条件概率与条件期望
条件期望资料
析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如政策效果最大化分析等。
⌛️
方法的优缺点
• 优点：有助于中央银行更好地评估政策工具的效果和风险，从而制定更有效 Nhomakorabea货币政策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知货币政策的政策效果分
布。
05
条件期望在其他领域的应用
心理和行为规律。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知消费者的偏好分布。
消费者行为分析的基本问题
• 消费者行为分析是研究消费者在购买、使用和处理商品及服务过程中
的心理和行为规律的方法。
• 条件期望在消费者行为分析中的应用主要是计算消费者在已知某个条
件下，对商品或服务的期望效用。
条件期望在消费者行为分析中的求解方法
知某个条件下，对投资项目的期望收益。
02
条件期望在企业投资决策中的求解方法
• 可以基于概率分布进行求解，如风险调整收益分析、概
率调整收益分析等。
• 可以基于矩生成函数进行求解，如收益最大化分析等。
03
方法的优缺点
• 优点：有助于企业更好地评估投资项目的风险和收益，
从而做出更合理的投资决策。
• 缺点：计算过程可能较为复杂，且需要已知投资项目的
02
条件期望的计算方法
• 当Y是离散随机变量时，条件期望可以通过求和计算：
E(Y|X=x) = ∑y * P(Y=y|X=x)
• 当Y是连续随机变量时，条件期望可以通过积分计算：
E(Y|X=x) = ∫y * P(Y=y|X=x) dy
03
条件期望的性质
• 非负性：E(Y|X) ≥ 0，因为Y的平均值总是非负的。
第三章 条件概率与条件期望
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
6
例3.2
• 有n个零件，零件i在雨天运转的概率为pi， 在非雨天运转的概率为qi，i=1,2，……,n。 明天下雨的概率为。计算在明天下雨时， 运转的零件数的条件期望。
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,20Zhang ,2012
12
例3.6（几何分布的均值）
• 连续抛掷一枚正面出现的概率为p的硬 币直至出现正面为止，问需要抛掷的 次数的期望是多少？
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
13
例3.7
• 某矿工身陷在有三个门的矿井之中，经 第1个门的通道行进2小时后，他将到达 安全地。经第二个门的通道前进3小时 后，他将回到原地。经过第三个门的通 道前进5小时后，他还是回到原地。假 定这个矿工每次都等可能地选取任意一 个门，问直到他到达安全地所需时间的 期望是多少？
• 连续地做每次成功率为p的独立试验。N 是首次成功时的试验次数，求Var（N）
2012/3/2
Copyright©Pei Zhang ,2012
16
三、通过取条件期望计算概率
• E是一个事件，定义示性随机变量X为：
1，若E发生 X 0，若E不发生 由X的定义推出： E[X]=P(E) E[X|Y=y]=P(E|Y=y)
7
第二节
连续随机变量的条件概率与条件期望
• X和Y是连续随机变量，联合密度函数为 f(x,y)，那么在Y=y时X的条件概率密度函数 定义为：
f ( x, y ) f X |Y ( x | y) fY ( y )
• 给定Y=y时X的条件期望定义为：
条件概率和条件期望的简易算法
五 [ g (言 )
“
2
,
,
2
,
: 粉 ,
=
夕:
二
,
…刀
,
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。
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」
二
由于
,
,
二
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,
… 。 …若
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在此 条 件 下 g 烤 )
万: … 之 ,,
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看
(参
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,
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刀; [g 传) 1
_
,
一 般 教科 书上 介 绍 了两 种方 法
’“’ ”,
二
:
即若 A
,
B为 两
.
, P ( 刀) 年 。
则
g
p
(川 B )
,
P ( A 刀) P (B )
蹂瑟黯 馨
篙督
当作 基 本 事
,
前 者是 在 原 基 本 事件 空 间 中考 虑 件 空 间奋 )
例1
月
二
, .
后 者 是 在 压 缩 的 基本 事 件 空 间 中 考 虑 ( 即 把 B
:
由 于若
二
x
,
条件概率-条件分布-条件期望
y}.
定义 设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若
对于固定的 y,
fY ( y) 0, 则称
f ( x, y) 为在Y fY ( y)
y
的条件下 X 的条件概率密度,记为
f (x, y)
f (x y)
.
XY
（2）无放回抽样
YX
01
02
2
7
7
12
1
7
7
二、连续型随机变量的条件分布
条件分布函数 FX Y (x y)
条件分布是指在一个随机变量取某个确定值 的条件下,另一个随机变量的分布, 即 FX Y ( x y) P{ X x Y y} .
由于P{Y y}可能为零(连续型时一定为零).故直接 用条件概率来定义时, 会出现分母为零. 因此,在条件分布中,作为条件的注意点 • E(X| Y=y) 是 y 的函数.
所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y).
f (x, y)d x
1 π
1 y2 d x 2
1 y2
π
1 y2 , 1 y 1,
0,
其他.
于是当 1 y 1时,有
fX
Y
(x
y)
(2
1 π)
π 1
y2
2
1 , 1 y2
1 y2 x
1 y2,
0,
其他.
