∴OA⊥PA，OB⊥PB.
B
即∠OAP=∠OBP=90°， ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∠1和∠2有什 么关系呢？
∴ PA = PB ∠1=∠2
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
A
O
P
B
5、如图，△ABC的三条边BC，AC，AB分别与⊙O相 切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则 BC= 11cm , AC= 6cm ,AB= 9cm .
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学科德育精品课程展示
案例设计--反思表
案例名称
圆与圆的位置关系
案例类型
综合式案例
学段
教学/活动目标
1.通过鼓励学生观察、思考、动手，引导他们合作、探究，从两圆的交点个数，探索出两圆的五种五种关系。
2.通过引导学生观察、比较、思考，从两圆的圆心距d和它们的半径R、r之间的数量关系，探索出两圆的五种位置关系。
教学/活动反思
教学反思：
1.在引导学生动手操作、积极思考等方面做的比较好，但还需下功夫改进。
2.今后要改变观念，教学中经常渗透德育教育，不仅能提高学生学习兴趣，还能培养学生良好的习惯。在培养学生上，教师的引导很重要，不要意味的依靠家长或某位老师，其实任何学科都能渗透和贯穿德育教育。
3.通过新知识的学习，引导他们如何把所学课本知识灵活运用的实际生活中去。同时贯穿和渗透安全知识，增强他们的安全意识。帮助他们在生活中做一个文明、诚实、守信、健康向上的好孩子，做一个团结协作、遵纪守法、有责任心的好学生，做一个爱家、爱校、爱国的好公民。
学习者分析
本班学生大多来自农村，学习基础不是太好，家长的教育也跟不上好，一部分留守儿童自制力不高。但本班学生好动、聪明，尤其是一些男同学，对几何部分较感兴趣，思维很活跃，有很强的表现欲望。只要教师不断的督促和引导，效果还是很明显。
教学/活动过程
1.回顾旧知，引入新课。
2.提出问题，探究新知。
探究1：圆与圆的位置关系
（教师引导学生动手操作，鼓励他们积极思考，通过学生合作探究，根据交点个数，探究出圆与圆的五种位置关系，并由学生总结，教师板书，教学中给学生营造一个和谐气氛，增强他们团结、友善、和平共处精神。）
探究2：如何用两圆的半径和两圆的圆心距来刻画两圆的位置关系？
（教师提出问题，引导学生积极思考，去发现、去探索。并借助多媒体逐一展示，让静态的图形动起来，让学生思维得到拓展，去发现、总结和归纳出它们的数量关系）2.加强练习 Nhomakorabea巩固新知
3.发散思维，德育渗透
通过展示干净、美丽、和谐对称的篮球场图片，引导学生要爱干净、不乱扔垃圾，做一个文明、诚实、守信的好孩子；通过展示禁止吸烟和禁止放鞭炮的图片，引导学生要做个健康向上、有责任心的好学生，同时要有防火、防盗安全意识；通过展示自行车图片，引导他们遵守交通规则，做一个遵纪守法的好学生。通过展示奥运五环，引导他们学会感恩，培养他们爱国主义情怀。
案例设计--反思表
案例名称
圆与圆的位置关系
案例类型
综合式案例
学段
教学/活动目标
1.通过鼓励学生观察、思考、动手，引导他们合作、探究，从两圆的交点个数，探索出两圆的五种五种关系。
2.通过引导学生观察、比较、思考，从两圆的圆心距d和它们的半径R、r之间的数量关系，探索出两圆的五种位置关系。
教学/活动反思
教学反思：
1.在引导学生动手操作、积极思考等方面做的比较好，但还需下功夫改进。
2.今后要改变观念，教学中经常渗透德育教育，不仅能提高学生学习兴趣，还能培养学生良好的习惯。在培养学生上，教师的引导很重要，不要意味的依靠家长或某位老师，其实任何学科都能渗透和贯穿德育教育。
3.通过新知识的学习，引导他们如何把所学课本知识灵活运用的实际生活中去。同时贯穿和渗透安全知识，增强他们的安全意识。帮助他们在生活中做一个文明、诚实、守信、健康向上的好孩子，做一个团结协作、遵纪守法、有责任心的好学生，做一个爱家、爱校、爱国的好公民。
学习者分析
本班学生大多来自农村，学习基础不是太好，家长的教育也跟不上好，一部分留守儿童自制力不高。但本班学生好动、聪明，尤其是一些男同学，对几何部分较感兴趣，思维很活跃，有很强的表现欲望。只要教师不断的督促和引导，效果还是很明显。
教学/活动过程
1.回顾旧知，引入新课。
2.提出问题，探究新知。
探究1：圆与圆的位置关系
（教师引导学生动手操作，鼓励他们积极思考，通过学生合作探究，根据交点个数，探究出圆与圆的五种位置关系，并由学生总结，教师板书，教学中给学生营造一个和谐气氛，增强他们团结、友善、和平共处精神。）
探究2：如何用两圆的半径和两圆的圆心距来刻画两圆的位置关系？
（教师提出问题，引导学生积极思考，去发现、去探索。并借助多媒体逐一展示，让静态的图形动起来，让学生思维得到拓展，去发现、总结和归纳出它们的数量关系）2.加强练习 Nhomakorabea巩固新知
3.发散思维，德育渗透
通过展示干净、美丽、和谐对称的篮球场图片，引导学生要爱干净、不乱扔垃圾，做一个文明、诚实、守信的好孩子；通过展示禁止吸烟和禁止放鞭炮的图片，引导学生要做个健康向上、有责任心的好学生，同时要有防火、防盗安全意识；通过展示自行车图片，引导他们遵守交通规则，做一个遵纪守法的好学生。通过展示奥运五环，引导他们学会感恩，培养他们爱国主义情怀。