运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-线性规划与单纯形法(圣才出品)

= =
8 −3
x1, x2, x3, x4 0
解：在第二个约束条件两边同时乘以-1，得到该线性规划问题的系数矩阵
4 / 28
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

A
=
(
P1,
P2
,
P3
,
P4
)
=
2 −1
3 2
−1 −6
−4
7
①因为 P1 、 P2 线性无关，故有
令非基变量
x2
=
x3
=
0 ，解得
x1
=
34 , 5
x4
=
7 5
，故有基可行解
X
(3)
=
34 5
, 0, 0,
7 5
T
，
z3
=
117 5
。
④因为 P2 、 P3 线性无关，故有
32xx22
− −
x3 = 8 − 2x1 6x3 = 3+ x1
+ −
4x4 7x4
令非基变量
x1
=
x4
= 0，解得
x2
最优解或称为无界解。
（4） max z = x1 + x2 s.t. 3x1x1−−x2x20−3
x1, x2 0
解：如图 l-4 所示，该问题的可行域为空集，因此该线性规划无可行解。
2 / 28
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

1.2 将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
取得最小值，求解方程组
x1 x1
+ +
3x2
=
3
得
x2 = 2
A
点的坐标为
(3
/
2,1/
2)
，所以
X
*
=
(3
/
2,1/
2)
，
z* = 9 / 4 ，该问题具有惟一最优解。
（3） max z = 2x1 + 2x2 x1 − x2 −1
s.t.−0.5x1 + x2 2 x1, x2 0
解：如图 1-3 所示，该问题的可行域无界。目标函数可以增加到无穷大，因此该问题无
（2） max s = zk / pk
3 / 28
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

zk
=
n
m
aik xik
i=1 k =1
s.t. m −xik = −1 (i =1, 2,L , n)
k=1
xik
0
(i =1, 2,? , n;k =1, 2,L , m)
− 3x2 + 3− 2x2
4x4 − 7x4
令非基变量
x2
=
x4
=
0
，解得
x1
=
45 , 13
x3
=
− 14 13
，故
X
(2)
=
45 13
, 0, − 14 13
,
0
T
不是可
行解。
③因为 P1 、 P4 线性无关，故有
2−xx11
− +
4x4 7x4
= =
8 − 3x2 3− 2x2
+ +
x3 6x3
2−xx11
+ 3x2 + 2x2
=8+ = 3+
x3 + 4x4 6x3 − 7x4
令非基变量 x3 = x4 = 0，解得 x1 =1, x2 = 2 ，故有基可行解 X (1) = (1, 2, 0, 0)T ，z1 = 8 。
②因为 P1 、 P3 线性无关，故有
2−xx11
− −
x3 = 8 6x3 =
其中，M 为充分大的正数。对应的初始单纯形表如表 l-2 所示。
1.3 在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解，指出哪些是基可行解，
并代入目标函数，确定哪一个是最优解。
（1） max z = 2x1 +3x2 + 4x3 + 7x4
s.t
2x1x−1 +23x2x2+−6xx33
− −
4x4 7x4
解：在上述约束条件两边同时乘以-1，然后分别引入人工变量 x1, x2,…, xn ，得该线性
规划的标准型
max
s= 1 pk
nm
aik xik − Mx1 − Mx2 −L − Mxn
i=1 k =1
s.t
xi
+
m k =1
xik
=1
(i = 1, 2,L , n)
xik 0, xi 0 (i = 1, 2,L , n; k = 1, 2,L , m)
变量 x5 ，在第二个约束条件右端加上松弛变量 x6 ；在第三个约束条件右端减去剩余变量 x7 ，
同时加入人工变量 x8 ，将目标函数最小化变换为最大化，得该线性规划的标准型
max z ' = 3x1 − 4x2 + 2x3 − 5( x4 '− x4 '') − Mx5 − Mx8
−4x1 + x2 − 2x3 + x4 '− x4 ''+ x5 = 2
x1 x2
+ x2 4
1
x1, x2 0
解：如图 l-1 所示，该问题的可行域为有界域。目标函数 z = x1 + 3x2 在点 A3 处取得最
大值，求解方程组
5x2x1=+410x2 = 50 可得 A3 的坐标为(2，4)，所以 X * = (2, 4)T , z* =14，该线性规划问
题具有惟一最优解。
=
45 16
,
x3
=
7 16
，故有基可行解
X
(4)
=
0,
45 16
,
7 16
,
0
T
，
z4
=
圣才电子书

十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第二部分 课后习题
第 1 章 线性规划与单纯形法
1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有惟一最优解、无穷多最优解、
无界解还是无可行解?
（1） max z = x1 +3x2
5x1 +10x2 50
s.t.
（1） min z = −3x1 + 4x2 − 2x3 +5x4
4x1 − x2 + 2x3 − x4 = −2
s.t.
x1
+
x2
−2x1 +
+ 3x3 3x2 −
− x4 x3 +
14 2x4
2
x1, x2 , x3 0, x4无约束
解：令 x4 = x4 '− x4 ''，且 x4 ', x4 '' 0 ；在第一个约束条件两边同时乘以-1 后引入人工
s.t.−x12+x1x+2
+ 3x3 − x4 '+ x4 ''+ x6 3x2 − x3 + 2x4 '− 2x4
= 14 ''− x7
+
, x3, x4 ', x4 '', x5, x6, x7 , x8 0
其中，M 为充分大的正数，对应的初始单纯形表如表 l-1 所示。
（2） min z = x1 +1.5x2
s.t.
x1 x1
+ +
3x2 3 x2 2
x1, x2 0
解：如图 1-2 所示，该线性规划问题的可行域无界。目标函数 z = x1 +1.5x2 在点 A 处
1 / 28
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台