条件数学期望
定义
E ( X
|Y
y)
i
xi P( X xi | Y y)
二 条件分布
一、离散型随机变量的条件
概率论中的条件期望计算公式
概率论中的条件期望计算公式概率论是数学中的重要分支，研究随机事件和概率规律的数学理论。
条件期望是概率论中的一个重要概念，用于描述在给定条件下的期望值。
本文将介绍条件期望的计算公式及其应用。
一、条件期望的定义及性质条件期望是在给定条件下的期望值，记作E(X|Y)，其中X和Y为随机变量。
条件期望于普通期望相似，区别在于条件期望要求在给定条件下对随机变量进行求平均。
条件期望的计算公式如下：E(X|Y) = ∑[x P(X=x|Y)] （离散变量）E(X|Y) = ∫[x f(x|Y) dx] （连续变量）其中，P(X=x|Y)表示在给定随机变量Y的条件下，随机变量X取值为x的概率；f(x|Y)表示随机变量X在给定Y的条件下的概率密度函数。
条件期望的性质：1. 条件期望是随机变量Y的函数，它是Y的函数的期望；2. 如果X和Y相互独立，则条件期望等于普通期望，即E(X|Y) =E(X)；3. 若Z=g(X,Y)，则E(Z|Y) = E(g(X,Y)|Y)。
二、条件期望的计算举例为了帮助读者更好地理解条件期望的计算公式及应用，以下将通过两个具体的案例来说明。
案例一：假设有一批产品，其质量可以用随机变量X表示，X的取值范围为[1, 10]，代表产品的质量评分。
同时，还有一个随机变量Y表示产品的价格，Y的取值范围为[100, 1000]。
现在要求在给定产品价格的条件下，计算产品质量的条件期望。
解决方法如下：根据条件期望的计算公式，我们需要计算P(X=x|Y)。
假设随机变量Y的取值为y，则产品质量为x的条件概率为P(X=x|Y=y)。
如果我们已知产品价格与质量的关系，可以通过分析或者实验得到条件概率的分布。
然后，根据条件概率计算条件期望即可。
案例二：现假设随机变量X和Y相互独立，且它们都服从正态分布。
我们要计算X与Y的乘积Z的条件期望E(Z|Y)。
解决方法如下：根据条件期望的性质，当X和Y相互独立时，条件期望等于普通期望，即E(Z|Y) = E(Z)。
第六章条件概率与条件期望
第六章 条件概率与条件期望6.1 定义和性质设为概率空间，),,(P F ΩF ∈B 且，记0)(>B P ())()()(B P AB P B A P A P B ==),P ，，则易证明为概率空间。
考虑F ∈∀A ),,(B P F Ω,(F Ω上的随机变量ξ在此概率空间上的积分，若存在则称它为∫ΩξB dP ξ在给定事件B 之下的条件期望，记为(B E ξ)，即()B ∫Ω=B dP ξE ξ。
命题1：若ξE 存在，则(B E ξ)存在且()∫=BdP B P B E ξξ)(1。
由此可见，ξ在给定事件B 之下的条件期望的意义是ξ在B 上的“平均值”。
此外给定事件在给定事件A B 的条件概率)B ()(I E B A P A =0)(>n B P 可看成条件期望的特殊情形。
设{}为的一个分割且，令F ⊂n B Ω)2,1,L =(=n n B σA ，则。
若F A ⊂ξE 存在，()∑为nE B n I n B ξ),A (Ω上的可测函数，称其为给定σ-代数A 之下关于P 的条件期望，记作()A ξE ，即()()∑=E ξA nB n I ξn B E 。
命题2：A ∈B ∀且，0)(>B P ()()∫=BdP E B P B E A ξξ)(1。
证明：A ∈B ∀，{L ,2,1⊂}∃K 使得∑∈=K i i B B ，()()()()∑∫∫∑∑∫∑∫∈∈=====K i BB Ki i i nn n BnB nBdPdP B P B E B B P B E dP IB E dP E inξξξξξξ)()(I A由此可见，若称满足下式的(),A Ω上的可测函数()A ξE 为ξ在给定σ-代数A 的条件期望：()∫∫=BBdP dP E ξξA ，A ∈∀B则由于不定积分，∫=BdP B v ξ)(A ∈∀B 为),(A Ω上的符号测度且v ，由Radon-Nikodym 定理存在唯一的(P <<P s a ..),A Ω上的可测函数满足上式，即()dPdvE =A ξ(Ω，故由命题2，两者定义一样。
概率论中的条件概率公式详解贝叶斯定理条件期望等
概率论中的条件概率公式详解贝叶斯定理条件期望等概率论是数学中的一门重要学科，研究的是随机事件的概率性质以及它们之间的关系。
条件概率公式、贝叶斯定理和条件期望是概率论中的重要概念和定理，它们在解决实际问题中具有广泛应用。
本文将对这些概念进行详细解释和讨论。
一、条件概率公式条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
设A和B是两个事件，且P(B)≠0，那么在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率记作P(A|B)，读作“A在B发生的条件下发生”。
条件概率公式的形式为：P(A|B) = P(AB) / P(B)其中，P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，又称为A与B的交集的概率。
通过这个公式，我们可以根据已知的条件概率来计算其他事件的概率。
二、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的核心定理之一，它描述了在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率如何更新。
设A和B是两个事件，且P(A)≠0，P(B)≠0，那么贝叶斯定理的表达式为：P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
贝叶斯定理的主要应用在于通过已知的先验概率和条件概率来计算后验概率。
它在统计学、生物信息学、机器学习等领域有着广泛的应用。
三、条件期望条件期望是在已知某一事件发生的条件下，随机变量的期望值。
设X和Y是两个随机变量，且P(Y=y)≠0，那么在事件Y=y已经发生的条件下，随机变量X的条件期望记作E(X|Y=y)。
