算法分析与设计：作业

习题1.2—5，P13
• 5. 写出十进制正整数转换为二进制整数的 算法
– 解：算法 Binary(n) //输入：十进制正整数n //输出：bkbk-1· · · b 1b 0 k←0 while n ≠ 0 bk ← n mod 2 n ← [n/2] k ← k+1
习题2.1—7，P39
• 7. Gaussian消去法用于求解n个n元线性方 程联立的方程组. 乘法是其基本操作，且大 约需要n3/3乘法运算. 问 a. 解一个1000个方程联立的方程组比解一 个500个方程联立的方程组要多运行多少时 间？
习题3.2-6，P82
• 6. 设文本T长度为n，模式P长度为m，给 出一个蛮力字符串匹配最差的实例，并指 出精确的比较次数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ– 解：令T为长度为n个0的字符串，P的前m-1个 字符为0，第m个字符为1，此时总的比较次数 最多，结果为 C(n)=m(n-m+1)，当m<<n时，有 C(n)∈Θ(nm)
习题2.5—4，P64
• 4. 爬梯子. 假设每一步可以爬一格或者两格 梯子，爬一部n格梯子一共有几种爬法？
– 解：令C(n)表示总的爬法，则C(n-1)表示第一 步爬一格梯子的爬法，C(n-2)表示第一步爬二 格梯子的爬法，所以有 C(n) = C(n-1)+C(n-2), n>2 C(1) = 1, C(2) = 2 解之得 C(n) = F(n+1)，这里F(n)表示Fibonacci数列
习题2.5—6，P65
• 6. 改进迭代算法Fib，使它仅需要Θ(1)的额 外空间
– 算法 Fib(n) a ← 0, b ← 0 for i ← 2 to n do b ← b+a a ← b-a if n=0 return 0 else return b
习题3.1—9.b，P79
• 9.b. 改进冒泡排序，使之在对列表比较一遍后没 有交换元素的情况下停止
习题7.2-3，P201
• 3. 文本T为1000个0，模式P分别为 a. 00001 b. 10000 c. 01010 用Horspool算法进行匹配，求总比较次数
– 解：由题意知，三种情况匹配都不成功，因此有 a. ShiftTable={0→4-3=1; 1→5}，每次循环比较1次， 0的滑动距离=1，所以总次数=1000-5+1=996 b. ShiftTable={1→4-0=4; 0→1}，每次循环比较5次， 0的滑动距离=1，总次数=(1000-5+1)×5=4980 c. ShiftTable={0→4-2=2; 1→1}，每次循环比较2次， 0的滑动距离=2 ，所以总次数=(1000-5+1)/2×2=996
习题3.2-5，P82
• 5. 用蛮力字符串匹配算法在1000个0组成 的文本中查找下列模式需做多少次比较？ a. 00001 b. 10000 c. 01010
– 解：文本T长度n=1000，模式P长度m=5，对 于三种情况匹配都失败，所以外层循环执行次 数为n-m+1=996，从而有 a. 每次循环，比较5次，总次数=5×996=4980 b. 每次循环，比较1次，总次数=1×996=996 c. 每次循环，比较2次，总次数=2×996=1992
– 解：算法 BubbleSort(A[0..n-1]) count ← n-1 flag ← true while flag flag ← false for j ← 0 to count-1 if A[j+1]<A[j] swap(A[j], A[j+1]) flag ← true count ← count-1
• 4.应用Horspool算法在一个长度为n的文本 中查找长度为m的模式。给出最差和最优 输入的例子
• 解：最差输入：令T为长度为n个0的字符串，P的第1 个字符为1，后m-1个字符为0， 则ShiftTable={0→1; 1→m-1}，此时总的比较次数最多，结果为 C(n)=m(n-m+1)，当m<<n时，有 C(n)∈Θ(n2) • 最优输入： T为长度为n个0的字符串，P为长度为m的 0串，比较次数为m
算法分析与设计：作业
计算机学院 刘在德
习题1.1—6，P6
• 6. 证明等式gcd(m, n)=gcd(n, m mod n)对 每一对正整数都成立
– 证明：m可以表示成m = kn+r，则r = m mod n 假设d是m, n的一个公约数，则有 d|m, d|n，而r = m-kn，因此d|r 因此d是(n, m mod n)的公约数 假设d是(n, m mod n)的公约数，则 d|n，d|r，但是m = kn+r 因此d也是(m, n)的公约数 因此(m, n)和(n, m mod n)的公约数是一样的， 其最大公约数也必然相等，得证
习题1.1-9，P6
• 9. 用减法实现Euclidean算法
– 解：算法 Euclid(m, n) //求两个不全为0的非负整数的GCD if m=0 return n if n=0 return m while m≠n do if m>n m <- m-n if m<n n = n-m return m
• 5. 相同的文本和模式，Horspool算法的比较次数 是否有可能多于蛮力算法？举例说明 – 解：有可能。例如令T为长度为n个0的字符串， P的第1个字符为1，后m-1个字符为0， – Horspool算法比较m(n-m+1)次 – 蛮力法比较n-m+1次
习题6.5-8，P180
• 8. 改进从右到左二进制幂算法计算an，但 不明确使用n的二进制表现形式 • 解：product ← 1 term ← a while n≠0 do b ← n mod 2 n ← [n/2] if b=1 product ← product*term term ← term*term return product
– 解：设cM是一次乘法运行的时间，则 T(n) ≈ cMn3/3，T(2n) ≈ cM(2n)3/3，所以 T(2n)/T(n) ≈ 8
• b. 新机器比旧机器运算速度快1000倍，假 设两台机器的运行时间相同，问新旧机器 的运算规模有什么变化
– 解：Told ≈ cMn3/3，Tnew ≈ 10-3cMN3/3 因为Told = Tnew，所以有 cMn3/3 ≈ 10-3cMN3/3 从而有 N/n ≈ 10