NumericalMethods数值方法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
而數值方法(numerical methods)就是將數學問題重新列式，使之能 利用算術運算來求解。
13
我們藉由圖1.3說明，(1.8)式中速度對時間的變化率可以近似成：
(1.11)
其中Δυ和Δt是速度和時間在一小段區間之內的差分，υ(ti)則是在起始時間ti的速 度，而υ(ti + 1)則是在下一個時刻ti + 1的速度。注意dυ/dt ≅ Δυ/Δt這個近似在t有限 小的情況下是成立的。因為微積分曾經教過我們
其中F是施於物體的淨力（N, 或者是kg m/s2），m為 物體的質量(kg)以及a是物體的加速度(m/s2)。
Байду номын сангаас可將第二運動定律寫成如(1.1)式的形式
其中a是表示系統行為的應變數，F是強制函數，m是參數。 注意，在這個簡單的例子中沒有自變數，因為我們還 沒有探討時間或空間中加速度的變化。
6
其他物理現象的數學模型很可能更為複雜，複雜到無法求出精確的解，或者是 需要利用其他複雜的數學技巧才能求得出解。我們以牛頓第二運動定律決定在地表 附近自由落體的終端速度(terminal velocity)來當作一個例子。加速度可以表示成速 度的時變率
NumericalMethods数值方 法
Terms
• Numerical Solution
– numerical form; can obtain solution values at only pre-selected position of the problem domain
• Analytical Solution
(1.11)式則表示反向的程序。
14
15
16
17
18
(1.4) 其中是速度（公尺/秒）。
當物體自由落下，則淨力包含兩部分：由重力造成的往下拉力FD， 由空氣阻力造成的往上推力FU（如圖1.1），
(1.5) (1.6) 其中g是重力加速度(9.81 m/s2)。 根據流體力學 (1.7) 其中cd是比例常數(proportionality constant)，叫做阻力係數(drag coefficient)(kg/m)。 淨力則是往下和往上的力的總和。因此，綜合(1.4)式到(1.7)式，我 們可以得到 (1.8)
– close (symbolic) form; can obtain solution values at any position of the problem domain
2
Tools ?
3
Ready ?
4
5
根據牛頓第二運動定律，物體動量的時變率等於施加 於物體的外力。其數學表示式，或者是數學模型如下
(1.9) 其中tanh是
(1.10) 注意(1.9)式為(1.1)式的一般形式，其中υ(t)是應變數，t是自 變數，cd和m是參數，g是強制函數。
10
11
12
(1.9)式稱為解析解(analytical solution)或者是閉式解(closed-form solution)，因為此解答剛好滿足原始的微分方程式。不幸的，有很多 數學模型根本就沒有辦法確實地算出來。在這樣的情況下，我們只能 採用數值方法去求得精確解的近似值。
7
8
因為這是一個微分方程式，你知道可利用微積分求出 速度對於時間的函數的解析解(analytical solution)或者是精 確解(exact solution)。在接下來的本書內容中，我們將說明 另一種求解的方式。我們將會發展一套以電腦為導 向的數值解或者是近似解。
除了介紹如何使用電腦求解特殊的問題之外，要說明 (a)什麼是數值方法以及(b)數值方法在求解工程或科學問題 中所扮演的角色。
9
(1.8)式是一個將自由落體加速度和所受作用力關連起來的數學 模型。(1.8)式是一個微分方程式(differential equation)，因為式中包 含了我們關注並且想要預測的變數變化率(dυ/dt)。但這個解很難使 用簡單的代數運算求得。我們需要微積分，才能算出正確的解或 解析解。如果參與者起始時為靜止（υ = 0當t = 0），微積分求解 (1.8)式，我們得到
13
我們藉由圖1.3說明，(1.8)式中速度對時間的變化率可以近似成：
(1.11)
其中Δυ和Δt是速度和時間在一小段區間之內的差分，υ(ti)則是在起始時間ti的速 度，而υ(ti + 1)則是在下一個時刻ti + 1的速度。注意dυ/dt ≅ Δυ/Δt這個近似在t有限 小的情況下是成立的。因為微積分曾經教過我們
其中F是施於物體的淨力（N, 或者是kg m/s2），m為 物體的質量(kg)以及a是物體的加速度(m/s2)。
Байду номын сангаас可將第二運動定律寫成如(1.1)式的形式
其中a是表示系統行為的應變數，F是強制函數，m是參數。 注意，在這個簡單的例子中沒有自變數，因為我們還 沒有探討時間或空間中加速度的變化。
6
其他物理現象的數學模型很可能更為複雜，複雜到無法求出精確的解，或者是 需要利用其他複雜的數學技巧才能求得出解。我們以牛頓第二運動定律決定在地表 附近自由落體的終端速度(terminal velocity)來當作一個例子。加速度可以表示成速 度的時變率
NumericalMethods数值方 法
Terms
• Numerical Solution
– numerical form; can obtain solution values at only pre-selected position of the problem domain
• Analytical Solution
(1.11)式則表示反向的程序。
14
15
16
17
18
(1.4) 其中是速度（公尺/秒）。
當物體自由落下，則淨力包含兩部分：由重力造成的往下拉力FD， 由空氣阻力造成的往上推力FU（如圖1.1），
(1.5) (1.6) 其中g是重力加速度(9.81 m/s2)。 根據流體力學 (1.7) 其中cd是比例常數(proportionality constant)，叫做阻力係數(drag coefficient)(kg/m)。 淨力則是往下和往上的力的總和。因此，綜合(1.4)式到(1.7)式，我 們可以得到 (1.8)
– close (symbolic) form; can obtain solution values at any position of the problem domain
2
Tools ?
3
Ready ?
4
5
根據牛頓第二運動定律，物體動量的時變率等於施加 於物體的外力。其數學表示式，或者是數學模型如下
(1.9) 其中tanh是
(1.10) 注意(1.9)式為(1.1)式的一般形式，其中υ(t)是應變數，t是自 變數，cd和m是參數，g是強制函數。
10
11
12
(1.9)式稱為解析解(analytical solution)或者是閉式解(closed-form solution)，因為此解答剛好滿足原始的微分方程式。不幸的，有很多 數學模型根本就沒有辦法確實地算出來。在這樣的情況下，我們只能 採用數值方法去求得精確解的近似值。
7
8
因為這是一個微分方程式，你知道可利用微積分求出 速度對於時間的函數的解析解(analytical solution)或者是精 確解(exact solution)。在接下來的本書內容中，我們將說明 另一種求解的方式。我們將會發展一套以電腦為導 向的數值解或者是近似解。
除了介紹如何使用電腦求解特殊的問題之外，要說明 (a)什麼是數值方法以及(b)數值方法在求解工程或科學問題 中所扮演的角色。
9
(1.8)式是一個將自由落體加速度和所受作用力關連起來的數學 模型。(1.8)式是一個微分方程式(differential equation)，因為式中包 含了我們關注並且想要預測的變數變化率(dυ/dt)。但這個解很難使 用簡單的代數運算求得。我們需要微積分，才能算出正確的解或 解析解。如果參與者起始時為靜止（υ = 0當t = 0），微積分求解 (1.8)式，我們得到