哈夫曼树
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哈夫曼树及其应用 1.问题的提出 问题的提出
在程序设计中，常用一个代码来表示一个 元素，标准ASCII码就是一个例子。它用log2128 即7位提供了128个不同的代码来表示ASCII表中 的128个字符。假设所有代码都等长，则表示n 个不同的代码需要log2n位，称为固定长度编码 （如ASCII码）。如果每个字符的使用频率相等， 则固定长度编码的空间效率最高。但事实上，每 个字符的使用频率并非一样。
考虑这样一棵带权二叉树，即给定一组 权值： W={w1,w2,…,wn} 使得二叉树的每个叶结点有一个权值，定义二 叉树的带权路径长度为：
WPL =
n
∑wl
k =1
k k
lk为根到叶结点wk的路径长度。则其中带 权路径长度最小的二叉树称作哈夫曼树或最优 二叉树。业已证明：利用哈夫曼树构造的编码 其总码长是最短的。
树的路径长度是从树的根结点到树的各个结点 的路径长度之和，记作TL，例如上图所示的三棵二 叉树的路径长度分别为： TL（a）＝0＋1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＝20 TL（b）＝0＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋3＋3＝16 TL（c）＝0＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋3＋3＝16
将上述概念推广到一般情况，考虑带权的结点， 则某结点的带权路径长度是指该结点的路径长度与 该结点上权的乘积，二叉树的带权路径长度是指所 有带权叶子结点的带权路径长度之和。 假定一个有n个权值的集合{w1，w2，…，wn}， 其中wi≥0（1≤i≤n），若T是一个有n个叶子的二叉 树，而且将权w1，w2，…，wn分别赋给树的n个叶 子，则n个叶子的二叉树带权路径长度定义为：
1 107 1 65 0
L 42
0
C 32
1
33
F
0
F 24
1 9 0
Z 2
K
1
K 7
L U Z
哈夫曼编码的效率。 我们定义该编码方案的平均编码长度为： B(T)=(c1p1+ c2p2 +…+ cnpn)/pt 其中： ci和pi是字符集中第i个字符的代码长度及 其相对频率，pt是字符集的总频率。对本例计算平 均编码长度≈2.565 若采用固定长度编码，每个字母需log28=3位， 而哈夫曼编码只需2.565位，节省空间约12%。 哈夫曼编码对于典型的文本文件将比ASCII编 码节省约40%的空间。
① 将给定的n个权值W={w1,w2,…,wn}构成n棵 二叉树的集合即森林F={T1,T2,…,Tn}，其中每棵树Ti 的初值为只有一个权值wi 的根结点，其左右子树为 空； ② 在F中选取两棵根结点之权值为最小的树作 为左、右子树构成一棵新的二叉树，该新二叉树的根 结点的权值为其左、右子树的根结点权值之和。 ③ 从F中删除这两棵树，同时将新得到的二叉 树加到F中。 ④ 重复②和③，直到F中只有一棵树。这棵树 就是哈夫曼树。 哈夫曼树。
用途：用于通信和数据传送中字符的二进制编码，可以 用途 使文件编码总长度最短。 F K L U Z 例字符集： C D E 频 率：32 42 120 24 7 42 37 2
306
0
1 186
C D E
1110 101 0 11110 111111 110 100 111110
E 79 0 1 120 0 U D 37 42
WPL =
n
k =1 其中n为叶子结点数,lk为根到叶结点wk的 路径长度。 最优二叉树(哈夫曼树 哈夫曼树)： 最优二叉树 哈夫曼树 ：n个带权叶子结点构成的 所有二叉树中，带权路径长度WPL最小的二叉 树。
∑wl
k k
2. 建立哈夫曼树（最优二叉树）的方法 建立哈夫曼树（最优二叉树） 1952年由 年由D.A.Huffman提出的哈夫曼算法： 提出的哈夫曼算法： 年由 提出的哈夫曼算法
10000（5％＋2×15％＋3×40％＋4×40％）＝31500次
也即按如上图所示的分支结构与程序段，则 10000个数据需执行判断31500次。
下面我们就利用哈夫曼树寻找一棵最佳判定树， 即总的比较次数最少的判定树。
<80 <70 <60 C D B <90 A
E
需比较的次数应为10000（3×20％＋2×80％） ＝22000次，很明显，两种方法的效率是不一样的。
下面给出的是某个文献中其中8个英文字母的使用 频率： 字母：C D E F K L U Z 频率：32 42 120 24 7 42 37 2 若采用ASCII编码，单词“DEED”和“FUZZ”占 用等长的空间。但若给出现频率高的字符以较短的编 码，给出现频率低的字符以较长的编码，即使用不等 长编码，也许可以缩短文件的总的码长——总的存储 空间减少了。这个概念就是今天使用的文件压缩技术 的核心。 那么，如何给上述8个字母编码，以保证实际数 据文件的总码长最短呢？ 考虑：1.出现频率高的字符用短编码 2.译码时不会出现错误 解决方法：哈夫曼树