条件期望的计算公式为：E(X|Y=y) = Σx(x * P(X=x|Y=y))其中，Σ表示对所有可能的取值进行求和。
通过条件期望，我们可以得到在给定条件下随机变量的平均值，从而更好地理解和分析随机事件的分布特性。
综上所述，条件概率公式、贝叶斯定理和条件期望是概率论中的重要概念和定理。
它们可以帮助我们计算和预测事件的概率，以及根据已知条件更新概率。
概率论中的条件期望计算公式
概率论中的条件期望计算公式概率论是数学的一个分支，研究的是随机事件发生的概率及其规律。
条件期望是概率论中的一个重要概念，它描述了在某个条件下随机变量的平均取值。
本文将介绍概率论中的条件期望计算公式及其应用。
一、条件期望的定义考虑一个随机试验，其中有两个随机变量 X 和 Y。
条件期望 E(X|Y) 表示在给定 Y 的条件下，随机变量 X 的平均取值。
条件期望可以看作是在 Y 取某个特定值时，X 的期望。
二、条件期望的计算公式在计算条件期望时，我们需要使用条件概率的概念。
设事件 A 和 B 是两个随机事件，且 P(B) > 0，则 A 关于 B 的条件概率记为 P(A|B)。
根据条件概率的性质，我们可以得到条件期望的计算公式如下：E(X|Y) = ∑[x * P(X = x|Y)] （离散情况）E(X|Y) = ∫[x * f(x|Y)] dx （连续情况）其中，x 是随机变量 X 取的值，P(X = x|Y) 是 X 在给定 Y 条件下的概率密度函数（离散情况下为概率质量函数），f(x|Y) 是 X 在给定 Y条件下的概率密度函数（连续情况下为条件密度函数）。
求和或积分是在所有可能的取值上进行的。
三、条件期望的应用举例1. 投掷两个骰子的情况。
设 X 和 Y 分别表示第一个骰子和第二个骰子的点数。
我们希望求解在第一个骰子的点数已知的条件下，第二个骰子的点数的期望。
根据条件期望的计算公式，我们可以得到：E(Y|X = x) = ∑[y * P(Y = y|X = x)]具体计算过程如下：当 X = 1 时，E(Y|X = 1) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 2 时，E(Y|X = 2) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 3 时，E(Y|X = 3) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 4 时，E(Y|X = 4) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 5 时，E(Y|X = 5) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5当 X = 6 时，E(Y|X = 6) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5根据计算结果可以看出，无论第一个骰子的点数是多少，第二个骰子的点数的期望都是3.5。
概率论与数理统计3-6 条件分布与条件期望、回归与第二回归
p(u, y)du.
1 yy
lim
[ p(u, v)du]dv.
y0 y y
lim
y0
1 y
y y y
p
(u)dv
p
( y)
0.
F
(
x
y)
x
p(u, y) p ( y)
du.
由此可见：在 y的条件下，的分布列仍是
§3.6 条件分布与条件期望、回归 与第二回归
一、条件分布
在离散型R.V中，我们利用条件概率公式
P(A B)
P( AB) , P(B)
P(B)
0.
求出了离散型R.V .的条件分布列:P(
xi
yj)
Pi
.
j
类似的问题对连续型R.V .也存在.
由于连续型R.V .取单点值的概率为零，所以用分布列
lim P( x, y y y) . y0 P( y y y)
P( x, y y y)
lim
.
y0 P( , y y y)
设(,)的p d f 为p(x, y),则上式又变为
x yy
密度为P ( y
那么称 xP (
x y
), 如果
x
P
(y
x
x )dx为在(
)dx . y)发生的条件下的条件
数学期望，记为 E( y).即
E(
y)
xP
(y
概率论中的条件期望与条件方差-教案
概率论中的条件期望与条件方差-教案一、引言1.1概率论与统计学基础1.1.1概率论起源与发展1.1.2概率论的基本概念：随机试验、样本空间、事件1.1.3统计学的基本概念：总体、样本、参数估计1.1.4概率论与统计学的关联与区别1.2条件概率的重要性1.2.1条件概率的定义1.2.2条件概率的计算方法1.2.3条件概率在实际问题中的应用1.2.4条件概率与独立性的关系1.3期望与方差的引入1.3.1期望的定义与性质1.3.2方差的定义与性质1.3.3期望与方差在实际问题中的应用1.3.4期望与方差的关系二、知识点讲解2.1条件期望的定义与性质2.1.1条件期望的定义2.1.2条件期望的性质2.1.3条件期望的计算方法2.1.4条件期望在实际问题中的应用2.2条件方差的定义与性质2.2.1条件方差的定义2.2.2条件方差的性质2.2.3条件方差的计算方法2.2.4条件方差在实际问题中的应用2.3条件期望与条件方差的关系2.3.1条件期望与条件方差的关系2.3.2条件期望与条件方差的性质2.3.3条件期望与条件方差的计算方法2.3.4条件期望与条件方差在实际问题中的应用三、教学内容3.1条件期望的教学内容3.1.1条件期望的定义与性质3.1.2条件期望的计算方法3.1.3条件期望在实际问题中的应用3.1.4条件期望与独立性的关系3.2条件方差的教学内容3.2.1条件方差的定义与性质3.2.2条件方差的计算方法3.2.3条件方差在实际问题中的应用3.2.4条件方差与独立性的关系3.3条件期望与条件方差的关系的教学内容3.3.1条件期望与条件方差的关系3.3.2条件期望与条件方差的性质3.3.3条件期望与条件方差的计算方法3.3.4条件期望与条件方差在实际问题中的应用四、教学目标4.1理解条件期望与条件方差的概念4.1.1能够准确描述条件期望的定义4.1.2能够准确描述条件方差的定义4.1.3能够理解