2021重庆中考26题专题复习及答案2

重庆中考26题专题复习

1、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，

过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．

（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；

（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．

解：（1）如图1中，

∵DE⊥AB，

∴∠BED＝90°，

∵∠BCD＝90°，BF＝DF，

∴FE＝FB＝FD＝CF，

∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，

∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，

故答案为：EF＝CF，120°．

（2）结论成立．

理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．

∵BM＝MA，BF＝FD，

∴MF∥AD，MF＝AD，

∵AN＝ND，

∴MF＝AN，MF∥AN，

∴四边形MFNA是平行四边形，

∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，

在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，

∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，

在△AEN和△ACM中，

∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，

∵∠MAC＝∠EAN，

∴∠AMC＝∠ANE，

又∵∠FMA＝∠ANF，

∴∠ENF＝∠FMC，

在△MFC和△NEF中，

，

∴△MFC≌△NEF（SAS），

∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，

∵NF∥AB，

∴∠NFD＝∠ABD，

∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°

∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．

（3）如图3中，作EH⊥AB于H．

在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，

∴AB＝2BC＝6，

在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，

∴DE＝AD＝1，

在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，

∴EH＝ED•sin60°＝，

DH＝ED•cos60°＝，

在Rt△EHG中，EG＝＝．

2、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段

CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．

（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．

（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．

解：（1）BC＝2BD，理由：

如图2，连接CD，

由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，

∴△CDP是等边三角形，

∴∠CDP＝60°＝∠PCD，

又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，

∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，

∴∠BCD＝30°，

即BC平分∠PCD，

∴BC垂直平分PD，

∴∠BDC＝∠BPC＝90°，

∴Rt△BCD中，BC＝2BD．

（2）如图3，取BC中点F，连接PF，

∵∠A＝90°，AB＝AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵P是AB的中点，F是BC的中点，

∴PF是△ABC的中位线，

∴PF∥AC，

∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，

∴BF＝BP，BP＝PF，

∵∠DPC＝∠BPF＝90°，

∴∠BPD＝∠FPC，

又∵PD＝PC，

∴△BDP≌△FCP，

∴BD＝CF，

∵BC＝BF+FC，

∴BC＝BD+BP．

3、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角

△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．

【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．

【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．

【发现问题】

解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，

在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：

∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，

∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，

∴∠BAD＝∠EAC，

在△BAD和△EAC中，，

∴△BAD≌△EAC（SAS），

∴BD＝CE，

【拓展探究】

解：BD＝CE；理由如下：

∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，

∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，