编码 0110 10 1110 1111 110 00 0111 010
Fra Baidu bibliotek
以上的①∼⑧分别代表 8 个字符。
发送一段编码：0000011011010010，
接收方译码：⑥⑥①⑤②⑧
其中wi为叶子i的权，li为根结点到叶子i之间路 径长度，在权w1，w2，w3，…，wn的二叉树中， WTL最小的二叉树称为哈夫曼树或最优树。
基本术语
结点的权： 结点的权：树中的结点上赋予的一定意义的数值。 结点的带权路径长度：从树根结点到该结点之间 结点的带权路径长度 的路径长度与该结点上权的乘积。 树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路 树的带权路径长度 径长度之和。通常记作
前缀编码
任一个字符的编码都不是另一个字符的编码的前 缀。 假如有A,BC,D四个字符,设计的前缀编码分别为 0,10,110,111,任一个的编码都不是另一个编码的 前缀. 哈夫曼编码
哈夫曼编码的构造方法
（1）利用字符集中每个字符的使用频率作为权 值构造一个哈夫曼树； （2）从根结点开始，为到每个叶子结点路径上 0 1 的左分支赋予0，右分支赋予1，并从根到叶子方向 形成该叶子结点的编码。
练习：假设有一个电文字符集中有8个字符，每个字 符的使用频率分别为 {0.05,0.29,0.07,0.08,0.14,0.23,0.03,0.11}，设计哈 夫曼编码。
字符 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
字符的使用频率 0.05 0.29 0.07 0.08 0.14 0.23 0.03 0.11
if (socre<60) printf(“bad”); else if (socre<70) printf(“pass”); else if (score<80) printf(“general”); else if (score<90) printf(“good”); esle printf(“very good”);
在实际应用中，往往各个分数段的分布并不是均匀 的。下面就是在一次考试中某门课程的各分数段的分布情 况：
分数 比例 0~59 0.05 60~69 0.15 70~79 0.40 80~89 0.30 90~100 0.10
判定过程如图所示：
学生的成绩数据共10000个，5％的数据需1次比 较，15％的数据需2次比较，40％的数据需3次比较， 40％的数据需4次比较，因此10000个数据比较的次 数为
基本思想：使权大的结点靠近根。 基本思想
例1：{ ： 5 10 12 13 30 }
15 第一步 5 第二步 15 5 10 10
12
13
30
25 12 13
30
第三步
40 30 5 10 70 30 12 13
第四步
5
10
12
13
WPL=5×3+10×3+12×3+13×3+30×1=150 由图可以看出，哈夫曼树的结点的度数为0 或2，没有度为1的结点
预备知识
先介绍二叉树路径长度的概念。 树中一个结点到另一个结点之间的路径长度是 这两个结点之间的分支所构成的路径上的分支数。 由树的定义可知，从根结点到达树的每个结点 有且仅有一种路径。我们规定根的层数为1，如果 树中某个结点的层次为k，则从根到该结点的路径长 度为（k－1）。
如下图为三棵二叉树，其中图（a）所示的二叉 树中，从根A到B，C，D，E，F，G，H，I的路径长 度分别为1，1，2，2，3，3，4，4。
二、前缀编码
在电文传输中，需要将电文中出现的每个字符 进行二进制编码。在设计编码时遵守两个原则： （1）发送方传输的二进制编码，到接收方解 码后必须具有唯一性，即解码结果与发送方发送的 电文完全一样； （2）发送的二进制编码尽可能地短。 编码方法： 1. 等长编码：译码简单且具有唯一性，但编 码长度不是最短； 2. 不等长编码：译码可能不唯一 解决方法：前缀编码
哈夫曼编码是不等长编码 哈夫曼编码是前缀编码，即任一字符的编码都 不是另一字符编码的前缀 哈夫曼编码树中没有度为1的结点。若叶子结点 的个数为n，则哈夫曼编码树的结点总数为 2n-1 发送过程：根据由哈夫曼树得到的编码表送出 字符数据 接收过程：按左0、右1的规定，从根结点走到 一个叶结点，完成一个字符的译码。反复此过 程，直到接收数据结束
练习： 假设有一组权值{5,29,7,8,14,23,3,11}，利 用这组权值构造哈夫曼树。
5
29
7
8
14
23
3
11
哈夫曼树的应用
一、判定问题
将学生的百分制成绩表转换为五分制成绩，大于 或等于90分者表为“A”，80～90分为“B”， 70～79分为“C”，60～69为“D”，小于60分为 “E”。 程序实现很简单：