条件期望与条件方差的关系4.1.4能够识别何时使用条件期望与条件方差4.2掌握条件期望与条件方差的计算方法4.2.1能够使用公式计算条件期望4.2.2能够使用公式计算条件方差4.2.3能够解决涉及条件期望与条件方差的实际问题4.2.4能够使用计算工具进行条件期望与条件方差的计算4.3应用条件期望与条件方差解决实际问题4.3.1能够将条件期望与条件方差应用于统计决策4.3.2能够将条件期望与条件方差应用于风险分析4.3.3能够将条件期望与条件方差应用于经济学领域4.3.4能够将条件期望与条件方差应用于其他相关领域五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1条件期望与条件方差的概念理解5.1.2条件期望与条件方差的计算方法5.1.3条件期望与条件方差在实际问题中的应用5.1.4条件期望与条件方差的关系5.2教学重点5.2.1条件期望与条件方差的定义与性质5.2.2条件期望与条件方差的计算方法5.2.3条件期望与条件方差在实际问题中的应用5.2.4条件期望与条件方差的关系5.3教学策略5.3.1使用直观的例子和图示来解释概念5.3.2通过练习题和案例研究来加强计算方法的掌握5.3.3引导学生参与讨论和小组活动，以促进理解和应用5.3.4提供反馈和额外的资源，以帮助学生克服难点六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1投影仪和电脑，用于展示PPT和视频资料6.1.2白板和马克笔，用于书写公式和图示6.1.3教学软件，如统计软件或计算器，用于演示计算过程6.1.4实际案例研究材料，用于分析和讨论6.2学具准备6.2.1笔记本和文具，用于记录笔记和练习6.2.2练习题和作业，用于巩固学习内容6.2.3统计软件或计算器，用于完成计算任务6.2.4小组讨论材料，用于小组活动和合作学习七、教学过程7.1导入新课7.1.1通过实际问题引入条件期望与条件方差的概念7.1.2讨论条件期望与条件方差在实际生活中的应用7.1.3提出学习目标和教学计划7.1.4激发学生的兴趣和动机7.2讲解新知7.2.1详细讲解条件期望与条件方差的定义和性质7.2.2通过示例和练习来演示条件期望与条件方差的计算方法7.2.3讨论条件期望与条件方差的关系和实际应用7.2.4强调重点和难点，解答学生的疑问7.3巩固练习7.3.1分发练习题，让学生独立完成7.3.2提供反馈和解答，帮助学生纠正错误7.3.3通过小组讨论和合作学习来加深理解7.4应用拓展7.4.1通过案例研究来应用条件期望与条件方差7.4.2引导学生进行实际数据分析和统计决策7.4.3鼓励学生探索条件期望与条件方差在其他领域的应用7.4.4提供额外的资源和指导，以支持学生的深入学习7.5.1回顾学习目标和教学内容7.5.2让学生分享学习心得和收获7.5.3提供反馈和评价，鼓励学生的进步7.5.4布置作业和预习任务，为下一节课做好准备八、板书设计8.1条件期望与条件方差的定义与性质8.1.1板书条件期望的定义8.1.2板书条件方差的定义8.1.3板书条件期望与条件方差的关系8.1.4板书条件期望与条件方差的性质8.2条件期望与条件方差的计算方法8.2.1板书条件期望的计算公式8.2.2板书条件方差的计算公式8.2.3板书条件期望与条件方差的计算步骤8.2.4板书条件期望与条件方差的计算示例8.3条件期望与条件方差的应用8.3.1板书条件期望与条件方差在实际问题中的应用8.3.2板书条件期望与条件方差在统计学中的应用8.3.3板书条件期望与条件方差在经济学中的应用8.3.4板书条件期望与条件方差在其他领域的应用九、作业设计9.1基础练习题9.1.1计算给定条件下的条件期望9.1.2计算给定条件下的条件方差9.1.3解决涉及条件期望与条件方差的实际问题9.1.4分析条件期望与条件方差的关系9.2案例分析题9.2.1分析给定案例中的条件期望与条件方差9.2.2讨论案例中条件期望与条件方差的应用9.2.3提出解决方案并计算条件期望与条件方差9.2.4分析条件期望与条件方差在案例中的作用9.3应用拓展题9.3.1探索条件期望与条件方差在其他领域的应用9.3.2研究条件期望与条件方差在决策中的作用9.3.3分析条件期望与条件方差在风险分析中的应用9.3.4探讨条件期望与条件方差在其他学科中的应用十、课后反思及拓展延伸10.1课后反思10.1.1反思学生对条件期望与条件方差的理解程度10.1.2反思教学方法和策略的有效性10.1.3反思学生的参与度和学习动力10.1.4反思教学目标和教学内容的达成情况10.2拓展延伸10.2.1探索条件期望与条件方差的高级理论10.2.2研究条件期望与条件方差在其他学科中的应用10.2.3引导学生进行相关的项目研究和实践应用10.2.4提供额外的资源和指导，以支持学生的深入学习重点关注环节补充和说明：在教学过程中，重点关注环节包括讲解新知和巩固练习。
条件概率定义
条件概率定义条件概率，也称为条件期望，是概率论中描述不确定性的一种基本概念。
它以某种程度反映事件或结果发生的概率，准确地表达事件间的联系，并建立统计关联或因果关系。
条件概率是统计学中最重要的一种概率样式，它表示了某种事件发生的条件下，另一种事件发生的概率。
为了清晰地表述条件概率的定义，假设有两个事件A和B，其中P（A）是A事件发生的概率，P（B）是B事件发生的概率。
如果要确定A事件发生的条件下B事件发生的概率，我们可以定义的条件概率为P（B|A）。
这里的“|”表示“条件”的意思，即P（A）是P（B|A）的条件。
因此，条件概率P（B|A）表示A事件发生的条件下，B事件发生的概率。
根据条件概率的定义，条件概率可以分为两种形式：（1）全概率定理：P（A B）= P（A）+ P（B|A），即两个事件A、B的总概率等于A事件发生的概率加上A事件发生的条件下B事件发生的概率。
（2）贝叶斯公式：P（A|B）= P（B|A）* P（A）/ P（B）。
根据以上定义，可以看出，条件概率是一个衡量不确定性的重要概念。
它可以用来计算不同结果出现的概率，并基于先验知识和已知信息给出有效的决策。
条件概率的应用条件概率是统计学中应用最广泛的概念之一，它在几乎所有的统计领域都有广泛的应用。
例如，在市场营销领域，条件概率可以用来预测市场营销活动的成功程度，也可以用来分析竞争对手的行动策略；在统计推断中，条件概率可以用来衡量不同的数据背景下的统计模型的拟合程度；在概率编程中，条件概率可以用来演示一定程度上的规则，并用来预测系统的行为；在保险领域，条件概率可以用来预测产品发生保险风险的概率和费用；在金融领域，条件概率可以用来预测投资于某只股票的期望收益率以及发生市场振荡的概率等。
此外，条件概率还被应用于计算机视觉领域，特别是用于图像识别和分类等。
由于图像的不同部分的特征是不同的，因此可以使用条件概率来计算图像中不同部分特征的相关性，以及这些特征之间发生复杂模式的概率。
概率论中的条件期望计算公式推导
概率论中的条件期望计算公式推导实际上，概率论中的条件期望计算公式是概率论中的基本概念之一。
条件期望是指在给定某些条件下，对一个随机变量的期望进行计算。
在本文中，我们将进行条件期望计算公式的推导。
1.导引条件期望是指在一定条件下对随机变量的期望进行计算。
条件期望的计算公式由条件概率和随机变量的期望组成。
下面，我们将通过推导来得到条件期望的计算公式。
2.条件概率的定义条件概率是指在已经发生了某个事件B的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)3.条件期望的定义条件期望是指在已知一个事件B发生的条件下，随机变量X的期望。
条件期望的计算公式为：E(X|B) = Σ[x*P(X=x|B)]其中，Σ代表求和运算，x代表随机变量X可能取到的值，P(X=x|B)代表在事件B发生的条件下，随机变量X取值为x的概率。
4.推导过程为了推导条件期望的计算公式，我们需要利用条件概率和随机变量的期望。
首先，我们将一个事件A表示为：A = {X=x}，即事件A表示随机变量X取值为x。
然后，我们将事件B表示为：B = {Y=y}，即事件B表示随机变量Y取值为y。
根据条件期望的定义，我们可以得到：E(X|B) = Σ[x*P(X=x|B)]接下来，我们需要将条件概率P(X=x|B)进行转化，利用全概率公式和条件概率的定义，我们可以得到：P(X=x|B) = P(X=x∩Y=y) / P(Y=y)代入到E(X|B)的计算公式中，我们可以得到：E(X|B) = Σ[x*P(X=x∩Y=y) / P(Y=y)]接下来，我们将分子进行拆分，得到：E(X|B) = Σ[(x*P(X=x∩Y=y)) / P(Y=y)]根据乘法法则，我们可以将分子进一步拆分，得到：E(X|B) = Σ[(x*P(Y=y|X=x)*P(X=x)) / P(Y=y)]最后，我们可以将求和符号中的x和P(X=x)移到外面，得到：E(X|B) = Σ[x*P(Y=y|X=x)]*P(X=x) / P(Y=y)这就是条件期望的计算公式推导过程。
贝叶斯定理以及有条件的期望
首先记事件A为“小孩说谎”，记事件B为“小孩可信”。 不妨假设村民过去对这个小孩的印象为 PB 0.8 PB 0.2 PA B 0.1 P A B 0.5
第一次村民山上打狼，发现狼没来，即小孩说了谎(A)， 村民根据这个信息，对这个小孩的可信程度改变为 PB PA B PB A PB PA B PB P A B
i 1
,i 1,2 ,.....,n
贝叶斯定理的证明
P ABi 由条件概率的定义 PBi A P A
对上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式
P A PB j P A B j
n j 1
P ABi PBi PA Bi
即得
PBi A
Selten’s Game的扩展
2 0.5,0.5 假设 1 1 3 , 2 3 ， 对于player1的expected payoff
如果是从player2的information set开始，player1的 payoff
同理，我们可得player2的payoff
那么player2如何利用这个beliefs来达到最佳选择呢？ 只要player1选择了D，那么player2必然会选择L。但 player2更希望player1选择U，这时候player1的决策会影响 到player2的决策，那么在什么情况下player1会选择U或者D 呢？
PB PA B
n j 1 j j
PBi PA Bi
,i 1,2 ,.....,n
贝叶斯定理的实例
伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山 上放 羊，山里有狼出没。第一天，他在山上喊 “狼来了，狼来了”，山下的村名闻声便去打狼， 可到山上，发现狼没来；第二天仍是如此；第三天， 狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救 他，因为前两次他说了谎，人们不再相信他。
条件期望和条件概率的关系
条件期望和条件概率的关系条件概率直接决定条件期望的大小。
设X,Y是两个离散的随机变量，X可能的取值是x1,x2,...,xm；Y可能的取值是y1,y2,...,yn。
那么如果已经知道X,Y的联合概率分布，即知道：Pr(X=xi,Y=yj)是多少的话（Pr（A）是说A的概率，i=1,2,...,m;j=1,2,..,n，此表达式的含义就是随机变量X取第i个结果，同时Y取第j个结果的概率），那么X,Y的条件概率就可以表达为：Pr(X=xi|Y=Yj)（含义是给定随机变量Y取第j个数，在这种情况下X取第i个数的概率，竖线右边的事件是条件事件），它等于Pr(X=xi,Y=yj)/Pr(Y=Yj)。
此时，在给定Y=Yj这一条件下，X的条件期望是：E(X|Y=Yj)=Sum(i 从1到m){xi*Pr(X=xi|Y=Yj)}(Sum是求和)。
所以，条件期望和条件概率的关系就和普通的期望-概率关系一样，知道条件概率分布就可以求条件期望，但是反过来不可以。
如果X是连续型随机变量，那么求和符号要变成定积分，但其原理还是和上面一样的。
注意任何条件期望的计算都必须讲清楚条件，不给条件求条件期望是不可能的。
有时候我们把E(X|Y=y)简写为E(X|Y)，但是这只是为了方便。