在程序设计中，常用一个代码来表示一个 元素，标准ASCII码就是一个例子。它用log2128 即7位提供了128个不同的代码来表示ASCII表中 的128个字符。假设所有代码都等长，则表示n 个不同的代码需要log2n位，称为固定长度编码 （如ASCII码）。如果每个字符的使用频率相等， 则固定长度编码的空间效率最高。但事实上，每 个字符的使用频率并非一样。
考虑这样一棵带权二叉树，即给定一组 权值： W={w1,w2,…,wn} 使得二叉树的每个叶结点有一个权值，定义二 叉树的带权路径长度为：
WPL =
n
∑wl
k =1
k k
lk为根到叶结点wk的路径长度。则其中带 权路径长度最小的二叉树称作哈夫曼树或最优 二叉树。业已证明：利用哈夫曼树构造的编码 其总码长是最短的。
树的路径长度是从树的根结点到树的各个结点 的路径长度之和，记作TL，例如上图所示的三棵二 叉树的路径长度分别为： TL（a）＝0＋1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＝20 TL（b）＝0＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋3＋3＝16 TL（c）＝0＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋3＋3＝16
将上述概念推广到一般情况，考虑带权的结点， 则某结点的带权路径长度是指该结点的路径长度与 该结点上权的乘积，二叉树的带权路径长度是指所 有带权叶子结点的带权路径长度之和。 假定一个有n个权值的集合{w1，w2，…，wn}， 其中wi≥0（1≤i≤n），若T是一个有n个叶子的二叉 树，而且将权w1，w2，…，wn分别赋给树的n个叶 子，则n个叶子的二叉树带权路径长度定义为：
1 107 1 65 0
L 42
0
C 32
1
33
F
0
F 24
1 9 0
Z 2
K
1
K 7
L U Z
哈夫曼编码的效率。 我们定义该编码方案的平均编码长度为： B(T)=(c1p1+ c2p2 +…+ cnpn)/pt 其中： ci和pi是字符集中第i个字符的代码长度及 其相对频率，pt是字符集的总频率。对本例计算平 均编码长度≈2.565 若采用固定长度编码，每个字母需log28=3位， 而哈夫曼编码只需2.565位，节省空间约12%。 哈夫曼编码对于典型的文本文件将比ASCII编 码节省约40%的空间。
① 将给定的n个权值W={w1,w2,…,wn}构成n棵 二叉树的集合即森林F={T1,T2,…,Tn}，其中每棵树Ti 的初值为只有一个权值wi 的根结点，其左右子树为 空； ② 在F中选取两棵根结点之权值为最小的树作 为左、右子树构成一棵新的二叉树，该新二叉树的根 结点的权值为其左、右子树的根结点权值之和。 ③ 从F中删除这两棵树，同时将新得到的二叉 树加到F中。 ④ 重复②和③，直到F中只有一棵树。这棵树 就是哈夫曼树。 哈夫曼树。
用途：用于通信和数据传送中字符的二进制编码，可以 用途 使文件编码总长度最短。 F K L U Z 例字符集： C D E 频 率：32 42 120 24 7 42 37 2
306
0
1 186
C D E
1110 101 0 11110 111111 110 100 111110
E 79 0 1 120 0 U D 37 42
WPL =
n
k =1 其中n为叶子结点数,lk为根到叶结点wk的 路径长度。 最优二叉树(哈夫曼树 哈夫曼树)： 最优二叉树 哈夫曼树 ：n个带权叶子结点构成的 所有二叉树中，带权路径长度WPL最小的二叉 树。
∑wl
k k
2. 建立哈夫曼树（最优二叉树）的方法 建立哈夫曼树（最优二叉树） 1952年由 年由D.A.Huffman提出的哈夫曼算法： 提出的哈夫曼算法： 年由 提出的哈夫曼算法
10000（5％＋2×15％＋3×40％＋4×40％）＝31500次
也即按如上图所示的分支结构与程序段，则 10000个数据需执行判断31500次。
下面我们就利用哈夫曼树寻找一棵最佳判定树， 即总的比较次数最少的判定树。
<80 <70 <60 C D B <90 A
E
需比较的次数应为10000（3×20％＋2×80％） ＝22000次，很明显，两种方法的效率是不一样的。
下面给出的是某个文献中其中8个英文字母的使用 频率： 字母：C D E F K L U Z 频率：32 42 120 24 7 42 37 2 若采用ASCII编码，单词“DEED”和“FUZZ”占 用等长的空间。但若给出现频率高的字符以较短的编 码，给出现频率低的字符以较长的编码，即使用不等 长编码，也许可以缩短文件的总的码长——总的存储 空间减少了。这个概念就是今天使用的文件压缩技术 的核心。 那么，如何给上述8个字母编码，以保证实际数 据文件的总码长最短呢？ 考虑：1.出现频率高的字符用短编码 2.译码时不会出现错误 解决方法：哈夫曼树
编码 0110 10 1110 1111 110 00 0111 010
Fra Baidu bibliotek
以上的①∼⑧分别代表 8 个字符。