要求条件期望，必须知道条件分布，求条件分布的公式，在离散情况下就是Pr(X=xi,Y=yj)/Pr(Y=Yj)，连续情况下另有公式，为{偏导数F(x,y)对y/f(y)}。
F(x,y)为X和Y的联合分布函数，f(y)为Y的分布密度函数。
你如果需要知道这个再问。
另外，条件事件不一定是Y=y，也可以是任何关于随机变量Y的函数方程，比如：E(X|Y^2<=4)，这就是说，给定Y的取值范围是（-2,2），求X的平均值。
此时就需要用到二重积分，因为Y的取值已经是一个区间了，合上X可能取值的范围，就组成了一个平面区域，所以要对x,y的联合分布密度函数f(x,y)二重积分来计算。
概率论（PDF）
条件期望与条件分布我们已经学习了条件概率的基本概念和性质，但只局限于讨论以事件(集合)为条件的情形。
事件作为条件，意味着先验知识的加入导致了样本空间的变化，从而影响概率计算。
由于随机变量是概率论研究的核心内容，很自然地需要将“条件”的概念和方法拓展到随机变量中来。
特别地，条件概率刻画了样本空间中不同集合在概率计算中的相互影响，容易由此联想到“条件”在研究随机向量的各分量间相互关联以及随机过程中所具有的价值。
所以，本章引入条件期望和条件分布的概念，并讨论其性质和应用，让读者体会“条件”对于研究随机变量间关联的重要意义，明确基本概念，掌握与之相关的基本计算方法。
PART A条件期望我们用一个简单例子作为引入。
设离散随机变量X和Y，X取值于{x1,···,x n}，Y取值于{y1,···,y m}。
考虑事件{Y=y k}，在其条件下，X的概率分布会发生变化，P({X=x i}|{Y=y k})=P({X=x i}∩{Y=y k})P({Y=y k}),通常称该概率分布为条件分布，记作P(X=x i|Y=y k)=P(X=x i,Y=y k)P(Y=y k),(1-1)这个概率中包含了Y所提供的先验信息，并将该信息带入到了期望的计算中。
E(X|Y=y k)=n∑i=1x n P(X=x i|Y=y k),(1-2)称该期望为条件期望。
条件期望给出了在已知某些先验信息的条件下，随机变量X取值的平均水平。
上述讨论对于离散随机变量比较准确，但是推广到连续情形会遇到本质的问题。
如果Y是连续随机变量，则P(Y=y)=0，(1-1)没有明确的含义。
如何克服这一困难呢？现代概率论中关于条件期望的阐述为我们提供了帮助。
基本概念首先，明确一个基本事实，条件期望是随机变量，不同于普通期望是确定性常数。
事实上，条件期望的取值取决于随机变量Y，并由此依赖于样本空间。
具体地说，设概率空间为(Ω,F,P)，如果Z(ω)=E(X|Y=Y(ω)),ω∈Ω,(1-3)则有Y(ω)=y k=⇒Z(ω)=E(X|Y=y k),为方便，记Z(ω)为E(X|Y)(ω)。
条件概率公开课ppt课件
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语言模型
在自然语言处理中，语言模型是非常重要的组成 部分，而贝叶斯定理可以在语言模型中发挥重要 作用，例如在n-gram模型中计算词的概率。
05
条件概率在统计学中地位和作用
条件概率在假设检验中作用
1 2 3
确定原假设和备择假设
基于条件概率，可以明确假设检验中的原假设和 备择假设，进而构建检验统计量。
相关性分析应用
相关性分析在信号处理中广泛应 用于噪声抑制、信号检测、模式 识别等领域。例如，在语音识别 中，通过对语音信号进行相关性 分析，可以提取出语音特征参数 用于识别不同的语音内容。
04
贝叶斯定理及其应用
贝叶斯定理基本形式
条件概率公式
$P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)$
相互独立的事件之间不具有相互影响，因此一个事件的发生 不会改变另一个事件的发生概率。但是需要注意的是，独立 事件和互斥事件是不同的概念，互斥事件不能同时发生，但 独立事件可以。
条件概率计算方法
条件概率的计算方法主要有两种：一种是利用条件概率的 定义直接计算，即P(A|B)=P(AB)/P(B)；另一种是利用全概 率公式进行计算，特别适用于事件B可以划分为多个互斥事 件的并集的情况。
。条件概率在泊松过程中用于描述在已知某个事件发生的情况下，其他
事件发生的概率。
03
布朗运动
布朗运动是一种连续时间的随机过程，用于描述微粒在液体或气体中的
无规则运动。条件概率在布朗运动中用于描述微粒在未来某个时刻的位
置分布。
03
多元随机变量条件概率
多元随机变量联合分布
联合分布函数定义
对于多元随机变量$(X_1, X_2, ..., X_n)$，其联合分布函数$F(x_1, x_2, ..., x_n)$描述了随 机变量取值小于等于$(x_1, x_2, ..., x_n)$的概率。
概率论中的条件期望计算公式推导
概率论中的条件期望计算公式推导在概率论中，条件期望是一个重要的概念，它用于描述在给定一定条件下的随机变量的平均值。
本文将介绍条件期望的概念，并推导其计算公式。
一、概率论中的条件期望定义条件期望是在给定一定条件下的随机变量的期望值。
通常使用E(X|Y)表示在给定随机变量Y的条件下，随机变量X的期望。
二、条件期望的计算公式推导假设有两个随机变量X和Y，X的取值为{x1, x2, ..., xn}，Y的取值为{y1, y2, ..., ym}。
我们希望计算在给定Y的条件下X的期望E(X|Y)。
首先，我们需要计算在给定Y的条件下X的条件概率分布。
条件概率分布表示在给定Y的条件下X取各个值的概率。
设P(X=x|Y=y)表示在给定Y为y的条件下，X取值为x的概率。
接下来，我们可以使用条件概率分布来计算在给定Y的条件下X的期望。
计算公式如下：E(X|Y) = ∑[P(X=x|Y) * x]其中，∑表示对所有可能的X取值求和。
这个公式的含义是将在给定Y的条件下X取各个值的概率乘以相应的取值，然后将所有结果求和。
三、举例为了更好地理解条件期望的计算公式推导，我们通过一个例子来说明。
假设有一个投掷两个骰子的实验。
随机变量X表示两个骰子的点数之和，随机变量Y表示第一个骰子出现的点数。
我们希望计算在给定第一个骰子点数为3的条件下，两个骰子点数之和的期望。
首先，我们计算在给定第一个骰子点数为3的条件下，X的取值及对应的条件概率分布。
根据骰子的点数范围，X的取值为{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}。
对于每个x取值，我们需要计算在条件Y为3下的概率 P(X=x|Y=3)。
假设骰子是均匀的，那么在条件Y为3下，X的取值及相应的概率分布如下：P(X=2|Y=3) = 1/36P(X=3|Y=3) = 2/36P(X=4|Y=3) = 3/36P(X=5|Y=3) = 4/36P(X=6|Y=3) = 5/36P(X=7|Y=3) = 6/36P(X=8|Y=3) = 5/36P(X=9|Y=3) = 4/36P(X=10|Y=3) = 3/36P(X=11|Y=3) = 2/36P(X=12|Y=3) = 1/36接下来，我们可以使用条件概率分布来计算在给定Y为3的条件下X的期望。
概率论中的条件期望计算方法
概率论中的条件期望计算方法概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性和不确定性。
而条件期望是概率论中一个重要的概念，它描述了在给定某些条件下的随机变量的平均值。
在实际应用中，计算条件期望是非常常见的，因此学习条件期望的计算方法对于理解概率论的核心思想和解决实际问题非常重要。
条件期望的计算方法有多种，下面将介绍其中的两种常见方法：条件概率法和条件分布法。
首先，我们来看看条件概率法。
条件概率法是一种直观的计算条件期望的方法，它利用了条件概率的定义。
条件概率是指在某个条件下事件发生的概率。
对于一个随机变量X和一个条件Y，条件概率P(X|Y)表示在给定Y发生的条件下X发生的概率。
条件期望的计算方法可以通过条件概率来实现。
假设我们有两个随机变量X和Y，我们想要计算在给定Y的条件下X的期望。
首先，我们需要计算在给定Y的条件下X的取值的概率分布。
然后，我们将X的每个取值乘以对应的概率，并将结果相加即可得到条件期望。
举个例子来说明。
假设X表示一个硬币的正面朝上的次数，Y表示掷硬币的次数。
我们想要计算在给定掷硬币10次的条件下硬币正面朝上的次数的期望。
首先，我们需要计算在给定掷硬币10次的条件下硬币正面朝上的次数的概率分布。
然后，我们将硬币正面朝上的次数乘以对应的概率，并将结果相加即可得到条件期望。
接下来，我们来看看条件分布法。
条件分布法是一种更加抽象的计算条件期望的方法，它利用了条件概率的性质和条件分布的定义。
条件分布是指在某个条件下随机变量的概率分布。
对于一个随机变量X和一个条件Y，条件分布P(X|Y)表示在给定Y的条件下X的概率分布。
条件期望的计算方法可以通过条件分布来实现。
假设我们有两个随机变量X和Y，我们想要计算在给定Y的条件下X的期望。
首先，我们需要计算在给定Y的条件下X的概率分布。
然后，我们将X的每个取值乘以对应的概率，并将结果相加即可得到条件期望。
举个例子来说明。
假设X表示一个学生的考试成绩，Y表示学生的学习时间。
随机过程中的条件期望估计
随机过程中的条件期望估计随机过程是概率论和数理统计中的一个重要概念，用于描述随机变量在不同时间点上的随机演化规律。
条件期望是随机过程中的一个关键概念，用于描述在给定某些条件下，随机变量的平均取值。
一、条件概率与条件期望的基本概念随机过程是指一系列随机变量组成的集合，通常用 {X(t), t∈T} 表示，其中 t 表示时间点，X(t) 表示在时间点 t 上的随机变量。
条件概率是指在给定某些条件下，事件发生的概率。
对于随机过程来说，条件概率可以表示为 P(A|B)，表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
类似地，条件期望 E(X|Y) 表示在给定随机变量 Y 的取值的条件下，随机变量 X 的平均取值。
二、条件期望的性质与计算方法条件期望具有以下性质：1. 线性性质：如果 X 和 Y 是两个随机变量，a 和 b 是常数，则有E(aX+bY|Z) = aE(X|Z) + bE(Y|Z)。
2. 条件期望的法则：如果 X 和 Y 是两个随机变量，则有 E(XY|Z) = E(X|Z)E(Y|Z)。
3. 独立性质：如果 X 和 Y 是独立的随机变量，则有 E(X|Y) = E(X)。
计算条件期望通常使用条件概率的定义和相关的概率计算公式。
对于离散型随机变量，有以下计算方法：1. 条件期望的定义：E(X|Y=y) = ∑x xP(X=x|Y=y)。
2. 条件概率的求解：P(X=x|Y=y) = P(X=x, Y=y) / P(Y=y)。
3. 条件概率的计算：P(X=x, Y=y) = ∑z P(X=x, Y=y, Z=z)。
对于连续型随机变量，计算的方法与离散型类似，只是将求和替换为积分。
三、条件期望在实际应用中的例子条件期望在概率论和数理统计的实际应用中有广泛的用途。
以下是一些例子：1. 金融风险管理：根据过去的市场数据，可以使用条件期望来估计未来的金融资产价格。
例如，在 Black-Scholes 期权定价模型中，使用条件期望来计算期权的价格。
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示第 i 个顾客所花的钱数，
是相互独立同
分布的随机变量，且与 N 相互独立，试求该日商店
店一天营业额的均值. Key : EX1 EN
解: 因为 E(
N
i
X
1
i
)
E
E(
N
i
X
1
i
)
N
E
n1
N
X
i 1
i
N
n
p( N
n)
解：设N 表示进入该店的顾客人数， Xi 表示第 i 个顾 N
客所花的钱数，则 N 个顾客所花钱的总数为 Xi . i 1
则一天内顾客们在该店所花钱的期望值是
N
E
Xi
E
E（
N
Xi | N）
i1
i1
而
E
N i 1
Xi
|
N
例4 已知连续抛掷一枚硬币出现正面的概率为 p，现 抛掷该硬币直至出现正面，问需要抛掷的次数的 数学期望是多少？
解: 设 N 为需要抛掷的次数，记
1 , 第一次抛出正面；Leabharlann Y 0
,第一次抛出反面；
故
又因为 E(N | Y 1) 1, E(N | Y 0) 1 EN
从而有 EN p (1 p)1 EN EN 1 .