发送一段编码：0000011011010010，
接收方译码：⑥⑥①⑤②⑧
其中wi为叶子i的权，li为根结点到叶子i之间路 径长度，在权w1，w2，w3，…，wn的二叉树中， WTL最小的二叉树称为哈夫曼树或最优树。
基本术语
结点的权： 结点的权：树中的结点上赋予的一定意义的数值。 结点的带权路径长度：从树根结点到该结点之间 结点的带权路径长度 的路径长度与该结点上权的乘积。 树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路 树的带权路径长度 径长度之和。通常记作
前缀编码
任一个字符的编码都不是另一个字符的编码的前 缀。 假如有A,BC,D四个字符,设计的前缀编码分别为 0,10,110,111,任一个的编码都不是另一个编码的 前缀. 哈夫曼编码
哈夫曼编码的构造方法
（1）利用字符集中每个字符的使用频率作为权 值构造一个哈夫曼树； （2）从根结点开始，为到每个叶子结点路径上 0 1 的左分支赋予0，右分支赋予1，并从根到叶子方向 形成该叶子结点的编码。
练习：假设有一个电文字符集中有8个字符，每个字 符的使用频率分别为 {0.05,0.29,0.07,0.08,0.14,0.23,0.03,0.11}，设计哈 夫曼编码。
字符 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
字符的使用频率 0.05 0.29 0.07 0.08 0.14 0.23 0.03 0.11
if (socre<60) printf(“bad”); else if (socre<70) printf(“pass”); else if (score<80) printf(“general”); else if (score<90) printf(“good”); esle printf(“very good”);
在实际应用中，往往各个分数段的分布并不是均匀 的。下面就是在一次考试中某门课程的各分数段的分布情 况：
分数 比例 0~59 0.05 60~69 0.15 70~79 0.40 80~89 0.30 90~100 0.10
判定过程如图所示：
学生的成绩数据共10000个，5％的数据需1次比 较，15％的数据需2次比较，40％的数据需3次比较， 40％的数据需4次比较，因此10000个数据比较的次 数为
基本思想：使权大的结点靠近根。 基本思想
例1：{ ： 5 10 12 13 30 }
15 第一步 5 第二步 15 5 10 10
12
13
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25 12 13
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第三步
40 30 5 10 70 30 12 13
第四步
5
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WPL=5×3+10×3+12×3+13×3+30×1=150 由图可以看出，哈夫曼树的结点的度数为0 或2，没有度为1的结点
预备知识
先介绍二叉树路径长度的概念。 树中一个结点到另一个结点之间的路径长度是 这两个结点之间的分支所构成的路径上的分支数。 由树的定义可知，从根结点到达树的每个结点 有且仅有一种路径。我们规定根的层数为1，如果 树中某个结点的层次为k，则从根到该结点的路径长 度为（k－1）。
如下图为三棵二叉树，其中图（a）所示的二叉 树中，从根A到B，C，D，E，F，G，H，I的路径长 度分别为1，1，2，2，3，3，4，4。
二、前缀编码
在电文传输中，需要将电文中出现的每个字符 进行二进制编码。在设计编码时遵守两个原则： （1）发送方传输的二进制编码，到接收方解 码后必须具有唯一性，即解码结果与发送方发送的 电文完全一样； （2）发送的二进制编码尽可能地短。 编码方法： 1. 等长编码：译码简单且具有唯一性，但编 码长度不是最短； 2. 不等长编码：译码可能不唯一 解决方法：前缀编码
哈夫曼编码是不等长编码 哈夫曼编码是前缀编码，即任一字符的编码都 不是另一字符编码的前缀 哈夫曼编码树中没有度为1的结点。若叶子结点 的个数为n，则哈夫曼编码树的结点总数为 2n-1 发送过程：根据由哈夫曼树得到的编码表送出 字符数据 接收过程：按左0、右1的规定，从根结点走到 一个叶结点，完成一个字符的译码。反复此过 程，直到接收数据结束
练习： 假设有一组权值{5,29,7,8,14,23,3,11}，利 用这组权值构造哈夫曼树。
5
29
7
8
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哈夫曼树的应用
一、判定问题
将学生的百分制成绩表转换为五分制成绩，大于 或等于90分者表为“A”，80～90分为“B”， 70～79分为“C”，60～69为“D”，小于60分为 “E”。 程序实现很简单：