n n
E
k 1
Xk
k 1
EX k
2. 设 X1, X 2, , X n 是独立的且属于集簇2，则有
Var
n
X
k 1
k
n
k
Var
1
(
X
k
)
课堂小结
1. 收敛概念：几乎必然收敛（以概率1收敛）； 依概率收敛；矩收敛（平均收敛）； 依分布收敛
E( X | Y 3)P(Y 3)
由题意知：
E( X | Y 1) 2; E( X | Y 2) 3 EX; E( X |Y 3) 5 EX 故有： EX 1 (2 3 5 2EX )
3 EX 10. (小时)
$1.7 独立性
1. 设 X1, X 2, , X n 是独立的且属于集簇1，则有
1) 对于随机变量 X 与 Y 有
y E( X | Y y) p(Y y)
EX
E[E(
X
|
Y
)]
E[ X | Y y] f ( y)dy
Y
2) 通过取条件计算方差 Var( X ) E[Var( X | Y )] Var(E[X | Y ])
2 条件概率与条件期望 1) 若 X 与 Y 均为离散型随机变量，则
E( X |Y y) x p( X x |Y y)
x
2) 若 X 与 Y 有联合密度函数 f ( x, y) ，则
E( X | Y y) x f ( x | y)dx
X |Y
3. 条件期望的性质
Xi [ ti1,ti ) , 且有 0 t0 t1 tk tk1 ，
求 E[ti1,ti ) X .
Key : See paper written by Zheng Zhu-kang !
4. 设在某一天内走进一个商店的人数是数学期望等于 100 的随机变量，又设这些顾客所花的钱都为数学 期望是10元的相互独立的随机变量，再设一个顾客 花钱时和进入该商店的总人数独立，试问在给定的 一天内，顾客们在该店所花钱的期望值为多少？
3) 线性：若 a,b , X ,Y ，则有
E[(aX bY ) |] aE( X |) bE(Y |)
4) 单调性：若 X ,Y 且 X Y ,a.s.，则有
E[X |] E(Y |),a.s..
5)
包含性：若1
, 2
是两个
子代数，使得
，则有
E
n1
n
X
i 1
i
N
n
p( N
n)
E
n1
n
X
i 1
i
p( N
n)
n1nEX1 p( N n)
(EX1)
np( N
n1
n)
EX1
EN
#
3设
是具有指数分布F( x) 1
e x ,( 0, x 0) 的相互独立的随机变量，其中
于是
E
N
Xi 10010 1000
i1
它说明顾客们花费在该店钱数的期望值为 1000 元.
p
例5 一名矿工被困在一个有三个通道的矿井之中，从 第一个通道行进两个小时后将到达安全地带；从 第二个通道行进三个小时后将绕回矿井原地；从 第三个通道行进五个小时后将绕回矿井原地. 假定 该矿工对此矿井的通道情况完全未知，那么他到 达安全地带所需要的平均时间是多少？
解: 设 X 为矿工到达安全地带所需要的时间，Y 为他 最初选取的通道，则有 EX E( X |Y 1)P(Y 1) E( X |Y 2)P(Y 2)
n
E
n i 1
Xi
|
N
n）
E
n i 1
Xi
nE(X )
N
E Xi | N N E(X)
i1
E
N
X
i
E
N
E(
X
)
E(
N
)
E(
X
)
i1
由假设 E( N ) 100, E( X ) E( Xi ) 10
Var
n
X
k 1
k
n
k
Var
1
(
X
k
)
思考与练习
1 设独立随机变量 X 和 Y 服从参数为 的 Poisson
分布，求在条件 X Y n 下 X 的条件期望. Key : E( X | X Y n) n 1 1 2
2 设某日进入某商店的顾客人数是随机变量 N, Xi 表
1
2
E[E( X | ) | ] E[E( X | ) | ]
1
2
2
1
E( X |), a.s.
4 独立性
1) 设 X1, X 2, , X n 是独立的且属于集簇1，则有
n n
E
k 1
Xk
k 1
EX k
2) 设 X1, X 2, , X n 是独立的且属于集簇2，则有